浙江省嘉兴市2015-2016学年高一上期末数学试卷含答案解析

2015）期末数学试卷 一、选择题（本大题有 10小题，每小题 4分，共 40分请从 A， B， C， 出一个符合题意的正确选项，填入答题卷，不选，多选，错选均得零分） 1已知集合 M=1， 2， 3， N=2， 3， 4，则（ ） A MN B NM C MN=2， 3 D M N=1， 4 2已知函数 ，则 的值是（ ） A B 9 C 9 D 3若非零向量 ， 满足 ，则 与 的夹角为（ ） A B C D 4下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） A y=x+ C D 5函数 f（ x） =x 3+零点所在的区间是（ ） A（ 0， 1） B（ 1， 3） C（ 3， 4） D（ 4， +） 6在 ，已知 D 是 长线上一点，若 ，点 E 为线段 中点， ，则 =（ ） A B C D 7函数 f（ x） =（ 1 x） |x 3|在（ ， a上取得最小值 1，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ ， 2 B C D 2， +） 8设奇函数 f（ x）在（ 0， +）上为增函数，且 ，则不等式 xf（ x） f（ x） 0的解集为（ ） A BC D 9如图，在等腰直角三角形 ， ， D， E 是线段 的点，且 ，则的取值范围是（ ） A B C D 10设函数 ，则满足 f（ f（ a） =2f（ a） 的 a 取值范围是（ ） A B C D 二、填空题（本大题有 8小题，每小题 3分，共 24分，请将答案写在答题卷上） 11 = 12已知定义在 R 上的偶函数 f（ x），当 x 0 时， f（ x） = = 13已知不论 a 为何正实数， y= 3 的图象恒过定点，则这个定点的坐标是 14设向量 不平行，向量 与 平行，则实数 = 15若方程 |2x 1|=a 有唯一实数解，则 a 的取值范围是 16如图，定圆 C 的半径为 4， A 为圆 C 上的一个定点， B 为圆 C 上的动点，若点 A， B， C 不共线，且 对任意的 t（ 0， +）恒成立，则 = 17设非空集合 S=x|mxl对任意的 xS，都有 ，若 ，则 l 的取值范围 18已知关于 x 的函数 y= （ tR）的定义域为 D，存在区间 a， bD， f（ x）的值域也是 a， b当 t 变化时， b a 的最大值 = 三、解答题（本大题有 4小题，共 36分，请将解答过程写在答题卷上） 19已知函数 f（ x） =x 2）的定义域为集合 A，函数 ， x0， 9的值域为集合B， （ 1）求 AB； （ 2）若 C=x|3x 2m 1，且（ AB） C，求实数 m 的 取值范围 20已知向量 是同一平面内的三个向量，其中 （ 1）若 ，且向量 与向量 反向，求 的坐标； （ 2）若 ，且 ，求 与 的夹角 21已知函数 （ 1）判断 f（ x）的奇偶性； （ 2）当 x 1， 1时， f（ x） m 恒成立，求 m 的取值范围 22已知函数 f（ x） =bx+c（ a， b， cR 且 a0），若对任意实数 x，不等式 2xf（ x） （ x+1）2 恒成立 （ 1）求 f（ 1）的值； （ 2）求 a 的取值范围； （ 3）若函数 g（ x） =f（ x） +2a|x 1|， x 2， 2的最小值为 1，求 a 的值 2015）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（ 本大题有 10小题，每小题 4分，共 40分请从 A， B， C， 出一个符合题意的正确选项，填入答题卷，不选，多选，错选均得零分） 1已知集合 M=1， 2， 3， N=2， 3， 4，则（ ） A MN B NM C MN=2， 3 D M N=1， 4 【考点】 交集及其运算 【专题】 计算题 【分析】 利用直接法求解，分别求出两个集合的交集与并 集，观察两个集合的包含关系即可 【解答】 解： MN =1， 2， 32， 3， 4 =2， 3 故选 C 【点评】 本题主要考查了集合的交集与子集的运算，属于容易题 2已知函数 ，则 的值是（ ） A B 9 C 9 D 【考点】 函数的值 【分析】 由已知条件利用分段函数的性质求解 【解答】 解： ， f（ ） = = 2， =3 2= 故答案为： 故选： A 【点评】 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用 3若非零向量 ， 满足 ，则 与 的夹角为（ ） A B C D 【考点】 平面向量数量积的运算 【专题】 计算题；对应思想；综合法；平面向量及应用 【分析】 对 两边平方求出数量积与模长的关系，代入夹角公式计算 【解答】 解：设 =t，则 2 = = ， = = = 故选 D 【点评】 本题考查了平面向量的数量积运算，夹角计算，属于基础题 4下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） A y=x+ C D 【考点】 函数奇偶性的判 断 【专题】 计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 先求函数的定义域，看是否关于原点对称，再计算 f（ x）与 f（ x）的关系，即可判断出奇偶性 【解答】 解： A其定义域为 R，关于原点对称，但是 f（ x） = x+e xf（ x），因此为非奇非偶函数； B定义域为 x|x0，关于原点对称，又 f（ x） = x = f（ x），因此为奇函数； C定义域为 xR，关于原点对称，又 f（ x） = = f（ x），因此为奇函数； D定义域为 xR，关于原点对称，又 f（ x） = =f（ x），因此为 偶函数； 故选： A 【点评】 本题考查了函数的定义域求法、函数奇偶性的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 5函数 f（ x） =x 3+零点 所在的区间是（ ） A（ 0， 1） B（ 1， 3） C（ 3， 4） D（ 4， +） 【考点】 函数零点的判定定理 【专题】 计算题 【分析】 根据零点的性质，依次验证每个选项即可得解 【解答】 解： y1=x 单调递增， y2=调递增 f（ x） =x 3+调递增 又 f（ 1） =1 3+0 0， f（ 3） =3 3+1=1 0 当 x（ 0， 1）时， f（ x） f（ 1） 0， 当 x（ 3， 4）或 x（ 4， +）时， f（ x） f（ 3） 0 函数 f（ x） =x 3+零点在（ 1， 3）内 故选 B 【点评】 本题考查函数的零点，要求熟练掌握零点的性质属简单题 6在 ，已知 D 是 长线上一点，若 ，点 E 为线段 中点， ，则 =（ ） A B C D 【考点】 平面向量的基本定理及其意义 【专题】 计算题；数形结合；转化思想；平面向量及应用 【分析】 由 = ， = ， ， ，代入化简即可得出 【解答】 解： = ， = ， ， ， 代入可得： = + = + ， 与 ，比较， 可得： = 故选： B 【点评】 本题考查了向量共线定理、向量的三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 7函数 f（ x） =（ 1 x） |x 3|在（ ， a上取得最小值 1，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ ， 2 B C D 2， +） 【考点】 函数的最值及其几何意义；分段函数的应用 【专题】 计算题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用 【分析】 由零点分段法，我们可将函数 f（ x） =（ 1 x） |x 3|的解析式化为分段函数的形式，然后根据分段函数分段处理的原则，画出函数的图象，进而结合图象数形结合，可得实数 a 的集合 【解答】 解： 函数 f（ x） =（ 1 x） |x 3|= ， 其函数图象如下图所示： 由函数图象可得： 函数 f（ x） =（ 1 x） |x 3|在（ ， a上取得最小值 1， 当 x3 时， f（ x） = x 3= 1，解得 x=2+ ， 当 x 3 时， f（ x） =4x+3= 1，解得 x=2， 实数 a 须满足 2a2+ 故实数 a 的集合是 2， 2+ 故选： C 【点评】 本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，其中根据分段函数图象分段画的原则，画出函数的图象是解答本题的关键 8设奇函数 f（ x）在（ 0， +）上为增函数，且 ，则不等式 xf（ x） f（ x） 0的解集为（ ） A BC D 【考点】 奇偶性与单调性的综合 【专题】 计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 根据条件可以得到 f（ x）在（ ， 0）上为增函数，且 ， f（ x）为奇函数，便有 f（ x） = f（ x），从而不等式 xf（ x） f（ x） 0 可变成 x） 0，从而可得到，或 ，根据 f（ x）的单调性便可解出这两个不等式组，从而便求出原不等式的解集 【解答】 解： f（ x）为奇函数，在（ 0， +）上为增函数； f（ x）在（ ， 0）上为增函数； f（ ） =0， ； 由 xf（ x） f（ x） 0 得， 2x） 0； x） 0； ，或 ； 即 ，或 ； 根据 f（ x）的单调性解得 ，或 ； 原不等式的解集为 故选： B 【点评】 考查奇函数的定义，奇函数在对称区间上的单调性特点，两个因式乘积的不等式转化成不等式组求解的方法，根据增函数的 定义解不等式的方法 9如图，在等腰直角三角形 ， ， D， E 是线段 的点，且 ，则的取值范围是（ ） A B C D 【考点】 平面向量数量积的运算 【专题】 函数思想；数形结合法；平面向量及应用 【分析】 建立平面直角坐标系，设 D（ x， 0）则 E（ x+ ， 0），则 可表示为关于 x 的函数，根据 x 的范围求出函数的值域 【解答】 解：以 在直线为 x 轴，以 中垂线为 y 轴建立平面直角坐标系， 则 A（ 0， 1）， B（ 1， 0）， C（ 1， 0），设 D（ x， 0），则 E（ x+ ， 0） ， 1x =（ x， 1）， =（ x+ ， 1）， =x+1=（ x+ ） 2+ 当 x= 时， 取得最小值 ，当 x= 1 或 时， 取得最大值 故选： A 【点评】 本题考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系是常用解题方法，属于中档题 10设函数 ，则满足 f（ f（ a） =2f（ a） 的 a 取值范围是（ ） A B C D 【考点】 分段函数的应用； 函数的值 【专题】 计算题；分类讨论；综合法；函数的性质及应用 【分析】 根据分段函数的表达式进行讨论进行求解即 可 【解答】 解：当 a3 时， f（ f（ a） =f（ 2a） = ，所以 a3 符合题意； 当 时， f（ a） =3a 13，所以 f（ f（ a） =f（ 3a 1） =23a 1=2f（ a） ， 所以 符合题意； 当 时， f（ a） =3a 1 3，所以 f（ f（ a） =f（ 3a 1） =9a 4=23a 1， 结合图象知：只 有当 时符合题意； 综上所述， a 的取值范围为 故选： D 【点评】 本题主要考查分段函数的应用，根据条件进行分类讨论是解决本题的关键 二、填空题（本大题有 8小题，每小题 3分，共 24分，请将答案写在答题卷上） 11 = 0 【考点】 对数的运算性质 【专题】 计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 利用对数运算法则求解 【解答】 解： = =0 故答案为： 0 【点评】 本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数性质、运算法则的合理运用 12已知定义在 R 上的偶函数 f（ x），当 x 0 时， f（ x） = = 【考点】 函数奇偶性的性质 【专题】 计算题；函数思想；综合 法；函数的性质及应用 【分析】 先由函数是偶函数得 f（ x） =f（ x），再利用 x 0 时， f（ x） =可求出 【解答】 解： 函数 y=f（ x）是偶函数， f（ x） =f（ x）， x 0 时， f（ x） = =f（ ） = 故答案为： 【点评】 本题考查了函数奇偶性的性质，以及将未知转化为已知的转化化归思想，是个基础题 13已知不论 a 为何正实数， y= 3 的图象恒过定点，则这个定点的坐标是 （ 2， 2） 【考点】 指数函数的图象变换 【专题】 函数思想；数 学模型法；函数的性质及应用 【分析】 令 x+2=0，则由 恒成立可得答案 【解答】 解：令 x+2=0，则 x= 2， y= 2， 故 y= 3 的图象恒过定点（ 2， 2）， 故答案为：（ 2， 2） 【点评】 本题考查的知识点是指数函数的图象和性质，熟练掌握不论 a 为何正实数， 恒成立，是解答的关键 14设向量 不平行，向量 与 平行，则实数 = 【考点】 平行向量与共线向量 【专题】 计算题；方程思想；定义法；平面向量及应用 【分析】 根据向量平行的共线定理，列出方程求出 的值 【解答】 解： 向量 与 平行， 存在 R，使 + =（ 3 +2 ）， ， 解得 = ， = 故答案为： 【点评】 本题考查了平面向量共线定理的应用问题，是基础题目 15若方程 |2x 1|=a 有唯一实数解，则 a 的取值范围是 a1 或 a=0 【考点】 根的存在性及根的个数判断 【专题】 计算题；作图题；转化思想；数形结合法；函数的性质及应用 【分析】 作函数 y=|2x 1|的图象，从而结合图象讨论方程的根的个数即可 【解答】 解：作函数 y=|2x 1|的图象如下， ， 结合图象可知 ， 当 a=0 时，方程 |2x 1|=a 有唯一实数解， 当 0 a 1 时，方程 |2x 1|=a 有两个实数解， 当 a1 时，方程 |2x 1|=a 有唯一实数解， 故答案为： a1 或 a=0 【点评】 本题考查了函数的图象与方程的根的关系应用及数形结合方法的应用 16如图，定圆 C 的半径为 4， A 为圆 C 上的一个定点， B 为圆 C 上的动点，若点 A， B， C 不共线，且 对任意的 t（ 0， +）恒成立，则 = 16 【考点】 平面向量数量积的运算 【专题】 函数思想；综合法；平面向量及应用 【分析】 对 =| |两边平方， 得到关于 t 的二次不等式在（ 0， +）上恒成立，讨论判别式和根的范围列出不等式解出 【解答】 解： =| |， 2t + 2 + ， 8t + 80 在（ 0， +）上恒成立， =（ ） 2 32（ 8） =（ 16） 20， 若 =0， =16，则 8t + 80 在 R 上恒成立，符合题意； 若 0， 16，则 8t + 8=0 的最大解 0 当 16 时， 0，解得 =8（舍去） 当 16 时， ，不符合题意 综上， =16 故答案为 16 【点评】 本题考查了平面向量的数量积运算，二次函数恒成立问题，属于中档题 17设非空集合 S=x|mxl对任意的 xS，都有 ，若 ，则 l 的取值范围 【考点】 元素与集合关系的判断 【专题】 计算题；转化思想；集合思想；不等式的解法及应用；集合 【分析】 由 m 的范围求得 S，再由题意列关于 l 的不等式组 ，解该不等式组即得 【解答】 解：由 m= 时，得 S，则 ， 解得： l1； l 的范围是 ， 1 故答案为： 【点评】 本题考查元素与集 合的关系的判断，正确理解题意是关键，是基础题 18已知关于 x 的函数 y= （ tR）的定义域为 D，存在区间 a， bD， f（ x）的值域也是 a， b当 t 变化时， b a 的最大值 = 【考点】 函数的定义域及其求法；函数的值域 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 由函数的单调性可得 a=f（ a），且 b=f（ b），故 a、 b 是方程 t 1） x+ 的两个同号的实数根由判别式大于 0，容易求得 t（ 1， ）由韦达定理可得 ba= = ，利用二次函数的性质求得 b a 的最大值 【解答】 解： 关于 x 的函数 y=f（ x） = =（ 1 t） 的定义域为（ ， 0） （ 0，+）， 且函数在（ ， 0）、（ 0， +）上都是增函数 故有 a=f（ a），且 b=f（ b），即 a= ， b= 即 t 1） a+，且 t 1） b+， 故 a、 b 是方程 t 1） x+ 的两个同号的实数根 由判别式大于 0，容易求得 t（ 1， ） 而当 t=0 时，函数为 y=1，不满足条件，故 t（ 1， ）且 t0 由韦达定理可得 b a= = ，故当 t= 时， b a 取得最大值为， 故答 案为： 【点评】 本题主要考查求函数的定义域， 以及二次函数的性质，求函数的最值，属于中档题 三、解答题（本大题有 4小题，共 36分，请将解答过程写在答题卷上） 19已知函数 f（ x） =x 2）的定义域为集合 A，函数 ， x0， 9的值域为集合B， （ 1）求 AB； （ 2）若 C=x|3x 2m 1，且（ AB） C，求实数 m 的取值范围 【考点】 集合的包含关系判断及应用；交集及其运算 【专题】 计算题；集合思想；不等式的解法及应用；集合 【分析】 （ 1）由对数函数的定义域求出集合 A， 由函数 ， x0， 9的值域求出集合 B，则 AB 可求； （ 2）由集合 C 化为 且（ AB） C 得到不等式 ，求解不等式即可得到实数 m 的取值范围 【解答】 解：（ 1）已知函数 f（ x） =x 2）的定义域为集合 A，函数 ， x0，9的值域为集合 B， 则 A=x|x 2 0=x|x 1 或 x 2， B=x|0x3， AB=x|x 1 或 x 2x|0x3=x|2 x3； （ 2） 且（ AB） C， ，即 m 5 【点评】 本题考查了集合的包含关系判断及应用 ，考查了函数的定义域及值域的求法，考查了交集及其运算，是中档题 20已知向量 是同一平面内的三个向量，其中 （ 1）若 ，且向量 与向量 反向，求 的坐标； （ 2）若 ，且 ，求 与 的夹角 【考点】 平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算 【专题】 计算题；对应思想；综合法；平面向量及应用 【分析】 （ 1）令 ，根据模长关系列方程解出 ； （ 2）将 展开求出 ，代入夹角公式计算 【解答】 解：（ 1）设 ， （ 2） | |= ， ， 2=5， 2= ， 2 2+3 2 2= +3 = ， ， 【点评】 本题考查了平面向量的数量积运算，模长计算，属于基础题 21已知函数 （ 1）判断 f（ x）的奇偶性； （ 2）当 x 1， 1时， f（ x） m 恒成立，求 m 的取值范围 【考点】 函数恒成立问题；函数奇偶性的判断 【专题】 综合题；函数思想；综合法；简易逻辑 【分析】 （ 1）根据函数奇偶性的定义判断即可；（ 2）根据函数单调性的定义判断其单调性，从而求出函数的最小值，求出 m 的范围 【解答】 解：（ 1）在函数 f（ x）的定义域 R 上任取 一自变量 x 因为 = f（ x）， 所以函数 f（ x）为奇函数； （ 3 分） （ 2）当 a 1 时，在 1， 1上任取 = ， 0， f（ f（ 0 所以函数 f（ x）在 x 1， 1时为增函数， （ 4 分） 当 0 a 1 时，同理可证函数 f（ x）在 x 1， 1时为增函数， ， 所以 m1 （ 3 分） 【点评】 本题考查了函数恒成立问题，考查函数的单调性、奇偶性问题，是一道基础题 22已知函数 f（ x） =bx+c（ a， b， cR 且 a0），若对任意实数 x，不等式 2xf（ x） （ x+1）2 恒成立 （ 1）求 f（ 1）的值； （ 2）求 a 的取值范围； （ 3）若函数 g（ x） =f（ x） +2a|x 1|， x 2， 2的最小值为 1，求 a 的值 【考点】 二次函数的性质 【专题】 分类讨论；分析法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用 【分析】 （ 1）在给出的不等式中，令 x=1，根据这个条件可求