浙江省富阳市第二中学高中数学 空间中的平行关系课件课件 新人教A版必修2.ppt

直线与平面平行平面与平面平行 1 直线和平面的位置关系 1 直线在平面内 无数个公共点 2 直线和平面 有且只有一个公共点 3 直线和平面 没有公共点 2 线面平行的判定定理 如果一条直线和平面内的一条直线平行 那么这条直线和这个平面平行 相交 平行 平面外的 3 线面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行 经过这条直线的平面和这个平面相交 那么这条直线和两平面的交线 4 平行平面的定义 如果两个平面没有 那么这两个平面互相平行 5 平行平面的判定定理 如果一个平面内有两条直线分别平行于另一个平面 那么这两个平面互相平行 平行 公共点 相交 6 推论 如果一个平面内有两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线 那么这两个平面互相平行 7 平行平面的性质定理 如果两个平行平面同时与第三个平面 那么它们的交线平行 8 性质 如果两个平面平行 那么其中一个平面内的平行于另一个平面 相交 相交 直线 1 若p是平面 外一点 则下列命题正确的是 a 过p只能作一条直线与平面 相交b 过p可作无数条直线与平面 垂直c 过p只能作一条直线与平面 平行d 过p可作无数条直线与平面 平行答案 2 已知平面 外不共线的三点a b c到 的距离都相等 则正确的结论是 a 平面abc必不垂直于 b 平面abc必平行于 c 平面abc必与 相交d 存在 abc的一条中位线平行于 或在 内答案 d 3 2009 江西 如图 在四面体abcd中 若截面pqmn是正方形 则下列命题中错误的为 a ac bdb ac 截面pqmnc ac bdd 异面直线pm与bd所成角为45 答案 c 4 已知l m是空间两条不同直线 是空间两个不同平面 给出下列四个条件 平面 都垂直于平面 平面 内存在不共线的三点到平面 的距离相等 l m是平面 内两条直线 且l m l m是两条异面直线 且l m l m 其中可判断平面 与平面 平行的条件是 写出所有正确条件的序号 解析 当 如长方体的三个相交平面时 其两两相互垂直 不正确 当 相交 内两条平行于交线且关于交线对称的直线上所有点到面 的距离相等 不正确 当 的交线与m l都平行时 满足l m 不正确 l m为两异面直线 则可以平移一条直线使其两直线相交得到一平面 l m 可以得 同理可得 得到 故 正确 答案 例1 如右图所示 在空间四边形abcd中 截面efgh为平行四边形 试证 bd 平面efgh ac 平面efgh 证明 截面efgh为平行四边形 eh fg 根据直线与平面平行的判定定理知 eh 平面bcd 又eh 平面abd 平面abd 平面cbd bd 根据直线与平面平行的性质定理知bd eh 因此 bd 平面efgh 同理 ac 平面efgh 平面平行的判定定理 是利用了线面平行来推证的 即需要找到或证出两条相交直线平行于另一平面 这是判定两平面平行的主要方法 还可以通过一些垂直关系来判定 例2 正方形abcd和正方形abef所在平面互相垂直 m n分别是对角线ac和bf上的点 且am fn 1 求证 mn 平面bec 2 设正方形的边长为a am fn b 求mn的长 3 若 和 分别表示直线mn和ac及mn和bf所成的锐角 当线段mn的长度最短时 计算 和 的度数 解答 1 证法一 如右图 过点m作mh ab于h 则mh bc 且不难知rt amh rt abc 连结hn 又 am fn 且ac bf hn af 即hn be 平面mhn 平面bec mn 平面bec 证法二 如右图 连结an 并延长与be相交于g 连结cg af bg anf gnb fn am ac bf 则mn cg 由于mn是平面bgc外的一条直线 mn 平面bgc 即mn 平面bec 2 如图 平面abcd 平面abef mh ab mh 平面abef 而hn 平面abef mh hn 从 1 可知hn ab 又由ac为正方形的对角线 可知mh ah rt anh rt hnm mn an 在 anf中 an2 af2 fn2 2af nf cos afn a2 b2 2abcos45 an mn 3 由 2 可知 mn 当b a时 mn的长度最短 此时可求出 60 例3 如右图 正三棱柱abc a1b1c1中 d是bc的中点 ab a 1 求证 a1d b1c1 2 判断a1b与平面adc1的位置关系 并证明你的结论 面面平行需要由线面平行判定 而直线与平面平行问题可以转化为面面平行问题 解答 1 证法一 点d是正 abc中bc边上的中点 ad bc 又aa1 底面abc aa1 bc bc 平面a1ad a1d bc bc b1c1 a1d b1c1 证法二 如右图所示 三棱柱abc a1b1c1为正三棱柱 a1c a1b 点d是等腰 a1cb的底边bc的中点 a1d bc bc b1c1 a1d b1c1 2 直线a1b 平面adc1 以下给出证明 证法一 如右图 设a1c交ac1于f 则f为a1c的中点 d是bc的中点 df a1b 又df 平面adc1 a1b 平面adc1 a1b 平面adc1 证法二 如右图 取c1b1的中点d1 则ad a1d1 c1d d1b ad 平面a1d1b 且c1d 平面a1d1b 平面adc1 平面a1d1b a1b 平面a1d1b a1b 平面adc1 变式3 如图abc a1b1c1是各棱长均为a的正三棱柱 d是侧棱cc1的中点 1 求证 平面ab1d 平面abb1a1 2 若o为 abc的中心 p为bb1上一点 当op 平面ab1d时 试确定点p的位置 解答 1 证明 如图 取ab1 ab中点分别为e f 连接de ef cf 则ef綊bb1 又cd綊bb1 则ef綊cd 因此四边形cdef为平行四边形 又面abc 面aa1bb1 则cf 面aa1b1b de 面abb1a1 又de 平面ab1d 平面ab1d 平面abb1a1 2 由op 平面ab1d fo 平面ab1d 知平面pfo 平面ab1d 因此pf ab1 又f为ab的中点 所以p为bb1的中点 方法规律 1 在解决直线与平面 平面与平面平行问题的过程中 要特别注意判定定理和性质定理的联合交替使用 2 可利用共面向量定理证明直线与平面平行和四点共面等问题3 利用直线和平面平行可进行点到平面距离的转化 4 直线与平面平行的判定定理及平面与平面平行的性质定理都是极为重要的作图的理论和依据 本题满分12分 如右图 在长方体abcd a1b1c1d1中 e p分别是bc a1d1的中点 m n分别是ae cd1的中点 ad aa1 a ab 2a 1 求证 mn 面add1a1 2 求二面角p ae d的大小 解答 1 证明 如图 取cd的中点k 连结mk nk m n k分别为ae cd1 cd的中点 mk ad nk dd1 mk 面add1a1 nk 面add1a1 面mnk 面add1a1 mn 面add1a1 答题模板 2 设f