高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 3.3 定积分与微积分基本定理课件 理 北师大版.ppt

3 3定积分与微积分基本定理 第三章导数及其应用 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 定积分的定义给定一个在区间 a b 上的函数y f x 将 a b 区间分成n份 分点为a x0 x1 x2 xn 1 xn b 第i个小区间为 xi 1 xi 设其长度为 xi 在这个小区间上取一点 i 使f i 在 xi 1 xi 上的值最大 设s f 1 x1 f 2 x2 f i xi f n xn 在这个小区间上取一点 i 使f i 在 xi 1 xi 上的值最小 设s f 1 x1 f 2 x2 f i xi f n xn 如果每次分割后 最大的小区间的长度趋于0 s与s的差也趋于0 此时s与s同时趋于某 称a是函数y f x 在区间 a b 上的定积分 知识梳理 一个固定的常数a b a 3 微积分基本定理如果连续函数f x 是函数f x 的导函数 即f x f x 则有f x dx f b f a 1 定积分应用的常用结论当曲边梯形位于x轴上方时 定积分的值为正 当曲边梯形位于x轴下方时 定积分的值为负 当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时 定积分的值为零 2 若函数f x 在闭区间 a a 上连续 则有 知识拓展 题组一思考辨析1 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 基础自测 1 2 3 4 5 6 7 题组二教材改编 1 2 4 5 6 解析 3 7 答案 1 1 2 4 5 6 答案 解析 3 7 4 汽车以v 3t 2 m s作变速直线运动时 在第1s至第2s间的1s内经过的位移是m 解析 1 2 4 5 6 3 7 答案 题组三易错自纠5 直线y 4x与曲线y x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为 解析如图 y 4x与y x3的交点为a 2 8 图中阴影部分即为所求图形面积 解析 1 2 4 5 6 答案 3 7 解析 1 2 4 5 6 3 答案 3 t 3 7 解析 1 2 4 5 6 答案 3 7 题型分类深度剖析 题型一定积分的计算 自主演练 1 e x dx的值为a 2b 2ec 2e 2d 2e 2 解析 答案 1 e e 1 2e 2 故选c 解析 答案 3 2018 唐山调研 定积分 x2 sinx dx 解析 答案 运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点 1 对被积函数要先化简 再求积分 2 若被积函数为分段函数的定积分 依据定积分 对区间的可加性 先分段积分再求和 3 对于含有绝对值符号的被积函数 要先去掉绝对值符号再求积分 解析 题型二定积分的几何意义 多维探究 解析由定积分的几何意义知 表示圆 x 1 2 y2 4和x 1 x 3 y 0围成的图形的面积 命题点1利用定积分的几何意义计算定积分 答案 解析根据定积分的几何意义表示圆 x 1 2 y2 1和直线x 2 x m和y 0围成的图形的面积 解析 答案 1 解析 命题点2求平面图形的面积典例 2017 青岛月考 由曲线xy 1 直线y x y 3所围成的封闭平面图形的面积为 答案 4 ln3 由xy 1 y x 可得b 1 1 由y x y 3 得c 3 3 1 根据定积分的几何意义可计算定积分 2 利用定积分求平面图形面积的四个步骤 画出草图 在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像 借助图形确定出被积函数 求出交点坐标 确定积分的上 下限 把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和 计算定积分 写出答案 解析 答案 2 如图所示 由抛物线y x2 4x 3及其在点a 0 3 和点b 3 0 处的切线所围成图形的面积为 解析 答案 解析由y x2 4x 3 得y 2x 4 易知抛物线在点a处的切线斜率k1 4 在点b处的切线斜率k2 2 因此 抛物线在点a处的切线方程为y 4x 3 在点b处的切线方程为y 2x 6 因此 由题图可知所求的图形的面积是 解析 题型三定积分在物理中的应用 师生共研 典例一物体作变速直线运动 其v t曲线如图所示 则该物体在s 6s间的运动路程为m 答案 定积分在物理中的两个应用 1 变速直线运动的位移 如果变速直线运动物体的速度为v v t 那么从时刻t a到t b所经过的路程s v t dt 2 变力做功 一物体在变力f x 的作用下 沿着与f x 相同方向从x a移动到x b时 力f x 所做的功是w f x dx 解析 跟踪训练一物体在变力f x 5 x2 力单位 n 位移单位 m 作用下 沿与f x 成30 方向作直线运动 则由x 1运动到x 2时 f x 做的功为 答案 课时作业 基础保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 答案 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 3 已知函数y f x 的图像为如图所示的折线abc 则 x 1 f x dx等于a 2b 2c 1d 1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 故选d 4 2018 大连调研 若 3 ln2 a 1 则a的值是a 2b 3c 4d 6 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 a2 lna 1 3 ln2 解得a 2 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6 2017 湖南长沙模拟 设a cosxdx b sinxdx 则下列关系式成立的是a a bb a b 1c a bd a b 1 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 cosx sinx sin1 cos1 1 sin1 1 cos1 即a b 故选a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 定积分 x 1 dx等于a 1b 1c 0d 2 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 一辆汽车在高速公路上行驶 由于遇到紧急情况而刹车 以速度v t 7 3t t的单位 s v的单位 m s 行驶至停止 则在此期间汽车继续行驶的距离 单位 m 是a 1 25ln5b 8 25lnc 4 25ln5d 4 50ln2 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 28 24 25ln5 4 25ln5 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 2 sinx cosx dx sinx cosx 解析所求面积s cosxdx sinx 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 11 2017 济南模拟 设a 0 若曲线y 与直线x a y 0所围成封闭图形的面积为a2 则a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 解析封闭图形如图所示 12 已知二次函数y f x 的图像如图所示 则它与x轴所围成的面积为 解析根据f x 的图像可设f x a x 1 x 1 a 0 因为f x 的图像过 0 1 点 所以 a 1 即a 1 所以f x x 1 x 1 1 x2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 技能提升练 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 解析由题意得 所求阴影部分的面积 故选a 解析 答案 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 a s1 s2 s3b s2 s1 s3c s2 s3 s1d s3 s2 s1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二s1 s2 s3分别表示曲线y x2 y y ex与直线x 1 x 2及x轴围成的图形的面积 通过作图易知s2 s1 s3 拓展冲刺练 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6