2019-2020学年五校(扬子中学、六合高中、高淳高中、江宁高中、 江浦高中)高一上学期12月联考数学试题（解析版）

2019-2020学年江苏省五校(扬子中学、六合高中、高淳高中、江宁高中、 江浦高中)高一上学期12月联考数学试题一、单选题1设集合，则（ ）ABCD【答案】A【解析】根据集合交集的定义，即可求出答案.【详解】因为，所以故选：A.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.本题需注意集合交集的定义：且.需注意区分交集符号： ；并集符号： .2（ ）ABCD【答案】A【解析】根据诱导公式:化简,即可得到答案.【详解】 故选:A.【点睛】本考查了由诱导公式求三角函数值,能熟练使用诱导公式是解本题关键.3函数的定义域为( )ABCD【答案】B【解析】根据对数式成立条件，真数大于，即可求解.【详解】由题意，解得或定义域故选：【点睛】本题考查对数型函数定义域求法，属于基础题.4已知角终边上一点P的坐标为，则的值是( )ABCD【答案】A【解析】根据三角函数定义，即可求解【详解】由题意，故选：【点睛】本题考查三角函数定义，属于基本题.5若为第二象限角，且，则( )ABCD【答案】C【解析】利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号求得的值，可得的值.【详解】为第二象限角，且则故选：C【点睛】同角三角函数关系式平方关系在求值时，要注意角所在象限，根据角所在象限确定符号，此考点是重要考点，也是易错点.6若函数的零点在区间()内，则( )A0B3C2D1【答案】D【解析】函数在区间上有零点，以及零点存在性定理可得，解此不等式即可求得的范围.【详解】因为，所以由零点存在性定理可得函数的零点在区间上，两端点为连续整数，因为零点所在的一个区间是所以故选：【点睛】本题考查零点存在性定理，需比较区间两端点的函数值的正负情况，属于基础题.7若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图像所对应的函数单调增区间为( )A()B()C()D()【答案】B【解析】根据题意，利用函数图象平移左加右减规律，完成函数变换，再根据三角函数的单调区间求法，使，求解范围，即可求解单调区间.【详解】根据图像平移，得令解得 单调增区间为故选：【点睛】函数平移需对左加右减，如果前面有系数，放在括号外.8已知函数则的值为( )A3BCD5【答案】D【解析】根据分段函数定义，逐层代入求值.【详解】由题意故选：【点睛】本题考查分段函数求值，属于基本题.9在中国古代，折扇既实用也是文人雅士或家庭的装饰品，其扇面形状如图实线部分所示.已知该扇面的圆心角为(弧度)，扇面的面积为16，则扇面的周长(外围实线部分)为( )AB12CD8【答案】C【解析】根据扇形面积公式求解扇形半径，再求扇面周长.【详解】由题意，设， 则周长为故选：C【点睛】本题考查扇形面积，扇形弧长公式，属于基本题.10函数的图象大致形状为（ ）ABCD【答案】B【解析】根据函数的奇偶性，在区间上的函数值符号进行排除，可得出函数的图象.【详解】函数的定义域为，关于原点对称，且，该函数为奇函数，排除C、D选项，当时，此时，排除A选项，故选：B.【点睛】本题考查函数图象的识别，一般利用函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号进行排除，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.11已知函数，则函数的值域为( )ABCD【答案】D【解析】根据同角三角函数关系化简，令 ，分解成内层三角函数，外层二次函数，根据，逐层求解范围.【详解】令,外层是二次函数，开口向下，对称轴，值域故选：【点睛】本题考查同角三角函数关系式，二次函数最值问题，运用转化与化归思想，考查逻辑推理能力和计算能力，综合性较强，属于难题.12已知函数的周期为3，且，则函数在区间上的零点的个数为( )A9B10C11D12【答案】B【解析】根据题意，画出一个周期内的函数的图像，确定一个周期内函数与直线交点个数，区间包含三个周期和一个端点6，即可求解零点个数.【详解】由题意，函数在区间上的零点个数与函数跟直线交点个数相同，画出函数在一个周期上的图像，如图所示由图可知，在一个周期上，函数跟直线的交点有3个，由函数周期性，可知时，函数跟直线也相交，故在区间上，函数跟直线的交点有个，即函数在区间上的零点个数是10个故选：B【点睛】本题将函数零点问题转化为两函数相交的交点问题，考查了转化与化归思想，有一定难度.二、填空题13函数和函数，()的最小正周期之和为，则_.【答案】3【解析】根据三角函数周期公式，分别计算两个函数周期，即可求解.【详解】函数，周期函数，周期故答案：【点睛】本题考查三角函数周期公式，注意周期，属于基本题.14已知幂函数的图象经过点，则的值为_.【答案】【解析】由题意，将点代入幂函数，求解，即可求值.【详解】解得故答案为：【点睛】本题考查幂函数代入求参数，属于基本题.15已知函数()的图象与函数的图象交于P点，P点到y轴的距离为t，则_.【答案】【解析】由题意列方程化简求值，再写出点坐标，点到轴的距离为，即，则有，即可求解【详解】由题意化简则（舍）或又点的横坐标为，点到轴的距离为 故答案为：【点睛】本题考查三角函数的化简与求值，代换思想解一元二次方程，考察计算能力，转化与化归思想，综合性较强，有一定难度.16给出下列四个命题:函数是奇函数;若角C是的一个内角，且，则是钝角三角形;已知是第四象限角，则;已知函数()在区间单调递增，则.其中正确命题的序号是_.【答案】【解析】根据三角函数性质，有，逐一判断，即可求解.【详解】对于，奇函数，正确.对于，由是的一个内角，则，为钝角，正确.对于，原式是第四象限角原式，错对于对于，单调递增，错故答案为：【点睛】本题考查二倍角公式，同角三角函数关系，考查转化与化归思想，考察计算能力，综合性较强，属于难题.三、解答题17已知，.（1）求的值;（2）若的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）根据同角三角函数关系，转化成，代入平方关系中，解一元二次方程，即可求解.（2）由诱导公式，进行化简，再由齐次式求值.【详解】（1）因为，所以.又因为，所以.因为，所以.（2）.【点睛】本题考查同角三角函数关系，已知切求弦问题，和齐次式求值问题，需注意角所在象限，属于基础题.18已知集合，集合.（1）求集合A，B；（2）设集合，若，求实数m的取值范围.【答案】（1），；（2）【解析】（1）由题意，解一元二次不等式，及指数不等式，即可求解集合；（2）由题意，可知，判断端点范围，即可求解参数取值范围.【详解】（1）由，解得，所以，又在集合B中，.（2）由(1)知又因为所以，即所以实数m的取值范围为.【点睛】本题考查解不等式问题，集合的并集运算和子集运算，考察计算能力，逻辑推理能力，属于中等题型.19设函数(，)的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）求函数的最小值及取到最小值时自变量x的集合；（3）将函数图像上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的()倍，得到函数的图象.若函数在区间上恰有5个零点，求t的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）根据图像，写出解析式，即可求，再根据最高点求；（2）由三角函数最值，令，即可求解；（3）由题意，根据三角函数变换，写出函数解析式，再根据函数在区间上恰有5个零点，取时，取时，即可求解参数取值范围.【详解】（1）由图可知:，.当时，得又，所以.（2）.此时，即，即此时自变量x的集合是.（3）函数的零点为()，所以，且.所以t的取值范围是【点睛】（1）根据图像写出三角函数解析式，观察图像内给出的数值，横轴数值求解周期，纵轴数值求解，考查数形结合能力，基础题；（2）三角函数最值问题中，求解取得最值的条件，注意整体代换思想，基础题；（3）考查三角函数零点问题，整体代换求取值范围，有一定难度.20如图为某儿童游乐场一个小型摩天轮示意图，该摩天轮近似看作半径为的圆，圆上最低点A与地面距离为，摩天轮每60秒匀速转动一圈，摩天轮上某点B的起始位置在最低点A处.图中与地面垂直，以为始边，逆时针转动角到，设B点与地面间的距离为.（1）求h与间关系的函数解析式；（2）设从开始转动，经过t秒后到达，求h与t之间的函数关系式；（3）如果离地面高度不低于才能获得最佳观景效果，在摩天轮转动的一圈内，有多长时间B点在最佳观景效果高度？【答案】（1）；（2），；（3）20秒【解析】（1）由题意，以圆心O为原点，建立平面之间坐标系则以为始边，为终边的角为，再根据实际情况列出高度，即为函数关系式；（2）根据题意，列出角速度，进而列出t秒转过的弧度数为，即可求解；（3）由（2）问中解析式，计算三角函数不等式，解得的范围长度，即为观景最佳时间.【详解】（1） 以圆心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则以为始边，为终边的角为，故点B的坐标为，.（2）点A在圆上转动的角速度是，故t秒转过的弧度数为，.（3）由得，故转动一圈最佳观景效果持续的时间为20秒答:一个周期内B点在最佳观赏效果高度持续的时间为20秒.【点睛】本题考查：（1）根据实际情况列三角函数关系式；（2）根据角速度列出函数关系式；（3）根据观景效果最优时，列三角不等式求解最优值；本题考查数学建模能力，创新应用型题，有一定难度.21对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，其中k为整数，则称函数为定义域上的“k阶局部奇函数”.（1）已知函数，试判断是否为上的“2阶局部奇函数”？并说明理由；（2）若是上的“1阶局部奇函数”，求实数m的取值范围；（3）若，对任意的实数，函数恒为上的“k阶局部奇函数”，求整数k取值的集合.【答案】（1）是，理由见解析；（2）；（3）【解析】（1）根据题意，为上的“2阶局部奇函数”等价于关于x的方程在上有解，列出方程，解方程即可；（2）由“1阶局部奇函数”的定义，列出方程，讨论方程成立并有解时参数的取值范围；（3）根据“k阶局部奇函数”的定义，转化对任意的实数，函数恒为上的“k阶局部奇函数”，为对任意的实数恒成立问题，讨论二次项系数是否为零，不为零时讨论恒成立，再令，求解，即可.【详解】（1）为上的“2阶局部奇函数”等价于关于x的方程在上有解，即：，化简得：， 解得：所以是上的“2阶局部奇函数”.（2）由是上的“1阶局部奇函数”，且要满足，所以.因为是上的“1阶局部奇函数”，等价于关于x的方程在有解，即，化简得：，所以， 又，所以.（3）因为恒为R上的“k阶局部奇函数”等价于关于x的方程恒有解.即，化简得：，当时，解得，所以满足题意；当时，即：对任意的实数恒成立，即对任意的实数恒成立，令，是关于t的一次函数且为上的增函数则，即：，解得：且综上，整数k取值的集合.【点睛】（1）考查对新定义概念的理解与辨析，考查转化与化归思想，中等难度；（2）考查方程有解问题求参数的范围，有一定难度；（3）考查函数与方程思想，函数恒成立问题，综合性较强，属于难题22已知函数()，且满足.（1）求a的值；（2）设函数，()，若存在，使得成立，求实数t的取值范围；（3）若存在实数m，使得关于x的方程恰有4个不同的正根，求实数m的取值范围.【答案】（1）1；（2）；（3）【解析】（1）根据题意，代入函数值，即可求解；（2）根据题意，求解函数和值域，若存在，使得成立，转化为值域有交集，即可求解参数取值范围；（3）由（1）分析函数的值域，可知时，有两根；再观察方程，同除后方程可化简为，只需使方程在上有两根，即可求解.【详解】（1）由，得或0.因为，所以，所以.（2），所以;故的值域为因为时，在上单调递增，所以的