北京市房山区2015-2016学年高一上期末数学试卷含答案解析

北京市房山区 2015 2016 学年度高一上学期期末数学试卷 一、选择题：本大题共 10小题，每小题 5分，共 50分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，直接写在答题纸上 1已知集合 A=1， 2， 3， 4， 5，集合 B= 2， 2， 3， 4， 5， 9，则集合 AB=（ ） A 2， 3， 4 B 2， 3， 4， 5 C 1， 2， 3， 4， 5 D 2， 1， 2， 3， 4， 5 2已知函数 f（ x）为奇函数，且当 x 0 时， ，则 f（ 1） =（ ） A 2 B 2 C 3 D 3 3已知 ， ，则 ） A B C D 4函数 的图象一定经过（ ） A第一、二、三象限 B第一、二、四象限 C第一、三、四象限 D第二、三、四象限 5已知函数 f（ x） =x+1），若 f（ ） =1， =（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 6下列各式的值为 的是（ ） A B 1 2C D 7下列各函数 为偶函数，且在 0， +）上是减函数的是（ ） A y=x+3 B y=x2+x C y=x|x| D y= |x| 8如图，某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 y=3x+） +k据此函数可知，这段时间水深（单位： m）的最大值为（ ） A 5 B 6 C 8 D 10 9已知 a=b=c= a， b， c 的大小关系为（ ） A a b c B a c b C c b a D c a b 10当 x1，有 f（ ） ，则称函数 f（ x）是 “严格下凸函数 ”，下列函数是严格下凸函数的是（ ） A y=x B y=|x| C y= y=、填空题：本大题共 6小题，每题 5分，共 30分将答案直接写在答题纸上 11已知函数 f（ x） = ，那么 f（ 2） = 12若函数 f（ x）的定义域是 0， 4，则函数 f（ 2x 3）的定义域是 13已知集合 A=x| 2x3， B=x|xm，若 AB，则实数 m 的取值范围为 14若 是第三象限角，且 ，则 是第 象限角 15已知 ， ， 都是第二象限角，则 +） = 16某种病毒每经 30 分钟由 1 个病毒可分裂成 2 个病毒，经过 x 小时后，病毒个数 y 与时间 x（小时）的函数关系式为 ，经过 5 小时， 1 个病毒能分裂成 个 三、解答题：本大题共 6小题，写出必要的文字说明，计算或证明过程其中第 16题满分 70分，第 17题到第 22题，每题满分 70分；共计 70分将解题过程直接在答题纸上 17已知全集 U=x| 6x5， M=x| 3x2， N=x|0 x 2 （ ）求 M N； （ ）求 U（ MN） 18已知 值： （ ） ； （ ） 19（北京卷文 15）已知函数 f（ x） =2 ）求 f（ ）的值； （ ）求 f（ x）的最大值和最小值 20设 m 是实数，函数 （ ）求 f（ x）的定义域； （ ）用定义证明：对于任意实数 m，函数 f（ x）在（ 0， +）上为增函数 21已知函数 f（ x）的定义域为 R，当 x， yR 时，恒有 f（ x+y） =f（ x） +f（ y） （ ）求 f（ 0）的值； （ ）写出一个具体函数，满足题目条件； （ ）求证： f（ x）是奇函数 22已知函数 f（ x） =1+x）， g（ x） =1 x），（ a 0，且 a1） （ 1）设 a=2，函数 f（ x）的定义域为 3， 63，求函数 f（ x）的最值 （ 2）求使 f（ x） g（ x） 0 的 x 的取值范围 北京市房山区 2015 2016学年度高一上学期期末数学试卷 参 考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10小题，每小题 5分，共 50分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，直接写在答题纸上 1已知集合 A=1， 2， 3， 4， 5，集合 B= 2， 2， 3， 4， 5， 9，则集合 AB=（ ） A 2， 3， 4 B 2， 3， 4， 5 C 1， 2， 3， 4， 5 D 2， 1， 2， 3， 4， 5 【考点】 交集及其运算 【专题】 计算题；集合思想；集合 【分析】 由 A 与 B，求出两集合的交集即可 【解答】 解： A=1， 2， 3， 4， 5， B= 2， 2， 3， 4， 5， 9， AB=2， 3， 4， 5， 故选： B 【点评】 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键 2已知函数 f（ x）为奇函数，且当 x 0 时， ，则 f（ 1） =（ ） A 2 B 2 C 3 D 3 【考点】 函数奇偶性的性质 【专题】 计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 由条件利用函数的奇偶性和单调性的性质可得 f（ 1） = f（ 1），运算求得结果 【解答】 解： 已知函数 f（ x）为奇函数，且当 x 0 时， ， f（ 1） = f（ 1） =（ 1+2） = 3， 故选： C 【点评】 本题主要考查函数的奇偶性的应用，属于基础题 3已知 ， ，则 ） A B C D 【考点】 同角三角函数基本关系的运用 【专题】 计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值 【分析】 由条件利用同角三角函数的基本关系，求得 【解答】 解： 已知 ， ， = ， 则 = ， 故选： C 【点评】 本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题 4函数 的图象一定经过（ ） A第一、二、三象限 B第一、二、四象限 C第一、三、四象限 D第二、三、四象限 【考点】 函数的图象 【专题】 转化思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 根据函数 为减函数，且图象经过（ 2， 2）、（ 0， 1），可得它的图象经过第二、三、四象限 【解答】 解：函数 为减函数，且图象经过（ 2， 2）、（ 0， 1）， 故它的图象经过第二、三、四象限， 故选： D 【点评】 本题主要考查函数的单调性，函数的图象特征，属于基础题 5已知函数 f（ x） =x+1），若 f（ ） =1， =（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 【考点】 对数函数的单调性与特殊点 【专题】 函数的性质及应用 【 分析】 根据 f（ ） =+1） =1，可得 +1=2，故可得答案 【解答】 解： f（ ） =+1） =1 +1=2，故 =1， 故选 B 【点评】 本题主要考查了对数函数概念及其运算性质，属容易题 6下列各式的值为 的是（ ） A B 1 2C D 【考点】 三角函数的化简 求值 【专题】 转化思想；综合法；三角函数的求值 【分析】 由条件利用二倍角公式求得各个选项中式子的值，从而得出结论 【解答】 解：根据 ； 1 2 ， =1， 2 1= ， 故选： A 【点评】 本题主要考查二倍角公式的应用，属于基础题 7下列各函数为偶函数，且在 0， +）上是减函数的是（ ） A y=x+3 B y=x2+x C y=x|x| D y= |x| 【考点】 函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断 【专题】 函数思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 根据偶函数的定义，偶函数图象的特点便可判断每个 选项函数是否为偶函数，这样便可判断选项 A， B， C 错误，即正确选项为 D 【解答】 解： A y=x+3 的图象不关于 y 轴对称，不是偶函数， 该选项错误； B x= 1 时， y=0； x=1 时， y=2； f（ 1） f（ 1），该函数不是偶函数， 该选项错误； C x= 1 时， y= 1； x=1 时， y=1； f（ 1） f（ 1），不是偶函数， 该选项错误； D y= |x|定义域为 R，且 f（ x） = | x|= |x|=f（ x）； 该函数为偶函数； x0 时， y= |x|= x 为减函数， 该选项正确 故选： D 【 点评】 考查偶函数的定义，偶函数图象的对称性，以及一次函数的图象，一次函数的单调性，特殊值法说明一个函数不是偶函数的方法 8如图，某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 y=3x+） +k据此函数可知，这段时间水深（单位： m）的最大值为（ ） A 5 B 6 C 8 D 10 【考点】 由 y=x+）的部分图象确定其解析式 【专题】 三角函数的图像与性质 【 分析】 由题意和最小值易得 k 的值，进而可得最大值 【解答】 解：由题意可得当 x+）取最小值 1 时， 函数取最小值 3+k=2，解得 k=5， y=3x+） +5， 当当 x+）取最大值 1 时， 函数取最大值 +5=8， 故选： C 【点评】 本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的最值，属基础题 9已知 a=b=c= a， b， c 的大小关系为（ ） A a b c B a c b C c b a D c a b 【考点】 正切函数的图象 【专题】 计算题；转化思想；转化法；三角函数的图像与性质 【分析】 利用正切函数的单调性以及三角函数的诱导公式进行化简比较即可 【解答】 解： a=1， b= 2） 0， c= 3） 0 2 3 0， 2） 3） 0， 2） 3） 0 综上可得， a 0 c b， 故选： B 【点评】 本题主要考查函数值的大小比较，考查诱导公式、正切函数的单调性的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题 10当 x1，有 f（ ） ，则称函数 f（ x）是 “严格下凸函数 ”，下列函数是严格下凸函数的是（ ） A y=x B y=|x| C y= y= 考点】 对数函数的单调性与特殊点；函数单调性的性质 【专题】 计算题；新定义 【分析】 先求出 f（ ）的解析式以及 的解析式，利用函数的单调性、基本不等式判断 f（ ）和 的大小关系，再根据 “严格下凸函数 ”的定义域， 得出结论 【解答】 解： A、对于函数 y=f（ x） =x，当 x1，有 f（ ） = ，= ， f（ ） = ，故不是严格下凸函数 B、对于函数 y=f（ x） =|x|，当 x1 0 时， f（ ） =| |= ，= = ， f（ ） = ，故不是严格下凸函数 C、对于函数 y=f（ x） = x1，有 f（ ） = = ， = ，显然满足 f（ ） ，故是严格下凸函数 D、对于函数 y=f（ x） =f（ ） = ，= = ， f（ ） ，故不是严格下凸函数 故选 C 【点评】 本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，基本不等式的应用， “严格下凸函数 ”的定义，属于中档题 二、填空题：本大题 共 6小题，每题 5分，共 30分将答案直接写在答题纸上 11已知函数 f（ x） = ，那么 f（ 2） = 1 【考点】 函数的值 【专题】 计算题；函数思想；试验法；函数的性质及应用 【分析】 由分段函数代入 2 即可 【解答】 解： 2 0， f（ 2） =22 3=1， 故答案为： 1 【点评】 本题考查了分段函数的简单应用，注意自变量的取值即可 12若函数 f（ x）的定义域是 0， 4，则函数 f（ 2x 3）的定义域是 【考点】 函数的定义域及其求法 【专题】 计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用 【分析】 由已知函数的定义域，可得 02x 34，解此不等式得答案 【解答】 解： 函数 f（ x）的定义域是 0， 4， 则由 02x 34，得 ， 函数 f（ 2x 3）的定义域是 故答案为： 【点评】 本题考查函数的定义域及其 求法，关键是掌握该类问题的求解方法，是基础题 13已知集合 A=x| 2x3， B=x|xm，若 AB，则实数 m 的取值范围为 （ ， 2 【考点】 集合的包含关系判断及应用 【专题】 计算题；集合 【分析】 由集合 A=x| 2x3， B=x|xm，且 AB，可得 m 2，用区间表示可得 m 的取值范围 【解答】 解： 集合 A=x| 2x3， B=x|xm，且 AB， m 2， 实数 m 的取值范围是：（ ， 2， 故答案为：（ ， 2 【点评】 本题考查 的知识点是集合的包含关系判断及应用，其中根据子集的定义，得到 m 2 是解答的关键 14若 是第三象限角，且 ，则 是第 四 象限角 【考点】 三角函数值的符号 【专题】 分类讨论；转化思想；三角函数的求值；不等式的解法及应用 【分析】 是第三象限角，可得 2 2解得： （ kZ）对 【解答】 解： 是第三象限角， 2 2解得： （ kZ） 当 k=2n（ nZ）时， 2 2，不满足 ，舍去 当 k=2n+1（ nZ）时， 2+ 2+ ，满足 则 是第四象限角 故答案为：四 【点评】 本题考查了三角函数值的符号、不等式的性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 15已知 ， ， 都是第二象限角，则 +） = 【考点】 两角和与差的余弦函数 【专题】 计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值 【分析】 由已知利用同角三角函数基 本关系式可求 用两角和的余弦函数公式即可求值得解 【解答】 解： ， ， 都是第二象限角， = ， = ， +） = ） （ ） = 故答案为： 【点评】 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的余弦函数公式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 16某种病毒每经 30 分钟由 1 个病毒可分裂成 2 个病毒，经过 x 小时后，病毒个数 y 与时间 x（小时）的函数关系式为 y=4x ，经过 5 小时， 1 个病毒能分裂成 1024 个 【考点】 函数解析式的求解及常用方法；函数的值 【专题】 计算题；应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 可以通过归纳的方法得出病毒个数 y 与 x（小时）的函数关系式：分别求经过 1 个 30 分钟，2 个 30 分钟， 3 个 30 分钟病毒所分裂成的个数，从而得出 x 小时后所分裂的个数 y，即得出 y， 令关系式中的 x=5 便可得出经过 5 小时，一个病毒所分裂成的个数 【 解答】 解：设原有 1 个病毒； 经过 1 个 30 分钟变成 2=21 个； 经过 2 个 30 分钟变成 22=4=22 个； 经过 3 个 30 分钟变成 42=8=23 个； 经过 个 30 分钟变成 22x=4 病毒个数 y 与时间 x（小时）的函数关系式为 y=4x； 经过 5 小时， 1 个病毒能分裂成 45=1024 个 故答案为： y=4x， 1024 【点评】 考查根据实际问题建立函数关系式的方法，以及归纳的方法得出函数关系式，已知函数求值的方法 三、解答题：本大题共 6小题，写出 必要的文字说明，计算或证明过程其中第 16题满分 70分，第 17题到第 22题，每题满分 70分；共计 70分将解题过程直接在答题纸上 17已知全集 U=x| 6x5， M=x| 3x2， N=x|0 x 2 （ ）求 M N； （ ）求 U（ MN） 【考点】 交、并、补集的混合运算；并集及其运算 【专题】 对应思想；定义法；集合 【分析】 （ ）根据并集的定义，求出 M N 即可； （ ）根据交集与补集的定义，进行计算即可 【解答】 解：（ ）因为 M=x| 3x2， N=x|0 x 2， 所以 M N=x| 3x2； （ ）因为 U=x| 6x5， M=x| 3x2， N=x|0 x 2， 所以 MN=x|0 x 2； 所以 U（ MN） =x| 6x0 或 2x5 【点评】 本题考查了并集、交集和补集的定义与运算问题，是基础题目 18已知 值： （ ） ； （ ） 【考点】 三角函数的化简求值 【专题 】 转化思想；综合法；三角函数的求值 【分析】 由条件利用同角三角函数的基本关系，求得所给式子的值 【解答】 解：（ ）因为 以 ， （ ） 【点评】 本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题 19（北京卷文 15）已知函数 f（ x） =2 ）求 f（ ）的值； （ ） 求 f（ x）的最大值和最小值 【考点】 三角函数的最值；二倍角的余弦 【专题】 计算题 【分析】 （ I）直接代入函数解析式求解即可 （ 用降幂公式，辅助角公式，再用换元法将函数转化为二次函数求最值 【解答】 解：（ I） f（ ） =2 （ f（ x） =2（ 2（ 2 1） +（ 1（ 2） =3（ 2 1 1， 1 1 时 f（ x）取最大值 2 时 f（ x）取最小值 1 【点评】 本题主要考查了三角函数的求值，恒等变换和最值问题，也考查了二倍角公式及辅助角公式 20设 m 是实数，函数 （ ）求 f（ x）的定义域； （ ）用定义证明：对于任意实数 m，函数 f（ x）在（ 0， +）上为增函数 【考点】 函数单调性的判断与证明；函数的定义域及其求法 【专题】 证明题；函数思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 （ ）可以看出要使 f（ x）有意义则需 x0，这样便得出 f（ x）的定义域； （ ）根据增 函数的定义，设任意的 0，然后作差，通分，便可得到，根据指数函数的单调性便可证明 f（ f（ 从而得出对任意实数 m，函数 f（ x）在（ 0， +）上为增函数 【解答】 解：（ I）解：由 3x 10 得， x0； f（ x）的定义域是（ ， 0） （ 0， +）； （ 明：设 0 则： = ； 指数函数 y=3 上是 增函数，且 0； ； ； f（ f（ 对于任意实数 m，函数 f（ x）在（ 0， +）上为增函数 【点评】 考查函数定义域的概念及求法，增函数的定义，以及根据增函数的定义证明一个函数为增函数的方法和过程，作差的方法比较 f（ f（ 作差后，是分式的一般要通分，以及指数函数的单调性 21已知函数 f（ x）的定义域为 R，当 x， yR 时，恒有 f（ x+y） =f（ x） +f（ y） （ ）求 f（ 0）的值； （ ）写出一个具体函数，满足题目条件； （ ）求证： f（ x）是奇函数 【考点】 抽象函数及其应用 【专题】 计算题；函数思想；分析法；函数的性质及应用 【分析】 （ ）令 x=y=0，即可求出， （ ）根据题意，写出函数即可， （