河南省鹤壁市2015-2016学年高一上期末数学试卷含答案解析

2015年河南省鹤壁市高一（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，满分 60分，在每小题给出的四个选项中只有一个符合题目要求） 1已知集合 P=0， 1， 2， Q=y|y=3x，则 PQ=（ ） A 0， 1 B 1， 2 C 0， 1， 2 D 2下列各函数中，表示同一函数的是（ ） A y=x 与 （ a 0 且 a1） B 与 y=x+1 C 与 y=x 1 D y= 3函数 f（ x） = +3x+1）的定义域是（ ） A（ ， +） B（ ， 1） C（ ， ） D（ ， ） 4半径 R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ） A 函数 f（ x） =1 x）的图象为（ ） A B C D 6若直线 与直线 2x+3y 6=0 的交点位于第一象限，则直线 l 的倾斜角的取值范围（ ） A B C D 7设 m， n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A若 ， m， n， 则 m n B若 ， m， n，则 m n C若 m n， m， n，则 D若 m ， m n， n ，则 8设某几何体的三视图如图（长度单位为 则该几何体的最长的棱为（ ） A 4 已知 A（ 1， 1）， B（ 3， 1）， C（ 1， 3），则 上的高所在的直线的方程为（ ） A x+y+2=0 B x+y=0 C x y+2=0 D x y=0 10已知三棱锥 S 所有顶点都在球 O 的球面上， 平面 C=1，则球 O 的表面积是（ ） A 4 B C 3 D 11设两条直线的方程分别为 x+y+a=0 和 x+y+b=0，已知 a、 b 是关于 x 的方程 x2+x+c=0 的两个实根，且 0c ，则这两条直线间距离的最大值和最小值分别为（ ） A B C D 12已知函数 有两个零点 有（ ） A 0 B C 1 D 0 1 二、填空题（本大题共 4小题，每 小题 5分，共 20分） 13直线 x+=0 与直线 m 2） x+3y+2m=0 互相平行，则 m 的值为 14已知函数 是 R 上的增函数，那么实数 a 的取值范围是 15曲线 与直线 y=k（ x 2） +4 有两个交点，则实数 k 的取值范围为 16甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程 x）（ i=1， 2， 3， 4）关于时间 x（ x0）的函数关系式分别为 x） =2x 1， x） =x） =x， x） =x+1），有以下结论： 当 x 1 时，甲走在最前面； 当 x 1 时，乙走在最前面； 当 0 x 1 时，丁走在最前面，当 x 1 时，丁走在最前面； 丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面； 如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲 其中，正确结论的序号为 （把正确结论的序号都填上，多填或少填均不得分） 三、解答题（本大题共 5小题，满分 70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算过程） 17已知集合 A=x| 2x7， B=x|m+1x2m 1，若 A B=A， 求实数 m 的取值范围 18如图，在三棱柱 ，侧棱 底面 ， ， ， ，点D 是 中点 （ ）求证： 平面 ）求证： ）求直线 平面 成的角的正切值 19已知 f（ x）是二次函数，且 f（ 0） =0， f（ x+1） =f（ x） +x+1， （ 1）求 f（ x）的表达式； （ 2）若 f（ x） a 在 x 1， 1恒成立，求实数 a 的取值范围 20已知长为 2 的线段 点为 C，当线段 两个 端点 A 和 B 分别在 x 轴和 y 轴上运动时，C 点的轨迹 为曲线 （ 1）求曲线 （ 2）直线 ax+ 与曲线 交于 C、 D 两点（ a， b 是实数），且 直角三角形（ O 是坐标原点），求点 P（ a， b）与点（ 0， 1）之间距离的最小值 21定义：对于函数 f（ x），若在定义域内存在实数 x，满足 f（ x） = f（ x），则称 f（ x）为 “局部奇函数 ” （ 1）已知二次函数 f（ x） =x 4a（ aR），试判断 f（ x）是否为定义域 R 上的 “局部奇函数 ”？若是，求出满足 f（ x） = f（ x）的 x 的值；若不是，请说明理由； （ 2）若 f（ x） =2x+m 是定义在区间 1， 1上的 “局部奇函数 ”，求实数 m 的取值范围 （ 3）若 f（ x） =4x m2x+1+3 为定义域 R 上的 “局部奇函数 ”，求实数 m 的取值范围 2015年河南省鹤壁市高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，满分 60分，在每小题给出的四个选项中只有一个符合题目要求） 1已知集合 P=0， 1， 2， Q=y|y=3x，则 PQ=（ ） A 0， 1 B 1， 2 C 0， 1， 2 D 【考点】 交集及其运算 【专题】 集合 【分析】 根据集合的基本运算进行求解即可 【解答】 解： Q=y|y=3x=y|y 0， 则 PQ=1， 2， 故选： B 【点评】 本题主要考查集合的基本运算，比较基础 2下列各函数中，表示同一函数的是（ ） A y=x 与 （ a 0 且 a1） B 与 y=x+1 C 与 y=x 1 D y= 【考点】 判断两个函数是否为同一函数 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 根据函数相等的定义，主要求出两个函数的定义域 和解析式，比较是否一样即可 【解答】 解： A、 y=x 与 =x（ a 0 且 a1），且 f（ x）和 g（ x）的定义域都为 R，故 B、 的定义域为 x|x1，而 y=x+1 的定义域为 R，故 B 不对； C、 =|x| 1，而 y=x 1，表达式不同，故 C 不对； D、 x 0， y=定义域为 x|x 0，而 的定义域为 x|x0，故 D 不对； 故选 A 【点评】 本题考查判断两个函数是否为同一函数，解题的关键是理解函数的定义，理解函数的两要素函数的定义域与函数的对应法则 3函数 f（ x） = +3x+1）的定义域是（ ） A（ ， +） B（ ， 1） C（ ， ） D（ ， ） 【考点】 对数函数的定义域；函数的定义域及其求法 【专题】 计算题 【分析】 依题意可知要使函数有意义需要 1 x 0 且 3x+1 0，进而可求得 x 的范围 【解答】 解：要使函数有意义需 ， 解得 x 1 故选 B 【点评】 本题主要考查了对数函数的定义域属基础题 4半径 R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ） A 考点】 旋转体 （圆柱、圆锥、圆台） 【专题】 计算题 【分析】 求出扇形的弧长，然后求出圆锥的底面周长，转化为底面半径，求出圆锥的高，然后求出体积 【解答】 解： 2r=R，所以 r= ，则 h= ，所以 V= 故选 A 【点评】 本题是基础题，考查圆锥的展开图与圆锥之间的计算关系，圆锥体积的求法，考查计算能力 5函数 f（ x） =1 x）的图象为（ ） A B C D 【考点】 对数函数的图象与性质 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 由题中函数知，当 x=0 时， y=0，图象过原点，又依据对数函 数的性质知，此函数是减函数，根据此两点可得答案 【解答】 解：观察四个图的不同发现， A、 C 图中的图象过原点， 而当 x=0 时， y=0，故排除 B、 D；剩下 A 和 C 又由函数的单调性知，原函数是减函数，排除 C 故选 A 【点评】 本题考查对数函数的图象与性质，对于选择题，排除法是一种找出正确选项的很好的方式 6若直线 与直线 2x+3y 6=0 的交点位于第一象限，则直线 l 的倾斜角的取值范围（ ） A B C D 【考点】 直线的斜率；两条直线的交点坐标 【专题】 计算题 【分析】 联立两直线方 程到底一个二元一次方程组，求出方程组的解集即可得到交点的坐标，根据交点在第一象限得到横纵坐标都大于 0，联立得到关于 k 的不等式组，求出不等式组的解集即可得到 k 的范围，然后根据直线的倾斜角的正切值等于斜率 k，根据正切函数图象得到倾斜角的范围 【解答】 解：联立两直线方程得： ， 将 代入 得： x= ，把 代入 ，求得 y= ， 所以两直线的交点坐标为（ ， ）， 因为两直线的交点在第一象限，所以得到 ， 由 解得： k ；由 解得 k 或 k ，所以不等式的解集为： k ， 设直线 l 的倾斜角为 ，则 ，所以 （ ， ） 故选 B 【点评】 此题考查学生会根据两直线的方程求出交点的坐标，掌握象限点坐标的特点，掌握直线倾斜角与直线斜率的关系，是一道综合题 7设 m， n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A若 ， m， n，则 m n B若 ， m， n，则 m n C若 m n， m， n，则 D若 m ， m n， n ，则 【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用；平面与平面之间的位置关系 【专题】 空间 位置关系与距离；简易逻辑 【分析】 由 ， m， n，可推得 m n， m n，或 m， n 异面；由 ， m， n，可得m n，或 m， n 异面；由 m n， m， n，可得 与 可能相交或平行；由 m ， m n，则 n ，再由 n 可得 【解答】 解：选项 A，若 ， m， n，则可能 m n， m n，或 m， n 异面，故 A 错误； 选项 B，若 ， m， n，则 m n，或 m， n 异面，故 B 错误； 选项 C，若 m n， m， n，则 与 可能相交，也可能平行，故 C 错误； 选项 D，若 m ， m n，则 n ，再由 n 可得 ，故 D 正确 故选 D 【点评】 本题考查命题真假的判断与应用，涉及空间中直线与平面的位置关系，属基础题 8 设某几何体的三视图如图（长度单位为 则该几何体的最长的棱为（ ） A 4 考点】 由三视图求面积、体积 【专题】 数形结合；空间位置关系与距离；立体几何 【分析】 根据几何体的三视图，得出该几何体是侧面垂直于底面的三棱锥，结合图形，求出各条棱长，即可得出最长的侧棱长是多少 【解答】 解：根据几何体 的三视图，得 该几何体是如图所示的三棱锥 S 侧面 底面 又 D， 底面 又 E， C= = = = = = 最长的棱长是 4 故选： A 【点评】 本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是由三视图还原出几何体的结构特征，是中档题目 9已 知 A（ 1， 1）， B（ 3， 1）， C（ 1， 3），则 上的高所在的直线的 方程为（ ） A x+y+2=0 B x+y=0 C x y+2=0 D x y=0 【考点】 待定系数法求直线方程 【专题】 计算题；对应思想；综合法；直线与圆 【分析】 根据垂直关系求出高线的斜率，利用点斜式方程求出 【解答】 解：边 在直线的斜率 = 1， 上的高线斜率 k=1 又 上的高线经过点 A（ 1， 1）， 上的高线方程为 y 1=x+1，即 x y+2=0 故选 C 【点评】 本题考查了直线方程的求法，属于基础题 10已知三棱锥 S 所有顶点都在球 O 的 球面上， 平面 C=1，则球 O 的表面积是（ ） A 4 B C 3 D 【考点】 球的体积和表面积 【专题】 计算题；空间位置关系与距离；球 【分析】 由三棱锥 S 所有顶点都在球 O 的球面上， 平面 得 B 中点为球心，由勾股定理解得 由球的表面积公式计算即可得到 【解答】 解：如图，三棱锥 S 所有顶点都在球 O 的球面上， 平面 ， C=1， = ， = =2， 球 O 的半径 R= ， 球 O 的表面积 S=4 故选 A 【点评】 本题考查球的表面积的求法，合理地作出图形，确定球心，求出球半径，是解题的关键 11设两条直线的方程分别为 x+y+a=0 和 x+y+b=0，已知 a、 b 是关于 x 的方程 x2+x+c=0 的两个实根，且 0c ，则这两条直线间距 离的最大值和最小值分别为（ ） A B C D 【考点】 二次函数的性质 【专题】 计算题；函数的性质及应用 【分析】 利用方程的根，求出 a， b， c 的关系，求出平行线之间的距离表达 式，然后求解距离的最值 【解答】 解：因为 a， b 是方程 x2+x+c=0 的两个实根， 所以 a+b= 1， ab=c，两条直线之间的距离 d= ， 所以 = ， 因为 0c ， 所以 1 4c1， 即 ， ，所以两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是 ， 故选： D 【点评】 本题考查平行线之间的距离的求法，函数的最值的求法，考查计算能力 12已知函数 有两个零点 有（ ） A 0 B C 1 D 0 1 【考点】 函数的零点与方程根的关系；指数函数与对数函数的关系 【专题】 计算题；压轴题 【分析】 先将 f（ x） =|（ ） y=| y=2 后在同一坐标系中画出两函数的图象得到零点在（ 0， 1）和（ 1， +）内，即可得到 2 x1= 2 x2=lg 后两式相加即可求得 范围 【解答】 解： f（ x） =|（ ） y=| y=2 由题意 x 0，分别画 y=2 x和 y=|图象 发现在（ 0， 1）和（ 1， +）有两个交点 不妨设 （ 0， 1）里 （ 1， +）里 那么 在（ 0， 1）上有 2 2 x1= 在（ 1， +）有 2 x2=lg 相加有 2 2 x1=源 :学科网 Z X X K 2 2 2 2 0 0 0 1 故选 D 【点评】 本题主要考查确定函数零点所在区间的方法转化为 两个函数的交点问题函数的零点等价于函数与 x 轴的交点的横坐标，等价于对应方程的根 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 13直线 x+=0 与直线 m 2） x+3y+2m=0 互相平行，则 m 的值为 1 【考点】 两条直线平行的判定 【专题】 计算题 【分析】 利用两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，解方程求的 m 的值 【解答】 解：由于直线 x+=0 与直线 m 2） x+3y+2m=0 互相平行， ， m= 1， 故答案为 1 【点 评】 本题考查两直线平行的性质，两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比 14已知函数 是 R 上的增函数，那么实数 a 的取值范围是 ， 2） 【考点】 函数单调性的性质 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 根据 f（ x）为 R 上的增函数，便可根据一次函数和对数函数的单调性及单调性的定义有，解该不等式组即可得出实数 a 的取值范围 【解答】 解： f（ x）是 R 上的增函数； a 满足： ； 解得 ； 实数 a 的取值范围为 ， 2） 故答案为： ， 2） 【点评】 考查分段函数的单调性的特点，以及 一次函数和对数函数的单调性，以及增函数的定义 15曲线 与直线 y=k（ x 2） +4 有两个交点，则实数 k 的取值范围为 【考点】 直线与圆相交的性质 【专题】 数形结合；转化思想 【分析】 先确定曲线的性质，然后结合图形确定临界状态，结合直线与圆相交的性质，可解得 k 的取值范围 【解答】 解： 可化为 y 1） 2=4， y1，所以曲线为以（ 0， 1）为圆心， 2 为半径的圆 y1 的部分 直线 y=k（ x 2） +4 过定点 p（ 2， 4），由图知，当直线经过 A（ 2， 1）点时恰与曲线有两个交点，顺时针旋转到 与曲线相切时交点边为一个 且 = ，由直线与圆相切得 d= =2，解得 k= 则实数 k 的取值范围为 故答案为： 【点评】 本题考查直线与圆相交的性质，同时考查了学生数形结合的能力，是个基础题 16甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程 x）（ i=1， 2， 3， 4）关于时间 x（ x0）的函数关系式分别为 x） =2x 1， x） =x） =x， x） =x+1），有以下结论： 当 x 1 时，甲走在最前面； 当 x 1 时，乙走在最前面； 当 0 x 1 时，丁走在最前面，当 x 1 时，丁走在最前面； 丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面； 如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲 其中，正确结论的序号为 （把正确结论的序号都填上，多填或少填均不得分） 【考点】 函数解析式的求解及常用方法 【专题】 应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 根据指数型函数，幂函数，一次函数以及对数型函数的增长速度便可判断每个结论的正误，从而可写出正确结论的序号 【解答】 解：路程 x）（ i=1， 2， 3， 4）关于时间 x（ x0）的函 数关系式分别为： ， ， x） =x， x） =x+1）； 它们相应的函数模型分别是指数型函数，幂函数，一次函数，和对数型函数模型； 当 x=2 时， 2） =3， 2） =8， 该结论不正确； 指数型的增长速度大于幂函数的增长速度， x 1 时，甲总会超过乙的， 该结论不正确； 根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化是先快后慢，当 x=1 时甲、乙、丙、丁 四个物体重合，从而可知当 0 x 1 时，丁走在最前面，当 x 1 时，丁走在最后面， 该结论正确； 结合对数型和指数型函数的图象变化情 况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面， 该结 论正确； 指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体， 该结论正确； 正确结论的序号为： 故答案为： 【点评】 考查指数型函数，幂函数 y=y=x，以及对数型函数的增长速度的不同，取特值验证结论不成立的方法 三、解答题（本大题共 5小题，满分 70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算过程） 17已知集合 A=x| 2x7， B=x|m+1x2m 1，若 A B=A，求实数 m 的取值范围 【考点】 集合的包含关系判断及应用 【专题】 计算题；集合思想；综合法；集合 【分析】 由 A B=A，可得 BA，分两种情况考虑：当集合 B 不为空集时，得到 m+1 小于 2m 1列出不等式，求出不等式的解集得到 m 的范围，由 B 为 A 的子集，列出关于 m 的不等式，求出不等式的解集，找出 m 范围的交集得到 m 的取值范围；当集合 B 为空集时，符合题意，得出 m+1 大于 2m 1，列出不等式，求出不等式的解集得到 m 的范围，综上，得到所有满足题意的 m 范围 【解答】 解： A B=A， BA 分两种 情况考虑： （ i）若 B 不为空集，可得 m+12m 1，解得： m2， BA， A=x| 2x7， B=x|m+1 x 2m 1， m+1 2，且 2m 17，解得： 3m4， 此时 m 的范围为 2m4； （ B 为空集，符合题意，可得 m+1 2m 1，解得： m 2， 综上，实数 m 的范围为 m4 【点评】 本题考查两集合的包含关系，根据题意得出集合 B 为集合 A 的子集是解本题的关键 18如图，在三棱柱 ，侧棱 底面 ， ， ， ，点D 是 中点 （ ）求证： 平面 ）求证： ）求直线 平面 成的角的正切值 【考点】 直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定 【专题】 数形结合；综合法；空间位置关系与距离 【分析】 （ ）设 1C=O，由三角形的中位线性质可得 而利用线面平行的判定定理证明 平面 （ ）利用勾股定理证明 明 底面 得 由线面垂直的判定定理证得 平面 从而证得 B （ ）得到 直线 1成的角，解三角形即可 【解答】 解：（ ）如图： 设 1C=O，则 O 为 接 D 为 中点， 又 面 面 平面 （ ） 又 底面 底面 又 ， 平面 而 面 （ ）由（ ）得 平面 直线 斜线 平面 直线 平面 在 ， ， ， = ， 直线 平面 成的角的正切值为 【点评】 本题考查证明线线垂直、线面垂直、线面平行的方法，空间中直线与直线间的位置关系，属于中档题 19已知 f（ x）是二次函数，且 f（ 0） =0， f（ x+1） =f（ x） +x+1， （ 1）求 f（ x）的表达式； （ 2）若 f（ x） a 在 x 1， 1恒成立，求实数 a 的取值范围 【考点】 函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法；二次函数的性质 【专题】 计算题 【分析】 （ 1）根据函数类型设出函数的解析式，然后根据 f（ 0） =0， f（ x+1） =f（ x） +x+1，建立两个等式关系，解之即可； （ 2）要使 f（ x） a 在 x 1， 1恒成立，只需研究函数 f（ x）在闭区间 1， 1上的最小值即可，利用配方法结合二次函数的性质即可求出 f（ x）的最小值 【解答】 解：（ 1）设 f（ x） =bx+c f（ 0） =0 c=0 f（ x） =x） +x+1= b+1） x+1f（ x+1） =a（ x+1） 2+b（ x+1） = 2a+b） x+a+b f（ x+1） =f（ x） +x+1 2a+b） x+a+b= b+1） x+1 （ 2） f（ x） a 在 x 1， 1恒成立 x a 在 x 1， 1恒成立 在 x 1， 1恒成立 【点评】 本题主要考查了函数解析式的求解及待定系数法，以及函数恒成立问题，属于基础题 20已知长为 2 的线段 点为 C，当 线段 两个端点 A 和 B 分别在 x 轴和 y 轴上运动时，C 点的轨迹为曲线 （ 1）求曲线 （ 2）直线 ax+ 与曲线 交于 C、 D 两点（ a， b 是实数），且 直角三角形（ O 是坐标原点），求点 P（ a， b）与点（ 0， 1）之间距离的最小值 【考点】 直线和圆的方程的应用 【专题】 计算题；转化思想；转化法；直线与圆 【分析】 （ 1）设 C 点坐标为（ x， y），根据中点坐标公式，得到 A 点坐标为（ 2x， 0）， B 点坐标为（ 0， 2y），由 |2，即可求出曲线 （ 2）先求出， 等腰直角三角形， | ，再根据点到直线的距离公式得到 = ，再由点到点的距离公式，根据函数的性质即可求出 【解答】 解：（ 1）设 C 点坐标为（ x， y），则 A 点坐标为（ 2x， 0）， B 点坐标为（ 0， 2y），由 |2，得（ 2x 0） 2+（ 0 2y） 2=4， 化简得 x2+， 所以曲线 方程 x2+， （ 2）由曲线 x2+ 可知圆心（ 0， 0），半径为 1， 所以 |1， 等腰直角三角形， | ， 圆心（ 0， 0）到直线 ax+ 的距离 = ， 即 2a2+， 所以 b ） 点 P（ a， b）与点（ 0， 1）之间距离| = = = ， 当 b= 时， |到最小值 | = 1 【点评】 本题考查了点的轨迹方程，点到直线的距离，点到点的距离，以及函数的性质，属于中档题 21定义：对于函数 f（ x），若在定义域内存在实数 x，满足 f（ x） = f（ x），则称 f（ x）为 “局部奇函数 ” （ 1）已知二次函数 f（ x） =x 4a（ aR），试判断 f（ x）是否为定义域 R 上的 “局部奇函数 ”？若是，求出满足 f（ x） = f（ x）的 x 的值；若不是，请说明理由； （ 2）若 f（ x） =2x+m 是定义在区间 1