2016年上海市奉贤区高考数学一模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 16 页） 2016 年上海市奉贤区高考数学一模试卷（文科） 一、填空题（共 14小题，每小题 5分，满分 70分） 1若 i（ ）是纯虚数， i 是虚数单位，则实数 b= 2函数 的定义域是 3在 | |=2， | |=3， 0，且 则 4双曲线 4 的一条渐近线与直线 tx+y+1=0 垂直，则 t= 5已知抛物线 x 上一点 M（ 2 ），则点 M 到抛物线焦点的距离为 6无穷等比数列首项为 1，公比为 q（ q 0）的等边数列前 n 项和为 ，则q= 7在一个水平放置的底面半径为 圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升 R= 8从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座谈会，若这 4 人中必须既有男生又有女生，则不同的选法种数共有 （用数字作答） 9在平面直角坐标系 ，将点 A（ 2， 1）绕原点 O 逆时针旋转 到点 B，若直线 斜角为 ，则 10已知函数 f（ x） =2x a2 f 1（ x）， f 1（ x）在定义域上是奇函数，则正实数 a= 11已知 x1， y0，集合 A=（ x， y） |x+y4， B=（ x， y） |x y+t=0，如果 AB，则 t 的取值范围是 12在（ x+ +2） 4展开式中的常数项是 （用数值作答） 13如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形， 如果直角三角形的直角边成为 1，那么这个几何体的表面积是 第 2 页（共 16 页） 14若数列 足 an+a ，且 a1=x， 调递增，则 x 的取值范围是 二、选择题（共 4小题，每小题 5分，满分 20分） 15平面 的斜线与平面 所成的角是 35，则与平面 内所有不过斜足的直线所成的角的范围是（ ） A（ 0， 35B（ 0， 90C 35， 90） D 35， 90 16下列不等式中，与不等式 2 解集相同的是（ ） A（ x+8）（ x+3） 2B x+8 2（ x+3） C D 17若复数 z 满足关系 =1，则 z 对应的复平面的点的轨迹是（ ） A圆 B椭圆 C双曲线 D直线 18方程 9x+|3x+b|=5（ bR）有一个正实数解，则 b 的取值范围为（ ） A（ 5， 3） B（ 5） C 5， 5） D前三个都不正确 三、解答题（共 5小题，满分 60分） 19平面外 一点 P， 两互相垂直，过 中点 D 做 面 ， ， ，连接 面体 B 体积是 ； （ 1）画出面 面 交线，说明理由； （ 2）求 面 成的线面角的大小 20已知椭圆 C： （ a b 0）的长轴长是短轴长的两倍，焦距为 2 （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）设 A、 B 是四条直线 x=a， y=b 所围成的两个顶点， P 是椭圆 C 上的任意一点，若，求证：动点 Q（ m， n）在定 圆上运动 第 3 页（共 16 页） 21如图所示， A， B 是两个垃圾中转站， B 在 A 的正东方向 16 千米处， 南面为居民生活区，为了妥善处理生活垃圾，政府决定在 背面建一个垃圾发电厂 P，垃圾发电厂P 的选址拟满足以下两个要求（ A， B， P 可看成三个点）： 垃圾发电厂到两个中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同； 垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点 P 到直线 距离要尽可能大），现估测得 A， B 两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为 30 吨和 50 吨，设 |5x 0 （ 1）求 x 的表达式表示） （ 2）问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？ 22（ 1）已知 0 证： ； （ 2）已知 f（ x） =x+1） 证： f（ x）在定义域内是单调递减函数； （ 3）在（ 2）的条件下，求集合 M=n|f（ 214n 1998） 0， nZ的子集个数 23数列 足 ， 0， 0； （ 1）求证： an常数列； （ 2）若 递减数列，求 关系； （ 3）设 ， ， cn=求 通项公式 第 4 页（共 16 页） 2016年上海市奉贤区高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、填空题（共 14小题，每小题 5分，满分 70分） 1若 i（ ）是纯虚数， i 是虚数单位， 则实数 b= 0 【考点】 复数的基本概念 【分析】 由 i（ ） = b+i，又 i（ ）是纯虚数，即可得到实部等于 0，则 b 可求 【解答】 解： i（ ） = b+i， 又 i（ ）是纯虚数， 则 b=0，即 b=0 故答案为： 0 2函数 的定义域是 0， +） 【考点】 函数的定义域及其求法 【分析】 由题意可得 2x 10，解不等式可得函数的定义域 【解答】 解：由题意可得 2x 10， 解不等式可得 x0 所以函数的定义域 是 0， +） 故答案为： 0， +） 3在 ， | |=2， | |=3， 0，且 面积为 ，则 150 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 由题意可得 钝角，再由 23，解得 ，从而得到 值 【解答】 解： 在 ， | |=2， | |=3，且 面积为 ， = ， 即 ，解得 ， 又 0， ， 50 故答案为： 150 4双曲线 4 的一条渐近线与直线 tx+y+1=0 垂直，则 t= 2 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求得双曲线的渐近线方程，直线 tx+y+1=0 的斜率为 t，运用两直线垂直的条件：斜率之积为 1，计算即可得到所求值 第 5 页（共 16 页） 【解答】 解：双曲线 4 即为 ， 可得渐近线为 y=2x， 直线 tx+y+1=0 的斜率为 t， 而渐近线的斜率为 2， 由两直线垂直的条件：斜率之积为 1，可得 t= ， 即有 t= 故答案为： 5已知抛物线 x 上一点 M（ 2 ），则点 M 到抛物线焦点的距离为 4 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 把点 M（ 2 ）代入抛物线方程，解得 用抛物线的定义可得：点 M 到抛物线焦点的距离 = 【解答】 解：把点 M（ 2 ）代入抛物线方程可得： =4得 点 M 到抛物线焦点的距离 =4 故答案为： 4 6无穷等比数列首项为 1，公比为 q（ q 0）的等边数列前 n 项和为 ，则q= 2 【考点】 等比数列的通项公式 【分析】 由无穷递缩等比数列的各项和可得 =2，解方程可得 【解答】 解： 无穷等比数列首项为 1，公比为 q（ q 0）的等边数列前 n 项和为 且 ， =2，解得 q= ， 故答案为： 7在一个水平放置的底面半径为 圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为实心铁球， 球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升 R= 2 【考点】 球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 求出球的体积等于水面高度恰好上升 体积，即可求出 R 的值 【解答】 解：在一个水平放置的底面半径为 圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为 实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升 所以， ，所以 R= （ 第 6 页（共 16 页） 故答案为： 8从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座谈会，若这 4 人中必须既有男生又有女生，则不同的选法种数共有 34 （用数字作答） 【考点】 组合及组合数公式；排列、组合的实际应用 【分析】 根据题意，选用排除法；分 3 步， 计算从 7 人中，任取 4 人参加某个座谈会的选法， 计算选出的全部为男生或女生的情况数目， 由事件间的关系，计算可得答案 【解答】 解：分 3 步来计算， 从 7 人中 ，任取 4 人参加某个座谈会，分析可得，这是组合问题，共 5 种情况； 选出的 4 人都为男生时，有 1 种情况，因女生只有 3 人，故不会都是女生， 根据排除法，可得符合题意的选法共 35 1=34 种； 故答案为 34 9在平面直角坐标系 ，将点 A（ 2， 1）绕原点 O 逆时针旋转 到点 B，若直线 ，则 010 【考点】 直线的倾斜角 【分析】 设直线 倾斜角为 ，则 ， = ， 【解答】 解：设直线 倾斜角为 ，则 ， 则 = = =3， = = 故答案为： 10已知函数 f（ x） =2x a2 f 1（ x）， f 1（ x）在定义域上是奇函数，则正实数 a= 1 【考点】 反函数 【分析】 f 1（ x）在定义域上是奇函数，可得：原函数 f（ x）在定义域上也是奇函数， 利用f（ 0） =0 即可得出 【解答】 解： f 1（ x）在定义域上是奇函数， 原函数 f（ x）在定义域上也是奇函数， f（ 0） =1 a=0， 第 7 页（共 16 页） 解得 a=1， f（ x） = ，经过验证函数 f（ x）是奇函数 故答案为： 1 11已知 x1， y0，集合 A=（ x， y） |x+y4， B=（ x， y） |x y+t=0，如果 AB，则 t 的取值范围是 4， 2 【考点】 交集及其运算 【分析】 把 AB转化为线性规划问题，作出可行域，由直线 x y+t=0 与可行域有交点求得 t 的范围 【解答】 解：由 作出可行域如图， 要使 AB，则直线 x y+t=0 与可行域有公共点， 联立 ，得 B（ 1， 3）， 又 A（ 4， 0）， 把 A， B 的坐标分别代入直线 x y+t=0，得 t= 4， t=2 4t2 故答案为： 4， 2 12在（ x+ +2） 4展开式中的常数项是 70 （用数值作答） 【考点】 二项式定理的应用 【分析】 先求出二项式展开式的通项公式，再令 x 的系数等于 0，求得 r 的值，即可求得展开式中的常数项的值 【解答】 解：（ x+ +2） 4 = 的展开式的通项公式为 = = r， 令 4 r=0，求得 r=4，可得展开式中的常数项是 =70， 故答案为： 70 13如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边成为 1，那么这个几何体的表面积是 +2 第 8 页（共 16 页） 【考点】 由三视图求面积、体积；棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 由题意可知三视图复原的几何体是三棱锥 ，正方体的一个角，根据三视图的数据，求出三棱锥的表面积即可 【解答】 解：由题意可知三视图复原的几何体是三棱锥，正方体的一个角， 所以几何体的表面积为： 3 个等腰直角三角形与一个等边三角形的面积的和， 即： 3 = 故答案为： 14若数列 足 an+a ，且 a1=x， 调递增，则 x 的取值范围是 （ 1， 3） 【考点】 数列的函数特性 【分析】 数列 调递增 出即可得出 【解答】 解：数列 调递增 数列 足 an+a ，且 a1=x， 解得 x， +x x 6 x 4+x， 解得 1 x 3 故答案为：（ 1， 3） 二、选择题（共 4小题，每小题 5分，满分 20分） 15 平面 的斜线与平面 所成的角是 35，则与平面 内所有不过斜足的直线所成的角的范围是（ ） A（ 0， 35B（ 0， 90C 35， 90） D 35， 90 【考点】 直线与平面所成的角 【分析】 做出斜线与射影所确定的平面，则当 内的直线与射影平行时夹角最小为 35，当直线与射影垂直时，夹角最大为 90 【解答】 解：设平面 的斜线的斜足为 B，过斜线上 A 点做平面 的垂线，垂足为 C，则 5， 当 内的直线与 行时，直线与斜线所成的角为 35， 第 9 页（共 16 页） 当 内的直线与 直时 ，则此直线与平面 直， 直线与斜线所成的角为 90， 故选： D 16下列不等式中，与不等式 2 解集相同的是（ ） A（ x+8）（ x+3） 2B x+8 2（ x+3） C D 【考点】 其他不等式的解法 【分析】 根据 x+3=（ x+1） 2+2 0，可得不等式 2，等价于 x+8 2（ x+3），从而得出结论 【解答】 解：由于 x+3=（ x+1） 2+2 0，不等式 2，等价于 x+8 2（ x+3）， 故选： B 17若复数 z 满足关系 =1，则 z 对应 的复平面的点的轨迹是（ ） A圆 B椭圆 C双曲线 D直线 【考点】 复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义 【分析】 设 z=x+ x， yR），代入复数 z 满足关系 =1，化简即可得出 【解答】 解：设 z=x+ x， yR）， 复数 z 满足关系 =1， x2+ 则 z 对应的复平面的点的轨迹是以原点为圆心， 1 为半径的圆 故选： A 18方程 9x+|3x+b|=5（ bR）有一个正实数解，则 b 的取值范围为（ ） A（ 5， 3） B（ 5） C 5， 5） D前三个都不正确 【考点】 根的存在性及根的个数判断 【分析】 化简 9x+|3x+b|=5 可得 3x+b=5 9x+b= 5+9x，从而讨论以确定方程的根的个数，从而解得 【解答】 解： 9x+|3x+b|=5， |3x+b|=5 9x， 3x+b=5 9x+b= 5+9x， 第 10 页（共 16 页） 若 3x+b=5 9x，则 b=5 3x 9x， 其在（ ， 0）上单调递减， 故当 b3 时，无解， 当 3 b 5 时，有一个解， 当 b5 时，无解； 若 3x+b= 5+9x，则 b= 5 3x+9x=（ 3x ） 2 ， x（ ， 0）时， 0 3x 1， 当 b 5 时，有两个不同解； 当 b= 时，有一个解； 综上所述， b 的取值范围为（ 5）， 故选 B 三、解答题（共 5小 题，满分 60分） 19平面外 一点 P， 两互相垂直，过 中点 D 做 面 ， ， ，连接 面体 B 体积是 ； （ 1）画出面 面 交线，说明理由； （ 2）求 面 成的线面角的大小 【考点】 直线与平面所成的角；平面的基本性质及推论 【分析】 （ 1）延长 F，可证 F 与 C 重合，故直线 为面 面 交线； （ 2）连接 所要求的角，根据棱锥的体积计算 用勾股定理计算 【解答】 解：（ 1）延长 F， 两互相垂直， 平面 平面 ， F 与 C 重合 CC面 面 C 是平面 平面 公共点， 又 B 是平面 平面 公共点， 第 11 页（共 16 页） 面 面 交线 （ 2）连接 两互相垂直， 平面 平面 成的角， = （ 1+2） 1， 又 = ， = 面 成的线面角为 20已知椭圆 C： （ a b 0）的长轴长是短轴长的两倍，焦距为 2 （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）设 A、 B 是四条直线 x=a， y=b 所围成的两个顶点， P 是椭圆 C 上的任意一点，若，求证：动点 Q（ m， n）在定圆上运动 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）由椭圆的长轴长是短轴长的两倍，焦距为 2 ，列出方程组，能求出椭圆方程 （ 2）由已得 A（ 2， 1）， B（ 2， 1），设 P（ 由此能证明点 Q（ m， n）在定圆 x2+动 【解答】 （ 1）解： 椭圆 C： （ a b 0）的长轴长是短轴长的两倍，焦距为 2 ， 第 12 页（共 16 页） ，解得 a=2， b=1， c= ， 椭圆方程为 （ 2）证明： A、 B 是四条直线 x=2， y=1 所围成的两个顶点， A（ 2， 1）， B（ 2， 1），设 P（ 则 +由 ，得 ， +（ m+n） 2=1，故点 Q（ m， n）在定圆 x2+运动 21如图所示， A， B 是两个垃圾中转站， B 在 A 的正东方向 16 千米处， 南面为居民生活区，为了妥善处理生活垃圾，政府决定在 背面建一个垃圾发电厂 P，垃圾发电厂P 的选址拟满足以下两个要求（ A， B， P 可看成三个点）： 垃圾发电厂到两个中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同； 垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点 P 到直线 距离要尽可能大），现估测得 A， B 两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为 30 吨和 50 吨，设 |5x 0 （ 1）求 x 的表达式表示） （ 2）问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？ 【考点】 余弦定理的应用 【分析】 （ 1）由条件可设 x， x，运用余弦定理，即可得到 （ 2）由同角的平方关系可得 得点 P 到直线 距离 h=简整理配方，由二次函数的最值的求法，即可得到所求最大值及 值 【解答】 解：（ 1）由条件 ，得 ， x， x， 则 ， 可得 ； （ 2）由同角的平方关系可得 ， 所以点 P 到直线 距离 h= 第 13 页（共 16 页） = ， ， ， 2x8， 所以当 4，即 时， h 取得最大值 15 千米 即选址应满足 千米， 千米 22（ 1）已知 0 证： ； （ 2）已知 f（ x） =x+1） 证： f（ x）在定义域内是单调递减函数； （ 3）在（ 2）的条件下，求集合 M=n|f（ 214n 1998） 0， nZ的子集个数 【考点】 对数函数的图象与性质；子集与真子集 【分析】 （ 1）使用分析法证明； （ 2）设 0 用（ 1）的