浙江省绍兴市2015-2016学年高一上期末数学试卷1含答案解析

第 1 页（共 16 页） 2015年浙江省绍兴市高一（上）期末数学试卷 1 一、选择题（本大题共 10小题，每小题 3分，共 30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1若集合 M= 1， 0， 1，集合 N=0， 1， 2，则 M N 等于（ ） A 0， 1 B 1， 0， 1 C 0， 1， 2 D 1， 0， 1， 2 2 ） A 2 B 0 C D 2 3 值是（ ） A B C D 4已知函数 f（ x） = ，则 f（ 2） =（ ） A 1 B 0 C D 4 5下列函数，既是偶函数，又在区间（ 0， +）为单调递增函数的是 （ ） A y=x B y=2x C y= y=2|x| 6已知函数 ，则函数 y=f（ x）的大致图象为（ ） A B C D 7对于任意角 和 ，若满足 += ，则称 和 “广义互余 ”已知 +） = ，； +） = ； 2 ； 上述角 中，可能与角 “广义互余 ”的是（ ） A B C D 8根据人民网报道， 2015 年 11 月 10 日早上 6 时，绍兴的 气质量指数）达到 290，属于重度污染，成为，成为 74 个公布 颗粒物）数据城市中空气质量最差的城市，保护环境，刻不容缓某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，可第 2 页（共 16 页） 以把细颗粒物进行处理已知该单位每月的处理量最少为 300 吨，最多为 600 吨，月处理成本 y（元）与月处理量 x（吨）之间的函数关系可近似的表示为 y= 200x+80000则每吨细颗粒物的平均处 理成本最低为（ ） A 100 元 B 200 元 C 300 元 D 400 元 9函数 f（ x）的图象为如图所示的折线段 g（ x） = ，则函数 g（ x）的最大值为（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 10设集合 A=f（ x） |存在互不相等的正整数 m， n， k，使得 f（ n） 2=f（ m） f（ k）成立 ，则下列不属于集合 A 的函数是（ ） A f（ x） =1+x B f（ x） =1+ f（ x） =1+2x D f（ x） =1+x 二、填空题（本大题共 6小题，每小题 3分，共 18分） 11函数 y=x+1）的定义域 A= 12若 ， 0，则 13已知 a= 4a= 14将函数 f（ x） =2图象向左 平移 个单位后得到函数 g（ x），则函数 g（ x）的单调递减区间为 15已知函数 f（ x） = ，若函数 F（ x） =f（ x） x 只有一个零点，则实数 m 的取值范围是 16已知函数 f（ x） =a|x 2|恒有 f（ f（ x） f（ x），则实数 a 的取值范围是 第 3 页（共 16 页） 三、解答题（本大题共 5小题，共 52分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算过程） 17已知集合 A=x|1 x 8，集合 B=x|5x 140 （ ）求集合 B （ ）求 AB 18已知函数 f（ x） = （ ）求 f（ ）的值 （ ）若 f（ m） =2，试求 f（ m）的值 19函数 f（ x） =x ）（ A 0， 0）的部分图象如图所示 （ ）求函数 f（ x）的解析式 （ ）若 x ， 时，函数 g（ x） =f（ x） +m 的最小值为 3，求函数 g（ x）的最大值 20设 D 是函数 y=f（ x）定义域内的一个子集，若存在 ，使得 f（ = 立，则称 f（ x）的一个 “次不动点 ”，也称 f（ x）在区间 D 上存在次不动点设函数 f（ x） =4x+a2x 1）， x0， 1 （ ） 若 a=1，求函数 f（ x）的次不动点 （ ）若函数 f（ x）在 0， 1上不存在次不动点，求实数 a 的取值范围 21设函数 f（ x） =ax+b（ a， bR） （ ）若函数 f（ x）在 0， 1上不单调，求 a 的取值范围 （ ）对任意 x 1， 1，都存在 yR，使得 f（ y） =f（ x） +y 成立，求 a 的取值范围 第 4 页（共 16 页） 2015年浙江省绍兴市高一（上）期末数学试卷 1 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10小题，每小题 3分，共 30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目 要求的） 1若集合 M= 1， 0， 1，集合 N=0， 1， 2，则 M N 等于（ ） A 0， 1 B 1， 0， 1 C 0， 1， 2 D 1， 0， 1， 2 【考点】 并集及其运算 【专题】 计算题 【分析】 集合 M 和集合 N 都是含有三个元素的集合，把两个集合的所有元素找出写在花括号内即可，注意不要违背集合中元素的互异性 【解答】 解：因为 M= 1， 0， 1， N=0， 1， 2， 所以 M N= 1， 0， 1 0， 1， 2= 1， 0， 1， 2 故答案为 D 【点评】 本题考查了并集及其运算， 考查了并集的概念，是会考题型，是基础题 2 ） A 2 B 0 C D 2 【考点】 对数的运算性质 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 利用对数运算法则求解 【解答】 解： 123） =2 故选： A 【点评】 本题考查对数的运算，解题时要认真审题，是基础题 3 值是（ ） A B C D 【考点】 运用诱导公式化简求值 【专题】 三角函数的求值 【分析】 直接利用诱导公式把要求的式子化为 从而求得它的结果 【解答】 解： ， 故选 D 【点评】 本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题 4 已知函数 f（ x） = ，则 f（ 2） =（ ） 第 5 页（共 16 页） A 1 B 0 C D 4 【考点】 函数的值 【专题】 转化思想；函数的性质及应用 【分析】 利用分段函数的性质即可得出 【解答】 解： 函数 f（ x） = ， f（ 2） = 2+1= 1 故选： A 【点评】 本题考查了分段函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 5下列函数，既是 偶函数，又在区间（ 0， +）为单调递增函数的是（ ） A y=x B y=2x C y= y=2|x| 【考点】 函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断 【专题】 计算题；函数思想；分析法；函数的性质及应用 【分析】 运用奇偶性的定义和常见函数的奇偶性，结合函数的单调性，即可判断 D 正确， A，B， C 均错 【解答】 解：选项 A， y=x 为奇函数，故 A 错误； 选项 B， y=2x，非即非偶函数，故 B 错误； 选项 C， y=偶函数，但在区间（ 0， +）上没有单调性，故 C 错误； 选项 D， y=2|x|为偶函数，当 x 0 时，解析式可化为 y=2x，显然满足在区间（ 0， +）上单调递增，故正确 故选： D 【点评】 本题考查函数的奇偶性和单调性，属基础题 6已知函数 ，则函数 y=f（ x）的大致图象为（ ） A B C D 【考点】 函数的图象与图象变化 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 由函数不是奇函数图象不关于原点对称，排除 A、 C，由 x 0 时，函数值恒正，排除 D 【解答】 解：函数 y=f（ x）是一个非奇非偶函数，图象不关于原点对称，故排除选项 A、 C， 又当 x= 1 时，函数值等于 0，故排除 D， 故选 B 【点评】 本题考查函数图象的特征，通过排除错误的选项，从而得到正确的选项排除法是解选择题常用的一种方法 第 6 页（共 16 页） 7对于任意角 和 ，若满足 += ，则称 和 “广义互余 ”已知 +） = ，； +） = ； 2 ； 上述角 中，可能与角 “广义互余 ”的是（ ） A B C D 【考点】 三角函数的化简求值 【 专题】 计算题；新定义；分类讨论；数形结合法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质 【分析】 由已知可得 +） =1，得： +2，或 +2（ kZ），即可判断 和 可能是广义互余； 由于 ），解得 =2，或 +=2，即可得解 和 不可能是广义互余； 解得 ），当 ）时，可得 = +2 kZ），可得 有可能是广义互余； 解得 ，可得 =2得 和 不可能是广义互余 【解答】 解： +） = ，可得： ， +） =1，可得： +2，或 +2（ kZ），故 和 可能是广义互余； +） = +） = ） ， = +2 =（ ） +2 kZ）， =2，或 +=2，（ kZ）， +不可能等于 90， 和 不可能是广义互余； 当 2 时，可得 = ）， 当 ）时，可得 = +2 kZ）， 可得 a 和 有可能是广义互余； 当 时， ，此时 ， =2 kZ）， 和 不可能是广义互余 故选： C 【点评】 本题主要考查了三角函数诱导公式的运用，考查了三角函数的图象和性质，考查了学生分析和解决问题的能力，属于中档题 第 7 页（共 16 页） 8根据人民网报道， 2015 年 11 月 10 日早上 6 时，绍兴的 气质量指数）达到 290，属于重度污染，成为，成为 74 个公布 颗粒物）数据城市中空气质量最差的城市，保护环境，刻不容缓某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，可以把细颗粒物进行处理已知该单位每月的处理量最少为 300 吨，最多为 600 吨，月处理成本 y（元）与月处理量 x（吨）之间的函数关系可近似的表示为 y= 200x+80000则每吨细颗粒物的平均处理成本最低为（ ） A 100 元 B 200 元 C 300 元 D 400 元 【考点】 基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用 【专题】 计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 通过记每吨细颗粒物的平均处理成本 t（ x） = 化简可知 t（ x） = x+ 200，利用基本不等式计算即得结论 【解答】 解：依题意， 300x600，记每吨细颗粒物的平均处理成本为 t（ x）， 则 t（ x） = = = x+ 200， x+ 2 =400， 当且仅当 x= 即 x=400 时取等号， 当 x=400 时 t（ x）取最小值 400 200=200（元）， 故选： B 【点评】 本题考查函数模型的选择与应用，考查基本不等式，注意解题方法的积累，属于中档题 9函数 f（ x）的图象为如图所示的折 线段 g（ x） = ，则函数 g（ x）的最大值为（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 【考点】 函数的最值及其几何意义 【专题】 方程思想；分析法；函数的性质及应用 【分析】 运用一次函数的解析式的求法，可得 f（ x），分别讨论 0 x1， 1 x3 时， f（ x）和 g（ x）的单调性，即可得到所求最大值 【解答】 解：由图象可得 A（ 0， 1）， B（ 1， 3）， C（ 3， 1）， 第 8 页（共 16 页） 即有 f（ x） = ， 当 0 x1 时， g（ x） = 0， x=1 时，取得最大值 0； 当 1 x3 时， g（ x） = 递增， 当 x=3 时，取得最大值 =1 综上可得， g（ x）的最大值为 1 故选 B 【点评】 本题考查分段函数的解析式的求法，主要考查函数的最值的求法，注意运用对数函数的单调性和一次函数的单调性，考查运算能力，属于 中档题 10设集合 A=f（ x） |存在互不相等的正整数 m， n， k，使得 f（ n） 2=f（ m） f（ k）成立 ，则下列不属于集合 A 的函数是（ ） A f（ x） =1+x B f（ x） =1+ f（ x） =1+2x D f（ x） =1+x 【考点】 函数解析式的求解及常用方法 【专题】 函数思想；定义法；函数的性质及应用 【分析】 根据条件分别确定 n， m， k 的值即可得到结论 【解答】 解： A f（ 1） =2， f（ 27） =4， f2=f（ 1） f=1， f（ 10） =2， f2=f（ 1） f=1， f（ ）=1， f（ ） =4， 满足 f（ ） 2=f（ ） f（ ） 故只有 C 不满足条件 故选： C 【点评】 本题主要考查函数值的计算， 根据条件找出满足条件的 n， m， k 是解决本题的关键，比较基础 二、填空题（本大题共 6小题，每小题 3分，共 18分） 11函数 y=x+1）的定义域 A= （ 1， +） 【考点】 函数的定义域及其求法 【专题】 计算题 【分析】 根据对数函数真数大于 0，列出 x+1 0，再解出不等式 【解答】 解：根据题意得 x+1 0，解得 x 1， 函数的定义域 A=（ 1， +）， 故答案为：（ 1， +） 【点评】 本题考查了对数函数定义域的求法，即令真数大于零进行求解即可 第 9 页（共 16 页） 12若 ， 0，则 【考点】 同角三角函数基本关系的运用 【专题】 转化思想；综合法；三角函数的求值 【分析】 由条件利用同角三角函数的基本关系求得 【解答】 解： ， 0，则 0，且 = ， 故答案为： 【点评】 本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题 13已知 a= 4a= 9 【考点】 对数的运算性质 【专题】 计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用 【分析】 根据对数的定义和指数幂的运算性质计算即可 【解答】 解： a= 2a=3， 4a=（ 2a） 2=9， 故答案为： 9 【点评】 本题考查了对数的定义以及指数幂的运算性质，属于基础题 14将函数 f（ x） =2图象向左平移 个单位后得到函数 g（ x），则函数 g（ x）的单调递减区间为 k ， kZ 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【专题】 计算题；转化思想；分析法；三角函数的图像与性质 【分析】 由条件利用函数 y=x+）的图象变换规律，可得所得图象对应的函数的解析式 g（ x） =22x+ ），再利用正弦函数的单调性，可得 g（ x）的单调性，从而得出结论 【解答】 解：将函数 y=2图象向左平移 个单位长度，所得图象对应的函数的解析式为 g（ x） =2x+ ） =22x+ ）， 由 22x+ 2， kZ，解得 g（ x）的单调递减区间为： k ，kZ 故答案为： k ， kZ 【点评】 本题主要考查函数 y=x+）的图象变换规律，正弦函数的单调性，体现了转 化的数学思想，属于基础题 第 10 页（共 16 页） 15已知函数 f（ x） = ，若函数 F（ x） =f（ x） x 只有一个零点，则实数 m 的取值范围是 2m 1 【考点】 函数零点的判定定理 【专题】 计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 令 x+2=x，可得 x= 2 或 1，利用函数 F（ x） =f（ x） x 只有一个零点，即可求出实数 m 的取值范围 【解答】 解：由题意，令 x+2=x， x+2=0，可得 x= 2 或 1， 函数 F（ x） =f（ x） x 只有一个零点， 实数 m 的取值范围是 2m 1 故答案为： 2m 1 【点评】 本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的零点，难度中档 16已知函数 f（ x） =a|x 2|恒有 f（ f（ x） f（ x），则实数 a 的取值范围是 （ ，1 【考点】 绝对值不等式的解法 【专题】 计算题；数形结合；分类讨论；不等式的解法及应用 【分析】 分类讨论可知 a 0 时才有可能恒成立，当 a 0 时，化简 f（ f（ x）， f（ x）；从而结合图象讨论即可 【解答】 解： 当 a=0 时， f（ f（ x） =f（ x） =0，故不成立； 当 a 0 时， f（ f（ 2） =f（ 0） =2a， f（ 2） =0，故不成立； 当 a 0 时， f（ f（ x） =a|a|x 2| 2|， 当 x 2 时， f（ f（ x） =a|a（ 2 x） 2| =a| a 2|， 而由 a 2 0 解得， x =2 ， 而 2 2， 故 a| a 2|=a（ 2a+2）， 故 f（ f（ x） =a（ 2a+2）； 同理可得，当 x 2 时， f（ f（ x） = a（ 2a 2）； 故 f（ f（ x）的图象关于 x=2 对称， 作 y=f（ f（ x）与 y=f（ x）的图象如下， 第 11 页（共 16 页） ， 结合图象可知， 只需使 a， 故 a 1， 故答案为：（ ， 1 【点评】 本题考查了分类讨论的思想应用及数形结合的思想应用，同时考查了学生的化简运算能力 三、解答题（本大题共 5小题，共 52分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算过程） 17已知集合 A=x|1 x 8，集合 B=x|5x 140 （ ）求集合 B （ ）求 AB 【考点】 交集及其运算；集合的表示法 【专题】 计算题；集合思想；集合 【分析】 （ ）求出 B 中不等式的解集确定出 B 即可； （ ）由 A 与 B，求出两集合的交集即可 【解答】 解：（ ）由 B 中不等式变形得：（ x 7）（ x+2） 0， 解得： x 2 或 x7， 则集合 B=x|x 2 或 x7； （ ） A=x|1 x 8， B=x|x 2 或 x7， AB=x|7x 8 【点评】 此题考查了 交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键 18已知函数 f（ x） = 第 12 页（共 16 页） （ ）求 f（ ）的值 （ ）若 f（ m） =2，试求 f（ m）的值 【考点】 三角函数的化简求值；函数的值 【专题】 转化思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 （ ）由条件利用利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，化简 f（ x）的解析式，从而求得 f（ ）的值 （ ）由 条件根据 f（ x） =f（ x），得出结论 【解答】 解：（ ）函数 f（ x） = = = 6+ 5 f（ ） = 6+2 = （ ） f（ x） = 6+ 5 x） = 6+ 5f（ x）， 故 f（ x）为偶函数， 若 f（ m） =2，则 f（ m） =f（ m） =2 【点评】 本题主要考查利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，函数的奇偶性的判断，属于基础题 19函数 f（ x） =x ）（ A 0， 0）的部分图象如图所示 （ ）求函 数 f（ x）的解析式 （ ）若 x ， 时，函数 g（ x） =f（ x） +m 的最小值为 3，求函数 g（ x）的最大值 【考点】 由 y=x+）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象 【专题】 计算题；图表型；数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质 第 13 页（共 16 页） 【分析】 （ ）由图可知 A， T，利用周期公式可求 ，从而可求函数 f（ x）的解析式 （ ）由 x ， ，可得 2x ，解得 12x ） ，由正弦函数的性质，利用最小值为 3 可求 m，即可得解函数最 大值 【解答】 （本题满分为 10 分） 解：（ ） 如图， A=2， 2 分 T=4（ ） = ， =2， 4 分 函数 f（ x）的解析式为： f（ x） =22x ） 5 分 （ ） x ， ， 2x ， 12x ） ， 6 分 g（ x） 2+m=3，即： m=5， 8 分 g（ x） +m=5+ 10 分 【点评】 本题主要考查了由 y=x+）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质的应用，属于基础题 20设 D 是函数 y=f（ x）定义域内的一个子集，若存在 ，使得 f（ = 立，则称 f（ x）的一个 “次不动点 ”，也称 f（ x）在区间 D 上存在次不动点设函数 f（ x） =4x+a2x 1）， x0， 1 （ ）若 a=1，求函数 f（ x）的次不动点 （ ）若函数 f（ x） 在 0， 1上不存在次不动点，求实数 a 的取值范围 【考点】 对数函数的图象与性质 【专题】 新定义；转化思想；构造法；函数的性质及应用 【分析】 （ ）首先，根据所给 a 的值，代入后，结合次不动点的概念建立等式，然后，结合幂的运算性质，求解即可； （ ）首先，得 4x+a2x 1） = x 在 0， 1上无解，然后，利用换元法进行确定其范围即可 【解答】 解：（ ）当 a=1 时，函数 f（ x） = ， 依题，得 = x， 4x+2x 1= ， 4x+2x 1=2x， 第 14 页（共 16 页） 4x=1， x=0， 函数 f（ x）的次不动点为 0； （ ）根据已知，得 4x+a2x 1） = x 在 0， 1上无解， 4x+a2x 1=20， 1上无解， 令 2x=t， t1， 2， a 1） t 1=0 在区间 1， 2上无解， a=1 t+ 在区间 1， 2上无解， 设 g（ t） =1 t+ ， g（ t）在区间 1， 2上单调递减， 故 g（ t） ， 1， a 或 a 1， 又 4x+a2x 1 0 在 0， 1上恒成立， a 在 0， 1上恒成立， 即 a 在 1， 2上恒成立， 设 h（ t） = t， h（ t）在区间 1， 2上单调递减， 故 g（ t） ， 0， a 0， 综上实数 a 的取值范围（ 1， +） 【点评】 本题综合考查了函数恒成立问题、函数的基本性质等知识，理解所给的次不动点这个概念是解题的关键，属于难题 21设函数 f（ x） =ax+b（ a， bR） （ ）若函数 f（ x）在 0， 1上不单调，求 a 的取值范围 （ ）对任意