求解孪生素数的方法

求解孪生素数的方法务川自治县实验学校 王若仲 （王洪） 贵州564300 摘要：对于自然数中的素数而言，确实没有通项表达式，对于自然数中的孪生素数而言，更是没有通项表达式，但是我们可以通过一定的表达式求出一定范围内的所有孪生素数；还可以通过一定的表达式判别设定的两个奇数是不是孪生素数。关键词：奇合数；奇素数；孪生素数。我们知道，只能被1和本身整除的正整数，称为素数。如果两个奇素数相差2，则称这两个奇素数为孪生素数。定义1：我们把既是奇数又是合数的正整数，称为奇合数。定理1：对于任一比较大的正整数M，设奇素数p1，p2，p3，pt均为不大于M的全体奇素数（pipj ，ij，i、j=1，2，3，t），那么在区间M，M中任何一个奇合数a，奇合数a均能被集合p1，p2，p3，pt中某一个奇素数pi（i=1，2，3，t）整除。证明：设奇数a为区间M，M中的一个奇合数，那么奇数a总可以分解为两个均不小于3的奇数的乘积，我们在具体分析如下：（1）、当M=bc，b3，c3，如果b=c，b和c均为素数，那么M =b2=c2；则素数b不大于M；（2）、当M=bc，b3，c3，如果b=c，b和c均为奇合数，那么奇合数b中必有一个奇素数因子q小于M；（3）、当M=bc，b3，c3，如果bc，b和c均为奇合数，那么奇合数c中必有一个奇素数因子q小于M；（4）、当M=bc，b3，c3，如果bc，b和c均为奇素数，那么奇素数c小于M；（5）、设奇数a为区间M，M）中的一个奇合数，令奇合数a=bc，b3，c3，aM，如果b=c，b和c均为素数，那么奇素数b小于M奇素数；（6）、设奇数a为区间M，M）中的一个奇合数，令奇合数a=bc，b3，c3，aM，如果b=c，b和c均为奇合数，那么奇合数b中必有一个素数因子p小于M；（7）、设奇数a为区间M，M）中的一个奇合数，令奇合数a=bc，b3，c3，aM，如果bc，b和c中一个为奇素数一个为奇合数，那么奇数b和c必为一大一小的奇数，不妨设小的一个奇数为奇素数，则小的一个奇素数小于M；（8）、设奇数a为区间M，M）中的一个奇合数，令奇合数a=bc，aM，如果bc，b和c中一个为奇素数和一个为奇合数，那么奇数b和c必为一大一小的奇数，不妨设大的一个奇数为奇素数，那么小的一个奇数必为奇合数，不妨令小的一个奇数为c，则奇合数c总可以分解为素因子的乘积，其中任何一个素因子必小于M。综上所述，定理1成立。例1：求证奇合数371能否被3或5或7或11或13或17或19整除。解：因为371400，所以371400；400=20，由定理1可知，奇合数371能被3或5或7或11或13或17或19整除。3713=1233+2，3715=745+1，3717=537。定理2：对于任一奇数M（M9），设奇素数p1，p2，p3，pt均为不大于M的全体奇素数（pipj ，ij，i、j=1，2，3，t），若奇数M均不能被集合p1，p2，p3，pt中的任一奇素数pi（i=1，2，3，t）整除，则奇数M为奇素数。证明：对于任一奇数M（M9），设奇素数p1，p2，p3，pt均为不大于M的全体奇素数（pipj ，ij，i、j=1，2，3，t），假若奇数M是奇合数，并且奇数M均不能被集合p1，p2，p3，pt中的任一奇素数pi（i=1，2，3，t）整除，这与定理1的情形产生矛盾，故定理2成立。例2：判别奇数391是奇素数还是奇合数。解：因为397400，400=20，由定理1可知，奇数391能否被集合3，5，7，11，13，17，19中某个奇素数整除，可以判别奇数397是奇素数还是奇合数；3973=1323+1，3975=795+2，3977=567+5，39711=3611+1，39713=3013+7，39717=2317+6，39717=2019+17，故奇数397是奇素数。定理3：设奇素数p1，p2，p3，pt为从3开始的连续的奇素数（pipj ，ij，i、j=1，2，3，t），对于偶数2m,偶数2m不含有奇素数因子p1，p2，p3，pt；设pt+1为大于奇素数pt的所有奇素数中最小的奇素数。 （1）若2mp1k1p2k2p3k3ptkt，并且2m- p1k1p2k2p3k3ptktpt+12，（2m-2）均不能被集合p1，p2，p3，pt中的任一奇素数pi（i=1，2，3，t）整除，奇数（2m-2-p1k1p2k2p3k3ptkt）1，（2m-p1k1p2k2p3k3ptkt）1，则奇数（2m-2-p1k1p2k2p3k3ptkt）和（2m-p1k1p2k2p3k3ptkt）为孪生素数； （2）若2mp1k1p2k2p3k3ptkt，并且p1k1p2k2p3k3ptkt-2mpt+12（m1），（2m+2）均不能被集合p1，p2，p3，pt中的任一奇素数pi（i=1，2，3，t）整除，奇数（p1k1p2k2p3k3ptkt-2m-2）1，（p1k1p2k2p3k3ptkt-2m）1，则奇数（p1k1p2k2p3k3ptkt-2m-2）和（p1k1p2k2p3k3ptkt-2m）为孪生素数； （3）若2m+p1k1p2k2p3k3ptktpt+12（m1），（2m-2）均不能被集合p1，p2，p3，pt中的任一奇素数pi（i=1，2，3，t）整除，则奇数（2m-2+p1k1p2k2p3k3ptkt）和（2m+p1k1p2k2p3k3ptkt）为孪生素数。其中kr1（r=1，2，3，t）。证明：我们设奇素数p1，p2，p3，pt为从3开始的连续的奇素数（pipj ，ij，i、j=1，2，3，t），对于偶数2m,偶数2m不含有奇素数因子p1，p2，p3，pt；设pt+1为大于奇素数pt的所有奇素数中最小的奇素数。 （1）对于2mp1k1p2k2p3k3ptkt，并且2m- p1k1p2k2p3k3ptktpt+12，（2m-2）均不能被集合p1，p2，p3，pt中的任一奇素数pi（i=1，2，3，t）整除，则奇数（2m-2- p1k1p2k2p3k3ptkt）和（2m-p1k1p2k2p3k3ptkt）均不能被集合p1，p2，p3，pt中的任一奇素数pi（i=1，2，3，t）整除，若奇数（2m-2-p1k1p2k2p3k3ptkt）1，（2m-p1k1p2k2p3k3ptkt）1，由定理1和定理2可知，奇数（2m-2-p1k1p2k2p3k3ptkt）和（2m-p1k1p2k2p3k3ptkt）均为奇素数；（2）对于2mp1k1p2k2p3k3ptkt，并且p1k1p2k2p3k3ptkt-2mpt+12（m1），（2m+2）均不能被集合p1，p2，p3，pt中的任一奇素数pi（i=1，2，3，t）整除，则奇数（p1k1p2k2p3k3ptkt-2m-2）和（p1k1p2k2p3k3ptkt-2m）均不能被集合p1，p2，p3，pt中的任一奇素数pi（i=1，2，3，t）整除，奇数（p1k1p2k2p3k3ptkt-2m-2）1，（p1k1p2k2p3k3ptkt-2m）1，由定理1和定理2可知，奇数（p1k1p2k2p3k3ptkt-2m-2）和（p1k1p2k2p3k3ptkt-2m）均为奇素数；（3）对于2m+p1k1p2k2p3k3ptktpt+12（m1），（2m-2）均不能被集合p1，p2，p3，pt中的任一奇素数pi（i=1，2，3，t）整除，则奇数（2m-2+p1k1p2k2p3k3ptkt）和（2m+p1k1p2k2p3k3ptkt）均不能被集合p1，p2，p3，pt中的任一奇素数pi（i=1，2，3，t）整除，由定理1和定理2可知，奇数（2m-2+p1k1p2k2p3k3ptkt）和（2m+p1k1p2k2p3k3ptkt）均为奇素数；综上所述，定理3成立。例3：求证奇数（357-2）和（357-2-2）为孪生奇素数。解：因为奇数（357-2）和（357-2-2）均小于121，（2+2）均不能被奇素数3或5或7整除，又因为奇数（357-2）和（357-2-2）均不能被奇素数3或5或7整除，由定理1和定理2可知，奇数（357-2）和（357-2-2）均为奇素数，又因为奇数（357-2）和（357-2-2）相差2，故奇数（357-2）和（357-2-2）为孪生素数。定理4：设奇素数p1，p2，p3，pt为从3开始的连续的奇素数（pipj ，ij，i、j=1，2，3，t），对于偶数2m,偶数2m不含有奇素数因子p11，p12，p13，p1r，偶数2m含有奇素数因子p21，p22，p23，p2s，并且p11，p12，p13，p1rp21，p22，p23，p2s=p1，p2，p3，pt，设pt+1为大于奇素数pt的所有奇素数中最小的奇素数。 （1）若2mp11k1p12k2p13k3p1r kr，并且2m-p11k1p12k2p13k3p1r ktpt+12，（2m-2）均不能被集合p11，p12，p13，p1r中的任一奇素数p1u（u =1，2，3，r）整除，奇数（2m-2-p11k1p12k2p13k3p1r kr）1，（2m-p11k1p12k2p13k3p1r kr）1，则奇数（2m-2-p11k1p12k2p13k3p1r kr）和（2m-p11k1p12k2p13k3p1r kr）为孪生素数； （2）若2mp11k1p12k2p13k3p1r kr，并且p11k1p12k2p13k3p1r kt -2mpt+12（m0），（2m+2）均不能被集合p11，p12，p13，p1r中的任一奇素数p1u（u =1，2，3，r）整除，奇数（p11k1p12k2p13k3p1r kr -2m-2）1，（p11k1p12k2p13k3p1r kr -2m）1，则奇数（p11k1p12k2p13k3p1r kr -2m-2）和（p11k1p12k2p13k3p1r kr -2m）为孪生素数； （3）若2m+p11k1p12k2p13k3p1r krpt+12（m1），（2m-2）均不能被集合p11，p12，p13，p1r中的任一奇素数p1u（u =1，2，3，r）整除，奇数（2m-2+p11k1p12k2p13k3p1r kr）1，（2m+ p11k1p12k2p13k3p1r kr）1，则奇数（2m-2+p11k1p12k2p13k3p1r kr）和（2m+ p11k1p12k2p13k3p1r kr）为孪生素数。其中ku1（u=1，2，3，r）。证明：我们设奇素数p1，p2，p3，pt为从3开始的连续的奇素数（pipj ，ij，i、j=1，2，3，t），对于偶数2m,偶数2m不含有奇素数因子p11，p12，p13，p1r，偶数2m含有奇素数因子p21，p22，p23，p2s，并且p11，p12，p13，p1rp21，p22，p23，p2s=p1，p2，p3，pt，设pt+1为大于奇素数pt的所有奇素数中最小的奇素数。 （1）对于2mp11k1p12k2p13k3p1r kr，并且2m-p11k1p12k2p13k3p1r krpt+12，设（2m-2）均不能被集合p11，p12，p13，p1r中的任一奇素数p1u（u =1，2，3，r）整除，则奇数（2m-2-p11k1p12k2p13k3p1r kr）和（2m-p11k1p12k2p13k3p1r kr）均不能被集合p1，p2，p3，pt中的任一奇素数pi（i=1，2，3，t）整除，若奇数（2m-2+p11k1p12k2p13k3p1r kr）1，（2m+ p11k1p12k2p13k3p1r kr）1，由定理1和定理2可知，奇数（2m-2-p11k1p12k2p13k3p1r kr）和（2m-p11k1p12k2p13k3p1r kr）均为奇素数；（2）对于2mp11k1p12k2p13k3p1r kr，并且p11k1p12k2p13k3p1r kr -2mpt+12（m1），设（2m+2）均不能被集合p11，p12，p13，p1r中的任一奇素数p1u（u =1，2，3，r）整除，则奇数（p11k1p12k2p13k3p1r kr -2m-2）和（p11k1p12k2p13k3p1r kr -2m）均不能被集合p1，p2，p3，pt中的任一奇素数pi（i=1，2，3，t）整除，若奇数（p11k1p12k2p13k3p1r kr -2m-2）1，（p11k1p12k2p13k3p1r kr -2m）1，由定理1和定理2可知，奇数（p11k1p12k2p13k3p1r kr -2m-2）和（p11k1p12k2p13k3p1r kr -2m）均为奇素数；（3）对于2m+p11k1p12k2p13k3p1r krpt+12（m1），（2m-2）均不能被集合p11，p12，p13，p1r中的任一奇素数p1u（u =1，2，3，r）整除，则奇数（2m-2+p11k1p12k2p13k3p1r kr）和（2m+ p11k1p12k2p13k3p1r kr）均不能被集合p1，p2，p3，pt中的任一奇素数pi（i=1，2，3，t）整除，由定理1和定理2可知，奇数（2m-2+p11k1p12k2p13k3p1r kr）和（2m+p11k1p12k2p13k3p1r kr）均为奇素数；综上所述，定理4成立。例4：求证奇数（3711-245-2）和（3711-245）为孪生素数。解：因为奇数（3711-245-2）和（3711-245）均小于169，（245+2）均不能被奇素数3或5或7或11整除，又因为奇数（3711