北京市东城区2015-2016学年高一上期末数学试卷含答案解析

第 1 页（共 14 页） 2015年北京市东城区高一（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共 8小题，每小题 3分，共 24 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项并填在答题卡中 1已知集合 A=0， 1， 2， B=2， 3，则集合 A B=（ ） A 1， 2， 3 B 0， 1， 2， 3 C 2 D 0， 1， 3 2若角 的终边经过点 P（ 1， 2），则 ） A B C 2 D 3正弦函数 f（ x） =象的一条对称轴是（ ） A x=0 B C D x= 4下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） A f（ x） = f（ x） = C f（ x） = f（ x） =函数 f（ x） = 的大致图象是（ ） A B CD 第 2 页（共 14 页） 6 2003 年至 2015 年北京市电影放映场次（单位：万次）的情况如图所示，下列函数模型中，最不适合近似描述这 13 年间电影放映场次逐年变化规律的是（ ）A f（ x） =bx+c B f（ x） =b C f（ x） =b D f（ x） =b 7若角 与角 的终边关于 y 轴对称，则（ ） A +=+kZ） B +=+2kZ） C D 8已知函数 ，若存在实数a，使得 f（ a） +g（ x） =0，则 x 的取值范围为（ ） A 1， 5 B（ ， 1 5， +） C 1， +） D（ ， 5 二、填空题：本大题共 6小题，每小题 4分，共 24分请把答案填在相应题目横线上 9函数 y=2x+1）定义域 10 值为 11已知函数 ，则 f（ x）的最大值为 12若 a= 4a 4 a= 13已知函数 f（ x） =ax+b（ a 0， a1）的定义域和值 域都是 1， 0，则 a+b= 14设 S， T 是 R 的两个非空子集，如果存在一个从 S 到 T 的函数 y=f（ x）满足： （ 1） T=f（ x） |xS； （ 2）对任意 ，当 有 f（ f（ 那么称这两个集合 “保序同构 ”，现给出以下 4 对集合： S=0， 1， 2， T=2， 3； S=N， T=N*； 第 3 页（共 14 页） S=x| 1 x 3， T=x| 8 x 10； S=x|0 x 1， T=R 其中， “保序同构 ”的集合对的序号是 （写出所有 “保序同构 ”的集合对的序号） 三、解答题：本大题共 6个小题，共 52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15已知集合 A=0， 1， B=x|，且 A B=A，求实数 a 的值 16设 为第二象限角，若 求 （ ） （ ） 的值 17已知函数 （ ）证明： f（ x）是奇函数； （ ）用函数单调性 的定义证明： f（ x）在（ 0， +）上是增函数 18某同学用 “五点法 ”画函数 f（ x） =x+）（ 0， | ）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表： x+ 0 2 x x+） 0 5 5 0 （ 1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数 f（ x）的解析式； （ 2）将 y=f（ x）图象上所有点向左平行移动 （ 0）个单位长度，得到 y=g（ x）的图象若y=g（ x）图象的一个对称中心为（ ， 0），求 的最小值 19某食品的保鲜时间 y（单位：小时）与储存温度 x（单位： ）满足函数关系 y=b（ e=自然对数的底数， k， b 为常数）若该食品在 0 的保鲜时间为 192 小时， 在22 的保鲜时间是 48 小时，求该食品在 33 的保鲜时间 20若实数 x， y， m 满足 |x m| |y m|，则称 x 比 y 远离 m （ ）比较 ； （ ）已知函数 f（ x）的定义域 ，任取 xD， f（ x）等于 远离 0 的那个值，写出函数 f（ x）的解析式以及 f（ x）的三条基本性质（结论不要求证明） 第 4 页（共 14 页） 2015年北京市东城区高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本 大题共 8小题，每小题 3分，共 24 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项并填在答题卡中 1已知集合 A=0， 1， 2， B=2， 3，则集合 A B=（ ） A 1， 2， 3 B 0， 1， 2， 3 C 2 D 0， 1， 3 【考点】 并集及其运算 【专题】 计算题；集合思想；综合法；集合 【分析】 根据并集的运算性质计算即可 【解答】 解： 集合 A=0， 1， 2， B=2， 3， 则集合 A B=0， 1， 2， 3， 故选： B 【点评】 本题考查了集合的并集的运算，是一道基础题 2若角 的终边经过点 P（ 1， 2），则 ） A B C 2 D 【考点】 任意角的三角函数的定义 【专题】 计算题；方程思想；综合法；三角函数的图像与性质 【分析】 由三角函数的定义，求出值即可 【解答】 解： 角 的终边经过点 P（ 1， 2）， 2 故选： C 【点评】 本题考查三角函数的定义，利用公式 求值是关键 3正弦函数 f（ x） =象的一条对称轴是（ ） A x=0 B C D x= 【考点】 正弦函数的图象 【专题】 方程思想；定义法；三角函数的图像与性质 【分析】 根据三角函数的对称性进行求解即可 【解答】 解： f（ x） =象的一条对称轴为 +kZ， 当 k=0 时，函数的对称轴为 ， 故选： C 【点评】 本题主要考查三角函数的对称性，根据三角函数的对称轴是解决本题的关键 4下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） A f（ x） = f（ x） = C f（ x） = f（ x） =考点】 函数奇偶性的性质 第 5 页（共 14 页） 【专题】 计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 判断函数的奇偶性与零点，即可得出结论 【解答】 解：对于 A，是奇函数； 对于 B，是偶函数，不存在零点； 对于 C，非奇非偶函数； 对于 D，既是偶 函数又存在零点 故选： D 【点评】 本题考查函数的奇偶性与零点，考查学生的计算能力，比较基础 5函数 f（ x） = 的大致图象是（ ） A B CD 【考点】 函数的图象；幂函数图象及其与指数的关系 【专题】 函数的性 质及应用 【分析】 筛选法：利用幂函数的性质及函数的定义域进行筛选即可得到答案 【解答】 解：因为 0，所以 f（ x）在（ 0， +）上单调递减，排除选项 B、 C； 又 f（ x）的定义域为（ 0， +）， 故排除选项 D， 故选 A 【点评】 本题考查幂函数的图象及性质，属基础题，筛选法是解决选择题的常用技巧，要掌握 6 2003 年至 2015 年北京市电影放映场次（单位：万次）的情况如图所示，下列函数模型中，最不适合近似描述这 13 年间电影放映场次逐年变化规律的 是（ ）第 6 页（共 14 页） A f（ x） =bx+c B f（ x） =b C f（ x） =b D f（ x） =b 【考点】 函数解析式的求解及常用方法 【专题】 数形结合；转化思想；函数的性质及应用 【分析】 由图象可得：这 13 年间电影放映场次逐年变化规律的是随着 x 的增大， f（ x）逐渐增大，图象逐渐上升根据函数的单调性与图象的特征即可判断出结论 【解答】 解：由图象可得：这 13 年间电影放映场次逐年变化规律的是随着 x 的增大， f（ x）逐渐增大，图 象逐渐上升 对于 A f（ x） =bx+c，取 a 0， 0，可得满足条件的函数； 对于 B取 a 0， b 0，可得满足条件的函数； 对于 C取 a 0， b 0，可得满足条件的函数； 对于 D a 0 时，为 “上凸函数 ”，不符合图象的特征； a 0 时，为单调递减函数，不符合图象的特征 故选： D 【点评】 本题考查了函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 7若角 与角 的终边关于 y 轴对称，则（ ） A +=+kZ） B +=+2kZ） C D 【考点】 终边相同的角 【专题】 函数思想；综合法；三角函数的求值 【分析】 根据角 与角 的终边关于 y 轴对称，即可确定 与 的关系 【解答】 解： 是与 关于 y 轴对称的一个角， 与 的终边相同， 即 =2 ） +=+2 ） =（ 2k+1） ， 故答案为： +=（ 2k+1） 或 = +（ 2k+1） ， kz， 故选： B 【点评】 本题主要考查角的对称之间的关系，根据终边相同的关系是解决本题的关键，比较基础 8已知函数 ，若存在实数a，使得 f（ a） +g（ x） =0，则 x 的取值范围为（ ） A 1， 5 B（ ， 1 5， +） C 1， +） D（ ， 5 【考点】 分段函数的应用 【专题】 计算题；函数思想；分析法；函数的性质及应用 【分析】 由分段函数的定义分别求各部分的函数值的取值范围，从而得到函数 f（ x）的值域，从而化为最值问 题即可 【解答】 解：当 x（ ， 0）时， f（ x） =x 1， +）； 当 x0， +）时， f（ x） =x+1） 0， +） 第 7 页（共 14 页） 所以 f（ x） 1， +）， 所以只要 g（ x） （ ， 1即可， 即（ x 2） 2 8（ ， 1， 可得（ x 2） 29， 解得 x 1， 5 故选： A 【点评】 本题考查了分段函数的应用及配方法求最值的应用，同时考查了恒成立问题，属于中档题 二、填空题：本大题共 6小题，每小题 4分，共 24分请把答案填在相应题目横线上 9函数 y=2x+1）定义域 【考点】 对数函数的定义域 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 直接由对数式的真数大于 0 求解不等式得答案 【解答】 解：由 2x+1 0，得 x 函数 y=2x+1）定义域为 故答案为： 【点评】 本题考查了函数的定义域及其求法，是基础题 10 值为 【考点】 两角和与差的正弦函数 【专题】 计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值 【分析】 利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可计算得解 【解答】 解： =80 20） = 故答案为： 【点评】 本题主要考查了两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值在三角函数求值中的应用，属于基础题 11已知函数 ，则 f（ x）的最大值为 2 【考点】 两角和与差的正弦函数 【专题】 计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值 【分析】 由条件利用两角和的正弦公式，正弦函数的值域，求得函数的最大值 【解答】 解： 函数 =2x+ ） ， 第 8 页（共 14 页） f（ x）的最大值为 2， 故答案为： 2 【点评】 本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的值域，属于基础题 12若 a= 4a 4 a= 【考点】 对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值 【专题】 计算题；转化思想；函数的性质及应用 【分析】 由 a=得 4a= =3， 4 a= 即可得出 【解答】 解： a= 4a= =3， 4 a= 则 4a 4 a=3 = 故答案为： 【点评】 本题考查了指数与对数的运算性质考查了推理能力与计算能力，属于中档题 13已知函数 f（ x） =ax+b（ a 0， a1）的定义域 和值域都是 1， 0，则 a+b= 【考点】 指数型复合函数的性质及应用 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 对 a 进行分类讨论，分别题意和指数函数的单调性列出方程组，解得答案 【解答】 解：当 a 1 时，函数 f（ x） =ax+b 在定义域上是增函数， 所以 ， 解得 b= 1， =0 不符合题意舍去； 当 0 a 1 时，函数 f（ x） =ax+b 在定义域 上是减函数， 所以 ， 解得 b= 2， a= ， 综上 a+b= ， 故答案为： 【点评】 本题考查指数函数的单调性的应用，以及分类讨论思想，属于中档题 14设 S， T 是 R 的两个非空子集，如果存在一个从 S 到 T 的函数 y=f（ x）满足： （ 1） T=f（ x） |xS； （ 2）对任意 ，当 有 f（ f（ 第 9 页（共 14 页） 那么称这两个集合 “保序同构 ”，现给出以下 4 对集合： S=0， 1， 2， T=2， 3； S=N， T=N*； S=x| 1 x 3， T=x| 8 x 10； S=x|0 x 1， T=R 其中， “保序同构 ”的集合对的序号是 （写出所有 “保序同构 ”的集合对的序号） 【考点】 函数解析式的求解及常用方法 【专题】 转化思想；函数的性质及应用 【分析】 利用：两个集合 “保序同构 ”的定义，能够找出存在一个从 S 到 T 的函数 y=f（ x）即可判断出 结论 【解答】 解： 由于不存在一个从 S 到 T 的函数 y=f（ x），因此不是 “保序同构 ”的集合对 令 f（ x） =x+1， xS=N， f（ x） T； 取 f（ x） = x ， xS， f（ x） T， “保序同构 ”的集合对； 取 f（ x） = xS， f（ x） T 综上可得： “保序同构 ”的集合对的序号是 故答案为： 【点评】 本题考查了 两个集合 “保序同构 ”的定义、函数的解析式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 三、解答题：本大题共 6个小题，共 52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15已知集合 A=0， 1， B=x|，且 A B=A，求实数 a 的值 【考点】 集合的包含关系判断及应用 【专题】 集合思想；综合法；集合 【分析】 先求出集合 B 中的元素，根据并集的运算，求出 a 的值即可 【解答】 解： B=x|， B=x|x=0 或 x=a， 由 A B=A，得 B=0或 0， 1 当 B=0时，方程 有两个相等实数根 0， a=0 当 B=0， 1时，方程 有两个实数根 0， 1， a=1 【点评】 本题考查了集合的并集的定义，考查分类讨论思想，是一道基础题 16设 为第二象限角，若 求 （ ） （ ） 的值 【考点】 三角函数的化简求值 【专题】 计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值 【分析】 （ ）由已知利用特殊角的三角函 数值及两角和的正切函数公式即可计算求值 （ ）由已知利用同角三角函数关系式可求 用诱导公式，二倍角公式化简所求后即可计算求值 【解答】 （本题满分 9 分） 第 10 页（共 14 页） 解：（ ） ， 解得 （ ） 为第二象限角， ， = ， = ， 【点评】 本题主要考查了特殊角的三角函数值及两角和的正切函数公式，同角三角函数关系式，诱导公式，二倍角公式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 17已知函数 （ ）证明： f（ x）是奇函数； （ ）用函数单调性的定义证明： f（ x）在（ 0， +）上是增函数 【考点】 函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断 【专题】 证明题；函数思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 （ ）可看出 f（ x）的定义域为 x|x0，并可求出 f（ x） = f（ x），从而得出 f（ x）是奇函数； （ ）根据增函数的定义，设任意的 0，然后作差，通分，提取公因式，从而得到，证明 f（ f（ 可得出 f（ x）在（ 0， +）上是增函数 【解答】 证明：（ ）函数 f（ x）的定义域为 x|x0； ； f（ x）是奇函数； （ ）设 0，则： = ； 0； 0， 0， 0； ； 第 11 页（共 14 页） f（ f（ f（ x）在（ 0， +）上是增函 数 【点评】 考查奇函数的定义及判断方法和过程，增函数的定义，以及根据增函数的定义证明一个函数为增函数的方法和过程，作差的方法比较 f（ f（ 作差后是分式的一般要通分，一般提取公因式 18某同学用 “五点法 ”画函数 f（ x） =x+）（ 0， | ）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表： x+ 0 2 x x+） 0 5 5 0 （ 1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数 f（ x）的解析式； （ 2）将 y=f（ x）图象上所有点向左平行移动 （ 0）个单位长度，得到 y=g（ x）的图象若y=g（ x）图象的一个对称中心为（ ， 0），求 的最小值 【考点】 由 y=x+）的部分图象确定其解析式；函数 y=x+）的图象变换 【专题】 三角函数的图像与性质 【分析】 （ 1）根据表中已知数据，解得 A=5， =2， = 从而可补全数据，解得函数表达式为 f（ x） =52x ） （ 2）由（ ）及函数 y=x+）的图象变换规律得 g（ x） =52x+2 ）令2x+2 =得 x= ， kZ令 = ，解得 = ，kZ由 0 可得解 【解答】 解：（ 1）根据表中已知数据，解得 A=5， =2， = 数据补全如下表： x+ 0 2 x x+） 0 5 0 5 0 且函数表达式为 f（ x） =52x ） （ 2）由（ ）知 f（ x） =52x ），得 g（ x） =52x+2 ） 因为 y=对称中心为（ 0）， kZ 令 2x+2 =得 x= ， kZ 第 12 页（共 14 页） 由于函数 y=g（ x）的图象关于点（ ， 0）成中心对称，令 = ， 解得 = ， kZ由 0 可知，当 K=1 时， 取得最小值 【点评】 本题主要考查了由 y=x+）的部分图象确定其解析式，函数 y=x+）的图象变换规律的应用，属于基本知识的考查 19某食品的保鲜时