2008年广州市高二数学竞赛试卷

2008 年广州市高二数学竞赛试卷 三 题 号二 11 12 13 14 15 合 计 得 分 评卷员 考生注意 用钢笔 签字笔或圆珠笔作答 不准使用计算器 考试用时 120 分钟 全卷满分 150 分 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 6 分 共分 共 24 分 在每小题给出的四个选项中 只分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 请将正确选项前的字母代号填在该小题后的括号内 有一项是符合题目要求的 请将正确选项前的字母代号填在该小题后的括号内 1 若集合 aaa 2 有 4 个子集 则实数a的取值范围是 A 2 0 B aaa 0R C aaa 2R D 0 aa且 aa 2R 2 已知函数 0 1 2 10 1 2 x xx xf x 则 5 0 ff等于 A 5 0 B 1 C 5 0 D 1 3 在空间直角坐标系xyzO 中 点DCBA 的坐标分别为A 001 B 020 C 042 221 D 则三棱锥BCDA 的体积是 A 2 B 3 C 6 D 10 4 已知直线012 yx与圆 5 1 22 byax ba R 有交点 则 122 22 baba的最小值是 A 5 1 B 5 4 C 5 9 D 5 14 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 6 小题 每小题小题 每小题 6 分 共分 共 36 分 把答案填在题中横线上 分 把答案填在题中横线上 5 ABC的三个内角CBA 所对的边分别为cba 若 6024Aba 则 Ccos 2 1 y x O 6 已知直角梯形ABCD的顶点坐标分别为 3 1 1 3 0 2 1 DCBaA 则实数a的值是 7 在数列 n a中 1 a 2 naa nn 1 1 N 设 n S为数列 n a的前 n 项和 则 302928 2SSS 的值为 8 已知CBA 三点在同一条直线l上 O为直线l外一点 若 OCrOBqOAp0 rqp R 则 rqp 9 一个非负整数的有序数对 m n 如果在做mn 的加法时不用进位 则称 m n为 奥运数对 mn 称为 奥运数对 m n的和 则和为2008的 奥运数对 的个 数有 个 10 如图 1 所示 函数 xfy 的图象是圆心在点 0 1 半径为 1 的两段 圆弧 则不等式 xxfxf 2的解集是 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 5 小题 共小题 共 90 分 要求写出解答过程 分 要求写出解答过程 图 1 11 本小题满分 15 分 已知函数 sincosf xaxbx a b R R 0 的部分图象如图 2 所示 1 求 a b 的值 2 若关于x的方程 2 3 0f xf xm 在 2 33 x 内有解 求实数 m 的取值 范围 图 2 12 本小题满分 15 分 x 2 3 7 6 y O 1 D B1 C1 A1 F E C B A 如图 3 所示 在三棱柱ABCCBA 111 中 1 AA底面ABC BCAC 2 1 CCBCAC 1 若点FED 分别为棱CABCCC 111 的中点 求证 EF平面BDA1 2 请根据下列要求设计切割和拼接方法 要求用平行于三棱柱ABCCBA 111 的某一 条侧棱的平面去截此三棱柱 切开后的两个几何体再拼接成一个长方体 简单地写出 一种切割和拼接方法 并写出拼接后的长方体的表面积 不必计算过程 图 3 13 本小题满分 20 分 已知点 11 A x y 22 B xy是椭圆L 22 1 189 xy 上不同的两点 线段AB的中点为 2 1 M 1 求直线AB的方程 2 若线段AB的垂直平分线与椭圆L交于点C D 试问四点A B C D是否 在同一个圆 上 若是 求出该圆的方程 若不是 请说明理由 14 本小题满分 20 分 已知在数列 n a中 1 1 a dqaa nn 1212 d R R q R R 且q 0 nN N 1 若数列 12 n a是等比数列 求q与d满足的条件 2 当0d 2q 时 一个质点在平面直角坐标系内运动 从坐标原点出发 第 1 次向右运动 第 2 次向上运动 第 3 次向左运动 第 4 次向下运动 以后依次按向 右 向上 向左 向下的方向交替地运动 设第n次运动的位移是 n a 第n次运动 后 质点到达点 nnn P xy 求数列 n xn 4 的前n项和 n S 15 本小题满分 20 分 已知函数 babxaxxxf ln 2 R 且 0 a 1 当2 b时 若函数 xf存在单调递减区间 求a的取值范围 2 当0 a且12 ba时 讨论函数 xf的零点个数 2008 年广州市高二数学竞赛参考答案年广州市高二数学竞赛参考答案 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 6 分 共分 共 24 分 分 1 D 2 C 3 A 4 B 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 6 小题 每小题小题 每小题 6 分 共分 共 36 分 分 5 8 133 6 1 7 3 8 0 9 27 10 2 5 8 1 0 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 5 小题 共小题 共 90 分 要求写出解答过程 分 要求写出解答过程 11 本小题满分 15 分 解 1 由图象可知函数 f x的周期为4T 6 7 2 3 2 22 1 2T 函数 f x的图象过点 1 6 7 0 3 2 2 0 3 f 且 7 1 6 f 31 0 22 13 1 22 ab ab 解得 13 22 ab 1 13 22 ab 2 由 1 得 13 sincos 22 f xxx sin 3 x 当 3 2 3 x时 0 3 x 得1 3 sin0 x 令 3 sin xxft 则10 t 故关于x的方程 2 3 0f xf xm 在 2 33 x 内有解等价于关于t的方程 03 2 mtt在 1 0 t上有解 由03 2 mtt 得 12 1 6 1 33 2 2 tttm A B C E F A1 C1 B1 D x z y A B C E F A1 C1 B1 D 1 0 t 12 1 2m 实数 m 的取值范围是 12 1 2 12 本小题满分 15 分 1 证法一 证法一 以点C为原点 分别以 1 CCCACB 所在直线为x轴 y轴 z轴 建 立空间直角坐标系xyzC 依题意得 2201000 0 2 1 ADB 010201 FE EF 211 BD 102 DA1 120 0120121 BDEF 0122101 1 DAEF DAEFBDEF 1 DAEFBDEF 1 BD 平面BDA1 DA1平面BDA1 DDABD 1 EF平面BDA1 证法二 证法二 连结FC1 1 AA底面ABC AC平面ABC ACAA 1 2 1 CCAC FD 分别为棱CACC 1 的中点 2 1 1111 CCCADCCF 90 111 DCACFC Rt CFC1 Rt DCA 11 111 CDAFCC 90 1111 DCACDA N M G B1 C1 A1 E C B A E G E C1 A1 90 111 DCAFDC FCDA 11 BCAC 1111 CBCA 1111111 ACAAAAACB 11C B平面 11CC AA DACB 111 1111 CFCCB DA1平面FEC1 EF 平面FEC1 DAEF 1 同理可证BDEF DBDDA 1 EF平面BDA1 2 切割拼接方法一 切割拼接方法一 如图甲所示 分别以CBABBABC 1111 的中点 NMGE 所确定的平面为截面 把三棱柱ABCCBA 111 切开后的两个几何 体再拼接成一个长方体 该长方体的一个底面为长方形 1 1 AEEC如图 所示 此 时所拼接成的长方体的表面积为 16 图甲 图 N M B1 C1 A1 C B A B1 M B1 M C1 A1 切割拼接方法二 切割拼接方法二 如图乙所示 设ABBA 11 的中点分别为NM 以四点 CNMC 1 所确定的平面为截面 把三棱柱ABCCBA 111 切开后的两个几何体再拼 接成一个长方体 该长方体的一个底面为正方形 11 MMAC 此时所拼接成的长方体的表 面积为284 图乙 图 13 本小题满分 20 分 解一 解一 1 点 11 A x y 22 B xy是椭圆L上不同的两点 22 11 1 189 xy 22 22 1 189 xy 以上两式相减得 2222 1212 0 189 xxyy 即 2222 1212 2 0 xxyy 12121212 2 0 xxxxyyyy 线段AB的中点为 2 1 M 1212 4 2xxyy 1212 4 4 0 xxyy 当 12 xx 由上式知 12 yy 则 A B重合 与已知矛盾 因此 12 xx 12 12 1 yy xx 直线AB的方程为1 2 yx 即03 yx 由 1 918 03 22 yx yx 消去y 得0123 2 xx 解得0 x或4 x 所求直线AB的方程为03 yx 解二解二 当直线AB的不存在时 AB的中点在x轴上 不符合题意 故可设直线AB的方程为 21 xky 2211 yxByxA 由 1 918 21 22 yx xky 消去y 得 0284821 2222 kkxkkxk 2 2 21 21 48 k kk xx AB的中点为 1 2M 4 21 xx 4 21 48 2 2 k kk 解得1 k 此时方程 为0123 2 xx 其判别式0144 所求直线AB的方程为03 yx 2 由于直线AB的方程为03 yx 则线段AB的垂直平分线CD的方程为21 xy 即01 yx 由 1 918 03 22 yx yx 得 1 4 3 0 BA 由 1 918 01 22 yx yx 消去y得01643 2 xx 设 2211 yxDyxC 则 1212 416 33 xxx x 线段CD的中点E的横坐标为 12 2 23 E xx x 纵坐标 3 1 1 EE xy E 21 33 3 264 3 16 4 3 4 2411 2 21 2 21 xxxxCD 3 262 3 3 1 3 2 22 EACD 2 1 3 262 3 3 1 4 3 2 22 EBCD 2 1 四点A B C D在同一个圆上 此圆的圆心为点E 半径为 3 262 其方程为 22 21104 339 xy 14 本小题满分 20 分 解 1 1 1 a 2121nn aqad q 0 当0d 时 2121nn aqa 显然 21 n a 是等比数列 当0d 时 ddqqdqaadqdqaa 3513 数列 21 n a 是等比数列 51 2 3 aaa 即 ddqqdq 2 化简得1 dq 此时有qqaa nn 1 1212 得 11 1212 nn aqa 由 1 1 a q 0 得1 12 n a nN N 则数列 21 n a 是等比数列 综上 q与d满足的条件为0 0 dq 或1qd 0 0 dq 2 当0d 2q 时 2121 2 nn aa 11 211 22 nn n aa 依题意得 413 12xaa 23 8 1222x 222 232221 4 1 2 1212 122222 1 2 123 nnn nn n x 2 4 132 n n x 3 21 2 4 n n x nnn xnxnxxxS 4 1 41284 132 n nn 2642 2232221 3 1 321 3 1 6 1 nn n n 2642 2232221 3 1 令 nn n nnT 2 1 2642 221232221 n T4 222864 221232221 nn nn 得 222642 2222213 nn n nT 22 22 2 41 212 n n n 222 212 3 4 nn n 9 213 9 4 3 2 21 9 4 2222 2 nn n n nn T 27 213 27 4 6 1 22 n n nnn S 15 本小题满分 20 分 解解 1 当2 b时 函数 xfxaxx2ln 2 其定义域是 0 x xax ax x xf 122 22 1 2 函数 xf存在单调递减区间 x xax xf 122 2 0 在 0 x上有无穷多个解 关于x的不等式0122 2 xax在 0 x上有无穷多个解 当0 a时 函数122 2 xaxy的图象为开口向上的抛物线 关于x的不等式0122 2 xax在 0 x上总有无穷多个解 当0 a时 函数122 2 xaxy的图象为开口向下的抛物线 其对称轴为 0 1 a x 要使关于x的不等式0122 2 xax在 0 x上有无穷多个解 必须480a 解得 1 2 a 此时 1 0 2 a 综上所述 a的取值范围为 1 0 0 2 另解 另解 分离系数 不等式0122 2 xax在 0 x上有无穷多个解 则关于x的不等式 2 2 1 21 2 1 1 x a xx 在 0 x上有无穷多个解 21a 即 1 2 a 而0a a的取值范围为 1 0 0 2 2 当1 2ba 时 函数 xf 2 ln12xaxa x 其定义域是 0 2 12 12 1 212 axa x fxaxa xx 令 0 xf 得 2 2 1 2 1 0 axa x x 即 2 2 1 2 10axa x 1 21 0 xax 0 x 0a 则210ax