高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 3.7 应用举例课件 理.ppt

第七节应用举例 知识梳理 1 三角形的面积公式s abc aha bhb chc 2 实际测量中的常见问题 3 实际问题中的常用术语 特别提醒 1 三角形的面积公式解题时特殊情况下可考虑下列公式 s r为三角形外接圆半径 r为三角形内切圆半径 p a b c 2 注意结果的准确性解三角形时 为避免误差的积累 应尽可能使用已知的数据 原始数据 少用间接求出的量 小题快练 链接教材练一练1 必修5p20习题1 2b组t1改编 已知 abc的角a b c的对边分别为a b c 则 abc的面积公式可表示为 解析 选d 因为s absinc bcsina acsinb 所以a和b都不正确 因为所以s 故选d 2 必修5p24复习参考题a组t5改编 如图 从气球a上测得正前方的河流的两岸b c的俯角分别为67 30 此时气球的高度是46m 则河流的宽度bc约等于m 用四舍五入法将结果精确到个位 参考数据 sin67 0 92 cos67 0 39 sin37 0 60 cos37 0 80 1 73 解析 记气球的高度为ad 交cb延长线于d 在rt acd中 ac 92m 在 abc中 bc sin bac sin37 0 60 60 m 答案 60 感悟考题试一试3 2016 西安模拟 如图 要测量底部不能到达的电视塔的高度 选择甲 乙两观测点 在甲 乙两点测得塔顶的仰角分别为45 30 在水平面上测得电视塔与甲 地连线及甲 乙两地连线所成的角为120 甲 乙两地相距500m 则电视塔的高度是 a 100mb 400mc 200md 500m 解析 选d 设塔高为xm 则由已知可得bc xm bd xm 由余弦定理可得bd2 bc2 cd2 2bc cdcos bcd 即3x2 x2 5002 500 x 解得x 500 m 4 2016 长沙模拟 一学生在河岸紧靠河边笔直行走 经观察 在河对岸靠近河边有一参照物与学生前进方向成30度角 学生前进200米后 测得该参照物与前进方向成75度角 则河的宽度为 a 50 1 米b 100 1 米c 50米d 100米 解析 选a 如图所示 在 abc中 bac 30 acb 75 30 45 ab 200米 5 2016 衡阳模拟 a b是海面上位于东西方向相距5 3 海里的两个观测点 现位于a点北偏东45 b点北偏西60 的d点有一艘轮船发出求救信号 位于b点南偏西60 且与b点相距 20海里的c点的救援船立即前往营救 其航行速度为30海里 小时 该救援船到达d点需要的时间为 a 1小时b 2小时c 1 小时d 小时 解析 选a 由题意知ab 5 3 海里 dba 90 60 30 dab 45 所以 adb 105 在 dab中 由正弦定理得所以db 又 dbc dba abc 30 90 60 60 bc 20海里 在 dbc中 由余弦定理得cd2 bd2 bc2 2bd bc cos dbc 300 1200 2 所以cd 30 海里 则需要的时间t 1 小时 考向一测量高度问题 典例1 1 2015 湖北高考 如图 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶 到a处时测得公路北侧一山顶d在西偏北30 的方向上 行驶600m后到达b处 测得此山顶在西偏北75 的方向上 仰角为30 则此山的高度cd m 2 如图从某电视塔co的正东方向的a处 测得塔顶的仰角为60 在电视塔的南偏西60 的b处测得塔顶的仰角为45 ab间的距离为35米 则这个电视塔的高度为米 解题导引 1 先用正弦定理求得bc的长度 再解三角形得出cd的长度 2 在图中 标注已知量 解三个三角形 规范解答 1 在 abc中 cab 30 acb 75 30 45 根据正弦定理知 即 所以答案 2 如图 可知 cao 60 aob 150 obc 45 ab 35米 设oc x米 则oa 米 ob x米 在 abo中 由余弦定理 得ab2 oa2 ob2 2oa ob cos aob 即整理得x 5 所以此电视塔的高度是5米 答案 5 规律方法 求解高度问题的三个关注点 1 在处理有关高度问题时 要理解仰角 俯角 在铅垂面上所成的角 方向 位 角 在水平面上所成的角 是关键 2 在实际问题中 可能会遇到空间与平面 地面 同时研究的问题 这时最好画两个图形 一个空间图形 一个平面图形 这样处理起来既清楚又不容易搞错 3 注意山或塔垂直于地面或海平面 把空间问题转化为平面问题 易错提醒 解三角形实际问题时注意各个角的含义 根据这些角把需要的三角形的内角表示出来 而容易出现的错误是把角的含义弄错 把这些角与要求解的三角形的内角之间的关系弄错 变式训练 2016 南昌模拟 如图所示 为测一棵树的高度 在地面上选取a b两点 从a b两点分别测得树尖的仰角为30 45 且a b两点之间的距离为60m 则树的高度为 a 30 30 mb 30 15 mc 15 30 md 15 3 m 解析 选a 由正弦定理可得 加固训练 1 2016 大同模拟 如图 在塔底d的正西方a处测得塔顶的仰角为45 在它的南偏东60 的b处测得塔顶的仰角为30 ab的距离是84m 则塔高为 a 24mb 12mc 12md 36m 解析 选c 设塔高cd xm 则ad xm db xm 在 abd中 利用余弦定理 得842 x2 x 2 2 x2cos150 解得x 12 负值舍去 故塔高为12m 2 2016 青岛模拟 如图 在湖面上高为10m处测得天空中一个红色气球的仰角为30 测得湖中之影的俯角为45 则气球距湖面的高度为 1 732 精确到0 1m a 2 7mb 17 3mc 37 3md 373m 解析 选c 在 ace中 tan30 所以ae 在 aed中 tan45 3 2016 台州模拟 在o点测量到远处有一物体在做匀速直线运动 开始时该物体位于p点 一分钟后其位置在q点 且 poq 90 再过两分钟后 该物体位于r点 且 qor 60 则tan2 opq的值等于 解析 选a 设pq x qr 2x opq 如图 因为 poq 90 qor 60 所以 orp 30 在rt opq中 oq xsin 在 oqr中 由正弦定理 4 2016 郑州模拟 在地平面上有一旗杆op o在地面 为了测得它的高度h 在地平面上取一基线ab 测得其长为20m 在a处测得p点的仰角为30 在b处测得p点的仰角为45 又测得 aob 30 则旗杆的高h等于 a 10mb 20mc 10md 20m 解析 选b 根据题意有 pao 30 pbo 45 ab 20 ao h bo h 在 abo中 利用余弦定理求得h 20 m 5 2016 安康模拟 如图 测量河对岸的塔高ab时 可以选与塔底b在同一水平面内的两个测点c与d 现测得 bcd bdc cd s 并在点c处测得塔顶a的仰角为 则塔高ab为 解析 在 bcd中 cbd 由正弦定理得所以bc 在rt abc中 ab bctan acb答案 考向二测量距离问题 典例2 2016 合肥模拟 如图 a b c d都在同一个与水平面垂直的平面内 b d为两岛上的两座灯塔的塔顶 测量船于水面a处测得b点和d点的仰角分别为75 30 于水面c处测得b点和d点的仰角均为60 ac 100m 试探究 图中b d间距离与另外哪两点间距离相等 然后求b d的距离 计算结果精确到1m 1 414 1 732 2 449 解题导引 利用正弦定理求解 规范解答 在 acd中 dac 30 adc 60 dac 30 所以cd ac 100m 又 bcd 180 60 60 60 故cb是 cad底边ad的中垂线 所以bd ba 在 abc中 即ab 因此bd 335m所以b d间的距离与b a间的距离相等 约为335m 母题变式 1 若本例题中条件不变 求两灯塔的高度 灯塔塔顶离水平面的距离 解析 如图 灯塔b的高度为bf absin75 323 m 灯塔d的高度为de cdsin60 100 87 m 2 若本例题条件改为于水面c处测得b点和d点的仰角分别为45 75 其他条件不变 求bd 解析 在 adc中 在 abc中 在 dbc中 由余弦定理得 规律方法 1 距离问题的常见类型及解法 1 类型 测量距离问题常分为三种类型 山两侧 河两岸 河对岸 2 解法 选择合适的辅助测量点 构造三角形 将实际问题转化为求某个三角形的边长问题 从而利用正 余弦定理求解 2 解三角形应用题的两种情形 1 实际问题经抽象概括后 已知量与未知量全部集中在一个三角形中 可用正弦定理或余弦定理求解 2 实际问题经抽象概括后 已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形 这时需作出这些三角形 先解能求解的三角形 然后逐步求解其他三角形 有时需设出未知量 从几个三角形中列出方程 组 解方程 组 得出所要求的解 变式训练 如图 为了了解某海域海底构造 在海平面内一条直线上的a b c三点进行测量 已知ab 50m bc 120m 于a处测得水深ad 80m 于b处测得水深be 200m 于c处测得水深cf 110m 求 def的余弦值 解析 作dm ac交be于点n 交cf于点m 加固训练 1 如图 设a b两点在河的两岸 一测量者在a的同侧所在的河岸边选定一点c 测出ac的距离为50m acb 45 cab 105 后 就可以计算出a b两点间的距离为 解析 选a 由ac 50m acb 45 cab 105 所以 cba 30 在 abc中 由正弦定理可得 2 2016 佛山模拟 在相距2千米的a b两点处测量目标点c 若 cab 75 cba 60 则a c两点之间的距离为千米 解析 acb 180 75 60 45 由正弦定理得ac 千米 答案 考向三正弦定理 余弦定理的综合应用 考情快递 命题方向1 航海方面的应用问题 典例3 如图 在海岸a处 发现北偏东45 方向距a为 1 海里的b处有一艘走私船 在a处北偏西75 方向 距a为2海里的c处的缉私船奉命以10海里 时的速度追截走私船 此时走私船正以10海里 时的速度从b处向北 偏东30 方向逃窜 问缉私船沿什么方向能最快追上走私船 并求出所需要的时间 注 2 449 解题导引 根据题意在图中标注已知条件 先使用余弦定理求bc 再使用正弦定理求角度 规范解答 设缉私船应沿cd方向行驶t小时 才能最快截获 在d点 走私船 则有cd 10t 海里 bd 10t 海里 在 abc中 因为ab 1 海里 ac 2海里 bac 45 75 120 根据余弦定理 可得根据正弦定理 可得sin abc 所以 abc 45 易知cb方向与正北方向垂直 从而 cbd 90 30 120 在 bcd中 根据正弦定理 可得sin bcd 所以 bcd 30 bdc 30 所以bd bc 海里 则有10t t 0 245小时 14 7分钟 答 缉私船沿北偏东60 方向 需14 7分钟才能追上走私船 命题方向2 解三角形中与面积有关的综合问题 典例4 1 2015 天津高考 在 abc中 内角a b c所对的边分别为a b c 已知 abc的面积为 b c 2 cosa 则a的值为 2 2015 杭州模拟 已知 abc的周长为 1 且sina sinb sinc 求边ab的长 若 abc的面积为sinc 求角c的度数 解题导引 1 先求a的正弦 代入面积公式 求得bc的值 解方程组求b c 最后由余弦定理求a 2 根据题意和正弦定理 列出关于ab的方程求解 由面积公式及余弦定理求解 规范解答 1 因为0 a 所以sina 又s abc 所以bc 24 解方程组得b 6 c 4 由余弦定理得a2 b2 c2 2bccosa 62 42 2 6 4 64 所以a 8 答案 8 2 由题意及正弦定理 得ab bc ac 1 bc ac ab 由两式消元 解方程得ab 1 由 abc的面积bc ac sinc sinc 得bc ac 由余弦定理 得cosc 因为0 c 180 所以c 60 技法感悟 1 航海方面的应用问题的解题策略测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上 画出表示实际问题的图形 并在图形中标出有关的角和距离 再用正弦定理或余弦定理解三角形 最后将解得的结果转化为实际问题的解 2 解三角形中与面积有关的综合问题 1 求三角形面积的方法 若三角形中已知一个角 角的大小 或该角的正 余弦值 结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积 套公式求面积 若已知三角形的三边 可先求其一个角的余弦值 再求其正弦值 套公式求面积 总之 结合图形恰当选择面积公式是解题的关键 2 三角形中 已知面积求边 角的方法三角形面积公式中含有两边及其夹角 故根据题目的特点 若求角 就寻求夹这个角的两边的关系 利用面积公式列方程求解 若求边 就寻求与该边 或两边 有关联的角 利用面积公式列方程求解 题组通关 1 2016 马鞍山模拟 一船自西向东匀速航行 上午10时到达一座灯塔p的南偏西75 距灯塔68海里的m处 下午2时到达这座灯塔的东南方向n处 则该船航行的速度为 解析 选c 如图所示 在 pmn中 pm 68 pnm 45 pmn 15 mpn 120 由正弦定理可得所以mn 所以该船的航行速度为海里 小时 2 2016 济南模拟 在 abc中 ab 3 ac 4 bc边上的中线长为 则 abc的面积为 解