广东省潮州市2015-2016学年高一上期末数学试卷含答案解析

第 1 页（共 14 页） 2015年广东省潮州市高一（上）期末数学试卷 一、选择题（共 10 小题，每小题 4分，满分 40分） 1集合 A= 1， 0， B=0， 1， C=1， 2，则（ AB） C 等于（ ） A B 1 C 0， 1， 2 D 1， 0， 1， 2 2已知直线 l 的方程为 y=x+1，则该直线 l 的倾斜角为（ ） A 30 B 45 C 60 D 135 3函数 f（ x） = +x+2）的定义域为（ ） A（ 2， 1） B（ 2， 1 C 2， 1） D 2， 1 4下列三个数： a=b=c=大小顺序是（ ） A a b c B a c b C c a b D b a c 5下列函数中，在 R 上单调递增的是（ ） A y=x B y= y=|x| D y=若直线（ 3a+2） x 3y+8=0 和直线 3x+（ a+4） y 7=0 相互垂直，则 a 的值为（ ） A 0 B 1 C 0 或 1 D 0 或 1 7已知直线 l、 m、 n 与平面 、 ，则下列叙述错误的是（ ） A若 m l， n l，则 m n B若 m ， m ，则 C若 m ， n ，则 m n D若 m ， ，则 m 或 m 8方程 45x+6=0 的根所在的区间为（ ） A（ 3， 2） B（ 2， 1） C（ 1， 0） D（ 0， 1） 9如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（ ） 第 2 页（共 14 页） A B C D 10给出幂函数 f（ x） =x； f（ x） =f（ x） =f（ x） = ； f（ x） = 其中满足条件 f （ 0）的函数的个数是（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 二、填空题（共 4小题，每小题 4分，满分 16分） 11化简求值： = 12已知 x2+ 与 x 3） 2+（ y+4） 2=9，则 13已知 f（ x）是奇函数，且当 x 0 时， f（ x） =x+1，则 f（ 1）的值为 14已知函数 f（ x） = x2+ax+b（ a， bR）对任意实数 x 都有 f（ 1+x） =f（ 1 x）成立，若当 x 1， 1时 f（ x） 0 恒成立，则 b 的取值范围 三、解答题（共 5小题，满分 44分） 15已知全集 U=R，集合 A=x|x+11 且 x 30， B=x|axa+2， aR （ 1）当 a=1 时，求 AB； （ 2）当集合 A， B 满足 BA 时，求实数 a 取值范围 16已知函数 f（ x） = ，且 f（ 1） =3， f （ 2） = （ 1）求 a， b 的值，写出 f（ x）的表达式； （ 2）判断 f（ x）在区间 1， +）上的增减性，并加以证明 17过点（ 4， 0）作直线 l 与圆 x2+x 4y 20=0 交于 A、 B 两点，如果 |8，求 18如图的几何体中， 平面 平面 等边三角形，E=2， F 为 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）求证：平面 平面 第 3 页（共 14 页） 19某商品在近 30 天内每件的销售价格 p（元）与时间 t（天）的函数关系是该商品的日销售量 Q（件）与时间 t（天）的函数关系是 Q= t+40（ 0 t30， tN），求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是 30 天中的第几天？ 第 4 页（共 14 页） 2015年广东省潮州市高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 10 小题，每小题 4分，满分 40分） 1集合 A= 1， 0， B=0， 1， C=1， 2， 则（ AB） C 等于（ ） A B 1 C 0， 1， 2 D 1， 0， 1， 2 【考点】 交、并、补集的混合运算 【专题】 计算题 【分析】 根据交集和并集的定义，结合已知的集合 A、 B、 C 进行求解 【解答】 解：（ AB） C =（ 1， 00， 1） 1， 2 =0 1， 2=0， 1， 2 故选 C 【点评】 集合的运算一般难度较低，属于送分题，解答时一定要细心， “求稳不求快 ” 2已知直线 l 的方程为 y=x+1，则该直线 l 的倾斜角为（ ） A 30 B 45 C 60 D 135 【考点】 直线的倾斜角 【分析】 由直线的方程求出斜率，再由斜率的值及倾斜角的范围求出倾斜角的值 【解答】 解： 直线 l 的方程为 y=x+1， 斜率为 1，又倾斜角 0， ）， =45 故选： B 【点评】 本题主要考查直线的倾斜角和斜率的关系，求出直线的斜率，是解题的关键，属于基础题 3函数 f（ x） = +x+2）的定义域为（ ） A（ 2， 1） B（ 2， 1 C 2， 1） D 2， 1 【考点】 函数的 定义域及其求法；对数函数的定义域 【专题】 计算题 【分析】 根据题意可得 ，解不等式可得定义域 【解答】 解：根据题意可得 解得 2 x1 所以函数的定义域为（ 2， 1 故选 B 【点评】 本题考查了求函数的定义域的最基本的类型 分式型：分母不为 0对数函数：真数大于 0，求函数定义域的关键是根据条件寻求函数有意义的条件，建立不等式（组），进而解不等式（组） 第 5 页（共 14 页） 4下列三个数： a=b=c=大小顺序是（ ） A a b c B a c b C c a b D b a c 【考点】 对数函数的单调性与特殊点 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 根据 a=b=30=1， c=，可得 a、 b、 c 的大小关系 【解答】 解：由于 a=b=30=1， c=， 故有 b a c， 故选 C 【点评】 本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，属于中档题 5下列函 数中，在 R 上单调递增的是（ ） A y=x B y= y=|x| D y=考点】 函数单调性的判断与证明 【专题】 函数思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 根据增函数的定义，对数函数定义域，一次函数的单调性，和指数函数的单调性便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项 【解答】 解： 在 R 上单调递增， y=义域为（ 0， +）， y=|x|在 R 上不单调， y= 上单调递减 故选： A 【点评】 考查增函数的定义，幂函数、对数函数、一次函数，以及指数函数的单调性，对数函数的定义域，要熟悉 y=|x|的图象 6若直线（ 3a+2） x 3y+8=0 和直线 3x+（ a+4） y 7=0 相互垂直，则 a 的值为（ ） A 0 B 1 C 0 或 1 D 0 或 1 【考点】 直线的一般式方程与直线的垂直关系 【专题】 计算题；方程思想；综合法；直线与圆 【分析】 利用直线垂直的性质求解 【解答】 解：由题意得：（ 3a+2） 3+（ 3） （ a+4） =0， 解得 a=1， 故选： B 【点评】 本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线垂直的性质的合理运用 7已知直线 l、 m、 n 与平面 、 ，则下列叙述错误的是（ ） A若 m l， n l，则 m n B若 m ， m ，则 C若 m ， n ，则 m n D若 m ， ，则 m 或 m 【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系 【专题】 空间位置关系与距离 【分析】 A由平行线的传递性即可判断出结论； B根据面面垂直的判定定理可得； C 利用线面平行、线线的位置关系即可判断； 第 6 页（共 14 页） D由线面、面面垂直的性质即可判断 【解答】 解： A m l， n l， 由平行线的传递性可得 m n，因此正确； B m ， m ，根据面面垂直的判定定理可得： ，因此正确； C由 m ， n ，则 m 与 n 的位置关系可以为： m n，相交或为异面直线，因此 C 不正确； D m ， ，由线面、面面垂直的性质可得： m 或 m，因此 D 正确 综上可知：只有 C 错误 故选 C 【点评】 熟练掌握平行线的传递性、线面平行、线线的位置关系、线面、面面垂直的判定与性质 是解题的关键 8方程 45x+6=0 的根所在的区间为（ ） A（ 3， 2） B（ 2， 1） C（ 1， 0） D（ 0， 1） 【考点】 函数零点的判定定理 【专题】 计算题 【分析】 设出与方程所对应的函数，分别求出 x 取 3， 2， 1， 0， 1 时的函数值，由函数零点的存在定理可得答案 【解答】 解：由方程 45x+6=0，令 f（ x） =45x+6， f（ 3） =4（ 3） 3 5（ 3） +6= 87 0， f（ 2） =4（ 2） 3 5（ 2） +6= 16 0， f（ 1） =4（ 1） 3 5（ 1） +6=7 0， f（ 0） =6 0， f（ 1） =413 51+6=5 0 方程 45x+6=0 的根所在的区间为（ 2， 1） 【点评】 本题考查了函数零点的判定定理，考查了函数值得求法，是基础题 9如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（ ） A B C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【专题】 空间位置关系与距离 【分析】 由已知中的三视力可得该几何体是一个圆柱，求出底面半径，和母线长，代入圆柱侧面积公式，可得答案 【解答】 解：由已知中的三视力可得该几何体是一个圆柱， 第 7 页（共 14 页） 几何体的正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形， 圆柱的底面直径和母线长均为 1， 故圆柱的底面周长为： ， 故圆柱的侧面面积为： 1=， 故选： C 【点评】 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面 积，解决本题的关键是得到该几何体的形状 10给出幂函数 f（ x） =x； f（ x） =f（ x） =f（ x） = ； f（ x） = 其中满足条件 f （ 0）的函数的个数是（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 【考点】 幂函数的性质 【专题】 综合题；数形结合 【分析】 若函数满足 f （ 0）则表示函数在敬意（ 0， +）上是凸形的，分析题目中五个函数图象的形状，易得到结果 【解答】 解： 函数 f（ x） =x 的图象是一条直线，故当 0 时， f= ； 函数 f（ x） =图象是凹形曲线，故当 0 时， f ； 在第一象限，函数 f（ x） =当 0 时， f ； 函数 f（ x） = 的图象是凸形曲线，故当 0 时， f ； 在第一象限，函数 f（ x） = 的图象是一条凹形曲线，故当 0 时， f ； 第 8 页（共 14 页） 故仅有函数 f（ x） = 满足，当 0 时， f ； 故选： A 【点评】 本题考查的知识 点是幂函数的图象和性质，其中准确理解 f （ 0）表示的几何意义是解答本题的关键 二、填空题（共 4小题，每小题 4分，满分 16分） 11化简求值： = 6 【考点】 有理数指数幂的化简求值；对数的运算性质 【专题】 计算题 【分析】 根据幂的乘方法则、零指数的运算法则及对数的运算性质化简原式可得值 【解答】 解：原式 = 1+ =4 1+3=6 故答案为 6 【点评】 此题比较简单，考查学生灵活运用幂的乘方、零指数的运算法则以及对数的运算性质进行化简求值 12已知 x2+ 与 x 3） 2+（ y+4） 2=9，则 相离 【考点】 圆与圆的位置关系及其判定 【专题】 计算题 【分析】 先根据圆的方程得出圆的圆心坐标和半径，求出圆心距和半径之和等，再根据数量关系来判断两圆的位置 关系即可 【解答】 解：根据题意，得 r=1， =3， ， R+r=4， R r=2， 则 4 5， 即 R+r 两圆相离 故答案为：相离 【点评】 本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法设两圆的半径分别为 R 和 r，且 Rr，圆心距为 P：外离 P R+r；外切 P=R+r；相交 R r P R+r；内切 P=R r；内含P R r 13已知 f（ x）是奇函数，且当 x 0 时， f（ x） =x+1，则 f（ 1）的值为 2 【考点】 函数奇偶性的性质 【专题】 计算题 第 9 页（共 14 页） 【分析】 先根据函数 f（ x）是 R 上的奇函数，将 f（ 2）转化成求 f（ 2）的值，代入当 x 0 时 f（ x）的解析式中即可求出所求 【解答】 解：函数 f（ x）是 R 上的奇函数则 f（ x） = f（ x） f（ 1） = f（ 1） 当 x 0 时， f（ x） =x+1， f（ 1） =2 则 f（ 1） = f（ 1） = 2 故答案为： 2 【点评】 本题主要考查了函数奇偶性的性质，通常将某些值根据奇偶性转化到已知的区间上进行求解，属于基础题 14已知函数 f（ x） = x2+ax+b（ a， bR）对任意实数 x 都有 f（ 1+x） =f（ 1 x）成立，若当 x 1， 1时 f（ x） 0 恒成立，则 b 的取值范围 b 3 【考点】 函数恒成立问题 【专题】 计算题 【分析】 由已知中对任意的实数 x 都有 f （ 1+x） =f （ 1 x） 成立，结合函数的对称性，我们易得到函数的图象的对称轴为直线 x=1，结合二次函数的性质我们可以构造一个关于 方程即可求出实数 a 的值；要使当 x 1， 1时 f（ x） 0 恒成立，则有 f（1） 0，从而得解 【解答】 解：由题意， f（ 1+x） =f（ 1 x）， y=f（ x）的图象关于直线 x=1 对称， 即 a=2， 图象开口方向向下， 函数在 1， 1上单调递增， 要使当 x 1， 1时 f（ x） 0 恒成立，则有 f（ 1） 0， b 3， 故答案为： b 3 【点评】 本题的考点是函数恒成立问题，主要考查的知识点是二次函数的性质，其中根据二次函数的图象和性质构造出关于 a 的方程 三、解答题（共 5小题，满分 44分） 15已知全集 U=R，集合 A=x|x+11 且 x 30， B=x|axa+2， aR （ 1）当 a=1 时，求 AB； （ 2）当集合 A， B 满足 BA 时，求实数 a 取值范围 【考点】 集合的包含关系判断及应用 【专题】 计算题；集合思想；综合法；集合 【分析】 （ 1）当 a=1 时，由题可解得 A=0， 3， B=1， 3，即可求 AB； （ 2）当集合 A， B 满足 BA 时， ，即可求实数 a 取值范围 【解答】 解：（ 1）当 a=1 时，由题可解得 A=0， 3， B=1， 3， AB=1， 3 （ 2）当集合 A， B 满足 BA 时，由 得实数 a 的取值范围是 0， 1 第 10 页（共 14 页） 【点评】 本题考查集合的关系，考查学生的计算能力，比较基础 16已知函数 f（ x） = ，且 f（ 1） =3， f （ 2） = （ 1）求 a， b 的值，写出 f（ x）的表达式； （ 2）判断 f（ x）在区间 1， +）上的增减性，并加以证明 【考点】 函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明 【专题】 计算题 【分析】 （ 1）解：由 f（ 1） =3， f （ 2） = 建立关于 a， b 的方程组求解 （ 2）在给定的区间任取两个变量，再作差变形与零比较即可，要注意变形要到位，用上两个变量的大小关系 【解答】 解：（ 1）由 则 f（ x） = （ 2）证明：任设 lx2 f（ x） f（ = =（ 0 又 ， 0， ， 21，即， 21 0 f（ f（ 0，即， f（ f（ 故 f（ x） = 在 1， +）上单调增函数 【点评】 本题主要考查利用函数值求参数的值 和函数单调定义证明函数的单调性问题是常考类型，属中档题 17过点（ 4， 0）作直线 l 与圆 x2+x 4y 20=0 交于 A、 B 两点，如果 |8，求 【考点】 直线和圆的方程的应用 【专题】 直线与圆 【分析】 将圆的方程化为标准方程，确定圆心与半径，利用垂径定理，结合勾股定理，即可求 l 的方程 第 11 页（共 14 页） 【解答】 解：圆 x2+x 4y 20=0 化为（ x+1） 2+（ y 2） 2=25，圆心 C（ 1， 2），半径 r=5， （ x 4） 2+（ 0 2） 2 25， （ 4， 0）点在圆内 当斜率 存在时，设 l 斜率为 k，方程为 y=k（ x+4），即 y+4k=0， |8， 圆心到直线距离为 =3， =3， k= ， 当斜率不存在时，直线 x= 4 也满足 l 的方程为 5x+12y+20=0 或 x+4=0 【点评】 本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查分类讨论的数学思想，正确求弦长是关键 18如图的几何体中， 平面 平面 等边三角形，E=2， F 为 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）求证：平面 平面 【考点】 平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定 【专题】 数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离 【分析】 （ 1）取 中点 G，连结 由中位线定理可得 E，由