河北省保定市2015-2016学年高一上期末数学试卷含答案解析

第 1 页（共 14 页） 2015年河北省保定市高一（上）期末数学试卷 一、本大题共 10小题，每小题 5分，共 50 分 有一项是符合题目要求的 . 1与 接近的数是（ ） A B C D 1 2函数 f（ x） =x+1， x 1， 1， 2的值域是（ ） A 0， 2， 3 B 0y3 C 0， 2， 3 D 0， 3 3若 f（ x） = ，则函数 f（ x）为（ ） A奇函数 B偶函数 C既奇又偶函数 D非奇非偶函数 4在一次数学实验中，运用图形计算器采集到如下一组数据： x y x， y 的函数关系与下列哪类函数最接近？（其中 a 为待定系数，且 a 0）（ ） A y= y= y= y= 5已知 a 0 且 a1，下列函数中，在区间（ 0， a）上一定是减函数的是（ ） A f（ x） = B f（ x） = f（ x） = D f（ x） =3 6已知函数 f（ 2x 1） =3x+a，且 f（ 3） =2，则 a 等于（ ） A 3 B 1 C 4 D 2 7在平行四边形 ， E 为 中点，设 =m +n ，则 m+n=（ ） A B 1 C D 2 8要得到函数 的图象可将 y=图象（ ） A向右平移 个单位长度 B向左平移 个单位长度 C向右平移 个单位长度 D向左平移 个单位长度 9函数 的图象是（ ） 第 2 页（共 14 页） A B C D 10某同学在期末复习时得到了下面 4 个结论： 对于平面向量 ， ， ，若 ， ，则 ； 若函数 f（ x） =2（ 1 a） x+3 在区间 3， +）上单调递增，则实数 a 的取值范围为 2， +）； 若集合 A=|= + ， kZ， B=|=， kZ，则 A=B 函数 y=2y=图象有且仅有 2 个公共点 其中正确结论的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 二、填空题：本大题共 5小题，每小题 4分，共 20分 . 11已知集合 A=xR|x ， B=1， 2， 3， 4，则（ B= 12已知角 的终边经过点 P（ 2x， 6），且 ，则 x 的值为 13设 a=（ ） x， b=（ ） x 1， c=x，若 x 1，则 a， b， c 的大小关系为 14若函数 f（ x） = ，（ a 0 且 a1）的值域是 2， +），则实数 a 的取值范围是 15已知 | |=| |=| |=1，且 ，则（ + ） 的最大值是 三、解答题：本大 题共 5小题， 50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 16已知 为单位向量， | |= （ 1）若 ，求 ； （ 2） 若 、 的夹角为 45，求 | + |； （ 3）若若 与 垂直，求若 与 的夹角 第 3 页（共 14 页） 17假设某种产品原来售价为 125 元 /个，厂家打算从元旦至春节期间进行回馈大酬宾活动，每次降价 20% （ 1）求售价 y（元）与降价次数 x 的函数关系式； （ 2）若计划春节期间，产品售价将不低于 64 元 /个，问最多需要降价多少次？ 18在锐角 ，已知 A+B） = ， A B） = （ 1）求证： （ 2）求 A+B）及 19已知向量 =（ x， ）， =（ x， ）（ 0， x0），函数 f（ x） = 的第n（ nN*）个零点记作 左至右依次计数） （ 1）若 = ，求 （ 2）若函数 f（ x）的最小正周期为 ，设 g（ x） =| + |，求函数 g（ x）的单调递增区间 20定义域为 1， 1上的奇函数 f（ x）满足 f（ x） =f（ x 2），且当 x（ 0， 1）时， f（ x）= （ a 1） （ 1）求 f（ 1）的值； （ 2）求函数 f（ x）的解析式； （ 3）求函数 f（ x）的值域 第 4 页（共 14 页） 2015年河北省保定市高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、本大题共 10小题，每小题 5分，共 50 分 有一项是符合题目要求的 . 1与 接近的数是（ ） A B C D 1 【考点】 运用诱导公式化简求值 【专题】 转化思想；综合法；三角函数的求值 【分析】 由条件利用诱导公式化简所给的三角函数式，可得结果 【解答】 解： 5360+216） = ， 故选： B 【点评】 本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题 2函数 f（ x） =x+1， x 1， 1， 2的值域是（ ） A 0， 2， 3 B 0y3 C 0， 2， 3 D 0， 3 【考点】 函数的值域 【专题】 计算题 【分析】 将定义域内的每一个元素的函数值逐一求出，再根据值域中元素的性质求出所求 【解答】 解： f（ x） =x+1， x 1， 1， 2 当 x= 1 时， f（ 1） =0 当 x=1 时， f（ 1） =2 当 x=2 时， f（ 2） =3 函数 f（ x） =x+1， x 1， 1， 2的值域是 0， 2， 3 故选 C 【点评】 本题主要考查了函数的值域，本题定义域中的元素比较少，常常利用列举法进行求解，属 于基础题 3若 f（ x） = ，则函数 f（ x）为（ ） A奇函数 B偶函数 C既奇又偶函数 D非奇非偶函数 【考点】 有理数指数幂的运算性质；函数奇偶性的判断 【专题】 对应思想；定义法；函数的性质及应用 【分析】 根据函数奇偶性的定义，判断函数 f（ x）为定义域 R 上的奇函数 【解答】 解： 函数 f（ x） = ， xR， f（ x） = = = + = f（ x）， 函数 f（ x）为定义域 R 上的奇函数 第 5 页（共 14 页） 【点评】 本题考查了利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性问 题，是基础题目 4在一次数学实验中，运用图形计算器采集到如下一组数据： x y x， y 的函数关系与下列哪类函数最接近？（其中 a 为待定系数，且 a 0）（ ） A y= y= y= y= 【考点】 根据实际问题选择函数类型 【专题】 计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 由题意， x=1， y=0，选用 y=a=2，代入验证，可得结论 【解答】 解：由题意， x=1， y=0，选用 y=a=2，代入验证，满足题意 故选： C 【点评】 本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，比较基础 5已知 a 0 且 a1，下列函数中，在区间（ 0， a）上一定是减函数的是（ ） A f（ x） = B f（ x） = f（ x） = D f（ x） =3 【考点】 函数单调性的性质；对数函数的单调性与特殊点 【专题】 函数思想；转化法；函数的性质及应用 【分析】 根据函数单调性的性质进行判断即可 【解答】 解： f（ x） = =2 ，则函数在（ 0， a）上是增函数，不满足条件 B若 a 1，则函数 f（ x） =满足条件 f（ x） =1+若 a 1，则函数 f（ x）在定义域上为增函数，不满足条件 f（ x） =3 的对称轴为 x= ，在函数在区间（ 0， a）上一定是减函数，满足条件 故选： D 【点评】 本题主要考查函数单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的单调性的性质 6已知函数 f（ 2x 1） =3x+a，且 f（ 3） =2，则 a 等于（ ） A 3 B 1 C 4 D 2 【考点】 函数的值 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 直接利用赋值法求解 【解答】 解：令 2x 1=3 解得： x=2 则： 32+a=2 解得： a= 4 故选： C 【点评】 本题考查的知识要点：函数解析式的应用及相关的运算问题 属于基础题型 7在平行四边形 ， E 为 中点，设 =m +n ，则 m+n=（ ） 第 6 页（共 14 页） A B 1 C D 2 【考点】 平面向量的基本定理及其意义 【专题】 数形结合；数形结合法；平面向量及应用 【分析】 用 表示出 ，根据平面向量的基本定理列出方程解出 m， n 【解答】 解： 四边形 平行四边形， E 是 中点， = = ， =m +n =m + +n =m +（ ） ，解得 m=1， n= m+n= 故选： C 【点评】 本题考查了平面向量的基本定理，属于基础题 8要得到函数 的图象可将 y=图象（ ） A向右平移 个单位长度 B向左平移 个单位长度 C向右平移 个单位长度 D向左平移 个单位长度 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【专题】 阅读型 【分析】 根据函数的平移变化， ，分析选项可得答案 【解答】 解：要得到函数 的图象可将 y=图象向左平移 故选 B 【点评】 本题主要考查三角函数的平移三角函数的平移原则为左加右减上加下减 9函数 的图象是（ ） 第 7 页（共 14 页） A B C D 【考点】 函数的图象 【专题】 数形结 合 【分析】 本题考查的知识点是分段函数图象的性质，及函数图象的作法，由绝对值的含义化简原函数式，再分段画出函数的图象即得 【解答】 解：函数 可化为： 当 x 0 时， y=1+x；它的图象是一条过点（ 0， 1）的射线； 当 x 0 时， y= 1+x它的图象是一条过点（ 0， 1）的射线； 对照选项， 故选 D 【点评】 本小题主要考查函数、函数的图象、绝对值的概念等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题 10某同学在期末复 习时得到了下面 4 个结论： 对于平面向量 ， ， ，若 ， ，则 ； 若函数 f（ x） =2（ 1 a） x+3 在区间 3， +）上单调递增，则实数 a 的取值范围为 2， +）； 若集合 A=|= + ， kZ， B=|=， kZ，则 A=B 函数 y=2y=图象有且仅有 2 个公共点 其中正确结论的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 平面向量数量积的运算；二次函数的性质 【专题】 函数思想；分析法；函数的性质及应用；平面向量及应用 【分析】 对于 ，运用向量共线，即可判断；对于 ，由二次函数的对称轴和区间的关系，解不等式即可判断； 对于 ，对集合 A 讨论 n 为奇数或偶数，即可判断；对于 ，由 y=2x和 y=图象的交点为（ 2， 4），（ 4， 16），由 f（ x） =2x 用函数零点存在定理，即可判断 【解答】 解：对于 ，平面向量 ， ， ，若 ， ，则 ， 可能共线，故 不对； 对于 ，若函数 f（ x） =2（ 1 a） x+3 在区间 3， +）上单调递增， 即有 1 a3，即为 a 2，故 对； 对于 ，集合 A=|= + ， kZ=|=或 ， nZ，则 BA，故 不对； 对于 ，函数 y=2y=2， 4），（ 4， 16），当 x 0 时，由f（ x） =2x 第 8 页（共 14 页） f（ 1） = 0， f（ 0） =1 0，且 f（ x）在 x 0 时递增，则 f（ x）有且只有一个零点， 综上可得两函数的图象共有 3 个交点，故 不对 故选： A 【点评】 本题考查向量共线或垂直的条件，以及两集合的关系的判断，考查函数的图象的交点和二次函数的单调性的运用，属于基础题和易错题 二、填空题：本大题共 5小题，每小题 4分，共 20分 . 11已知集合 A=xR|x ， B=1， 2， 3， 4，则（ B= 2， 3， 4 【考点】 交、并、补集的混合运算 【专题】 计算题；集合思想；定义法；集合 【分析】 先求出（ 再根据交集的运算法则计算即可 【解答】 解： 集合 A=xR|x ， （ =xR|x ， B=1， 2， 3， 4， （ B=2， 3， 4 故答案为： 2， 3， 4 【点评】 本题考查集合的交并补运算，属于基础题 12已 知角 的终边经过点 P（ 2x， 6），且 ，则 x 的值为 3 【考点】 任意角的三角函数的定义 【专题】 计算题；方程思想；综合法；三角函数的求值 【分析】 由任意角的三角函数的定义可得 = ，解方程求得 x 的值 【解答】 解： 角 的终边经过点 P（ 2x， 6），且 ， = ， x=3 故答案为： 3 【点评】 本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题 13设 a=（ ） x， b=（ ） x 1， c=x，若 x 1，则 a， b， c 的大小关系为 c a b 【考点】 对数值大小的比较 【专题】 计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 利用指数函数、对数函数的性质求解 第 9 页（共 14 页） 【解答】 解： a=（ ） x， b=（ ） x 1， c=x， x 1， 0 a=（ ） x ， b=（ ） x 1（ ） 0=1， c=x =0， c a b 故答案为： c a b 【点评】 本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数的性质的合理运用 14若函数 f（ x） = ，（ a 0 且 a1）的值域是 2， +），则实数 a 的取值范围是 （ 1， 2 【考点】 函数的值域 【专题】 分类讨论；转化思想；函数的性质及应用 【分析】 当 x2 时， f（ x） = x+42；当 x 2 时， f（ x） =1+于函数 f（ x）的值域是 2， +），可得 a 1， 1+，解得 a 范围即可得出 【解答】 解：当 x2 时， f（ x） = x+42； 当 x 2 时， f（ x） =1+ 函数 f（ x）的值域是 2， +）， a 1， 1+，解得 1 a2 实数 a 的取值范围是（ 1， 2 故答案为：（ 1， 2 【点 评】 本题考查了分段函数的单调性值域、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 15已知 | |=| |=| |=1，且 ，则（ + ） 的最大值是 1 【考点】 平面向量数量积的运算 【专题】 计算题；转化思想；三角函数的求值；平面向量及应用 【分析】 | |=| |=| |=1，且 ，不妨设 =（ 1， 0）， =（ 0， 1）， =（ 0，2），代入化简利用三角函数的单调性最值即可得出 【解答】 解： | |=| |=| |=1，且 ， 不妨设 =（ 1， 0）， =（ 0， 1）， =（ 0， 2） 则（ + ） =（ 1 1 1= 1 1， （ + ） 的最大值是 1 故答案为： 1 【点评】 本题考查了三角函数的单调性最值、向量的坐标运算数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 第 10 页（共 14 页） 三、解答题：本大题共 5小题， 50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 16已知 为单位向量， | |= （ 1）若 ，求 ； （ 2）若 、 的夹角为 45，求 | + |； （ 3）若若 与 垂直，求若 与 的夹角 【考点】 平面向量数量积的运算 【专题】 转化思想；分析法 ；平面向量及应用 【分析】 （ 1）讨论当 ， 夹角为 0时，当 ， 夹角为 180时，由向量的数量积的定义，计算即可得到所求值； （ 2）运用向量的数量积的定义和向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值； （ 3）运用向量垂直的条件：数量积为 0，以及向量的夹角公式，计算即可得到所求值 【解答】 解 ：（ 1）若 ，可得 当 ， 夹角为 0时， = ； 当 ， 夹角为 180时， = ； （ 2） =| | |， =1 =1， 则 | + |2=| |2+2 +| |2=1+2+2=5， 即 | + |= ； （ 3）由（ ） =0 得 2= ，设 ， 夹角为 ， 则 = = ， 所以 ， 夹角为 45 【点评】 本题考查向量的数量积的定义和模的求法，注意讨论向量同向或反向，考查向量的夹角的求法，注意运用夹角公式，属于基础题 17假设某种产品原来售价为 125 元 /个，厂家打算从元旦至春节期间进行回馈大酬宾活动，每次降价 20% （ 1）求售价 y（元）与降价次数 x 的函数关系式； （ 2）若计划春节期间，产品售价将不低于 64 元 /个，问最多需要降价多少次？ 【考点】 函数模型的选择与应用 【专题】 应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应 用 【分析】 （ 1）利用指数函数可得结论； （ 2）根据计划春节期间，产品售价将不低于 64 元 /个，可得不等式，即可求出最多需要降价的次数 【解答】 解：（ 1）设降价次数为 x，则依题意可得 y=125（ 1 20%） x=125（ ） x，（ xN） （ 2）由题意得： 125（ ） x64 即（ ） x ，所以 x3，因此最多降价 3 次 【点评】 本题考查了指数函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解 第 11 页（共 14 页） 18在锐角 ，已知 A+B） = ， A B） = （ 1）求证： （ 2）求 A+B）及 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；三角函数恒等式的证明 【专题】 计算题；方程思想；转 化思想；三角函数的求值 【分析】 （ 1）由 A+B） = ， A B） = ，展开解方程组得 ，再利用同角三角函数基本关系式即可得出 （ 2）由于 A+B ，可得 A+B） = ， A+B），利用 A+B） = = ，将 入解出即可得出 【解答】 （ 1）证明：由 A+B） = ， A B） = ， 展开： ， ， 解方程组得 ， =2；即 （ 2） A+B ， A+B） = = ， A+B） = ， 由 A+B） = = ， 将 入得 241=0， 根据求根公式解出 或 锐角三角形， 【点评】 本题考查了三角函数的求值、和差公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中 档题 第 12 页（共 14 页） 19已知向量 =（ x， ）， =（ x， ）（ 0， x0），函数 f（ x） = 的第n（ nN*）个零点记作 左至右依次计数） （ 1）若 = ，求 （ 2）若函数 f（ x）的最小正周期为 ，设 g（ x） =| + |，求函数 g（ x）的单调递增区间 【考点】 平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用 【专题】 计算题；对应思想；综合法；平面向量及应用 【分析】 （ 1）若 = 时，可得 f（ x） = x 的解析式，由 f（ x） =0，可得 （ x0），故有 x=4或 x=4， kz，由此可得第二个零点的值； （ 2）由 f（ x）最小正周期为 ，则 =2， g（ x） = ，因为周期为 ，且在区间 ，上，其单调递增区间为 ， ，由此可得到函数 g（ x）的单调递增区间 【解答】 解：（ 1） f（ x） = =xx = 当 = 时 ， f（ x） = x 令 f（ x） =0，得 x= 或 x= （ kZ， x0） 取 k=0，得 ； （ 2） f（ x）最小正周期为 ，则 =2， g（ x） =| + |=|（ 0） |=