数学人教版九年级下册三垂直.doc

探究平面几何中的三垂直问题今天给大家带来的题来自2009年丽水市的中考题，原题如下：Dl1l2l3ACB如图，已知ABC中，ABC=90,AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2 , l2，l3之间的距离为3 ,则AC的长是 （ ）解：分别过A、C作l3的垂线AD、CE,垂足分别为D、E E l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3 AD=3，CE=2+3=5 又 ABC=90， AD、CE垂直于l3 DAC= 2又ADB= CEB=90,AB=BC ADBBEC,DB=CE=5 AB=BC= = AC=2题目背景：1、 题目出处：本题来自2009年浙江丽水的中考题，也可在学生学完全等三角形和勾股定理后的练习。2、 知识背景：平行线间的距离；等角的余角相等；全等三角形的判定和性质；勾股定理；锐角三角函数。3、 思想方法背景：本题可用综合法解题，解题中用到转化思想、建模思想、归纳推理思想。4、 选择本题的目的：直角三角形是初中几何的基础，图形的计算基本是构建直角三角形进行的，通过这道题，探究平面几何中常见的三垂直问题，并把三垂直问题拓展和延伸。题目分析：本题要求AC的长，我们从已知往结论推用综合法的思想，突破口在如何把两平行线间的距离转化为具体的图形边长作辅助线，从哪里作垂线呢？分别过A、C作l3的垂线AD、CE,垂足分别为D、E，由平行线间的距离可知：AD=3，CE=2+3=5。但如何求AC呢？我们从原题中发现一个很常见的数学模型：即两直角三角形的斜边垂直，且一条直角边在一条直线上，我们暂且给它下个新定义：三垂直。追溯教材原题，浙教版八上的全等三角形一章的课后习题：A如图1，在RtCAB和RtECD 中，AC=CE，点D在边BC的延长线上，且ACE= B= D=90 从你的直觉中能得出哪些结论？ ED 在这道题中，ACE= B= D=90，利用等角的余角相等可得A=2，又AC=CE，B= D=9021C图一B可得ABCCDE,AB=CD,BC=DE.题目解法：回到丽水的这道题中，利用三垂直模型，可得Fl1l2l3ACB ADBBEC,DB=CE=5，利用勾股定理可得AB=BC=,再利用勾股定理或锐角三角函数可得AC=2。D这一道题的另一种解法：在求得AD=3，DB=5后，也可延长DA至F,CF=DE=8，AF=2，AFC为直角，构造直角三角形AFC利用勾股定理求解。E无论哪种解法，这道题都用到了三垂直这个数学模型来解决，我们再来看三垂直这个数学模型，可将他如下变式：变式一：条件和结论变换：如图一，已知AB=CD, B= D=90, AC=CE, ACE是多少度？利用HL证得ABCCDE后，可得A=2，又1+A=90，可得1+2=90，ACE=90。故在三垂直这个数学模型中，以下五个条件： B= D=90，A=2，ACE=90，AB=CD, AC=CE， ， 变式二：弱化线段相等的条件，则结论由三角形全等弱化为三角形相似在RtCAB和RtECD 中， 点D在边BC的延长线上，且ACE= B= D=900，得到什么结论。由变式一可知：ACE= B= D=90， 利用等角的余角相等可得A=2，故ABCCDE。A BCDE12这个数学模型在中考中广泛运用，如在四边形中的运用2.（10年台州）如图3，四边形ABCD，EFGH，NHMC都是正方形，边长分别为a，b，c；A，B，N，E，F五点在同一直线上，则c = _（用含有a，b的代数式表示）C1.（安徽省中考题）如图2，直线L过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线L的距离分别是1和2，则正方形的边长是_ ABCDl（2）aDCBAMcNEFbGH（3）在图形的变换中的运用F3、在矩形ABCD中，延直线BE折叠，点C落在AD上点F处，BC=10，AB=8，求BE的长。第3题CEBAD在圆中的运用BE5、在圆O中，AD、BC、CD分别切O于点A、B、E，求证：AO2=ADBC4.（11年南通）如图3，梯形ABCD中，ABDC，ABBC，AB=2cm，CD=4cm。以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点，且AOD=90，则圆心到弦AD的距离是（ ） BCDO（3）AAO CD第5题在平面直角坐标系中6.如图，在平面直角坐标系中，OAOB，且OB=2OA，点A的坐标是（-1，2）（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的表达式；（3）连接AB，在（2）中的抛物线上求出点P，使得ABP与 ABO的面积相等。反思：1、 在几何教学中，为提高学生对图形的感悟力，往往提醒学生“看到什么，想到什么”，如：“看到切线，连切点与圆心”，“求弦长，作垂径”，通过这道题的练习，让学生悟出“看到两直角三角形的斜边垂直”或“直角顶点在直线上”，就可构建“三垂直”模型解题；2、通过一系列变式训练，让学生感受到从特殊图形到一般的“三垂直”模型的规律，教会学生善于从题目中发现和构造基本图形，建立数学模