2016年上海市浦东新区高考数学二模试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 20 页） 2016 年上海市浦东新区高考数学二模试卷（理科） 一、填空题（共 14小题，每小题 5分，满分 70分） 1已知全集 U=R，若集合 A=x| ，则 2已知复数 z 满足 z（ 1 i） =2i，其中 i 为虚数单位，则 |z|= 3双曲线 2 的焦距为 4已知（ ） 6 二项展开式的第五项系数为 ，则正实数 a 的值为 5方程 9x+7） =2+3x+1）的解为 6已知函数 f（ x） = （ a ）图象与它的反函数图象重合，则实数 a= 7在 ，边 a、 b、 c 所对角分别为 A、 B、 C，若 =0，则 形状为 8在极坐标系中，点 A（ 2， ）到直线 ） = 的距离为 9离散型随机变量 的概率分布列如图，若 ，则 0 1 2 P a b 10已知四面体 ， D=2， E、 F 分别为 中点，且异面直线 成的角为 ，则 11设 m、 n 分别为连续两次投掷骰子得到的点数，且向量 =（ m， n）， =（ 1， 1），则与 的夹角为锐角的概率是 12已知 通项公式为 1） nn+2n， nN+，则前 n 项和 13任意实数 a、 b，定义 ab= ，设函数 f（ x） =（ x，数列 公比大于 0 的等比数列，且 f（ +f（ +f（ +f（ +f（ =2 14关于 x 的方程 =|在 2016， 2016上解的个数为 二、选择题（共 4小题，每小题 5分，满分 20分） 15 “ ”是 “不等式 |x 1| 1 成立 ”的（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分亦非必要条件 16给出下列命题，其中正确的命题为（ ） A若直线 a 和 b 共面，直线 b 和 c 共面，则 a 和 c 共面 B直线 a 与平面 不垂直，则 a 与平面 内所有的直线都不垂直 第 2 页（共 20 页） C直线 a 与平面 不平行，则 a 与平面 内的所有直线都不平行 D异面直线 a、 b 不垂直，则过 a 的任何平面与 b 都不垂直 17抛物线 x 的焦点为 F，点 P（ x， y）为该抛物线上的动点，又点 A（ 1， 0），则的最小值是（ ） A B C D 18已知平面直角坐标系中两个定点 E（ 3， 2）， F（ 3， 2），如果对于常数 ，在函数 y=|x+2|+|x 2| 4，（ x 4， 4）的图象上有且只有 6 个不同的点 P，使得 =成立，那么 的取值范围是（ ） A（ 5， ） B（ ， 11） C（ ， 1） D（ 5， 11） 三、解答题（共 5小题，满分 60分） 19如图，在圆锥 ， 底面圆 O 的直径，点 C 为弧 的中点， B； （ 1）证明： 平面 （ 2）若点 D 为母线 中点，求 平面 成角；（结果用反三角函数表示） 20如图，一智能扫地机器人在 A 处发现位于它正西方向的 B 处和 B 处和北偏东 30方向上的 C 处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到 B 的距离比到 C 是选择沿 ABC 路线清扫，已知智能扫地机器人的直线行走速度为 s，忽略机器人吸入垃圾及在 B 处旋转所用时间， 10 秒钟完成了清扫任务； （ 1）求 B、 C 两处垃圾之间的距离；（精确到 （ 2）求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角 B 的大小；（用反三角函数表示） 21数列 足： ， a ，且 、 等差数列，其中 nN+； （ 1）求实数 的值及数列 通项公式； （ 2）若不等式 成立的自然数 n 恰有 4 个，求正整数 p 的值 第 3 页（共 20 页） 22教材曾有介绍：圆 x2+y2=的点（ 的切线方程为 x ，我们将其结论推广：椭圆 =1（ a b 0）上的点（ 的切线方程为 ，在解本题时可以直接应用，已知：直线 x y+ =0 与椭圆 E： =1（ a 1）有且只有一个公共点； （ 1）求 a 的值； （ 2）设 O 为坐标原点，过椭圆 E 上的两点 A、 B 分别作该椭圆的两条切线 于点 M（ 2， m），当 m 变化时，求 积的最大值； （ 3）在（ 2）的条件下，经过点 M（ 2， m）作直线 l 与该椭圆 E 交于 C、 D 两点，在线段存在点 N，使 成立，试问：点 N 是否在直线 ，请说明理由 23（理科）已知 f（ x）是定义在 a， b上的函数，如果存在常数 M 0，对区间 a， b的任意划分： a= 1 xn=b，和式 M 恒成立，则称 f（ x）为 a， b上的 “绝对差有界函数 ”，注： ； （ 1）证明函数 f（ x） = ， 0上是 “绝对差有界函数 ”； （ 2）证明函数 f（ x） = 不是 0， 1上的 “绝对差有界函数 ”； （ 3）记集合 A=f（ x） |存在常 数 k 0，对任意的 a， b，有 |f（ f（ |k|立 ，证明集合 A 中的任意函数 f（ x）均为 “绝对差有界函数 ”，并判断 g（ x） =2016 中，如果在，请证明并求 k 的最小值，如果不在，请说明理由 第 4 页（共 20 页） 2016年上海市浦东新区高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、填空题（共 14小题，每小题 5分，满分 70分） 1已知全集 U=R，若集合 A=x| ，则 0， 1 【考点 】 补集及其运算 【分析】 求解不等式化简集合 A，然后直接利用补集运算求解 【解答】 解：由 得到 x（ x 1） 0，解得 x 0 或 x 1， A=（ ， 0） （ 1， +）， 0， 1， 故答案为： 0， 1 2已知复数 z 满足 z（ 1 i） =2i，其中 i 为虚数单位，则 |z|= 【考点】 复数求模 【分析】 利用复数的运算性质、模的计算公式即可得出 【解答】 解： 复数 z 满足 z（ 1 i） =2i， z（ 1 i）（ 1+i） =2i（ 1+i）， 2z=2（ i 1）， z=i 1 则 |z|= 故答案为： 3双曲线 2 的焦距为 6 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 将双曲线的方程化为标准方程，求得 a， b， c，可得焦距 2c 的值 【解答】 解：双曲线 2 即为 =1， 可得 a= ， b= ， c= =3， 即有焦距为 2c=6 故答案为： 6 4已知（ ） 6 二项展开式的第五项系数为 ，则正实数 a 的值为 【 考点】 二项式系数的性质 【分析】 x 2，由已知可得： = ， a 0解出即可得出 【解答】 解： = x 2， 第 5 页（共 20 页） = ， a 0 解得 a= 故答案为： 5方程 9x+7） =2+3x+1）的解为 x=0 和 x=1 【考点】 对数的运算性质 【分析】 由对数的运算性质化对数方程为关于 3得 3一步求得 x 值得答案 【解答】 解：由 9x+7） =2+3x+1），得 9x+7） =3x+1）， 即 9x+7=4（ 3x+1）， 化为 （ 3x） 2 43x+3=0， 解得： 3x=1 和 3x=3， x=0 和 x=1 故答案为： x=0 和 x=1 6已知函数 f（ x） = （ a ）图象与它的反函数图象重合，则实数 a= 3 【考点】 反函数 【分析】 由 y= （ a ），可得反函数： y= ，利用函数 f（ x） = （ a ）图象与它的反函数图象重合，即为同一个函数即可得出 【解答】 解：由 y= （ a ），解得 x= （ y3），把 x 与 y 互换可得： y= ， 函数 f（ x） = （ a ）图象与它的反函数图象重合， a=3，解得 a= 3 故答案为： 3 7在 ，边 a、 b、 c 所对角分别为 A、 B、 C，若 =0，则 形状为 等腰三角形或直角三角形 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦定理 【分析】 由题意可得 ，利用正弦定理化边为角，得到 由 A，B 为三角形的两个内角，可得 A=B 或 A+B= ，得到三角形为等腰三角形或直角三角形 第 6 页（共 20 页） 【解答】 解：由 =0，得 ab ， 即 ， 由正弦定理可得： ， A， B 为三角形的两个内角， 2A=2B 或 2A+2B= 即 A=B 或 A+B= ， 形状为等腰三角形或直角三角形 故答案为：等腰三角形或直角三角形 8在极坐标系中，点 A（ 2， ）到直线 ） = 的距离为 2 【考点】 简单曲线的极坐标方程 【分析 】 先求出 A（ 0， 2），直线为 x y 2=0，由此利用点到直线的距离公式能求出点 A（ 2， ）到直线 ） = 的距离 【解答】 解：在极坐标系中，点 A（ 2， ）， 在平面直角坐标系中， A（ 2 2，即 A（ 0， 2）， ） =（ = ， =1， x， y， 直线为 x y 2=0， 点 A（ 0， 2）到直线 x y 2=0 的距离： d= =2 ， 点 A（ 2， ）到直线 ） = 的距离为 2 故答案为： 2 9离散型随机变量 的概率分布列如图，若 ，则 0 1 2 P a b 【考点】 离散型随机变量及其分布列 【分析】 利用离散型分布列的性质，先求出 a， b，由此能求出 【解答】 解： ， 由离散型随机变量 的概率分布列，得 ， 解得 a=b= 第 7 页（共 20 页） 0 1） 2 1 1） 2 2 1） 2 故答案为： 10已知四面体 ， D=2， E、 F 分别为 中点，且异面直线 成的角为 ，则 1 【考点】 异面直线及其所成的角 【分析】 取 点 O，连结 导出 O=1， ，由此能求出 【解答】 解：取 点 O，连结 四面体 ， D=2， E、 F 分别为 中点，且异 面直线 成的角为 ， ， =1， 异面直线 成的角， ， 等边三角形， 故答案为： 1 11设 m、 n 分别为连续两次投掷骰子得到的点 数，且向量 =（ m， n）， =（ 1， 1），则与 的夹角为锐角的概率是 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 由 与 的夹角为锐角，得到 ，由此能求出 与 的夹角为锐角的概率 【解答】 解： m、 n 分别为连续两次投掷骰子得到的点数，且向量 =（ m， n）， =（ 1， 1）， 与 的夹角为锐角， ， 第 8 页（共 20 页） 基本事件总数 n=66=36， m n 0 包含的基本事件个数 m=15， 与 的夹角为锐角的概率是 p= = = 故答案 为： 12已知 通项公式为 1） nn+2n， nN+，则前 n 项和 【考点】 数列的求和 【分析】 1） nn+2n， nN+， 1+（ 2k 1） +22k 1+2k+22k=1+ 当n 为偶数时，则前 n 项和 2k=（ a1+（ a3+（ 1+再利 用等比数列的前 n 项和公式即可得出当 n 为奇数时，则前 n 项和 2k 2+ 【解答】 解： 1） nn+2n， nN+， 1+（ 2k 1） +22k 1+2k+22k=1+ 当 n 为偶数时，则前 n 项和 2k=（ a1+（ a3+（ 1+=k+ = +2（ 4k 1） = +2n+1 2 当 n 为奇数时，则前 n 项和 2k 2+2n 2 n+2n=2n+1 2 综上可得： 故答案为： 13任意实数 a、 b，定义 ab= ，设函数 f（ x） =（ x，数列 公比大于 0 的等比数列，且 f（ +f（ +f（ +f（ +f（ =2 4 【考点】 等比数列的通项公式 第 9 页（共 20 页） 【分析】 f（ x） =（ x= ，及其数列 公比大于 0 的等比数列，且 ，对公比 q 分类讨论，再利用对数的运算性质即可得出 【解答】 解： f（ x） =（ x= ， 数列 公比大于 0 的等比数列，且 ， 1 q 时， ， 0， 1）， 1， +）， =1 ， 分别为： ， ， ， ， 1， q， ， f（ +f（ +f（ +f（ +f（ =2 + + +0+ + + =2 =2 左边小于 0，右边大于 0，不成立，舍去 0 q 1 时， =1， ， 分别为： ， ， ， ， 1， q， ， ， 1， +）； 0，1）， f（ +f（ +f（ +f（ +f（ =2 + + + + =2 =2 =4， 第 10 页（共 20 页） q=1 时， =，不满足 f（ +f（ +f（ +f（ +f（ =2去 综上可得： 故答案为： 4 14关于 x 的方程 =|在 2016， 2016上解的个数为 4031 【考点】 根的存在性及根的个数判断 【分析】 根据函数与方程的关系转化为两个函数的交点个数问题，作出两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可得到结论 【解答】 解： y= = ， 作函数 y= 与 y=|x|在 2016， 2016上的图象如下， 由图象知函数 y=|的周期是 2，两个函数都关于 x=1 对称， 当 x0 时，两个函数在每个周期内都有两个交点，此时在 2016， 0内有 10082=2016 个交点 ， 在 0， 2内两个函数只有一个交点， 当 x2 时，两个函数在每个周期内都有两个交点，此时在 2， 2016内有 10072=2014 个交点， 则在 2016， 2016上解的个数为 2016+1+2014=4031， 故答案为： 4031 二、选择题（共 4小题，每小题 5分，满分 20分） 15 “ ”是 “不等式 |x 1| 1 成立 ”的（ ） 第 11 页（共 20 页） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分亦非必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 不等式 |x 1| 1 成立，化为 1 x 1 1，解得即可判断出结论 【解答】 解：不等式 |x 1| 1 成立，化为 1 x 1 1，解得 0 x 2， “ ”是 “不等式 |x 1| 1 成立 ”的既不充分也不必要条件 故选： D 16给出下列命题，其中正确的命题为（ ） A若直线 a 和 b 共面，直线 b 和 c 共面，则 a 和 c 共面 B直线 a 与平面 不垂直，则 a 与平面 内所有的直线 都不垂直 C直线 a 与平面 不平行，则 a 与平面 内的所有直线都不平行 D异面直线 a、 b 不垂直，则过 a 的任何平面与 b 都不垂直 【考点】 空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】 根据各命题条件，举出反例判断，使用排除法选出答案 【解答】 解：对于 A，若 b 为异面直线 a， c 的公垂线，则 a 与 b， b 与 c 都相交，但 a， A 错误； 对于 B，若直线 a，则 内有无数条直线都与直线 a 垂直，故 B 错误； 对于 C，若直线 a，则 内有无数条直线都与直线 a 平行，故 C 错误； 对于 D，假设存在 平面 ，使得 a， b ，则 b a，与条件矛盾，所以假设错误，故 故选： D 17抛物线 x 的焦点为 F，点 P（ x， y）为该抛物线上的动点，又点 A（ 1， 0），则的最小值是（ ） A B C D 【考点】 直线与圆锥曲线的关系；抛物线的简单性质 【分析】 通过抛物线的定义，转化 N，要使 有最小值，只需 大即可，作出切线方程即可求出比值的最小值 【解答】 解：由题意可知，抛物线的准线方程为 x= 1， A（ 1， 0）， 过 P 作 直直线 x= 1 于 N， 由抛物线的定义可知 N，连结 抛物线的切线时， 有最小值，则 大，就是直线 斜率最大， 设在 方程为： y=k（ x+1），所以 ， 解得： 24） x+， 所以 =（ 24） 2 4，解得 k=1， 所以 5， 第 12 页（共 20 页） = 故选 B 18已知平面直角坐标系中两个定点 E（ 3， 2）， F（ 3， 2），如果对于常数 ，在函数 y=|x+2|+|x 2| 4，（ x 4， 4）的图象上有且只有 6 个不同的点 P，使得 =成立，那么 的取值范围是（ ） A（ 5， ） B（ ， 11） C（ ， 1） D（ 5， 11） 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 画 出函数 y=|x+2|+|x 2| 4 在 4， 4的图象，讨论若 P 在 ，设 P（ x， 2x 4）；若 P 在 ，设 P（ x， 0）；若 P 在 ，设 P（ x， 2x 4）求得向量 得数量积，由二次函数的最值的求法，求得取值范围，讨论交点个数，即可得到所求范围 【解答】 解：函数 y=|x+2|+|x 2| 4 = ， （ 1）若 P 在 ，设 P（ x， 2x 4）， 4x 2 =（ 3 x， 6+2x）， =（ 3 x， 6+2x） =9+（ 6+2x） 2=54x+27， x 4， 2， 11 当 = 时有一解，当 11 时 有两解； （ 2）若 P 在 ，设 P（ x， 0）， 2 x2 =（ 3 x， 2）， =（ 3 x， 2） =9+4=5， 2 x2， 5 1 当 = 5 或 1 时有一解，当 5 1 时有两解； （ 3）若 P 在 ，设 P（ x， 2x 4）， 2 x4 =（ 3 x， 6 2x）， =（ 3 x， 6 2x）， =9+（ 6 2x） 2=524x+27， 第 13 页（共 20 页） 2 x4， =11 当 = 时有一解，当 11 时有两解 综上，可得有且只有 6 个不同的点 P 的情况是 1 故选： C 三、解答题（共 5小题，满分 60分） 19如图，在圆锥 ， 底面圆 O 的直径，点 C 为弧 的中点 ， B； （ 1）证明： 平面 （ 2）若点 D 为母线 中点，求 平面 成角；（结果用反三角函数表示） 【考点】 直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）由圆的性质得出 平面 出 而 平面 （ 2）连结 平面 知 所求角，设圆锥底面半径为 a，求出 出 【解答】 证明：（ 1） 平面 面 C 为 的中点， 面 面 C=O， 平面 （ 2）连结 平面 平面 成的角， 设 OA=a，则 OC=a， B=2a， = a， ， 第 14 页（共 20 页） = 平面 成角为 20如图，一智能扫地机器人在 A 处发现位于它正西方向的 B 处和 B 处和北偏东 30方向上的 C 处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到 B 的距离比到 C 是选择沿 ABC 路线清扫，已知智能扫地机器人的直线行走速度为 s，忽略机器人吸入垃圾及在 B 处旋转所用时间， 10 秒钟完成了清扫任务； （ 1）求 B、 C 两处垃圾之间的距离；（精确到 （ 2）求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角 B 的大小；（用反三角函数表示） 【考点】 解三角形的实际应用 【分析】 （ 1）设 BC=x，则 x， x， A=120，利用余弦定理列方程解出 x； （ 2）利用（ 1）的结论得出三角形 三边长，使用余弦定理求出 到 B 的大小 【解答】 解；（ 1）设 BC=x，则 x， x+x， 由题意得 A=120， 在 ，由余弦定理得： = = 解得 x= （ 2）由（ 1）知 ， = B= 第 15 页（共 20 页） 21数列 足： ， a ，且 、 等差数列，其中 nN+； （ 1）求实数 的值及数列 通项公式； （ 2）若不等式 成立的自然数 n 恰有 4 个，求正整数 p 的值 【考点】 数列与不等式的综合；数列递推式 【分析】 （ 1）由题意和等差中项的性质列出方程求出 ，再利用累加法求出数列 通项公式； （ 2）结合条件对 n 进行分类讨论，当 n3 时利用分离常数法化简得 p ，利用取特值和做商法判断出 的单调性，再判断出 的单调性，根据条件即可求出正整数 p 的值 【解答】 解：（ 1） ， =2n， a2=2=2+2， a3=2+6； ， 2（ 2+2+1） =2+2+6，解得 =1，即 n， ， ， ， 1=2n 1， 以上式子相加可得， +4+8+2n 1=2n 2， 得 2=2n 2，则 n， =1， n； （ 2）由（ 1）得， ， P 0， 当 n=1、 2 时，上式一定成立； 当 n3 时，化简得 p = ， 当 n=3 时， p = = ，当 n=4 时， p = = 当 n=5 时， p = ，当 n=6 时， p ， 设 ，则 = = =2（ 1 ）， 当 n4 时， 2（ 1 ） ，则 1， 当 n4 时， n 的增大而增大，则 随着 n 的增大而减小， 第 16 页（共 20 页） 等式 成立的自然数 n 恰有 4 个，即 n=1、 2、 4、 5， 正整数 p 的值是 3 22教材曾有介绍：圆 x2+y2=的点（ 的切线方程为 x ，我们将其结论推广：椭圆 =1（ a b 0）上的点（ 的切线方程为 ，在解本题时可以直接应用，已知：直线 x y+ =0 与椭圆 E： =1（ a 1）有且只有一个公共点； （ 1）求 a 的值； （ 2）设 O 为坐标原点，过椭圆 E 上的两点 A、 B 分别作该椭圆的两条切线 于点 M（ 2， m），当 m 变化时，求 积的最大值； （ 3）在（ 2）的条件下，经过点 M（ 2， m） 作直线 l 与该椭圆 E 交于 C、 D 两点，在线段存在点 N，使 成立，试问：点 N 是否在直线 ，请说明理由 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）将直线 y=x+ 代入椭圆方程，得到 x 的方程，由直线和椭圆相切的条件：判别式为 0，解方程可得 a 的值； （ 2）设切点 A（ B（ 可得切线 ， ，再由 合两点确定一条直线，可得切点弦方程， 方程为 x+，运用点到直线的距离公式和直线与椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，求得 面积，化简整理，运用基本不等式即可得到所求最大值； （ 3）设 C（ D（ N（ 由直线 y=k（ x 2） +m 代入椭圆方程 ，运用韦达定理，由题意可得 ，可得 = ，求得 N 的坐标，代入切点弦 方程，计算即可判断 【解答】 解：（ 1）将直线 y=x+ 代入椭圆方程 x2+ 可得（ 1+ ， 由直线和椭圆相切，可得 =124（ 1+2， 第 17 页（共 20 页） 解得 a= （由 a 1）； （ 2）设切点 A（ B（ 可得切线 ， ， 由 于点 M（ 2， m），可得 2， 2， 由两点确定一条直线，可得 方程为 2x+2， 即为 x+，原点到直线 距离为 d= ， 由 消去 x，可得（ 2+21=0， y1+， ， 可得 | = = ， 可得 面积 S= d| ， 设 t= （ t1）， S= = ， 当且仅当 t=1 即 m=0 时， S 取得最大值 ； （ 3）设 C（ D（ N（ 由直线 y=k（ x 2） +m 代入椭圆方程 ， 可得（ 1+2k（ m 2k） x+2（ m 2k） 2 2=0， 即有 x3+ ， ， 由线段 存在点 N，使 成立， 可得 = ，化为 ， 代入韦达定理，化简