湖北省十堰市丹江口市2016届九年级上期中数学试卷含答案解析

第 1 页（共 22 页） 2015）期中数学试卷 一、选择题（每一道小题都给出代号为 A、 B、 C、 中有且只有一个选项符合题目要求，把符合题目要求的选项的代号直接填在答题框内相应题号下的方框中，不填、填错成一个方框内填写的代号超过一个，一律得 0分；共 10小题，每小题 3分，共 30分） 1已知关于 x 的一元二次方程 x2+x+4=0 的一个根是 0，则 m 的值是（ ） A 0 B 1 C 2 D 2 或 2 2用配方法解方程 8x+3=0，下列变形正确的是（ ） A （ x+4） 2=13 B（ x 4） 2=19 C（ x 4） 2=13 D（ x+4） 2=19 3如图， O 的直径，弦 足为 M，下列结论不一定成立的是（ ） A M B B C D D 下列一元二次方程有实数根的是（ ） A 2x 2=0 B x+2=0 C 2x+2=0 D =0 5已知关于 x 的一元二次方程（ k 2） x 1=0 有两个 不相等的实数根，则 k 的取值范围为（ ） A k 1 B k 1 且 k0 C k 1 且 k2 D k 1 6观察如下图形，它们是按一定规律排列的，依照次规律，第 n 的图形中共有 210 个小棋子，则 n 等于（ ） A 20 B 21 C 15 D 16 7若点（ 1， 4），（ 3， 4）是抛物线 y=bx+c 上的两点，则此抛物线的对称轴是（ ） A直线 x= B直线 x=1 C直线 x=3 D直线 x=2 第 2 页（共 22 页） 8如图， C 过原点 O，且与两坐标轴分别交于点 A、 B，点 A 的坐标为（ 0， 4），点 一点， 20，则 O 的半径为（ ） A 4 B 5 C 6 D 2 9如图， O 直径， C 为 O 上一点， 平方线交 O 于点 D，若 0，则 长为（ ） A 7 B 7 C 8 D 8 10已知二次函数 y=bx+c 的图象如图所示，则 a 的取值范围为（ ） A 1 a 0 B 1 a C 0 a D a 二、填空题（本大题共 6小题，每小题 3分，共 18分） 11抛物线 y= （ x+3） 2+1 的顶点坐标是 12已知 ，且 34，则 的值为 13已知关于 x 的方程 a（ x+m） 2+c=0（ a， m， c 均为常数， a0）的根是 3， ，则方程 a（ x+m 1） 2+c=0 的根是 第 3 页（共 22 页） 14如图， O， D 是 长线上的一点， B， 5，则 15已知 三个顶点都在 O 上， C， O 的半径等于 10心 O 到 长等于 16已知二次函数 y=bx+c（ a0）的图象如图所示，图象与 x 轴交于 A（ 0） B（ ）两点，点 M（ 图象 上另一点，且 1现有以下结论： 0； b2a； a+b+c 0； a（ 0 其中正确的结论是 （只填写正确结论的序号） 三、解答题（本大题共 9小题，共 72分） 17解方程： （ 1） x 15=0 （ 2） 3x（ x 2） = （ 2 x） 18已知抛物线的顶点是（ 4， 2），且在 x 轴上截得的线段长为 8，求此抛物线的解析式 19定义：如果一元二次方程 bx+c=0（ a0）满足 a+b+c=0，那么我们称这个方程为 “凤凰 ”方程已知 x2+mx+n=0 是 “凤凰 ”方程，且有两个相等的实数根，求 m2+ 20为响应党中央提出的 “足球进校园 ”号召，我市在今年秋季确定了 3 所学校为我市秋季确定 3 所学校诶我市足球基地实验学校，并在全市开展了中小学足球比赛，比赛采用单循环制，即组内每两队之间进行一场比赛，若初中组共进行 45 场比赛，问初中共有多少个队参加比赛？ 21如图，在 O 中， = ， 0 （ 1）求证： （ 2）若 D 是 的中点，求证：四边形 菱形 第 4 页（共 22 页） 22已知关于 x 的一元二次方程 2m+1） x+m（ m+1） =0 （ 1）求证：无论 m 取何值，方程总有两个不相等的实数根； （ 2）若 两边 长是这个方程的两个实数根，且 ，当 等腰三角形时，求 m 的值 23如图， O 为正方形 角线上一点，以点 O 为圆心， 为半径的 O 与 切于点 E （ 1）求证： O 的切线； （ 2）若正方形 边长为 10，求 O 的半径 24某商品的进价为每件 40 元，售价为每件 50 元，每个月可卖出 210 件；如果每件商品的售价每上涨 1 元，则每个月少卖 10 件（每件售价不能高于 65 元）设每件商品的售价上涨x 元（ x 为正整数），每个月的销售利润为 y 元 （ 1）求 y 与 x 的 函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围； （ 2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ （ 3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为 2200 元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于 2200 元？ 25如图，已知抛物线 y= 与 x 轴交于 A、 B 两点，过点 A 的直线 l 与抛物线交于点 C，其中 A 点的坐标是（ 1， 0）， C 点坐标是（ 4， 3） （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）在（ 1）中抛物线的对称轴上是否存在点 D，使 周长最小？若存在 ，求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由； （ 3）若点 E 是（ 1）中抛物线上的一个动点，且位于直线 下方，试求 最大面积及 E 点的坐标 第 5 页（共 22 页） 第 6 页（共 22 页） 2015）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每一道小题都给出代号为 A、 B、 C、 中有且只有一个选项符合题目要求，把符合题目要求的选项的代号直接填在答题框内相应题号下的方框中，不填、填错成一个方框内填写的代号超过一个，一律得 0分；共 10小题，每小题 3分，共 30分） 1已知关于 x 的一元二次方程 x2+x+4=0 的一个根是 0，则 m 的值是（ ） A 0 B 1 C 2 D 2 或 2 【考点】 一元二次方程的解 【分析】 一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值即把 0 代入方程求解可得 m 的值 【解答】 解：把 x=0 代入方程程 x2+x+4=0 得到 4=0， 解得： m=2， 故选 D 【点评】 本题考查的是一元二次方程解的定义能使方程成立的未知数的值，就是方程的解，同时，考查了一元二次方 程的概念 2用配方法解方程 8x+3=0，下列变形正确的是（ ） A（ x+4） 2=13 B（ x 4） 2=19 C（ x 4） 2=13 D（ x+4） 2=19 【考点】 解一元二次方程 【专题】 计算题 【分析】 先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上 16，然后把方程左边写成完全平方形式即可 【解答】 解： 8x= 3， 8x+16=13， （ x 4） 2=13 故选 C 【点评】 本题考查了解一元二次方程配方法：将一元二次方程配成（ x+m） 2=n 的形式，再利用直接开平方法 求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法 3如图， O 的直径，弦 足为 M，下列结论不一定成立的是（ ） A M B B C D D 7 页（共 22 页） 【考点】 垂径定理 【分析】 先根据垂径定理得 M， ， ，得出 D，再根据圆周角定理得到 关系不能判 断 【解答】 解： O 的直径，弦 M， ， ， D， 故选： B 【点评】 本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系定理，圆周角定理；熟练掌握垂径定理，由垂径定理得出相等的弧是解决问题的关键 4下列一元二次方程有实数根的是（ ） A 2x 2=0 B x+2=0 C 2x+2=0 D =0 【考点】 根的 判别式 【分析】 根据一元二次方程根的情况与判别式 的关系：（ 1） 0方程有两个不相等的实数根；（ 2） =0方程有两个相等的实数根；（ 3） 0方程没有实数根判断即可 【解答】 解： A、 =（ 2） 2 41（ 2） 0， 原方程有两个不相等实数根； B、 =22 412 0， 原方程无实数根； C、 =（ 2） 2 412 0， 原方程无实数根； D、 = 412 0， 原方程无实数根； 故选 A 【点评】 此题考查了根的判别式与方程解的关系，一元二次方程 bx+c=0（ a0），当 40 时，方程有两个不相等的实数根；当 4 时，方程有两个相等的实数根；当40 时，方程无解 5已知关于 x 的一元二次方程（ k 2） x 1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围为（ ） A k 1 B k 1 且 k0 C k 1 且 k2 D k 1 【考点】 根的判别式；一元二次方程的定义 【分析】 根据关于 x 的一元二次方程（ k 2） x 1=0 有两个不相等的实数根，可得出判别式大于 0，再求得 k 的取值范围 【解答】 解： 关于 x 的一元二 次方程（ k 2） x 1=0 有两个不相等的实数根， =4+4（ k 2） 0， 解得 k 1， k 20， k2， k 的取值范围 k 1 且 k2， 故选 C 【点评】 本题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式 的关系： （ 1） 0方程有两个不相等的实数根； （ 2） =0方程有两个相等的实数根； 第 8 页（共 22 页） （ 3） 0方程没有实数根 6观察如下图形，它们是按一定规律排列的，依照次规律，第 n 的图形中共有 210 个小棋子，则 n 等于（ ） A 20 B 21 C 15 D 16 【考点】 规律型：图形的变化类 【分析】 由题意可知：排列组成的图形都是三角形，第一个图形中有 1 个小棋子，第二个图形中有 1+2=3 个小棋子，第三个图形中有 1+2+3=6 个小棋子， 由此得出第 n 个图形共有1+2+3+4+n= n（ n+1），由此联立方程求得 n 的数值即可 【解答】 解： 第一个图形中有 1 个小棋子， 第二个图形中有 1+2=3 个小棋子， 第三个图形中有 1+2+3=6 个小棋子， 第 n 个图形共有 1+2+3+4+n= n（ n+1）， n（ n+1） =210， 解得： n=20 故选： A 【点评】 此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出点的排列规律，利用规律解决问题 7若点（ 1， 4），（ 3， 4）是抛物线 y=bx+c 上的两点，则此抛物线的对称轴是（ ） A直线 x= B直线 x=1 C直线 x=3 D直线 x=2 【考点】 二次函数图象上点的坐标特征 【分析】 因为两点的纵坐标都为 4，所以可判此两点是一对对称点，利用公式 x= 求解即可 【解答】 解： 两点的纵坐标都为 4， 此两点是一对对称点， 对称轴 x= = =1 故选 B 【点评】 本题考查了如何求二次函数的对称轴，对于此类题目可以用公式法也可以将函数化为顶点式或用公式 x= 求解 8如图， C 过原点 O，且与两坐标轴分别交于点 A、 B，点 A 的坐标为（ 0， 4），点 一点， 20，则 O 的半径为（ ） 第 9 页（共 22 页） A 4 B 5 C 6 D 2 【考点】 圆内接四边形的性质；含 30 度角的直角三角形；圆周角定理 【分析】 连接 圆周角定理可知 C 的直径，再根据 20可求出 明 等边三角形，即可得出结果 【解答】 解：连接 图所示： 0， C 的直径， 20， 20， 0， C， 0， 等边三角形， C 的半径 = 故选： A 【点评】 本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握圆内接四边形的性质，证明三角形 是等边三角形是解决问题的关键 9如图， O 直径， C 为 O 上一点， 平方线交 O 于点 D，若 0，则 长为（ ） A 7 B 7 C 8 D 8 【考点】 圆周角定理；全等三角形的判定与性质；勾股定理 【分析】 作 延长线于点 F，作 点 G，连接 根据角平分线的性质得出 G，由 明 出 ，又 等腰直角三角形，从而求出 【解答】 解：作 足 F 在 延长线上，作 点 G，连接 第 10 页（共 22 页） 分 G，弧 B 在 ， ， G 在 ， ， G ， 0， =8， ， ， 等腰直角三角形， 故选 B 【点评】 本题主要考查了圆周角的性质，圆心角、弧、弦的对等关系，全等三角形的判定，角平分线的性质等知识点的运用关键是正确作出辅助 线 10已知二次函数 y=bx+c 的图象如图所示，则 a 的取值范围为（ ） A 1 a 0 B 1 a C 0 a D a 第 11 页（共 22 页） 【考点】 二次函数图象与系数的关系 【分析】 根据开口判断 a 的符号，根据 y 轴的交点 判断 c 的符号，根据对称轴 b 用 a 表示出的代数式，进而根据当 x=2 时，得出 4a+2b+c=0，用 a 表示 c 1 得出答案即可 【解答】 解：抛物线开口向上， a 0 图象过点（ 2， 4）， 4a+2b+c=4 则 c=4 4a 2b， 对称轴 x= = 1， b=2a， 图象与 y 轴的交点 1 c 0， 因此 1 4 4a 4a 0， 实数 a 的取值范围是 a 故选： D 【点评】 此题考查二次函数图象与系数的关系，对于函数图象的描述能够理解函数的解析式的特点，是解决本题的关键 二、填空题（本大题共 6小题，每小题 3分，共 18分） 11抛物线 y= （ x+3） 2+1 的顶点坐标是 （ 3， 1） 【考点】 二次函数的性质 【分析】 已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标 【解答】 解： 抛物线 y= （ x+3） 2+1， 顶点坐标是（ 3， 1） 故答案 为：（ 3， 1） 【点评】 此题考查二次函数的性质，掌握顶点式 y=a（ x h） 2+k，顶点坐标是（ h， k），对称轴是 x=h，是解决问题的关键 12已知 ，且 34，则 的值为 1 或 4 【考点】 解一元二次方程 【专题】 计算题 【分析】 把 34 看作关于 a 的一元二次方程，利用因式分解法解得 a=4b 或 a= b，然后利用分式的性质计算 的值 【解答】 解：（ a 4b）（ a+b） =0， a 4b=0 或 a+b=0， 所以 a=4b 或 a= b， 当 a=4b 时， =4； 当 a= b 时， = 1， 所以 的值为 1 或 4 第 12 页（共 22 页） 故答案为 1 或 4 【点评】 本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为 0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0，这 就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想） 13已知关于 x 的方程 a（ x+m） 2+c=0（ a， m， c 均为常数， a0）的根是 3， ，则方程 a（ x+m 1） 2+c=0 的根是 2， 【考点】 解一元二次方程 【分析】 把后面一个方程中的 x 1 看作整体，相当于前面一个方程中的 x，从而可得 x 1= 3 或 x 1=2，再求解即可 【解答】 解： 关于 x 的方程 a（ x+m） 2+c=0 的解是 3， （ a， m， c 均为常数， a0）， 方程 a（ x+m 1） 2+c=0 变形为 a（ x 1） +m2+c=0，即此方程中 x 1= 3 或 x 1=2， 解得 x= 2 或 x=3 故方程 a（ x+m 1） 2+c=0 的解为 2， 故答案是： 2， 【点评】 此题主要考查了方程解的定义注意由两个方程的特点进行简便计算 14如图， O， D 是 长线上的一点， B， 5，则 100 【考点】 圆周角定理 【分析】 由 B， 5，可求得 度数，然后由三角形外角的性质，求得 度数，又由圆周角定理，求得答案 【解答】 解： B， 5， 5， 0， 00 故答案为： 100 【点评】 此题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 15 已知 三个顶点都在 O 上， C， O 的半径等于 10心 O 到 长等于 8 或 4 【考点】 垂径定理；等腰三角形的性质；勾股定理 【专题】 分类讨论 【分析】 此题分情况考虑：当三角形的外心在三角形的内部时，根据勾股定理求得 长，再根据勾股定理求得 长；当三角形的外心在三角形的外部时，根据勾股定理求得 根据勾股定理求得 长 【解答】 解：如图 1，当 锐角三角形时，连接 延长到 点 D， 第 13 页（共 22 页） C， O 为外心， 在 ， 0， ， = =8 在 ，根据勾股定理，得 = =8 （ 如图 2，当 钝角或直角三角形时，连接 点 D， 在 ， 0， ， = =8， 0 6=4， 在 ，根据勾股定理，得 = =4 （ 故答案为： 8 或 4 【点评】 本题考查的是垂径定理，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解 16已知二次函数 y=bx+c（ a0）的图象如图所示，图象与 x 轴交于 A（ 0） B（ ）两点，点 M（ 图象上另一点，且 1现有以下结论： 0； b2a； a+b+c 0； a（ 0 其中正确的 结论是 、 （只填写正确结论的序号） 【考点】 二次函数图象与系数的关系 【专题】 推理填空题；数形结合 【分析】 由抛物线的开口方向可确定 a 的符号，由抛物线的对称轴相对于 y 轴的位置可得 a与 b 之间的符号关系，由抛物线与 y 轴的交点位置可确定 c 的符号；根据抛物线的对称轴与x= 1 的大小关系可推出 2a b 的符号；由于 x=1 时 y=a+b+c，因而结合图象，可根据 x=1时 y 的符号来确定 a+b+c 的符号，根据 a、 符号可确定 a（ x0符号 【解答】 解：由抛物线的开口向下可得 a 0， 第 14 页（共 22 页） 由抛物线的对称轴在 y 轴的左边可得 x= 0，则 a 与 b 同号，因而 b 0， 由抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上可得 c 0， 0，故 正确； 由抛物线的对称轴 x= 1（ a 0），可得 b 2a，即 b 2a，故 错误； 由图可知当 x=1 时 y 0，即 a+b+c 0，故 错误； a 0， 0， 0， a（ 0，故 正确 综上所述： 、 正确 故答案为 、 【点评】 本题主要考查二次函数图象与系数的关系，其中 a 决定于抛物线的开口方向， b 决定于抛物线的开口方向及抛物线的对称轴相对于 y 轴的位置， c 决定于抛物线与 y 轴的交点位置， 2a 与 b 的大小决定于 a 的符号及 与 1 的大小关系，运用数形结合的思想准确获取相关信息是解决本题的关键 三、解答题（本大题共 9小题，共 72分） 17解方程： （ 1） x 15=0 （ 2） 3x（ x 2） = （ 2 x） 【考点】 解一元二次方程 【专题】 计算题 【分析】 （ 1）利用因式分解法解方程； （ 2）先把方程变形得到 3x（ x 2） + （ x 2） =0，然后利用因式分解法解方程 【解答】 解：（ 1）（ x+5）（ x 3） =0， x+5=0 或 x 3=0， x+5=0 或 x 3=0， 所以 5， ； （ 2） 3x（ x 2） + （ x 2） =0， （ x 2）（ 3x+ ） =0， x 2=0 或 3x+ =0， 所以 ， 【点评】 本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为 0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元 一次方程的问题了（数学转化思想） 18已知抛物线的顶点是（ 4， 2），且在 x 轴上截得的线段长为 8，求此抛物线的解析式 【考点】 待定系数法求二次函数解析式 【专题】 计算题 【分析】 根据抛物线的对称性得到抛物线与 x 轴的两交点坐标为（ 0， 0），（ 8， 0），则可设交点式 y=x 8），然后把顶点坐标代入求出 a 即可 【解答】 解：根据题意得抛物线的对称轴为直线 x=4， 第 15 页（共 22 页） 而抛物线在 x 轴上截得的线段长为 8， 所以抛物线与 x 轴的两交点坐标为（ 0， 0），（ 8， 0）， 设抛物线解析式为 y=x 8）， 把（ 4， 2）代入得 a4（ 4） =2，解得 a= ， 所以抛物线解析式为 y= x（ x 8），即 y= x2+x 【点评】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为 交点式来求解本题的关键是利用对称性确定抛物线与 x 轴的交点坐标 19定义：如果一元二次方程 bx+c=0（ a0）满足 a+b+c=0，那么我们称这个方程为 “凤凰 ”方程已知 x2+mx+n=0 是 “凤凰 ”方程，且有两个相等的实数根，求 m2+ 【考点】 根的判别式；一元二次方程的解 【专题】 新定义 【分析】 根据 x2+mx+n=0 是 “凤凰 ”方程，且有两个相等的实数根，列出方程组，求出 m， 代入计算即可 【解答】 解：根据题意得： 解得： ， 则 m2+ 2） 2+12=5 【点评】 本题考查了一元二次方程的解，根的判别式，关键是根据已知条件列出方程组，用到的知识点是一元二次方程根的情况与判别式 的关系： （ 1） 0方程有两个不相等的实数根； （ 2） =0方程有两个相等的实数根； （ 3） 0方程没有实数根 20为响应党中央提出的 “足球进校园 ”号召，我市在今年秋季确定了 3 所学校为我市秋季确定 3 所学校诶我市足球基地实验学校，并在全市开展了中小学足球比赛，比赛 采用单循环制，即组内每两队之间进行一场比赛，若初中组共进行 45 场比赛，问初中共有多少个队参加比赛？ 【考点】 一元二次方程的应用 【分析】 赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），每个小组 x 个球队比赛总场数 = x（ x 1），由此可得出方程 【解答】 解：设初中组共有 x 个队参加比赛，依题意列方程 x（ x 1） =45， 解得： 0， 19（不合题意，舍去）， 答：初中组共有 10 个队参加比赛 第 16 页（共 22 页） 【点评】 此题考查一元二次方程的实际运用，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数与球队之间的关系 21如图，在 O 中， = ， 0 （ 1）求证： （ 2）若 D 是 的中点，求证：四边形 菱形 【考点】 圆心角、弧、弦的关系；菱形的判定； 圆周角定理 【专题】 证明题 【分析】 （ 1）根据圆心角、弧、弦的关系，由 = 得 C，加上 0，则可判断 等边三角形，所以 C=是根据圆心角、弧、弦的关系即可得到 （ 2）连接 图，由 D 是 的中点得 = ，则根据圆周角定理得 0，易得 是等边三角形，则 D=B=D，所以 D=O，于是可判断四边形 菱形 【解答】 证明：（ 1） = ， C， 0， 等边三角形， C= （ 2）连接 图， D 是 的中点， = ， 0， 又 A， B， 是等边三角形， D=D= D=O， 四边形 菱形 【点评】 本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆 中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等也考查了菱形的判定、等边三角形的判定与性质和圆周角定理 第 17 页（共 22 页） 22已知关于 x 的一元二次方程 2m+1） x+m（ m+1） =0 （ 1）求证：无论 m 取何值，方程总有两个不相等的实数根； （ 2）若 两边 长是这个方程的两个实数根，且 ，当 等腰三角形时，求 m 的值 【考点】 根的判别式；根与系数的关系；等腰三角形的性质 【分析】 （ 1）先根据题意求出 的值，再根据一元二次方程根的情况与判别 式 的关系即可得出答案； （ 2）根据 两边 长是这个方程的两个实数根，设 AB=，得出 82 8（ 2m+1） +m（ m+1） =0，求出 m 的值即可 【解答】 解：（ 1） =（ 2m+1） 2 4m（ m+1） =1 0， 不论 m 为何值，方程总有两个不相等的实数根 （ 2）由于无论 m 为何值，方程恒有两个不等实根，故若要 等腰三角形，那么必有一个解为 8； 设 AB=，则有： 82 8（ 2m+1） +m（ m+1） =0，即： 15m+56=0， 解得： ， 则当 等腰三角形时， m 的值为 7 或 8 【点评】 本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式 的关系： （ 1） 0方程有两个不相等的实数根； （ 2） =0方程有两个相等的实数根； （ 3） 0方程没有实数根 23如图， O 为正方形 角线上一点，以点 O 为圆心， 为半径的 O 与 切于点 E （ 1）求证： O 的切线； （ 2）若正方形 边长为 10，求 O 的半径 【考点】 切线的判定；正方形的性质 【分析】 （ 1）首先连接 过点 O 作 为半径的 O 与 切于点E，可得 A， 后由 正方形 对角线，根据角平分线的性质，可证得 E=可判定 O 的切线； （ 2）由正方形 边长为 10，可求得其对角线的长，然后由设 OA=r，可得 C=r，由勾股定理求得 r，则可得方程 r+ r=10 ，继而求得答案 【解答】 （ 1）证明：连接 过点 O 作 O 于点 E， A， 又 正方形 对角线， 第 18 页（共 22 页） E= 即： O 的切线 （ 2）解： 正方形 边长为 10， C=10， B=90， 5， =10 ， C， 设 OA=r， 则 C=r， = r， C= r+ r=10 ， 解得： r=20 10 O 的半径为： 20 10 【点评】 此题考查了切线的判定、正方形的性质、角平分线的性质以及勾股定理注意准确作出辅助线是解此题的关键 24某商品的进价为每件 40 元，售价为每件 50 元，每个月可卖出 210 件；如果每件商品的售价每上涨 1 元，则每个月少卖 10 件（每件售价不能高于 65 元）设每件商品的售价上涨x 元（ x 为正整数），每个月的销售利润为 y 元 （ 1）求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围； （ 2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ （ 3）每件商品的售价定为多少元时，每 个月的利润恰为 2200 元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于 2200 元？ 【考点】 二次函数的应用 【专题】 综合题 【分析】 （ 1）根据题意可知 y 与 x 的函数关系式 （ 2）根据题意可知 y= 10（ x 2+ x= y 有最大值 （ 3）设 y=2200，解得 x 的值然后分情况讨论解 【解答】 解：（ 1）由题意得： y=（ 50+x 40） = 1010x+2100（ 0 x15 且 x 为整数）； （ 2）由（ 1）中的 y 与 x 的解析式配方得： y= 10（ x 2+ a= 10 0， 当 x=， y 有最大值 0 x15，且 x 为整数， 第 19 页（共 22 页） 当 x=5 时， 50+x=55， y=2400（元），当 x=6 时， 50+x=56， y=2400（元） 当售价定为每件 55 或 56 元，每个月的利润最大，最大的月利润是 2400 元 （ 3）当 y=2200 时， 1010x+2100=2200，解得： ， 0 当 x=1 时， 50+x=51，当 x=10 时， 50+x=60 当售价定为每件 51 或 60 元，每个月的利润为 2200 元 当售 价不低于 51 或 60 元，每个月的利润为 2200