仿真七数学理

普通高等学校招生全国统一考试仿真试卷(七)数学理工农医类本试卷分第卷(选择题共60分)和第卷(非选择题共90分)，考试时间为120分钟，满分为150分.第卷(选择题共60分)注意事项：1.答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂在答题卡上.2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.参考公式:如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A、B相互独立，那么P(AB)=P(A)P(B)如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=pk(1p)nk球的表面积公式S=4R2,其中R表示球的半径球的体积公式V=R3,其中R表示球的半径一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.以下满足AB的非空集合A、B的四个命题中正确的个数是若任取xA,则xB是必然事件若xA,则xB是不可能事件若任取xB,则xA是随机事件若xB,则xA是必然事件A.1B.2C.3D.4解析:正确,错误.答案: C2.一组数据中的每一个数据都减去80,得一组新数据,若求得新数据的平均数是1.2,方差是4.4,则原来数据的平均数和方差分别是A.81.2,4.4B.78.8,4.4C.81.2,84.4D.78.8,75.6解析:数据变化后,平均数改变而方差不变.答案: A3.原命题“在空间没有公共点的两条直线是异面直线”,则下列说法正确的是A.原命题为真命题B.逆命题是假命题C.否命题为假命题D.逆命题是真命题解析: 异面直线无交点,逆命题真;B、C等价,均错.答案: D4.已知0,f()=sin(cos)的最大值为a,最小值为b,g()=cos(sin)的最大值为c,最小值为d,则A.bdacB.dbcaC.bdcaD.dbac解析: a=sin1,b=sin(1)0)取得最大值的最优解有无穷多个,则a的值为A.B.2C.6D.解析: 由图可知,l应与可行域中边界线CD重合,此时a=,故a=.答案: A8.已知F1、F2分别是双曲线=1的左、右焦点,P为双曲线左支上任一点,若的最小值为8a,则双曲线的离心率范围为A.(1,3B.(0,3C.(1,2D.(1,+)解析: |PF2|PF1|=2a,=|PF1|+4a2+4a=8a,其中|PF1|=2a时等号成立.又设P(x,y)(xa),则由第二定义,得|PF1|=(x)e=exaca,即2aca,e=3,又e1,14acB.b24acC.b20,则动点P(x)=的轨迹方程是_.解析: y=,y2=2mx(y0).答案: y2=2mx(y0)16.一烷烃起始物的分子结构式是,将其中的所有氢原子用甲基取代得到: ,再将其中的12个氢原子全部用甲基代换,如此循环以至无穷,球形烷烃分子由小到大成一系列,则在这个系列中,由小到大第n个分子中含有的碳原子的个数是_.解析: 烷烃的通式为,设第n个分子中C原子个数为an,则an+1=an+2an+2,故an=3n1(a1+1)1=23n11.答案: 23n11三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)已知集合A=2,log2t,集合B=x|x214x+240(x、tR),且AB.(1)对于区间a,b,定义此区间的“长度”为ba.若A的区间“长度”为3,试求t的值;(2)某个函数f(x)的值域是B,且f(x)A的概率不小于0.6,试确定t的取值范围.解：(1)log2t2=3t=32;6分(2)0.68log2t1228t212,即t256,4096.12分18.(本小题满分12分)如图,ABC中,| |=3,|=4,| |=2,PQ是以A为圆心,为半径的圆的直径,BDP=.(1)求证:=+ 2;(2)用含有的式子表示.(1)证明:+2=(+)(+)+(+)2=+2=+2+22+2=,=+2.6分(2)解:由余弦定理得cosBAC=,=+2=|cosBAC+|cos|2=24+3cos()2=3+6cos.12分19.(本小题满分12分)在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,侧棱是底面边长的2倍,P是侧棱CC1上的一点.(1)求证:不论P在侧棱CC1上何位置,总有BDAP;(2)若CC1=3C1P,求平面AB1P与平面ABCD所成的二面角的正切值;(3)当P点在侧棱CC1上何处时,AP在平面B1AC上的射影是B1AC的平分线?(1)证明:AP在底面ABCD内的射影为AC,在正方形ABCD中ACBD,APBD.3分(2)解:延长B1P与BC的延长线交于点M,连结AM,过B作BNAM于点N,连结B1N,则B1NB即为所求二面角的平面角,设AB=a,则BM=3a,BN=a.tanB1NB=.8分(3)解:设AB=a,C1P=x,要使AP在平面B1AC上的射影是B1AC的平分线,则PAB1=PAC,cosPAB1=cosPAC,即=,解得x=a,P到C1的距离是底面边长的.12分20.(本小题满分12分)已知f(x)=x3+ax+b定义在区间1,1上,且f(0)=f(1),又P(x1,y1),Q(x2,y2)是其图象上任意两点(x1x2).(1)求证:函数f(x)的图象关于点(0,b)成中心对称;(2)设f(x)上任意一点的切线斜率为k,求k的取值范围;(3)若0x1x21,求证:|y1y2|1.(1)证明:=b.f(x)的图象关于(0,b)成中心对称图形.4分(2)解:由f(0)=f(1),有b=a+b+1,a=1.f(x)=x3x+b,f(x)=3x21,x1,1.f(x)1,2.f(x)上任一点的斜率k的取值范围是1,2.8分(3)解:0x1x21,|y1y2|=|x13x1x23+x2|=|x1x2|x12+x1x2+x221|,0x12+x1x2+x223,即1x12+x1x2+x2212,|x12+x1x2+x221|2.|y1y2|2|x1x2|=2(x1x2).又|y1y2|=|f(x1)f(x2)|=|f(x1)f(0)+f(1)f(x2)|f(x1)f(0)|+|f(1)f(x2)|2(x10)+2(1x2)=2(x1x2)+2,+得|y1y2|0.(1)求向量c.(2)若映射f:(x,y)(x,y)=xa+yc.求映射f下(1,2)的原象.若将(x,y)看作点的坐标,问是否存在直线l使得直线上的任意一点在映射f的作用下的点仍在直线上?若存在,求出直线l的方程,否则说明理由.解:(1)设c=(m,n),由题意得解得c=(1,1).5分(2)由题意x(1,1)+y(1,1)=(1,2),得解得(1,2)的原象是(,).假设存在直线l适合题设,平行于坐标轴的直线显然不适合.设所求的直线方程为y=kx+b(k0),在该直线上任作一点P(x,y),经过映射f的作用得到点Q(x,y)=(x+y,xy)仍在该直线上,xy=k(x+y)+b,即(1+k)y=(1k)xb.当b0时,无解,故这样的直线不存在.当b=0时,(1+k)1=(1k)k,即k2+2k1=0,解得k=1.故这样的直线l存在,其方程为y=(1+)x或y=(1)x.12分22.(本小题满分14分)已知二次函数f(x)=ax2+x+1(a0)的图象与x轴交点的横坐标分别为x1、x2.(1)证明(1+x1)(1+x2)=1;(2)证明x11,x21;(3)若x1、x2满足不等式|lg|1,试求a的取值范围.(1)证明:由题意知,x1、x2是关于x的一元二次方程ax2+x+1的两个实数根,x1+x2=,