2016年汕头市潮南区高考数学模拟试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 23 页） 2016 年广东省汕头市潮南区高考数学模拟试卷（文科） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5分，共 60分） 1已知集合 M=x| 1x 3，集合 ，则 M N=（ ） A x| 1x2D x| 3x 3 2设复数 z 满足 z（ 2+i） =10 5i，（ i 为虚数单位），则 z 的虚部为（ ） A 4B 3C 4 4 3数列 足 1+3，且 ，则此数列的第 5 项是（ ） A 15B 255C 16D 36 4已知平面向量 与 的夹角为 ，且 | |=1， | +2 |=2 ，则 | |=（ ） A 1B C 3D 2 5将函数 y=2x ）图象的一条对称轴的方程是（ ） A x= B x= C x= D x= 6设 f（ x）是定义在 的函数，当 x 2， 1）时， f（ x） = ，则 f（ f（ ） =（ ） A B C D 7函数 f（ x） =2x+）（ w 0， | ）的部分图象如图所示，则 f（ 0） +f（ ）的值为（ ） A 2 B 2+ C 1 D 1+ 第 2 页（共 23 页） 8阅读程序框图，如果输出的函数值在区间 1， 3上，则 输入的实数 x 的取值范围是（ ）A xR|0x xR| 2x2 C xR|0x x=2D xR| 2x x=2 9已知正三角形 边长为 4，将它沿高 折，使点 B 与点 C 间的距离为 2，则四面体 接球表面积为（ ） A 16B C D 10设 x， y 想，满足约束条件 ，若目标函数 z=ax+a 0， b 0）的最大值为 12，则 + 的最小值为（ ） A B C D 4 11点 A 是抛物线 p 0）与双曲线 （ a 0， b 0）的一条渐近线的交点，若点 A 到抛物线 p，则双曲线 ） A B C D 12如图所示，网格纸上小正 方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A B 6C D 第 3 页（共 23 页） 二、填空题（共 4小题，每小题 5分，共 20分） 13已知双曲线 的一个焦点与圆 x2+10x=0 的圆心重合，且双曲线的离心率等 于 ，则该双曲线的标准方程为 14已知函数 f（ x） =2x x，且 f（ x）在 x=1 处的切线与直线 x+y+1=0 垂直，则 a 的值为 15给出以下四个命题，其中真命题的序号为 若命题 p： “xR，使得 x2+x+1 0”，则 p： “xR，均有 x2+x+10”； 线性相关系数 r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱； 用相关指数 刻画回归效果， 明模型的拟合效果越好； 若 x， y 满足 x2+y2+，则 x+y 的最大值为 16在 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 等差数列，若 a+c=4，则 上中线长的最小值 三、解答题 17设 等比数列， Tn= n 1） 21+知 ， ， （ 1）求数列 首项和公比； （ 2）求数列 通项公式 18一次测试中，为了了解学生的学习情况，从中抽取 了 n 个学生的成绩（满分为 100 分）进行统计按照 50， 60）， 60， 70）， 70， 80）， 80， 90）， 90， 100的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出得分在 50， 60）， 90， 100的数据） （ 1）求样本容量 n 和频率分布直方图中 x， y 的值； （ 2）在选取的样本中，从成绩是 80 分以上（含 80 分）的同学中随机抽取 2 名参加志愿者活动，所抽取的 2 名同学中得分都在 80， 90）内的概率 19如图，直三棱柱 ， ， ， ， M 在线段 （ ）若 M 是 点，证明 平面 （ ）当 是多少时，三棱锥 体积是三棱柱 第 4 页（共 23 页） 20已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率为 ，以原点 O 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 x y+ =0 相切 （ ）求椭圆 C 的标准方程； （ ）若直线 l： y=kx+m 与椭圆 C 相交于 A、 B 两点，且 ，判断 面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由 21已知函数 ， （ ）若 y=f（ x） g（ x）在 1， +）上为单调函数，求 m 的取值范围； （ ）设 ，若在 1， e上至少存在一个 得 f（ g（ h（ 立，求 m 的取值范围 选修 4何证明选讲 22如图， 切线， 线 的直径， ， ， 0， （ ）求线段 长； （ ）求证： 选修 4标系与参数方程 23已知曲线 C 的极坐标方程为 线 ，分别与曲线 C 交于 A， B 两点（ A 不为极点）， （ 1）求 A， B 两点的极坐标方程； （ 2）若 O 为极点，求 面积 第 5 页（共 23 页） 选修 4等式选讲 24设函数 f（ x） =|2x+3|+|x 1| （ ）解不等式 f（ x） 4； （ ）若存在 使不等式 a+1 f（ x）成立，求实数 a 的取值范围 第 6 页（共 23 页） 2016 年广东省汕头市潮南区高考数学模拟试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5分，共 60分） 1已知集合 M=x| 1x 3，集合 ，则 M N=（ ） A x| 1x2D x| 3x 3 【考点】 一元二次不等式的解法；并集及其运算 【分析】 分别求出集合 M、 N 的范围，从而求出 其并集即可 【解答】 解：集合 M=x| 1x 3， 集合 =x| 3x2， 则 M N=x| 3x 3， 故选： D 2设复数 z 满足 z（ 2+i） =10 5i，（ i 为虚数单位），则 z 的虚部为（ ） A 4B 3C 4 4 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 由 z（ 2+i） =10 5i，得 z= ，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，则 z 的虚部可求 【解答】 解： 由 z（ 2+i） =10 5i， 得 z= = =3 4i， 则 z 的虚部为： 4 故选： D 3数列 足 1+3，且 ，则此数列的第 5 项是（ ） A 15B 255C 16D 36 【考点】 数列递推式 【分析】 分别令 n=2， 3， 4， 5 代入递推公式计算即可 【解答】 解： =3 =43+3=15 =415+3=63 =463+3=255 故选 B 4已知平面向量 与 的夹角为 ，且 | |=1， | +2 |=2 ，则 | |=（ ） A 1B C 3D 2 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 由已知将， | +2 |=2 ，两边平方，得到 ， 的模的等式，解之即可 第 7 页（共 23 页） 【解答】 解：由已知， | +2 |2=12，即 ，所以 | |2+4| | | +4=12，所以 | |=2； 故选 D 5将函数 y=2x ）图象的一条对称轴的方程是（ ） A x= B x= C x= D x= 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 由条件利用正弦函数的图象的对称 性，得出结论 【解答】 解：对于函数 y=2x ）图象，令 2x =，求得 x= + ， kZ， 令 k=0，可得函数的图象的一条对称轴的方程是 x= ， 故选： D 6设 f（ x）是定义在 的函数，当 x 2， 1）时， f（ x） = ，则 f（ f（ ） =（ ） A B C D 【考点】 函数的值 【分析】 由 f（ x）是定义在 R 上的周 期为 3 的函数，得 f（ ） =f（ ），再由分段函数的性质能求出结果 【解答】 解： f（ x）是定义在 R 上的周期为 3 的函数， 当 x 2， 1）时， f（ x） = ， f（ ） =f（ ） =4（ ） 2 2= ， f（ f（ ） =f（ ） = ， 故选： B 第 8 页（共 23 页） 7函数 f（ x） =2x+）（ w 0， | ）的部分图象如图所示，则 f（ 0） +f（ ）的值为（ ） A 2 B 2+ C 1 D 1+ 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 根据函数 f（ x）的部分图象，求出周期 T 与 的值，再计算 的值，写出 f（ x）的解析式，从而求出 f（ 0） +f（ ）的值 【解答】 解：根据函数 f（ x） =2x+）（ w 0， | ）的部分图象， 得 T= （ ） = ， 又 T= =， =2； 当 x= 时，函数 f（ x）取得最小值 2， 2（ ） += +2kZ， 解得 = +2kZ， 又 | ， = ， f（ x） =22x ）； f（ 0） +f（ ） =2 ） +22 ） =2（ ） +2=2 故选： A 第 9 页（共 23 页） 8阅读程序框图，如果输出的函数值在区间 1， 3上，则输入的实数 x 的取值范围是（ ）A xR|0x xR| 2x2 C xR|0x x=2D xR| 2x x=2 【考点】 选择结构 【分析】 模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行输出的是什么，由此得出解答来 【解答】 解：根据题意，得 当 x（ 2， 2）时， f（ x） =2x， 12x3， 0x 当 x（ 2， 2）时， f（ x） =x+1， 1x+13， 0x2， 即 x=2； x 的取值范围是 xR|0x x=2 故选： C 9已知正三角形 边长为 4，将它沿高 折，使点 B 与点 C 间的距离为 2，则四面体 接球表面积为（ ） A 16B C D 【考点】 球的体积和表面积；球内接多面体 【分析】 三棱锥 B 三条侧棱 面是正三角形，它的外接球就是它扩展为正三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积即可 【解答】 解：根据题意可知三棱锥 B 三条侧棱 面是正三角形，它的外接球就是它扩展为正三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径， 正三棱柱 面边长为 1，棱柱的高为 2 ， 由题意可得：三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心， 正三棱柱 ，外接球的半径为 r，表面积为： 4 球心到底面的距离为 ， 第 10 页（共 23 页） 底面中心到底面三角形的顶点的距离为： 2= ， 所以球的半径为 r= = 外接球的表面积为： 4 故选： C 10设 x， y 想，满足约束条件 ，若目标函数 z=ax+a 0， b 0）的最大值为 12，则 + 的最小值为（ ） A B C D 4 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识先求出 a， b 的关系，然后利用基本不等式求 + 的最小值 【解答】 解：由 z=ax+a 0， b 0）得 y= ， 作出可行域如图： a 0， b 0， 直线 y= 的斜率为负，且截距最大时， z 也最大 平移直线 y= ，由图象可知当 y= 经过点 A 时， 直线的截距最大，此时 z 也最大 由 ，解得 ，即 A（ 4， 6） 此时 z=4a+6b=12， 即 =1， 则 + =（ + ）（ ） =1+1+ + 2+2 =4， 当且仅当 = 时取 =号， 第 11 页（共 23 页） 故选： D 11点 A 是抛物线 p 0）与双曲线 （ a 0， b 0）的一条渐近线的交点，若点 A 到抛物线 p，则双曲线 ） A B C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 先根据条件求出店 A 的坐标，再结合点 A 到抛物线 准线的距离为 p；得到 = ，再代入离心率计算公 式即可得到答案 【解答】 解：取双曲线的其中一条渐近线： y= x， 联立 ； 故 A（ ， ） 点 A 到抛物线 准线的距离为 p， + =p； = 第 12 页（共 23 页） 双曲线 离心率 e= = = 故选： C 12如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A B 6C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 根据几何体的三视图，得出该几何体是由正方体截割去 2 个等体积的三棱锥所得到的几何体，由此求出几何体的体积 【解答】 解：根据几何体的三视图，得该几何体是由正方体截割去截割 B， 个角得到，如图所示： 由三视图中的网络纸上小正方形边长为 1， 则三棱锥的体积为 V 三棱锥 = 212= ， V 正方体 =222=8， 该几何体的体积为 V 正方体 2V 三棱锥 =8 = ， 故选： C 二、填空题（共 4小题，每小题 5分，共 20分） 第 13 页（共 23 页） 13已知双曲线 的一个焦点与圆 x2+10x=0 的圆心重合，且双曲线的离心率等于 ，则该双曲线的标准方程为 x25 y220=1 【考点】 双曲线的标准方程；双曲线的简单性质 【分析】 将圆化成标准方程得圆 x2+10x=0 的圆心为 F（ 5， 0），可得 c= =5，结合双曲线的离心率 e= = 算出 a= ，由平方关系得到 0，由此即可得出该双曲线的标准方程 【解答】 解： 圆 x2+10x=0 化成标准方程，得（ x 5） 2+5 圆 x2+10x=0 的圆心为 F（ 5， 0） 双曲线 的一个焦点为 F（ 5， 0），且的离心率等于 ， c= =5，且 = 因此， a= ， b2=0，可得该双曲线的标准方程为 故答案为： 14已知函数 f（ x） =2x x，且 f（ x）在 x=1 处的切线与直线 x+y+1=0 垂直，则 a 的值为 1 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 由题意先求直线 x+y+1=0 的斜率为 1；再由垂直可得在 x=1 处的切线的斜率为 1；求导并令导数为 1 即可 【解答】 解：直线 x+y+1=0 的斜率为 1 故函数 f（ x） =2x x 在 x=1 处的切线的斜率为 1 f（ x） =2 ， 故 f（ 1） =2 a=1，解得， a=1 故答案为： 1 15给出以下四个命题，其中真命题的序号为 若命题 p： “xR， 使得 x2+x+1 0”，则 p： “xR，均有 x2+x+10”； 线性相关系数 r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱； 用相关指数 刻画回归效果， 明模型的拟合效果越好； 若 x， y 满足 x2+y2+，则 x+y 的最大值为 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 根据特称命题的否定是全称命题进行判断， 第 14 页（共 23 页） 根据线性相关系数与相关性的关系进行判断， 根据关指数 大小和模型的拟合关系进行判断， 利用代入消 元法结合判别式 的关系进行求解 【解答】 解： 若命题 p： “xR，使得 x2+x+1 0”，则 p： “xR，均有 x2+x+10”；故 正确， 根据线性相关系数 r 的绝对值越接近 1，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；故 错误， 用相关指数 刻画回归效果， 明模型的拟合效果越好；故 错误， 设 x+y=m，得 y=m x，代入 x2+y2+ 得 mx+1=0， 由判别式 =4（ 1） 0 得 ， 即 m ， 则 x+y 的最大值为 正确，故 正确， 故答案为： 16在 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 等差数列，若 a+c=4，则 上中线长的最小值 【考点】 余弦定理 【分析】 已知等式利用正弦定理化简，整理后求出 值，即可确定出 B 的度数，设上的中点为 E，利用三边 a， b， c 用余弦等量将中线 示出来，再用基本不等式求最小值 【解答】 解： 等差数列， 2用正弦定理得： 2 整理得： 2A+C），即 2 ， ， 则 B= 如图：设 上的中点为 E， 在 ，由余弦定理得： ） 2 2c（ ） 又 ， a2+b2=入上式，并整理得： = = =3，当 a=c=2 时取到 ”=”， 所以 上中线长的最小值为 故答案为： 第 15 页（共 23 页） 三、解答题 17设 等比数列， Tn= n 1） 21+知 ， ， （ 1）求数列 首项和公比； （ 2）求数列 通项公式 【考点】 等比数列的通项公式；数列递 推式 【分析】 （ 1）根据题意，首先设出等比数列的公比为 q，利用题中已知的式子表示出 2，又根据 ， ，进而求出答案 （ 2）根据等比数列的求和公式推出 通项公式即可 【解答】 解：（ 1）设等比数列 比为 q，则 T1=a1+a2=2+q） ， ， ， q=2 （ 2）设 Sn=a1+ 由（ 1）知 n 1 +2+2n 1 =2n 1 Tn= n 1） +21+ a1+（ a1+1+ =2+（ 2+1） +（ 2n 1） +（ 2n 1） =（ 2+2n+2n） n = =2n+1 2 n 18一次测试中，为了了解学生的学习情况，从中抽取了 n 个学生的成绩（满分为 100 分）进行统计按照 50， 60）， 60， 70）， 70， 80）， 80， 90）， 90， 100的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出得分在 50， 60）， 90， 100的 数据） （ 1）求样本容量 n 和频率分布直方图中 x， y 的值； （ 2）在选取的样本中，从成绩是 80 分以上（含 80 分）的同学中随机抽取 2 名参加志愿者活动，所抽取的 2 名同学中得分都在 80， 90）内的概率 第 16 页（共 23 页） 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图 【分析】 （ 1）根据频率分布直方图的性质求得样本容量 n 和频率分布直方图中 x、 y 的值 （ 2）由题意可知，分数在 80， 90）内的有 4 人，设为 A， B， C， D；分数在 90， 100内的有 2 人，设 为 a， b，用列举法求得所有的抽法有 15 种，而满足条件的抽法有 6 种，由此求得所求事件的概率 【解答】 解：（ 1）由题意可知，样本容量 ， ， （ 2）由题意，分数在 80， 90）内的有 4 人，设为 A， B， C， D；分数在 90， 100内的有 2人，设为 a， b； 从成绩是 8 以上（含 80 分）的 6 名同学中随机抽取 2 名同学的所有可能的结果为： A， B，A， C， A， D， A， a， A， b， B， C， B， D， B， a， B， b， C， D， C，a， C， b， D， a， D， b， a， b，共 15 个 根据题意，这些基本事件的出现是等可能的事件所包含的基本事件有： A， B， A， C，A， D， B， C， B， D， C， D，共 6 个 P= = 19如图，直三棱柱 ， ， ， ， M 在线段 （ ）若 M 是 点，证明 平面 （ ）当 是多少时，三棱锥 体积是三棱柱 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定 【分析】 （ I）取 ，连结 由 得平面平面 而 平面 第 17 页（共 23 页） （ V = = V 可知 S ，于是 【解答】 （ I）证明：取 点 N，连结 四边形 矩形， 四边形 面 面 平面 同理可证： 平面 又 面 面 1N=N， 平面 平面 面 平面 （ ： ， ， =5 V = V ， V = V V = V S S = 20已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率为 ，以原点 O 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 x y+ =0 相切 （ ）求椭圆 C 的标准方程； （ ）若直线 l： y=kx+m 与椭圆 C 相交于 A、 B 两点，且 ，判断 面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题 【分析】 （ 1）利用直线与圆相切的性质和点到直线的距离公式、椭圆的标准方程及其性质即可得出； 第 18 页（共 23 页） （ 2）设 A（ B（ 把直线的方程与椭圆的方程联立可化为关于 x 的一元二次方 程得到根与系数的关系、再利用弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可得出 【解答】 解：（ 1） 椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 x y+ =0 相切， = ， 又 a2=b2+， 解得 ， ， 故椭圆的方程为 （ A（ B（ 由 化为（ 3+4（ 3） =0， =6416（ 3+4 3） 0，化为 3+40 ， m）（ m） = = ， ， ， ， ，化为 24， | = ， 又 ，第 19 页（共 23 页） = 21已知函数 ， （ ）若 y=f（ x） g（ x）在 1， +）上为单调函数，求 m 的取值范围； （ ）设 ，若在 1， e上至少存在一个 得 f（ g（ h（ 立，求 m 的取值范围 【考点 】 利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用 【分析】 （ ） y=f（ x） g（ x）在 1， +）上为单调函数，即 y0 或 y0 在 1， +）上恒成立，从而转化为函数最值处理； （ ）构造函数 F（ x） =f（ x） g（ x） h（ x），则在 1， e上至少存在一个 得 f（ g（ h（ 立，等价于 x1， e时， F（ x） 0，进而转化为求函数最大值问题 【解答】 解：（ ） y=f（ x） g（ x） = 2y= ， 由于 y=f（ x） g（ x）在其定义域内为单调函数，则 2x+m0 或者 2x+m0 在 1，+）上恒成立， 即 m 或者 m 在 1， +）上恒成立， 而 0 1，故 m1 或者 m0， 综上， m 的取值范围是（ ， 0 1， +） （ ）构造函数 F（ x） =f（ x） g（ x） h（ x）， F（ x） = 2， 当 m0 时，由 x1， e得， 0， 2 0， 所以在 1， e上不存在一个 得 f（ g（ h（ 当 m 0 时， F（ x） =m+ + = ， 因为 x1， e，所以 2e 2x0， m 0，所以 F（ x） 0 在 1， +）上恒成立，故 F（ x）在