内蒙古呼伦贝尔市高三数学总复习《空间中的平行关系》课件.ppt

第四十二讲空间中的平行关系 走进高考第一关考点关回归教材 1 直线与平面平行的判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行 则该直线与此平面平行 符号表示 a b 且a b a 图形 说明 1 直线与平面平行的判定定理具备三个条件 平面外的一条直线 平面内的一条直线 两直线平行 三个条件缺一不可 2 定理充分体现了转化的思想 它将线面平行问题转化为线线平行问题 2 平面与平面平行的判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行 则这两个平面平行 符号表示 a b a b p a b 图形 说明 1 利用判定定理证明两个平面平行 必须具备 有两条直线平行于另一个平面 这两条直线必须相交 2 由两个平面平行的判定定理可以得出推论 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线 那么这两个平面平行 3 直线与平面平行的性质定理 一条直线与一个平面平行 则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 符号表示 a a b a b 图形 说明 注意定理中有三个条件 直线a 平面 b a 这三个条件缺一不可 4 平面与平面平行的性质 1 定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交 那么它们的交线平行 符号表示 a b a b 图形 2 其他结论 如果两个平面平行 那么在一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行 符号表示 a a 夹在两个平行平面内的所有平行线段的长度相等 经过平面外一点 有且仅有一个平面和已知平面平行 考点训练 1 2009 福建 设m n是平面 内的两条不同直线 l1 l2是平面 内的两条相交直线 则 的一个充分而不必要条件是 a m 且l1 b m l1且n l2c m 且n d m 且n l2 解析 根据面面平行的判定定理及充要条件的定义 判断b为 的充分不必要条件 答案 b 2 2009 广东 给定下列四个命题 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行 那么这两个平面相互平行 若一个平面经过另一个平面的垂线 那么这两个平面相互垂直 垂直于同一直线的两条直线相互平行 若两个平面垂直 那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直 其中 为真命题的是 a 和 b 和 c 和 d 和 解析 错 应该为一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行 那么这两个平面相互平行 错 两直线可能相交 也可能异面 故 正确 选d 答案 d 3 在正方体abcd a1b1c1d1中 m是棱a1d1上的动点 则直线md与平面a1acc1的位置关系是 a 平行b 相交c 在平面内d 相交或平行 解析 md与aa1相交或平行 故选d 答案 d 4 如图 abcd a1b1c1d1是棱长为a的正方体 m n分别是下底面的棱a1b1 b1c1的中点 p是上底面的棱ad上 解析 连结ac 易知mn 平面abcd mn pq 又mn ac pq ac 解读高考第二关热点关 题型一平行关系的判定与性质定理的考查例1已知m n是不重合的直线 是不重合的平面 有下列命题 若m n m n 若m m 则 若 n m n 则m 且m 若m m 则 其中真命题有 解析 m n 则m与n可能平行 也可能异面 故不正确 m m 则有 与 平行或相交 故不正确 若 n m n 则m可能在平面 或平面 内 故不正确 垂直于同一条直线的两个平面平行 正确 真命题有 答案 点评 这类关于空间点 线 面位置关系的组合判断类试题是全面考查考生对空间位置关系的判定和性质掌握的程度 解决这类问题的基本思路有 逐个寻找反例 作出否定的判断 逐个进行逻辑证明作出肯定的判断 二是结合长方体模型或实际空间位置 如课桌 教室 作出判断 但要注意定理应用准确 考虑问题全面细致 变式1 设m表示平面 a b表示直线 给出下列四个命题 解析 显然正确 命题 直线b有可能在平面m内 对于命题 直线b可能与平面m平行或斜交 或在平面m内 答案 题型二证明平行关系例2如图所示 在四棱锥p abcd中 abc acd 90 bac cad 60 pa 平面abcd e为pd的中点 pa 2ab 2 1 若f为pc的中点 求证 pc 平面aef 2 求证 ce 平面pab 解析 1 pa ca f为pc的中点 af pc pa 平面abcd pa cd ac cd pa ac a cd 平面pac cd pc e为pd的中点 f为pc的中点 ef cd 则ef pc af ef f pc 平面aef 2 解法一 如图所示 取ad的中点m 连接em cm 则em pa me 平面pab pa 平面pab em 平面pab 在rt acd中 cad 60 ac am 2 acm 60 而 bac 60 mc ab mc 平面pab ab 平面pab mc 平面pab em mc m 平面emc 平面pab ce 平面emc ce 平面pab 解法二 如图所示 延长dc ab 设它们交于点n 连接pn nac dac 60 ac cd c为nd的中点 e为pd的中点 ec pn ec 平面pab pn 平面pab ec 平面pab 点评 三种平行关系相互转化的关系 如 2 中解法一 运用的面面平行的性质证明的线面平行 这也是证线面平行常用的一种方法 变式2 正方形abcd与正方形abef所在平面相交于ab 在ae bd上各有一点p q 且ap dq 求证 pq 平面bce 证明 证法一 如图所示 作pm ab交be于m 作qn ab交bc于n 连接mn pq 正方形abcd和正方形abef有公共边ab ae bd 又 ap dq pe qb 又 pm ab qn 即四边形pmnq为平行四边形 pq mn 又mn 平面bce pq 平面bce pq 平面bce 证法二 如图所示 连接aq 并延长交bc于k 连接ek ae bd ap dq 证法三 如图所示 作ph eb交ab于h 连接hq 题型三存在性问题例3如图所示 在矩形abcd中 ab 2bc 2a e为ab上一点 将b点沿线段ec折起至点p 连接pa pc pd 取pd的中点f 若af 平面pec 试确定e点位置 解析 如图所示 e为ab的中点 证明如下 取pc的中点g 连ge gf 由条件知gf cd ea cd gf ea 则g e a f四点共面 af 平面pec 平面geaf 平面pec ge fa ge 则四边形geaf为平行四边形 变式3 2009 江苏调研 如图 在正三棱柱abc a1b1c1中 点d在边bc上 ad c1d 1 求证 ad 平面bcc1b1 解 1 在正三棱柱abc a1b1c1中 cc1 平面abc ad 平面abc ad cc1 又ad c1d cc1 c1d c1 且cc1和c1d都在面bcc1b1内 ad 平面bcc1b1 2 由 1 得ad bc 在正 abc中 d是bc的中点 当 即e为b1c1的中点时 a1e 平面adc1 事实上 在正三棱柱abc a1b1c1中 四边形bcc1b1是矩形 且d e分别是bc b1c1的中点 所以b1b de 且b1b de 又b1b aa1 且b1b aa1 de aa1 且de aa1 所以四边形adea1为平行四边形 所以ea1 ad 而ea1 平面adc1内 故a1e 平面adc1 笑对高考第三关技巧关 典例如图所示 四边形abcd为矩形 bc 平面abe f为ce上的点 且bf 平面ace 1 设点m为线段ab的中点 点n为线段ce的中点 求证 mn 平面dae 2 求证 ae be 证明 1 证法一 取de的中点p 连结pa pn 因为点n为线段ce的中点 所以pn dc 且pn dc 又四边形abcd是矩形 点m为线段ab的中点 所以am dc 且am dc 所以pn am 且pn am 故四边形amnp是平行四边形 所以mn ap 而ap 平面dae mn 平面dae 所以mn 平面dae 证法二 be的中点为g 连mg ng 则mg ae ng bc ae 面dae mg 面dae mg 面dae 同理ng da ng 面dae ng mg g 故平面mng 面dae mn 面mng mn 平面dae 2 因为bc 平面abe ae 平面abe 所以ae bc 又bf 平面ace ae 平面ace 所以ae bf 又bf bc b 所以ae 平面bce 又be 平面bce 所以ae be 点评 证明线面平行的常用方法有 利用线面平行的判定定理 利用面面平行的性质定理 考向精测 1 已知m n是两条不同的直线 是三个不同的平面 下列命题中正确的是 答案 d 解析 a错 平行于同一平面的两条直线可能平行 也可能相交或异面 b错 垂直于同一平面的两个平面可能平行 也可能相交 c错 m n的关系不确定 d正确 1 证明 平面pad pcd 2 试在棱pb上确定一点m 使截面amc把几何体分成的两部分vpdcma vmacb 2 1 3 在m满足 2 的情况下 判断直线pd是否平行面amc 解 1 证明 依题意知 cd ad 又 面pad 面abcd dc 平面pad 又dc 面pcd 平面pad 平面pcd 2 由 1 知pa 平面abcd 平面pab 平面abcd 在pb上取一点m 作mn ab于点n 则mn 平面abcd 设mn h 3 连接bd交ac于o 因为ab cd ab 2 cd 1 由相似三角形易得bo 2od o不是bd的中点 又 m为pb的中点 在 pbd中 om与pd不平行 om所在直线与pd所在直线相交 又om 平面amc 直线pd与平面amc不平行 课时作业 四十二 空间中的平行关系 一 选择题1 设m n表示不同的直线 表示不同的平面 且m n 则 是 m 且n 的 a 充分但不必要条件b 必要但不充分条件c 充要条件d 既不充分又不必要条件 答案 a 解析 由 m n 可得m n 由m n m n 不能得出 故选a 2 已知两个不同的平面 和两条不重合的直线m n 有下列四个命题 若m n m 则n 若m m 则 若m m n n 则 若m n 则m n 其中正确命题的个数是 a 0个b 1个c 2个d 3个 答案 d 解析 正确 两条平行线中的一条和平面垂直 另一条直线也和平面垂直 正确 垂直于同一条直线的两个平面平行 正确 由m m n可得n 又n 则 不正确 m与n可能相交 也可能异面 3 如图所示是一正方体的表面展开图 mn和pb是两条面对角线 则在正方体中有 a mn 平面pbdb mn 平面pbdc mn 平面pbdd mn与平面pbd相交但不垂直 解析 正方体如图所示 可知mn bd mn 平面pbd 故选b 答案 b 4 如图所示 已知六棱锥p abcdef的底面是正六边形 pa 平面abc pa 2ab 则下列结论正确的是 a pb adb 平面pab 平面pbcc 直线bc 平面paed 直线pd与平面abc所成的角为45 答案 d 解析 若pb ad 由三垂线定理的逆定理可知ab ad 而在正六边形abcdef中 dab 60 a不成立 若平面pab 平面pbc 过a作am pb于m 则am bc pa 平面abc bc pa bc 平面pab bc ab 而 abc 120 b不成立 若bc 平面pae 则bc ae 又bc ad ae ad矛盾 c不成立 5 若平面 平面 直线a 平面 点b 则在平面 内与过b点的所有直线中 a 不一定存在与a平行的直线b 只有两条与a平行的直线c 存在无数条与a平行的直线d 存在唯一与a平行的直线 答案 a 解析 当直线a在平面 内且经过b点时 可使a 平面 但这时在平面 内过b点的所有直线中 不存在与a平行的直线 而在其他情况下 都可以存在与a平行的直线 故选a 6 下列四个正方体图形中 a b为正方体的两个顶点 m n p分别为其所在棱的中点 能得出ab 平面mnp的图形的序号是 a b c d 解析 中连ac 则ac mn bc np 可得平面abc 平面mnp ab 平面abc ab 平面mnp 如图 1 连bd交mp于o 可知o不是bd的中点 ab与on不平行 故ab与on相交 ab与平面mnp相交 如图 2 连bn 由mb pn可知b m n p四点共面 ab与平面mnp相交 中知ab np ab 平面mnp 答案 b 二 填空题7 已知l m n是三条不重合的直线 是三个不重合的平面 给出下列四个命题 若m m 则 若直线m n与 所成的角相等 则m n 若 l m n m n是异面直线 则m与n至多有一条与l平行 若 l m n l 则m n 其中真命题是 解析 错 m n的关系可以平行 相交 异面 故真命题有 答案 8 2009 江苏 设 和 为不重合的两个平面 给出下列命题 若 内的两条相交直线分别平行于 内的两条直线 则 平行于 若 外一条直线l与 内的一条直线平行 则l和 平行 设 和 相交一直线l 若 内有一条直线垂直于l 则 和 垂直 直线l与 垂直的充分必要条件是l与 内的两条直线垂直 上面命题中 真命题的序号是 写出所有真命题的序号 解析 由线面 面面平行的判定定理知 正确 需 内有一条直线垂直于 才和 垂直 中 内的两条直线必须相交 答案 9 如右图在正四棱柱abcd a1b1c1d1中 e f g h分别是棱cc1 c1d1 d1d dc的中点 n是bc的中点 点m在四边形efgh及其内部运动 则m满足条件 时 有mn 平面b1bdd1 解析 连结fh 知fh dd1 又hn db 平面fhn 平面d1dbb1 m 平面fhn时 mn 平面b1bdd1 故m fh时有mn 平面b1bdd1 答案 m fh 10 在 abc中 ab 5 ac 7 a 60 g是重心 过g的平面 与bc平行 ab m ac n 则mn 三 解答题11 2009