人教B版必修2 2.3.2 圆的一般方程 课件（29张）.pptx

2 3 2圆的一般方程 1 掌握圆的一般方程及其特点 能将圆的一般方程化为圆的标准方程 能将圆的标准方程转化为一般方程 2 掌握利用待定系数法求圆的一般方程的方法 3 了解一般二元二次方程ax2 bxy cy2 dx ey f 0表示圆的条件 4 会求解与圆有关的简单的轨迹问题 1 2 1 圆的一般方程圆的一般方程是x2 y2 dx ey f 0 限制条件是d2 e2 4f 0 做一做1 下列方程中表示圆的是 a x2 y2 2x 2y 2 0b x2 y2 2xy y 1 0c x2 2y2 2x 4y 3 0d x2 y2 4x 6y 9 0答案 d 1 2 2 二元二次方程x2 y2 dx ey f 0表示的图形 知识拓展二元二次方程ax2 bxy cy2 dx ey f 0表示圆必须具备以下两个条件 1 a c 0 b 0 2 d2 e2 4af 0 1 2 做一做2 1 若关于x y的方程x2 y2 x y m 0表示圆 则实数m满足的条件是 1 2 做一做2 2 已知圆x2 4x 4 y2 0的圆心是点p 则点p到直线x y 1 0的距离是 1 2 做一做2 3 方程x3 xy2 2x2 2xy 2x 0表示的图形是 解析 由题意 得x x 1 2 y 1 2 0 所以方程表示的图形为直线 y轴 或点 1 1 答案 直线 y轴 或点 1 1 圆的标准方程与一般方程的比较剖析 1 圆的标准方程 需要确定圆心的坐标和圆的半径 而圆的一般方程 则需要确定一般方程中的三个系数d e f 圆的一般方程也含有三个参变量 因此必须具备三个独立的条件 才能确定一个圆 2 圆的标准方程明确指出了圆的圆心和半径 而圆的一般方程表明了方程形式上的特点 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 对圆的一般方程的理解 例1 下列方程是否表示圆 若表示圆 求出其圆心坐标和半径 1 x2 y2 2x 6y 10 0 2 2x2 y2 x y 1 0 3 x2 2xy y2 4x 6y 0 4 x2 y2 3x 4y 20 0 5 2x2 2y2 10y 0 分析 根据二元二次方程表示圆的条件进行分析判断 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 解 1 方程x2 y2 2x 6y 10 0可化为 x 1 2 y 3 2 0 故该方程不表示圆 2 方程中x2 y2项的系数不相等 故不表示圆 3 方程中含有xy这样的项 故不表示圆 4 由于方程中的系数d2 e2 4f 32 42 4 20 0 故不表示圆 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 变式训练1 圆x2 y2 4x 0的圆心坐标和半径分别为 a 0 2 2b 2 0 4c 2 0 2d 2 0 2解析 圆的方程可化为 x 2 2 y2 4 故圆心坐标是 2 0 半径为2 答案 d 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 求圆的一般方程 例2 若点a 2 2 b 5 3 c 3 1 求 abc外接圆的方程 分析 所求圆经过a b c三点 因此三点坐标适合圆的方程 故可设圆的一般方程求解 解设圆的方程为x2 y2 dx ey f 0 于是圆的方程为x2 y2 8x 10y 44 0 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 反思1 用待定系数法求圆的一般方程分三步 1 设出一般方程x2 y2 dx ey f 0 2 根据题意 列出关于d e f的方程组 3 解出d e f的值代入即得圆的一般方程 2 对圆的一般方程和标准方程的选择 1 如果由已知条件容易求得圆心坐标和半径或需用到圆心坐标或半径来列方程组时 通常设圆的标准方程求解 2 如果已知条件与圆心坐标和半径均无直接的关系 可通过设圆的一般方程求解 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 变式训练2 求经过p 2 4 q 3 1 两点 并且在x轴上截得的弦长等于6的圆的一般方程 分析 本题考查圆的方程的同时 也考查了弦长公式 应注意根与系数的关系所涉及的x1x2 x1 x2与x1 x2的关系 解设圆的方程为x2 y2 dx ey f 0 将p q点的坐标分别代令y 0 得x2 dx f 0 设x1 x2是方程 的两根 由 x1 x2 6 得d2 4f 36 由 解得d 2 e 4 f 8 或d 6 e 8 f 0 所以所求圆的一般方程为x2 y2 2x 4y 8 0或x2 y2 6x 8y 0 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 圆的方程中参数范围问题 例3 已知关于x y的方程x2 y2 2 t 3 x 2 1 4t2 y 16t4 9 0 t r 表示的图形是圆 1 求t的取值范围 2 求其中面积最大的圆的方程 3 若点p 3 4t2 恒在所给圆内 求t的取值范围 解 1 已知方程可化为 x t 3 2 y 1 4t2 2 t 3 2 1 4t2 2 16t4 9 r2 7t2 6t 1 0 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 反思本题考查二元二次方程表示圆的条件 同时考查点与圆的位置关系的判定方法及圆方程的两种形式互化问题 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 变式训练3 已知方程x2 y2 2mx 2y m2 5m 0 1 若该方程表示圆 求m的取值范围 2 若该方程表示一个半径等于4的圆 求其圆心坐标 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 与圆有关的轨迹问题 例4 已知动点m到点a 2 0 的距离是它到点b 8 0 的距离的一半 1 求动点m的轨迹方程 2 若n为线段am的中点 试求点n的轨迹 分析 1 已知动点m到两定点的距离满足特定关系 求动点的轨迹方程 可以首先设出点m的坐标 然后根据条件列出方程 化简可得轨迹方程 2 点n随点m运动而运动 设出点n的坐标 将点m坐标用a n两点的坐标表示 再将点m坐标代入 1 中的轨迹方程 即得点n的轨迹方程 从而得点n的轨迹 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 反思本例中的 1 和 2 的解法 就是求轨迹 方程 的直接法和相关动点法 其中相关动点法的关键是找到动点与已知曲线相关点的横 纵坐标之间的关系 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 变式训练4 已知点p在圆c x2 y2 8x 6y 21 0上运动 o是坐标原点 求线段op的中点m的轨迹 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 易错辨析 易错点 忽视动点的限制条件致求轨迹出错 例5 已知圆的方程为x2 y2 6x 6y 14 0 求过点a 3 5 的直线交圆的弦pq的中点m的轨迹方程 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 错因分析 忽视了动点一定在已知圆内这个大前提 因此求出轨迹方程后 要检验 正解 方法一 设所求轨迹上任一点m x y 圆的方程可化为 x 3 2 y 3 2 4 圆心c 3 3 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 1 2 3 4 5 1若方程x2 y2 4x 4y 10 k 0表示圆 则k的取值范围是 a k2c k 2d k 2解析 依题意有 4 2 42 4 10 k 0 解得k 2 答案 b 1 2 3 4 5 2过点p 2 1 且被圆c x2 y2 2x 4y 0截得的弦最长的直线l的方程是 a 3x y 5 0b x 3y 5 0c 3x y 5 0d x 3y 5 0 1 2 3 4 5 3圆c x2 y2 4x 2y 0关于直线y x 1对称的圆的方程是 a