山东省枣庄市2015-2016学年高一上期末数学试卷含答案解析

2015年山东省枣庄市高一（上）期末数学试卷 一、本大题共 10小题，每小题 5分，共 50分 有一项是符合题目要求的 . 1设集合 A=1， 2， 3，集合 B=2， 3， 4，则 AB=（ ） A 1 B 1， 4 C 2， 3 D 1， 2， 3， 4 2直线 x y+1=0 的倾斜角的大小为（ ） A 30 B 60 C 120 D 150 3下列四组函数中，表示相等函数的一组是（ ） A f（ x） =1， f（ x） = f（ x） =|x|， f（ t） = C f（ x） = ， g（ x） =x+1 D f（ x） = ， g（ x） = 4圆锥的底面半径为 2，高为 ，则圆锥的侧面积为（ ） A 3 B 12 C 5 D 6 5函数 f（ x） =x 3 的零点所在区间为（ ） A（ 0， 1） B（ 1， 2） C（ 2， 3） D（ 3， 4） 6设 m， n 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，给出下列四个命题： 若 m ， n ，则 m n 若 ， ， m ，则 m 若 m ， n ，则 m n 若 ， ，则 其中正确命题的序号是（ ） A 和 B 和 C 和 D 和 7有两件事和四个图象，两件事为： 我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家找到作业本再上学； 我出发后，心情轻松，缓缓前行，后来为了赶时间开始加速，四个图象如下： 与事件 ， 对应的图象分别为（ ） A a， b B a， c C d， b D d， c 8已知指数函数 y=（ 2a 1） 1， +）上是减函数，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ ， 1） B（ 1， +） C（ ， 1） D 1， +） 9在一定的储存温度范围内，某食品的保鲜时间 y（单位：小时）与储存温度 x（单位： ）满足函数关系 y=b（ e=自然对数的底数， k、 b 为常数）若该食品在 0 的保鲜时间为 200小时，在 30 的保鲜时间是 25 小时，则该食品在 20 的保鲜时间是（ ） A 40 小时 B 50 小时 C 60 小时 D 80 小时 10在 ，若顶点 B、 C 的坐标分别是（ a， 0）和（ a， 0），其中 a 0， G 为 重心（三角形三条中线的交点），若 |2，则点 G 的轨迹方程是（ ） A x2+（ y0） B x2+（ y0） C x2+（ y0） D x2+y2=y0） 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5分，共 25分 . 11 27 2 的值为 12若幂函数 y=， ），则 ma 的值为 13已知两条平行直线 3x+4y+1=0 与 6x+2=0 间的距离为 d，则 的值为 14一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积 是 15下列结论正确的是 f（ x） =1+2（ a 0，且 a1）的图象经过定点（ 1， 3）； 已知 x=4y= ，则 x+2y 的值为 3； 若 f（ x） =x3+6，且 f（ 2） =6，则 f（ 2） =18； f（ x） =x（ ）为偶函数； 已知集合 A= 1， 1， B=x|，且 BA，则 m 的值为 1 或 1 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 16已知集合 A=x|y=1 x） ， B 是 函数 f（ x） = x+m（ mR）的值域 （ 1）分别用区间表示集合 A， B； （ 2）当 AB=A 时，求 m 的取值范围 17已知函数 f（ x）是奇函数，当 x（ ， 0）时， f（ x） = （ 1）求 f（ 1）的值； （ 2）求函数 f（ x）在（ 0， +）上的解析式； （ 3）判断函数 f（ x）在（ 0， +）上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论 18在 ， 上的高所在直线的方程为 x+2y+3=0， A 的平分线所在直线的方程为 y=0，若点 B 的坐标为（ 1， 2），分别求点 A 和点 C 的坐标 19如图，平面 平面 边形 矩形，且 F、 G 分别为中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）求证：平面 平面 20已知函数 f（ x） =2x） 4x），且 x4 （ 1）求 f（ ）的值； （ 2）若令 t=实数 t 的取值范围； （ 3）将 y=f（ x）表示成以 t（ t=自变量的函数，并由此求函数 y=f（ x）的最小值与最大值及与之对应的 x 的值 21已知圆 C 的圆心在直线 x 2y=0 上 （ 1）若圆 C 与 y 轴的正半轴相切，且该圆截 x 轴所得弦的长为 2 ，求圆 C 的标准方程； （ 2）在（ 1）的条件下，直线 l： y= 2x+b 与圆 C 交于两点 A， B，若以 直径的圆过坐标原点O，求实数 b 的值； （ 3）已知点 N（ 0， 3），圆 C 的半径为 3，且圆心 C 在第一象限，若圆 C 上存在点 M，使 O 为坐标原点），求圆心 C 的纵坐标的取值范围 2015年山东省枣庄市高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、本大题共 10小题，每小题 5分，共 50分 有 一项是符合题目要求的 . 1设集合 A=1， 2， 3，集合 B=2， 3， 4，则 AB=（ ） A 1 B 1， 4 C 2， 3 D 1， 2， 3， 4 【考点】 交集及其运算 【专题】 计算题 【分析】 集合 A 和集合 B 的公共元素构成集合 AB，由此利用集合 A=1， 2， 3，集合 B=2， 3，4，能求出集合 AB 【解答】 解： A=1， 2， 3，集合 B=2， 3， 4， 集合 AB=2， 3 故选 C 【点评】 本题考查集合的交集及其运算，是基础题解题时要认真审题，仔细解答 2直线 x y+1=0 的倾斜角的大小为（ ） A 30 B 60 C 120 D 150 【考点】 直线的倾斜角 【专题】 转化思想；直线与圆 【分析】 设直线 x y+1=0 的倾斜角为 ，则 ， 0， 180）即可得出 【解答】 解：设直线 x y+1=0 的倾斜角为 ， 则 ， 0， 180） =60， 故选： B 【点评】 本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 3下列四组函数中，表示 相等函数的一组是（ ） A f（ x） =1， f（ x） = f（ x） =|x|， f（ t） = C f（ x） = ， g（ x） =x+1 D f（ x） = ， g（ x） = 【考点】 判断两个函数是否为同一函数 【专题】 对应思想；定义法；函数的性质及应用 【分析】 根据两个函数是同一个函数的定义，函数的三要素均相等，或两个函数的图象一致，根据函数的定义域与函数的解析式一致时，函数的值域一定相同，逐一分析四个答案中两个函数的定义域和解析式是否一致，即可得到答案 【解答】 解：对于 A， f（ x） =1（ R），与 f（ x） =（ x0）的定义域 不同，故不表示相等函数； 对于 B， f（ x） =|x|（ xR），与 f（ t） = =|t|（ tR）的解析式相同，且定义域也相同，故表示相等函数； 对于 C， f（ x） = =x+1（ x1），与 f（ x） =x+ 1（ xR）的定义域不同，故不表示相等函数； 对于 D， f（ x） = = （ x1），与 g（ x） = （ x 1 或 x1）的定义域不相同，故不表示相等函数 故选： B 【点评】 本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，解题时应正确理解两个函数表示同一函数的概念，是基础题目 4圆锥的底面半径为 2，高 为 ，则圆锥的侧面积为（ ） A 3 B 12 C 5 D 6 【考点】 旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 【专题】 对应思想；综合法；立体几何 【分析】 求出圆锥的母线，代入侧面积公式即可 【解答】 解：圆锥的母线 l= =3， 圆锥的侧面积 S=23=6 故选： D 【点评】 本题考查了圆锥的结构特征和侧面积计算，属于基础题 5函数 f（ x） =x 3 的零点所在区间为（ ） A（ 0， 1） B（ 1， 2） C（ 2， 3） D（ 3， 4） 【考点】 二分法求方程的近似解 【专 题】 计算题 【分析】 根据对数函数单调性和函数单调性的运算法则，可得 f（ x） =x 3 在（ 0， +）上是增函数，再通过计算 f（ 1）、 f（ 2）、 f（ 3）的值，发现 f（ 2） f（ 3） 0，即可得到零点所在区间 【解答】 解： f（ x） =x 3 在（ 0， +）上是增函数 f（ 1） = 2 0， f（ 2） =1 0， f（ 3） =0 f（ 2） f（ 3） 0，根据零点存在性定理，可得函数 f（ x） =x 3 的零点所在区间为（ 2， 3） 故选 C 【点评】 本题给出含有对数的函数，求它的零点所在的区间 ，着重考查了基本初等函数的单调性和函数零点存在性定理等知识，属于基础题 6设 m， n 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，给出下列四个命题： 若 m ， n ，则 m n 若 ， ， m ，则 m 若 m ， n ，则 m n 若 ， ，则 其中正确命题的序号是（ ） A 和 B 和 C 和 D 和 【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面 之间的位置关系 【专题】 证明 题；压轴题；空间位置关系与距离 【分析】 根据线面平行性质定理，结合线面垂直的定义，可得 是真命题；根据面面平行的性质结合线面垂直的性质，可得 是真命题；在正方体中举出反例，可得平行于同一个平面的两条直线不一定平行，垂直于 同一个平面和两个平面也不一定平行，可得 不正确由此可得本题的答案 来 【解答】 解：对于 ，因为 n ，所以经过 n 作平面 ，使 =l，可得 n l， 又因为 m ， l，所以 m l，结合 n l 得 m n由此可得 是真命题； 对于 ，因为 且 ，所以 ，结合 m ，可得 m ，故 是真命题； 对于 ，设直线 m、 n 是位于正方体上底面所在平面内的相交直线， 而平面 是正方体下底面所在的平面， 则有 m 且 n 成立，但不能推出 m n，故 不正确； 对于 ，设平面 、 、 是位于正方体经过同一个顶点的三个面， 则有 且 ，但是 ，推不出 ，故 不正确 综上所述，其中正确命题的序号是 和 故选： A 【点评】 本题给出关于空间 线面位置关系的命 题，要我们找出其中的真命题，着重考查了线面平行、面面平行的性质和线面垂直、面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题 7有两件事和四个图象，两件事为： 我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家找到作业本再上学； 我出发后，心情轻松，缓缓前行，后来为了赶时间开始加速，四个图象如下： 与事件 ， 对应的图象分别为（ ） A a， b B a， c C d， b D d， c 【考点】 函数的图象 【专题】 计算题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用 【分析】 由实际背景出发确定图象的特征，从而解得 【解答】 解： 我离开家不久，发现自己把作业本放在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学，中间有回到家的过程，故 d 成立； 我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速，故 b 成立 故选： C 【点评】 本题考查的知识点是函数的图象，我们分析实际情况中离家距离随时间变化的趋势，找出关键的图象特征，对四个图象进行分析，即可得到答案 8已知指数函数 y=（ 2a 1） 1， +）上是减函数，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ ， 1） B（ 1， +） C（ ， 1） D 1， +） 【考点】 指数函数的图象与性质 【专题】 计算题；函数思想；函数的性质及应用；不等式的解法及 应用 【分析】 由题意可知， 0 2a 1 1，求解一元一次不等式得答案 【解答】 解： 指数函数 y=（ 2a 1） 1， +）上是减函数， 0 2a 1 1，即 故选： A 【点评】 本题考查指数函数的图象和性质，考查了指数函数的单调性，是基础题 9在一定的储存温度范围内，某食品的保鲜时间 y（单位：小时）与储存温度 x（单位： ）满足函数关系 y=b（ e=自然对数的底数， k、 b 为常数）若该食品在 0 的保鲜时间为 200小时，在 30 的保鲜时间是 25 小时，则该食品在 20 的保鲜时间是（ ） A 40 小 时 B 50 小时 C 60 小时 D 80 小时 【考点】 函数的值；函数解析式的求解及常用方法 【专题】 计算题；应用题；方程思想；函数的性质及应用 来源 :【分析】 由题意得 ，从而可得 ，而 ，从而解得 【解答】 解：由题意得， ， 故 = ， 故 b= 200=50， 故选： B 【点评】 本题考查了指数函数的变形 应用及指数运算的应用 10在 ，若顶点 B、 C 的坐标分别是（ a， 0）和（ a， 0），其中 a 0， G 为 重心（三角形三条中线的交点），若 |2，则点 G 的轨迹方程是（ ） A x2+（ y0） B x2+（ y0） C x2+（ y0） D x2+y2=y0） 【考点】 轨迹方程 【专题】 计算题；方程思想；综合法；直线与圆 【分析】 由题意， |1，即可得出结论 【解答】 解：由题意， | 1， 设 G（ x， y）（ y0），则 x2+（ y0）， 故选： A 【点评】 本题考查轨迹方程，考查学生的计算能力，正确理解重心的概念是关键 二、填空题： 本大题共 5 小题，每小题 5分，共 25分 . 11 27 2 的值为 0 【考点】 根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【专题】 计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用 【分析】 直接利用有理指数幂的运算性质及对数的运算性质化简求值 【解答】 解： 27 2 = = =0 故答案为： 0 【点评】 本题考查有理指数幂的运算性质及对数的运算性质，是基础的计算题 12若幂函数 y=， ），则 ma 的值为 【考点】 幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【专题】 对应思想；待定系数法；函数的性质及应用 【分析】 根据幂函数的定义与性质，求出 m 与 a 的值，即可计算 ma 的值 【解答】 解： 幂函数 y=， ）， ， 解得 m=1， a= ； ma=1 故答案为： 【点评】 本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题目 13已知两条平行直线 3x+4y+1=0 与 6x+2=0 间的距离为 d，则 的值为 8 【考点】 两条平行直线间的距离 【专题】 转化思想；直线与圆 【分析】 直线 6x+2=0 化为： 3x+ y+6=0由于两条平行直线 3x+4y+1=0 与 6x+2=0 间的距离为 d， = ，解得 a再利用两条平行线 之间的距离公式即可得出 【解答】 解：直线 6x+2=0 化为： 3x+ y+6=0 两条平行直线 3x+4y+1=0 与 6x+2=0 间的距离为 d， = ，解得 a=8 d= =1 =8 故答案为： 8 【点评】 本题考查了平行线的性质、两条平行线之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 14一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是 32 【考点】 由三视图求面积、体积 【专题】 计算题；数形结合；定义法；立体几何 【分析】 根据三视图求出该四棱锥的底面菱形的面积，再求出四棱锥的高，从而计算出体积 【解答】 解：根据三视图得， 该四棱锥的底面是菱形，且菱形的对角线分别为 8 和 4， 菱形的面积为 84=16； 又该四棱锥的高为 =6， 所以该四棱锥的体积为 166=32 故答案为： 32 【点评】 本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题时应根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题 15下列结论正确的是 f（ x） =1+2（ a 0，且 a1）的图象经过定点（ 1， 3）； 已知 x=4y= ，则 x+2y 的值为 3； 若 f（ x） =x3+6，且 f（ 2） =6，则 f（ 2） =18； f（ x） =x（ ）为偶函数； 已知集合 A= 1， 1， B=x|，且 BA，则 m 的值为 1 或 1 【考点】 命题的真假判断与应用 【专题】 证明题；定义法；函数的性质及应用；简易逻辑 【分析】 根据指数函数的性质进行判断， 根据对数的运算法则进行判断 根据函数的运算性质进行运算， 根据偶函数 的定义进行判断， 根据集合关系，利用排除法进行判断 【解答】 解： 当 x=1 时， f（ 1） =1+2=3，则函数的图象经过定点（ 1， 3）；故 正确， 已知 x=4y= ，则 22y= ， 2y=则 x+2y=3） =；故 正确， 若 f（ x） =x3+6，且 f（ 2） =6，则 23 2a 6=6，即 a= 10， 则 f（ 2） =23 210 6= 18，故 错误； 函数的定义域为 x|x0，关于原点对称， f（ x） =x（ ） =x ， 则 f（ x） = x = x =x =f（ x）， 即有 f（ x）为偶函数则 f（ x） =x（ ）为偶函数；故 正确， 已知集合 A= 1， 1， B=x|，且 BA，当 m=0 时， B=，也满足条件，故 错误， 故正确的是 ， 故答案为： 【点评】 本题主要考查命题的真假判断，涉及指数函数的性质，函数奇偶性的判断，以及对数的运算法则，综合性较强，涉及的知识点较多 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 16已知集合 A=x|y=1 x） ， B 是函数 f（ x） = x+m（ mR）的值域 （ 1）分别用区间表示集合 A， B； （ 2）当 AB=A 时，求 m 的取值范围 【考点】 集合的包含关系判断及应用；集合的表示法 【专题】 计算题；方程思想；综合法；集合 【分析】 （ 1）利用真数大于 0，可得 A，利用配方法，求出函数的值域； （ 2）因为 AB=A，所以 AB，可得不等式，即可求 m 的取值范围 【解答】 解：（ 1）由 1 x，得 x 1，所以 A=（ ， 1） （ 3 分） f（ x） = x+m=（ x 1） 2+m+1m+1， 当且仅当 x=1 时取等号，所以 M（ ， m+1 （ 6分） （ 2）因为 AB=A，所以 AB （ 8 分） 所以 m+11 （ 10 分） 解得 m0 所以实数 m 的取值范围是 0， +） （ 12 分） 【点评】 本题考查函数的定义域、值域，考查集合的关系，考查学生的计算能力，属于中档题 17已知函数 f（ x）是奇函数，当 x（ ， 0）时， f（ x） = （ 1）求 f（ 1）的值； （ 2）求函数 f（ x）在（ 0， +）上的解析式； （ 3）判断函数 f（ x）在（ 0， +）上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论 【考点】 函 数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质 【专题】 综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 （ 1）利用 f（ 1） = f（ 1），可得结论； （ 2）任取 x（ 0， +），则 x（ ， 0），结合条件求函数 f（ x）在（ 0， +）上的解析式； （ 3）设任取 0， +），且 后作差，通分，证明 f（ f（ 便可得出 f（ x）在（ 0， +）上单调递增 【解答】 解：（ 1）因为函数 f（ x）是奇函数，所以 f（ 1） = f（ 1） = （ 3 分） （ 2）任取 x（ 0， +），则 x（ ， 0），所以 f（ x） = （ 5 分） 因为 f（ x）是奇函数，所以 f（ x） = f（ x） 所以 f（ x） = f（ x） = （ 7 分） （ 3）函数 f（ x）在（ 0， +）上为增函数 （ 8 分） 证明：任取 0， +），且 则 f（ f（ = = （ 10 分） 因为 0， +），所以 1+1+0， 因为 以 0 因此 0，即 f（ f（ 0 所以 f（ f（ 所以函数 f（ x）在（ 0， +）上为增函数 （ 12 分） 【点评】 考查函数解析式及奇函数的定义，根据增函数的定义判断并证明一个函数为增函数的方法和过程，作差的方法比较 f（ f（ 作差后是分式的一般要通分 18在 ， 上的高所在直线的方程为 x+2y+3=0， A 的平分线所在直线的方程为 y=0，若点 B 的坐标为（ 1， 2），分别求点 A 和点 C 的坐标 【考点】 待定系数法求直线方程；直线的一般式方程 【专题】 数形结合；转化思想；直线与圆 【分析】 利用角平分线的性质、相互垂直的直 线斜率之间的关系即可得出 【解答】 解：由 ，解得 x= 3， y=0 所以点 A 的坐标为（ 3， 0） （ 5 分） 直线 斜率 = 1 （ 6 分） 又 A 的平分线所在的直线为 x 轴， 所以直线 斜率 （ 7 分） 因此，直线 方程为 y 0=x（ 3） ，即 y=x+3（ 8 分） 因为 上的高所在直线的方程为 x+2y+3=0，所以其斜率为 （ 9 分） 所以直线 斜率 （ 10 分） 所以直线 方程为 y+2=2（ x+1），即 y=2x （ 11 分） 联立 ，解得 x=3， y=6，所以 C（ 3， 6） （ 12 分） 【点评】 本题考查了角平分线的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 19如图，平面 平面 边形 矩形，且 F、 G 分别为中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）求证：平面 平面 【考点】 平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定 【专题】 整体思想；定义法；空间位置关系与距离 【分析】 （ 1）根据线面平行的判定定理进行证明 平面 （ 2）根据面面垂直的判定定理即可证明平面 平面 【解答】 证明：（ 1）连接 为四边形 矩形，且 G 为 中点， 所以 E=G，且 G 为线段 中点 （ 2 分） 又因为 F 为 中点，所以 中位线 所以 （ 4 分） 又因为 面 面 所以 平面 （ 5 分） （ 2）因为 矩形，所以 又因为平面 平面 平面 面 C， 面 所以 平面 （ 7 分） 所以 （ 8 分） 因为 以 C，且 所以 0，即 （ 10 分） 又因为 C=C， 面 面 所以 平面 （ 11 分） 又 面 以平面 平面 12 【点评】 本题主要考查空间直线和平面平行和垂直的判定，利用相应的判定定理是解决本题的关键 20已知函数 f（ x） =2x） 4x），且 x4 （ 1）求 f（ ）的值； （ 2）若令 t=实数 t 的取值范围； （ 3）将 y=f（ x）表示成以 t（ t=自变量的函数， 并由此求函数 y=f（ x）的最小值与最大值及与之对应的 x 的值 【考点】 对数函数的图象与性质；函数的最值及其几何意义 【专题】 分类讨论；换元法；函数的性质及应用 【分析】 （ 1）代值计算对数即可； （ 2）由函数 t= ， 4上是增函数，代值计算对数可得； （ 3）换元可得 f（ x） =t+2，由二次函数区间的最值可得 【解答】 解：（ 1） 函数 f（ x） =2x） 4x），且 x4 f（ ） =2 ） 4 ） = = ； （ 2） 函数 t= ， 4上是增函数， 当 x4 时， 2=t=， 故实数 t 的取值范围为 2， 2； （ 3） f（ x） =2x） 4x） =（ 1+ 2+=（ 2+3=t+2， 令 g（ t） =t+2=（ t+ ） 2 ， t 2， 2， 由二次函数可知当 t= 时，函数取最小值 ， 此时 ，解得 x= ； 当 t=2 时，函数取最大值 12， 此时 ，解得 x=4 【点评】 本题考查对数函数的图象和性质，涉及换元法和二次函数区间的最值，属中档题 21已知圆 C 的圆心在直线 x 2y=0 上 （ 1）若圆 C 与 y 轴的正半轴相切，且该圆截 x 轴所得弦的长为 2 ，求圆 C 的标准方程； （ 2）在（ 1）的条件下，直线 l： y= 2x+b 与圆 C 交于两点 A， B，若以 直径的圆过坐标原点O，求实数 b 的值； （ 3）已知点 N（ 0， 3），圆 C 的半径为 3，且圆心 C 在第一象 限，若圆 C 上存在点 M，使 O 为坐标原点），求圆心 C 的纵坐标的取值范