高等数学 同济二版上册课后答案.doc

精品文档第一章1-4节1、计算下列极限7）分析：本题分子分母同时趋近于0，根据表达式的形式，考虑利用约分将趋于0的项约去。解：原式9）分析：本题分子分母同时趋于0，但不能约分，利用复合函数求极限，通过变量替换进行求解解一：令。解二：利用三角函数的和差化积，以及等价替换11）(应该为4)13）本题利用了分子有理化2、计算下列极限1）解：因为，无穷小与有界函数之积仍然为无穷小，所以原式=02）3）第一章1-5节1、计算下列极限2）解法2：原式5）解法2：原式7）分析：本题利用了变量替换和等价替换9）分析：时，。利用10）2、计算下列极限1）3）6）7）8）3、利用夹逼准则证明：1）证明：令，（或）则，且，根据夹逼准则，2）证明：令，（或）则，且，根据夹逼准则，3）证明：令，则。因为 ，所以，因而。4）证明：，所以（B）1、计算下列极限：1）2）3）4）5）6）7）8）3、要使，其中的常数应取何值？解：，则.1-65、利用等价无穷小的代换性质，计算下列极限1）2）3）4）5）6）7）8）（B）2、设，如果时，是无穷小量，则与应如何选择？解：根据题意，因此。3、计算下列极限1）2) 3) 4) 5) 7) 8) 9) 1-8A-1、证明方程至少有一根在1与2之间。证明：，而上是连续函数，根据零点存在定理，在之间存在零点，即方程至少有一根在1与2之间。A-2、设，证明方程至少有一正根，并且它不超过。证明：令，则若，则为方程的一个根。否则，根据零点存在定理，至少有一根位于。命题成立。A-3、证明方程有且只有一个小于1的正根。证明：令，则，根据零点存在定理，在至少存在一个根。另一方面，令，所以为上的严格单调增加的函数，因此原方程有且只有一个小于1的正根。A-4、设函数在上连续，且，证明方程在上至少存在一根。证明：令，则，因为，所以，若，则0和1均为原方程的根。否则，根据零点存在定理，原方程在上至少有一根。证明完毕。A-5、设函数在上连续，且它的值域也是，证明至少存在一点，使。证明：令，则。若或，则命题成立。否则，根据零点存在定理，命题依然成立。B-3、设函数在上连续，。证明，至少存在一点，使得。证一：令，因为在上连续，则在上连续。令在和处分别取得上的最大值和最小值，因为所以。若或，则命题成立。否则，根据零点存在定理，至少存在一点，使，故原命题依然成立。证二：令在上的最大和最小值为和，根据介值定理，至少存在一点，使得。第二章2-1B-3、设，讨论在处的连续性与可导性。解：，显然在处连续。又，因此在处可导。B-4、函数，所以连续，所以可导B-5、设存在，且，求解：。B-6、设函数在处可导，求。极限存在的充要条件是，。B-7、函数在第一类间断处能否同时存在左导数和右导数。解：因为。若左导数存在，则，即。同理左导数存在，则，即。可见在第一类间断处左、右导数不可能同时存在，否则连续，与已知条件矛盾。B-8、设，其中在处连续，求。解：2-2A-3、1）解：A-3、3）解：A-3、4）解： A-3、5）解：A-3、7）解：A-3、8）解：A-4、1)解：A-4、2)解：A-4、3)解：A-4、4)解：A-4、5)解：A-4、6)解：A-4、7)解：A-4、8)解：A-8、1)解：，A-8、2)解：，A-8、3)解：，A-8、4)解：，A-8、5)解：，A-8、6)解：A-8、7)解：，A-8、8)解：，B-2、1），2），B-3、设，令，求。解：令，注：本题关键是把看成，的复合函数。B-4、设，其中具有二阶导数，求解：对于不熟悉的同学来说，本题最好先将函数进行复合，然后进行求导。另解：令，。则，B-5、设且，求解：令，则所以，即第二章第三节1、求下列各方程所确定的隐函数的导数1）解：方程两边对求导数得：，解得2）解：方程两边对求导数得：，解得3）解：方程两边对求导数得：，解得4）解：方程两边对求导数得：，解得5）解：方程两边取对数得：。再在两边对求导数得：，解得6）解：方程两边对求导数得：。解得：2、求曲线在点处的切线方程和法线方程。解：曲线方程两边对求导数得：。解得：。所以曲线在点处的切线方程的斜率为，法线方程的斜率为。可得切线方程为：，即法线方程为：，即3、求下列参数方程所确定的函数的导数：1）解：2）解：3）解：4）解：4、已知，求时的值。解：5、利用对数求导法则求下列函数的导数：1）解：两边取对数得：。再在两边对求导得：2）解：两边取对数得：。再在两边对求导得：3）；解：两边取对数得：。再在两边对求导得：，4）解：两边取对数得：。再在两边对求导得：，6、设一球状雪球正在融化，其体积以的速率减少，问当直径为时，直径减少的速率为多少？解：令雪球的半径和体积分别为，则。依题目意，又有，故，时，（）。7、一气球离开观察员处离地上升，上升速率为。当气球高度为时，观察员视线的仰角增加率是多少？解：令气球高度为时仰角为，则，当气球高度为时，观察员视线的仰角增加率8、溶液从深为，顶直径为的正圆锥形漏斗中漏入一直径为的圆柱形筒中，开始时漏斗中盛满了溶液，已知当溶液在漏斗中深为时，其表面下降的速率为，问此时圆柱形溶液表面上升的速率为多少？解： 令溶液在漏斗中深为时，表面下降的速率为，液面半径为，圆柱形下降速度为，根据体积平衡，流出液体与流入液体体积相等，故。而，所以：（）B部分1、设，求解：方程两边对求导数得：。在原方程中代入得，。将和代入导数方程得：，解得。2、设是由方程所确定的隐函数，试求导数解：方程两边对求导数得：。在原方程中代入得，。将和代入导数方程得：，3、设，且当时，求和。解：依题意，令，则，即。4、设为椭圆外的一点，过点作椭圆的切线，求该切线的方程。解：椭圆方程两边对求导数得：，。令为该切线与椭圆的交点，则切线的斜率为：，另一方面为该切线与椭圆的交点，则。联立这两个方程：，得：，。得，所以切线方程为：或。5、设，求（本题为参数所决定的函数求导数与隐函数求导数结合的一个题目）解：，所以。第二章第四节A-6、求下列函数的微分1），2），3），4），5），6），7），8），B-1、求下列函数的微分：1），2），3），4）解：令，两边取对数得：，两边再取导数得：，所以，即。B-2、计算下列各量的近似值：1）2)3)4)因为，所以5)3、说明在充分小时，有近似公式解：令，微分公式成立：，所以利用这一公式，4、已知测量球的直径D时，有的误差。试问用计算球的体积时，相对误差有多少？解：由相对误差公式，体积的相对误差为5、利用微分计算当由变到时函数的增量的近似值（弧度）解：，由微分公式得：6、第三章3-11、对函数在上验证罗尔定理。解： 在上连续，且在可导，又，所以满足罗尔定理。， ，。2、试证明：函数在任何区间上应用拉格朗日中值定理所求得的点总是该区间的中点。证明一：在任意区间上连续，且在上连续，所以，使解得：。证明二：，所以，命题成立。3、证明：方程在内不可能有两个不同的根。证明（用反证法）：假设在内有两个不同的根，令，根据罗尔定理，使，而这一方程在上无解，证明完毕。说明：这里没有严格验证罗尔定理。4、设函数在内具有二阶导数，且，其中，证明：在内至少有点，使得。证明：因为在内具有二阶导数，所以在上连续，在上可导，且，由罗尔定理，使。同理，使。同样因为在内具有二阶导数，在在上连续，在上可导，所以，在上连续，在上可导，且，根据罗尔定理，使。5、已知函数，不求的导数，讨论方程的实根并指出它们所在的区间。解：是多项式函数，所以在上连续并可导，且其导函数为3次多项式。另一方面，根据罗尔定理，使。同理，使；，使。因为为3次多项式，所以不存在其它根。6、证明：在上，恒成立。证明：，所以。另外，所以。7、下列函数在指定区间上是否满足罗尔定理的条件？若满足，则在该开区间内求，使。1），解：，显然在处导数不存在，所以不满足罗尔定理。2），解：显然在处无意义，所以在上不连续，所以不满足罗尔定理。3），解：显然在上连续，在上可导，且，所以满足罗尔定理。在上，使。4），解：，两者不相等，所以不满足罗尔定理。5），解：因为时，所以，因而在上连续。又不存在，所以在上不可导，所以不满足罗尔定理。8、应用拉格郎日中值定理证明下列不等式：1）证明：时命题显然成立。若，令，则在上连续，在上可导，由拉格朗日中值定理，使，所以，。2）证明：令，若，则在上连续，在可导，由拉格朗日中值定理，使。因为且所以。而当时，在上连续，在可导，由拉格朗日中值定理，使，且，所以。证毕。3）证明：令，在上连续，在上可导，由拉格郎日中值定理，使。所以有，4）证明：令，在上连续，在上可导，由拉格郎日中值定理，使，所以。因为，所以，因而。9、下列函数在指定区间上是否满足柯西中值定理的条件？若是，则写出结论并求。1），解：，因此不满足柯西中值定理条件。2），解：，在上和均不为零，因此满足柯西中值定理条件。，因为，解得。3），解：，在上和均不为零，因此满足柯西中值定理条件。，解得。10、求下列未定式的极限：1）2）3）这里利用了。因为时，故。4）5）6）7) 8) 9) 另解：10）11）12）13）14）15） 16）17) 18) 11、验证存在，但不能用洛必达法则求出。解：而中，不存在，故不存在，所以该极限不能用洛必达法则求出。第三章第二节3、求下列函数的单调区间1）解：的定义域为，在此区间上连续而且可导。，令，解得（舍去），。在上，所以在而在上单调下降；在上，所以在而在上单调增加。2）解：的定义域为，在此区间上连续而且可导。，令，解得，。在上，所以在而在上单调增加；在上，所以在而在上单调下降；在上，所以在而在上单调增加。3）解：时，无意义，所以的定义域为。，（），所以在处连续。当时，所以在而在上单调增加。而当时，令，得。当时，所以在和上单调下降。当时，所以在而在上单调增加。4、求下列函数的最大值和最小值。1）解：在上连续，令，得，。，。所以最大值为，最小值为。2）解一：令，再令，可得，。，令，得。，。所以最大值为，最小值为。解二：将写成分段函数，再行求解。3）解：，令得，。的定义域为，在、处不可导。，。所以最大值为，最小值为。5、证明：只有一个实根证明：令，显然。又，令，得。当时，所以在上为单调下降的函数；又时，即在上为单调增加的函数，所以为的唯一零点，即只有一个实根。6、要做一个带盖的长方形盒子，其容积为，其底边成，问此盒子各边长为多少时，所用材料最省（即表面积最小）。解：令两条底边、及高的长度分别为、，则，。长方体盒子表面积，令，得。所以此盒子各边长分别为：时，所用材料最省。7、求一个内接于半圆的矩形边长，使该矩形的周长为最大(已知圆的半径为)解：令该矩形垂直于圆直径的边长为，则另一边长为，矩形周长为，令，得。矩形的一边长为，另一边长为时周长最大。8、一艘停泊在海中的军舰，离海岸（垂直距离），离海岸上的兵营，今欲从舰上送信到兵营，已知送信的人步行速度是，划船的速度是，问送信的人应在何处上岸，才能使信在最短的时间内到达兵营（假定海岸线是直的）解：令送信人在离兵营处上岸时间最短，过军舰向海岸线作垂线，垂足到兵营的距离为，军舰到上岸处的距离为，送信的人花的总时间为：，令，得。即送信人在离兵营处所花时间最短。9、求点到曲线的最短距离。解：令点到曲线的点之间的距离最短，则，得，令，得，。B部分1、试问为何值时，函数在取得极值。解： ，若在处取极值，则有，解得：。又，所以时，在处取极大值。2、试证明：如果函数满足条件，那么这函数没有极值。证明：若，则无解，所以原函数没有极值。3、证明下列不等式：1）当时，证明：令，则，当时，在上单调下降，所以时，所以。而时，在上单调增加，故，所以。2）当时，。证明：当时，令，所以，因而，故有4、求函数在上的最大值和最小值。解：，令，得，在处不可导， ，。所以最大值为，最小值为。5、证明：当时，证明：令，当时，原不等式等价于。令，则，且时，即是上的单调下降函数，所以时，即，从而原不等式成立。第三章第三节3、确定下列曲线的凸性和拐点1）解：令，得，。令，得,。列表如下：20+0+00+极小拐点极大拐点2）解：令，得。令，得，。0+0+0拐点极小拐点3）解：，令，得。当时，；时，所以在上是向上凸的，在上是向上凹的；为拐点。习题4-1（A）3、利用基本积分公式求下列不定积分（2）（3）（6）（8）4、求下列不定积分（1）（2）（4）（7）5、（1）设曲线上点处的切线斜率为，并且曲线经过点，求该曲线的方程。解：令该曲线为，即为的一个原函数。，所以，其中为某一实数。又曲线经过点，代入曲线函数得：，解得，所以。习题4-1（B）1、计算下列不定积分（1）（2）（3）（4）习题4-2A部分1、设是的原函数，试求下列各式的积分（1）（2）（3）（4）3、求下列不定积分1）2）3）4）5）6）7）8）9）10）11）12）13）14）15）16）17）18）B部分1、求下列不定积分1）2）3）4）5）6） 7）9）10）11）12）所以原式另解：B部分1、求下列不定积分1）另解：1）3）4）5）6） 7）9）12）所以原式另解：2、求下列不定积分1）5） 7）8）习题4-31、2、3、4、 5、6、7、8、原式=9、原式10、11、12、13、14、15、16、所以B部分1、 求下列不定积分1）2）3）解2：4）、5）所以6） 7）8）2、 设的一个原函数，且连续，求解：3、 求其中连续。解：5-2A3、利用微积分基本公式求下列定积分（1）（2）（3）（4）（5）（6） （7） （8）（9）（10）解：，所以（11）解：原式（12）（13），其中。解： （14），其中。解：4、求下列函数的导数（1）解：【直接利用公式：】（2）解一：原函数可视为与的复合函数，从而解二：直接利用公式（3）解一：原函数可视为与的复合函数，从而解二：直接利用公式（4）解：习题5-2（B）1. 计算下列定积分（1）解：（2）解：所以（3）解：（4）解：（5）（为正整数）解：（6）解：所以：（7）解：（8）解： （9）解：（10）解：2. 计算下列极限：（1）解：（2）解：3. 设上连续，可导， 证明：证明：，由复合， ，同理。因此。4、计算下列函数的导数（1）解：（2）解：5、设函数，求函数在上的表达式。解：当时，；当时，；当时，所以。6、设函数在区间上连续，非负并且单调增加，证明：函数在上单调增加。证明：因为在区间非负且单调增加，当时，成立，因此，故在上单调增加。7、设是周期为T，并且在上连续的函数，证明定积分是与无关的常数。证明：根据定积分性质中积分域的可加性，。令，则，时，；时，。从而。所以，显然是与无关的常数。习题5-3（A）1、 计算下列定积分（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：（5）解：（6）解：（7）解：（8）解：（9）解：（10）解：（11）解：（12）解：2、 计算下列定积分（1）解：令，时；时。从而（2）解：令,，时；时。从而（3）解：令,，时；时。从而（4）解：令,，时；时。从而（5）解：令,，时；时。从而（6）解一：这是圆心在原点，半径为的圆的面积，其值为。解二：令,，时；时。从而3、 证明：如果在上连续，那么（1）当为偶函数时，；（2）当为奇函数时，。证明：令,，时；时。从而。（1）当为偶函数时，。（2）当为奇函数时，。4、 利用被积函数的奇偶性，计算下列积分：（1）解：说明：为半径为的圆面积。（2）解：为奇函数，所以。（3）解：（4）解：5、 计算下列定积分（1）解：（2）解：（3）解：，（4）解：，所以。（5）解：（6）解：（7）解：（8）解：（9）解：，解得。所以。（10）解：（11）解：（12）解：因为，所以习题5-3（B）1、 计算下列定积分（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：（5）解：（6）解：（7）解：（8）解：（9）解：2、 计算下列定积分（1）解：令，时，时。从而（2）解：（3）解：（4）解：令，。时，时。从而（5）解一：令，。时，时。从而解二：（6）解：令，。时，时。从而（7），其中。解：（8），其中。解：令，时，时。从而3、 计算下列定积分：（1）解：所以，从而故（2）解：令，则，时，时。从而（3）解：（4）解：所以（5）解：令，则，时，时。从而令，则，时，时。从而，（6）解：令，则，时，时。从而所以4、 利用公式计算下列定积分：（1）解：（2）解：（3）解：所以5、 证明证明：令，从而6、 利用公式计算下列定积分（1）解：（2）解：7、 利用计算定积分解：8、 证明证明：令，则，时，时。从而9、 设函数在上连续，证明：证明：令，则，时，时。从而10、 设函数在上有连续导数，计算：解：11、 设函数的原函数为，试计算。解：习题5-4（A）判断下列各题中广义积分的收敛性，并对收敛的广义积分，计算出广义积分值：1、解：，故收敛。2、解：，收敛。3、解：，发散。4、解：，收敛。5、解： ，收敛。6、解：，发散。7、解：，发散。8、解：，收敛。9、解：不存在，帮发散。10、解：，收敛。11、解：，故收敛。12、解：，故收敛。13、解：，发散。14、解：，收敛。习题5-4（B）1、 计算广义积分。解：，其中2、 计算广义积分。解：，3、 讨论广义积分的收敛性，并计算收敛的广义积分值。解：所以，时，；当时当时所以时发散，时收敛。4、 讨论广义积分的收敛性，并对收敛的广义积分计算出广义积分值。解：显然时这是一般的定积分。当时 。当时，。当时。所以时议积分收敛，其值为；当时，广义积分发散。5、 讨论广义积分讨论广义积分的收敛性，并计算收敛的广义积分值解：所以，时，；当时当时所以时发散，时收敛。6、 设函数与在区间上连续，按照下列给出的条件，判断广义积分是否收敛，并说明原因：（1）与都收敛；（2）收敛，发散；（3）与都发散。解：（1）若与都收敛，则存在，故收敛。（2）若收敛，发散，则，存在，而不存在，故必发散。（3）若与都发散，则有可能收敛，也有可能发散。例如，若，则收敛。若，则发散