2016年天津市河西区高考数学二模试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 21 页） 2016 年天津市河西区高考数学二模试卷（理科） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知全集 U=xZ|1x5， A=1， 2， 3， 1， 2，则 AB（ ） A 1， 2 B 1， 3 C 3 D 1， 2， 3 2（ 2x ） 4的展开式中的常数项为（ ） A 6 B 6 C 24 D 24 3已知命题 p： “存在 1， +），使得（ 1”，则下列说法正确的是（ ） A p 是假命题； p“任意 x1， +），都有（ x 1” B p 是真命题； p“不存在 1， +），使得（ 1” C p 是真命题； p“任意 x1， +），都有（ x 1” D p 是假命题； p“任意 x（ ， 1），都有（ x 1” 4已知定义在 R 上的偶函数 f（ x）在 x0， +）上单调递增，则满足 f（ 2x 1） f（ ）的 x 的取值范围是（ ） A（ ， ） B（ ， ） C（ ， ） D（ ， ） 5已知双曲线 =1 的左焦点在抛物线 p 0）的准线上，则双曲线 离心率为（ ） A B C D 4 6 内角 A， B， C 的对边 分别为 a， b， c，已知 b=2， B= ， C= ，则 ） A 2 +2 B C 2 2 D 1 7若 “x 1”是 “不等式 2x a x 成立 ”的必要不充分条件，则实 数 a 的取值范围是（ ） A a 3 B a 3 C a 4 D a 4 8如图所示，边长为 1 的正方形 顶点 A， D 分别在边长为 2 的正方形 ABCD的边 AB和 AD上移动，则 的最大值是（ ） A 2 B 1+ C D 4 第 2 页（共 21 页） 二、填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分把答案填在题中横线上 9统计某学校高 三年级某班 40 名学生的数学期末考试成绩，分数均在 40 至 100 之间，得到的频率分布直方图如图所示则图中 a 的值为 10已知 Z 是纯虚数， 是实数，（ i 是虚数单位），那么 z= 11执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为 12若圆 C 的方程为： （ 为 参数），以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆 C 的圆心极坐标为 （极角范围为 0， 2） 13如图，四边形 接于圆， D， 点 C 的圆的切线与 延长线交于点 E， E， ，则 第 3 页（共 21 页） 14函数 f（ x） = ，若方程 f（ x） =恰有四个不相等的实数根，则实数 m 的 取值范围是 三、解答题：本大题共 6小题，共 80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15已知函数 f（ x） =x+ ）（ 0）的最小正周期为 （ ）求 的值及函数 f（ x）的定义域； （ ）若 f（ ） =3，求 16长时间用手机上网严重影响着学生的健康，某校为了解 A， B 两班学生手机上网的时长，分 别从这两个班中随机抽取 6 名同学进行调查，将他们平均每周手机上网时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）如果学生平均每周手机上网的时长超过 21 小时，则称为 “过度用网 ” （ ）请根据样本数据，分别估计 A， B 两班的学生平均每周上网时长的平均值； （ ）从 A 班的样本数据中有放回地抽取 2 个数据，求恰有 1 个数据为 “过度用网 ”的概率； （ ）从 A 班、 B 班的样本中各随机抽取 2 名学生的数据，记 “过度用网 ”的学生人数为 ，写出 的分布列和数学期望 17如图， 直于梯形 在的平面， 0 F 为 点， ，D= 四边形 矩形，线段 点 N （ ）求证： 平面 （ ）求二面角 A P 的大小； （ ）在线段 是否存在一点 Q，使得 平面 成角的大小为 ？若存在，请求出 长；若不存在，请说明理由 18已知抛物线 C 的顶点为 O（ 0， 0），焦点 F（ 0， 1） （ ）求抛物线 C 的方程； 第 4 页（共 21 页） （ ）过 F 作直线交抛物线于 A、 B 两点若直线 别交直线 l： y=x 2 于 M、 |最小值 19已知直线 y=x 与圆 x2+an+n 交于不同的两点 nN*数列 足： ， = （ ）求数列 通项公式 （ ）若 ，求数列 前 n 项和 （ ）记数列 前 n 项和为 （ ）的条件下，求证：对任意正整数 n， 2 20设函数 g（ x） =2x+1+ mR） （ 1）当 m=1 时，求过点 P（ 0， 1）且与曲线 y=g（ x）（ x 1） 2 相切的切线方程 （ 2）求函数 y=g（ x）的单调递增区间； （ 3）若函数 y=g（ x）有两个极值点 a， b，且 a b，记 x表示不大于 x 的最大整数，试比较 g（ a） g（ b） 的大小 第 5 页（共 21 页） 2016年天津市河西区高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知全集 U=xZ|1x5， A=1， 2， 3， 1， 2，则 AB（ ） A 1， 2 B 1， 3 C 3 D 1， 2， 3 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 列举出全集 U 中的元素，根据 B 的补集确定出 B，找出 A 与 B 的交集即可 【解答】 解： 全集 U=xZ|1x5=1， 2， 3， 4， 5， A=1， 2， 3， 1， 2， B=3， 4， 5， 则 AB=3 故选： C 2（ 2x ） 4的展开式中的常数项为（ ） A 6 B 6 C 24 D 24 【考点】 二项式定理的应用 【分析】 由题意可得，二项展开式的通项为 = （ 2x） 4 r（ ） r，令 x 的幂指数为 0，求出 r 代入即可 【解答】 解：由题意可得，二项展开式的通项为 = （ 2x） 4 r（ ） r=（ 1） r24r 2r 令 4 2r=0 可得 r=2 =24 展开式中的常数项为 24 故选： C 3已知命题 p： “存在 1， +），使得（ 1”，则下列说法正确的是（ ） A p 是假命题； p“任意 x1， +），都有（ x 1” B p 是真命题； p“不存在 1， +），使得（ 1” C p 是真命题； p“任意 x1， +），都有（ x 1” D p 是假命题； p“任意 x（ ， 1），都有（ x 1” 【考点】 特称命题；命题的否定 【分析】 先根据指数函数的性质即可判断命题 p 的真假，再根据命题的否定即可得到结论 【解答】 解：命题 p： “存在 1， +），使得（ 1”，因为 1，所以（ 1 成立，故命题 p 为真命 题， 第 6 页（共 21 页） 则 p“任意 x1， +），都有（ x 1” 故选： C 4已知定义在 R 上的偶函数 f（ x）在 x0， +）上单调递增，则满足 f（ 2x 1） f（ ）的 x 的取值范围是（ ） A（ ， ） B（ ， ） C（ ， ） D（ ， ） 【考点】 奇偶性与单调性的综合 【分析】 由条件利用函数的奇偶性和单调性的关系求得满足 f（ 2x 1） f（ ）的 x 的取值范围 【解答】 解： 定义在 R 上的偶函数 f（ x）在 x0， +）上单调递增， f（ x）在（ ， 0）上单调递减， 则由 f（ 2x 1） f（ ），可得 2x 1 ，求得 x ， 故选： A 5已知双曲线 =1 的左焦点在抛物线 p 0）的准线上，则双曲线 离心率为（ ） A B C D 4 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 根据双曲线左焦点坐标与抛物线准线之间的关系建立方程条件，结合双曲线的离心率的公式进行计算即可 【解答】 解：双曲线的标准方程为 =1， 则 ， ， + ， 双曲线的左焦点 F（ c， 0）， 抛物线的准线为 x= ， 双曲线 2 的准线上， = c，即 =c， 则 ， 即 3+ = ， 第 7 页（共 21 页） 即 =3， 则 =1， 则 p=4， 即 ， + =3+1=4， 则 a= ， c=2， 即离心率 e= = = ， 故选： C 6 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 b=2， B= ， C= ，则 ） A 2 +2 B C 2 2 D 1 【考点】 正弦定理；三角形的面积公式 【分析】 由 b 的值，利用正弦定理求出 c 的值，再求出 A 的度数，由 b， c 及值，利用三角形的面积公式即可求出三角形 面积 【解答】 解： b=2， B= ， C= ， 由正弦定理 = 得： c= = =2 ， A= ， + ） = ， 则 S 22 = +1 故选 B 7若 “x 1”是 “不等式 2x a x 成立 ”的必要不充分条件，则实数 a 的取值范围是 （ ） A a 3 B a 3 C a 4 D a 4 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 设 f（ x） =2x+x，从而 2x a xf（ x） a，根据题意便知 x 1 得不到 f（ x）a，而 f（ x） a 能得到 x 1，并且能知道函数 f（ x）为增函数，并且有 f（ x） 3 时， x 1，从而得出 a 3 【解答】 解：若 2x a x，即 2x+x a； 设 f（ x） =2x+x，该函数为增函数； 根据题意 “不等式 2x+x a 成立，即 f（ x） a 成立 ”能得到 “x 1”，并且反之不成立； x 1 时， f（ x） 3； a 3 故选 A 第 8 页（共 21 页） 8如图所示，边长为 1 的正方形 顶点 A， D 分别在边长为 2 的正方形 ABCD的边 AB和 AD上移动，则 的最大值是（ ） A 2 B 1+ C D 4 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 令 A，由边长为 1 的正方形 顶点 A、 D 分别在 x 轴、 y 轴正半轴上，可得出 B， C 的坐 标，由此可以表示出两个向量，算出它们的数量积，由二倍角公式和正弦函数的值域，即可得到最大值 【解答】 解：如图以 A为坐标原点， AB 所在直线为 x 轴，建立直角坐标系， 令 A，由于 ，故 AA=AD= 如图 ， ， 故 xB= ） = yB= ） = 故 =（ 同理可求得 C（ 即 =（ =（ （ =1+ 当 = 时， 的最大值是的最大值是 2 故选： A 二、填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分把答案填在题中横线上 9统计某学校高三年级某班 40 名学生的数学期末考试成绩，分数均在 40 至 100 之间，得到的频率分布直方图如图所示则图中 a 的值为 第 9 页（共 21 页） 【考点】 频率分布直方图 【分析】 利用频率为 1，建立方程，即可得出结 论 【解答】 解：由（ +a） 10=1， 解得 a= 故答案为： 10已知 Z 是纯虚数， 是实数，（ i 是虚数单位），那么 z= 2i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 设纯虚数 z=m0），代入 并整理，由虚部等于 0 求得 m 的值，则答案可求 【解答】 解：设 z=m0）， 则 = 是实数， 2+m=0， m= 2 z= 2i 故答案为： 2i 11执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为 6 第 10 页（共 21 页） 【考点】 循环结构 【分析】 根据题意， i、 S 的初始值分别为 1， 0该程序的意图是：当 i3 时，用（ 1） i值代替 S，直到 i=4 时输出 S 的值，由此不难得到本题的答案 【解答】 解 ：该程序从 i=1 开始，直到 i=4 结束输出 S 的值，循环体被执行了 3 次 i=1，满足 i 4，由于 i 是奇数，用 S 替 S，得 S= 1，用 i+1 代替 i，进入下一步； i=2，满足 i 4，由于 i 是偶数，用 S+，得 S=3，用 i+1 代替 i，进入下一步； i=3，满足 i 4，由于 i 是奇数，用 S 替 S，得 S= 6，用 i+1 代替 i，进入下一步； i=4，不满足 i 4，结束循环体，并输出最后一个 S 值 故答案为： 6 12若圆 C 的方程为： （ 为参数），以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆 C 的圆心极坐标为 （ ） （极角范围为 0， 2） 【考点】 简单曲线的极坐标方程 【分析】 化参数方程为普通方程求出圆心的直角坐标，进一步可得极坐标 【解答】 解：由 ，得圆的普通方程为（ x 1） 2+（ y 1） 2=1， 圆心的直角坐标为（ 1， 1）， 化为极坐标是（ ） 故答案为： （ ） 13如图，四边形 接于圆， D， 点 C 的圆的切线与 延长线交于点 E， E， ，则 1 第 11 页（共 21 页） 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 由已知得 B，由 E，得 C由切割线定理得 E此能求出 长 【解答】 解：因为 边形 接于圆， 所以 D，可得： B 因为 E， 所以 所以 C 由切割线定理得 E E（ 由 ，可得： 4=0， 解得 1 故答案为： 1 14函数 f（ x） = ，若方程 f（ x） =恰有四个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是 （ ， ） 【考点】 函数的零点与方程根的关系 【分析】 方程 f（ x） =恰有四个不相等的实数根可化为函数 f（ x） =与函数 y=有四个不同的交点，作函数 f（ x） = 与函数 y=的图象，由数形结合求解 【解答】 解：方程 f（ x） =恰有四个不相等的实数根可化为 函数 f（ x） = 与函数 y=有四 个不同的交点， 第 12 页（共 21 页） 作函数 f（ x） = 与函数 y=的图象如下， 由题意， C（ 0， ）， B（ 1， 0）； 故 ， 当 x 1 时， f（ x） =f（ x） = ； 设切点 A 的坐标为（ 则 = ； 解得， ； 故 ； 结合图象可得， 实数 m 的取值范围是（ ， ） 故答案为：（ ， ） 三、解答题：本大题共 6小题，共 80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15已知函数 f（ x） =x+ ）（ 0）的最小正周期为 （ ）求 的值及函数 f（ x）的定义域； 第 13 页（共 21 页） （ ）若 f（ ） =3，求 【考点】 正切函数的图象 【分析】 （ ）由条件根据 f（ x） =x+ ）（ 0）的最小正周期为 ，求得 的值，可得函数的解析式，从而求出它的定义域 （ ）由条件求得 ，再利用二倍角的正切公式求得 【解答】 解：（ ）因为函数 f（ x） =x+ ）（ 0）的最小正周期为 ，所以， = ，解得 =2 令 2x+ ， kZ， x ， 所以 f（ x）的定义域为 x|x ， kZ （ ）因为 f（ ） =3，即 + ） =3= ， ， 16长时间用手机上网严重影响着学生的健康，某校为了解 A， B 两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取 6 名同学进行调查，将他们平均每周手机上网时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）如果学生平均每周手机上网的时长超过 21 小时，则称为 “过度用网 ” （ ）请根据样本数据，分别估计 A， B 两班的学生平均每周上网时长的平均值； （ ）从 A 班的样本数据中有放回地抽取 2 个数据，求恰有 1 个数据为 “过度用网 ”的概率； （ ）从 A 班、 B 班的样本中各随机抽取 2 名学生的数据，记 “过度用网 ”的学生人数为 ，写出 的分布列和数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；众数、中位数、平均数；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ ）求出 A， B 班样本数据的平均值，估计 A， B 两班的学生平均每周上网时长的平均值； （ ）从 A 班的样本数据中有放回地抽取 2 个数据，为 “过度用网 ”的概率是 ，从而求恰有1 个数据为 “过度用网 ”的概率； 第 14 页（共 21 页） （ ）确定 的取值，求出相应的概率，即可写出 的分 布列和数学期望 【解答】 解：（ ） A 班样本数据的平均值为 （ 9+11+13+20+24+37） =19， 由此估计 A 班学生每周平均上网时间 19 小时； B 班样本数据的平均值为 （ 11+12+21+25+27+36） =22， 由此估计 B 班学生每周平均上网时间 22 小时 （ ）因为从 A 班的 6 个样本数据中随机抽取 1 个的数据，为 “过度用网 ”的概率是 ， 所以从 A 班的样本数据中有放回的抽取 2 个的数据，恰有 1 个数据为 “过度用网 ”的概率为P= （ ） 的可能取值为 0， 1， 2， 3， 4 P（ =0） = = ， P（ =1） = = ， P（ =2）= = ， P（ =3） = = ， P（ =4） = = 的分布列是： 0 1 2 3 4 P +1 +2 +3 +4 = 17如图， 直于梯形 在的平面， 0 F 为 点， ，D= 四边形 矩形，线段 点 N （ ）求证： 平面 （ ）求二面角 A P 的大小； （ ） 在线段 是否存在一点 Q，使得 平面 成角的大小为 ？若存在，请求出 长；若不存在，请说明理由 第 15 页（共 21 页） 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角 【分析】 （ ）连接 明 后利用直线与平面平行的判定定理证明 平面 （ ）以 D 为原点，分别以 在直线为 x， y， z 轴，建立空间直角坐标系 D 出平面 法向量 ，平 ，通过向量的数量积求解二面角 A P 的大小 （ ） 设存在点 Q 满足条件设 ，通过直线 平面 成角的大小为 ，列出关系式，求出 ，然后求解 长 【解答】 （本小题满分 14 分） 解：（ ）证明：连接 ， F， N 分别为 点，所以 因为 面 面 所以 平面 （ ）如图以 D 为原点，分别以 在直线为 x， y， z 轴，建立空间直角坐标系 D 则 设平面 法向量为 ，则 ， 即 ，解得 ， 令 x=1，得 ，所以 因为平 ， 所以 ， 第 16 页（共 21 页） 由图可知二面角 A P 为锐二面角， 所以二面角 A P 的大小为 （ ） 设存在点 Q 满足条件 由 设 ， 整理得 ， ， 因为直线 平面 成角的大小为 ， 所以 ， 则 2=1，由 01 知 =1，即 Q 点与 E 点重合 故在线段 存在一点 Q，且 18已知抛物线 C 的顶点为 O（ 0， 0），焦点 F（ 0， 1） （ ）求抛物线 C 的方程； （ ）过 F 作直线交抛物线于 A、 B 两点若直线 别交直线 l： y=x 2 于 M、 |最小值 【考点】 直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程 【分析】 （ I）由抛物线的几何性质及题设条件焦点 F（ 0， 1）可直接求得 p，确定出抛物线的开口方向，写出它的标准方程； （ 题意，可 A（ B（ 直线 方程为 y=，将直线方程与（ I）中所求得方程联立，再结合弦长公式用所引入的参 数表示出 |根据所得的形式作出判断，即可求得最小值 【解答】 解：（ I）由题意可设抛物线 C 的方程为 p 0）则 =1，解得 p=2，故抛物线 C 的方程为 y （ A（ B（ 直线 方程为 y=， 由 消去 y，整理得 44=0， 第 17 页（共 21 页） 所以 x1+k， 4，从而有 | =4 ， 由 解得点 M 的横坐标为 = = ， 同理可得点 N 的横坐标为 ， 所以 | | | |=8 |= ， 令 4k 3=t， t0，则 k= ， 当 t 0 时， |2 2 ， 当 t 0 时， |2 =2 综上所述，当 t= ，即 k= 时， |最小值是 19已知直线 y=x 与圆 x2+an+n 交于不同的两点 nN*数列 足： ， = （ ）求数列 通项公式 （ ）若 ，求数列 前 n 项和 （ ）记数列 前 n 项和为 （ ）的条件下，求证：对任意正整数 n， 2 【考点】 数列的应用；直线与圆的位置关系 【分析】 （ ）由条件利用直线和圆的位置关系、等比数列的性质，求得 =2，可得结论 第 18 页（共 21 页） （ ）由（ ）知， = ， + + + ，用错位相减法进行数列求和，可得 （ ）用裂项法花简条件可得 =2（ ），再用放缩法证明不等式， 2 成立 【解答】 （ ）解：圆 距离 = ，半径 ， = = =2 =2， 又 ，所以数列 首项为 1，公比为 2 的等比数列， n 1 （ ）解：由（ ）知， = ， + + + ， （ + + + ） = + + + ， 两式相减，得 + + + = ， （ ）证明：因为 n 1，所以 =2n 1， = = =2（ ）， 所以， =2（ ） +（ ） +（ ） =2（ 1 ） 2 20设函数 g（ x） =2x+1+ mR） （ 1）当 m=1 时，求过点 P（ 0， 1）且与曲线 y=g（ x）（ x 1） 2 相切的切线方程 第 19 页（共 21 页） （ 2）求函数 y=g（ x）的单调递增区间； （ 3）若函数 y=g（ x）有两个极值点 a， b，且 a b，记 x表示不大于 x 的最大整数，试比较 g（ a） g（ b） 的大小 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值 【分析】 （ 1）先求出曲线 y=切点为（ 这样曲线的切线的斜率为 ，所以能表示出过点 P（ 0， 1）的切线方程，再根据切线过切点即可求出 而求得切线方程； （ 2）求 g