2009年课改区高考数学试题分类汇编——圆锥曲线.doc

为您服务教育网 第 1 页 共 34 页 20092009 年课改区高考数学试题分类汇编年课改区高考数学试题分类汇编 圆锥曲线圆锥曲线 一 选择题 1 2009 浙江理 过双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的右顶点A作斜率为1 的直线 该 直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 B C 若 1 2 ABBC 则双曲线的离心率是 w w w k s 5 u c o m A 2 B 3 C 5 D 10 答案 C 解析 对于 0A a 则直线方程为0 xya 直线与两渐近线的交点为 B C 22 aabaab BC ab ababab 则有 22 2222 22 a ba babab BCAB ababab ab 因 22 2 4 5ABBCabe 2 2009 浙江文 已知椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的左焦点为F 右顶点为A 点B在 椭圆上 且BFx 轴 直线AB交y轴于点P 若2APPB 则椭圆的离心率是 w w w k s 5 u c o m A 3 2 B 2 2 C 1 3 D 1 2 答案 D 命题意图 对于对解析几何中与平面向量结合的考查 既体现了几何与向量的 交汇 也体现了数形结合的巧妙应用 解析 对于椭圆 因为2APPB 则 1 2 2 2 OAOFace w w w k s 5 u c o m 3 2009 山东卷理 设双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的一条渐近线与抛物线 y x 2 1 只有一个公共点 则双曲线的离心率为 A 4 5 B 5 C 2 5 D 5 为您服务教育网 第 2 页 共 34 页 解析 双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的一条渐近线为x a b y 由方程组 2 1 b yx a yx 消去 y 得 2 10 b xx a 有唯一解 所以 2 40 b a 所以2 b a 22 2 1 5 cabb e aaa 故选 D 答案 D 命题立意 本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念 以及直线与抛物线的位 置关系 只有一个公共点 则解方程组有唯一解 本题较好地考查了基本概念基本方法和基本 技能 4 2009 山东卷文 设斜率为 2 的直线l过抛物线 2 0 yaxa 的焦点 F 且和y轴交于 点 A 若 OAF O 为坐标原点 的面积为 4 则抛物线方程为 A 2 4yx B 2 8yx C 2 4yx D 2 8yx 解析 抛物线 2 0 yaxa 的焦点 F 坐标为 0 4 a 则直线l的方程为2 4 a yx 它 与y轴的交点为 A 0 2 a 所以 OAF 的面积为 1 4 2 42 aa 解得8a 所以抛物线 方程为 2 8yx 故选 B 答案 B 命题立意 本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面 积的计算 考查数形结合的数学思想 其中还隐含着分类讨论的思想 因参数a的符号不定而 引发的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变化有两种情况 这里加绝对值号可以做 到合二为一 5 2009 安徽卷理 下列曲线中离心率为 6 2 的是 A 22 1 24 xy B 22 1 42 xy C 22 1 46 xy D 22 1 410 xy 解析 由 6 2 e 得 222 222 331 1 222 cbb aaa 选 B 6 2009 安徽卷文 下列曲线中离心率为的是 w w w k s 5 u c o m 为您服务教育网 第 3 页 共 34 页 A B C D 解析 依据双曲线 22 22 1 xy ab 的离心率 c e a 可判断得 6 2 c e a 选 B 答案 B 7 2009 安徽卷文 直线 过点 1 2 且与直线垂直 则 的方程是 A B C D 解析 可得l斜率为 33 2 1 22 l yx 即3210 xy 选 A 答案 A 8 2009 天津卷文 设双曲线 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的虚轴长为 2 焦距为32 则 双曲线的渐近线方程为 A xy2 B xy2 C xy 2 2 Dxy 2 1 答案 C 解析 由已知得到2 3 1 22 bcacb 因为双曲线的焦点在 x 轴上 故 渐近线方程为xx a b y 2 2 考点定位 本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用 考察了同学们的运算能力和推 理能力 9 2009 辽宁卷文 已知圆 C 与直线 x y 0 及 x y 4 0 都相切 圆心在直线 x y 0 上 则圆 C 的方程为 A 22 1 1 2xy B 22 1 1 2xy C 22 1 1 2xy D 22 1 1 2xy 为您服务教育网 第 4 页 共 34 页 解析 圆心在 x y 0 上 排除 C D 再结合图象 或者验证 A B 中圆心到两直线的距离 等于半径即可 2 答案 B 10 2009 宁夏海南卷理 双曲线 2 4 x 2 12 y 1 的焦点到渐近线的距离为 A 2 3 B 2 C 3 D 1 解析 双曲线 2 4 x 2 12 y 1 的焦点 4 0 到渐近线3yx 的距离为 340 2 3 2 d 选 A 11 2009 宁夏海南卷理 设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点 焦点为 F 1 0 直线 l 与 抛物线 C 相交于 A B 两点 若 AB 的中点为 2 2 则直线 的方程为 解析 抛物线的方程为 2 4yx 2 11 112212 2 22 22 12 1212 1212 4 4 4 41 yx A x yB xyxx yx yy yyxx xxyy 则有 两式相减得 直线l 的方程为y 2 x 2 即y x 答案 y x 12 2009 天津卷理 设抛物线 2 y 2x 的焦点为 F 过点 M 3 0 的直线与抛物线相 交于 A B 两点 与抛物线的准线相交于 C BF 2 则 BCF 与 ACF 的面积之比 BCF ACF S S A 4 5 B 2 3 C 4 7 D 1 2 考点定位 本小题考查抛物线的性质 三点共线的坐标关系 和综合运算数学的能 力 中档题 为您服务教育网 第 5 页 共 34 页 6 4 2 2 4 6 10 5510 x 0 5 F 0 51 0 00 h x 2 x 3 g y 1 2 f y y2 2 A B F C 解析 由题知 12 12 2 1 2 1 A B A B ACF BCF x x x x AC BC S S 又3 2 3 2 2 1 BBB yxxBF 由 A B M 三点共线有 BM BM AM AM xx yy xx yy 即 2 3 3 30 3 20 A A x x 故2 A x 5 4 14 13 12 12 A B ACF BCF x x S S 故选择 A 13 2009 宁夏海南卷文 已知圆 1 C 2 1 x 2 1 y 1 圆 2 C与圆 1 C关于直线 10 xy 对称 则圆 2 C的方程为 A 2 2 x 2 2 y 1 B 2 2 x 2 2 y 1 C 2 2 x 2 2 y 1 D 2 2 x 2 2 y 1 答案 B 解析 设圆 2 C的圆心为 a b 则依题意 有 11 10 22 1 1 1 ab b a 解得 2 2 a b 对称圆的半径不变 为 1 故选 B 为您服务教育网 第 6 页 共 34 页 14 2009 福建卷文 若双曲线 22 22 1 3 xy ao a 的离心率为 2 则a等于 A 2 B 3 C 3 2 D 1 解析解析解析 由 222 2 3 12 3 xya aa c 可知虚轴b 3 而离心率e a 解得 a 1 或 a 3 参照选项知而应选 D 二 填空题 1 2009 天津卷理 若圆 22 4xy 与圆 22 260 xyay a 0 的公共弦的长为 2 3 则 a 考点定位 本小题考查圆与圆的位置关系 基础题 解析 由知 22 260 xyay 的半径为 2 6a 由图可知 222 3 1 6 aa解之得1 a 2 2009 江苏卷 如图 在平面直角坐标系xoy中 1212 A A B B为椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的四个顶点 F为其右焦点 直线 12 AB与直线 1 B F相交于点 T 线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点 则该椭圆的离心率为 解析 考查椭圆的基本性质 如顶点 焦点坐标 离心率的计算等 以及直线的方程 直线 12 AB的方程为 1 xy ab 直线 1 B F的方程为 1 xy cb 二者联立解得 2 acb ac T acac 则 2 acb ac M acac 在椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 上 22 222 22 1 1030 1030 4 cac cacaee acac 解得 2 75e 3 2009 广东卷 理 巳知椭圆G的中心在坐标原点 长轴在x轴上 离心率为 3 2 为您服务教育网 第 7 页 共 34 页 且G上一点到G的两个焦点的距离之和为 12 则椭圆G的方程为 解析 2 3 e 122 a 6 a 3 b 则所求椭圆方程为1 936 22 yx 4 2009 年广东卷文 以点 2 1 为圆心且与直线6xy 相切的圆的方程是 答案 22 25 2 1 2 xy 解析 将直线6xy 化为60 xy 圆的半径 2 1 6 5 1 12 r 所以圆的方程 为 22 25 2 1 2 xy w w w k s 5 u c o m 5 2009 天津卷文 若圆4 22 yx与圆 0 062 22 aayyx的公共弦长为 32 则 a 答案 1 解析 由已知 两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为 a y 1 利用圆心 0 0 到直线的距离 d 1 1 a 为132 2 2 解得 a 1 考点定位 本试题考查了直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式的运用 考 察了同学们的运算能力和推理能力 6 2009 福建卷理 过抛物线 2 2 0 ypx p 的焦点 F 作倾斜角为45 的直线交抛物线 于 A B 两点 若线段 AB 的长为 8 则p 答案 2 解析 由题意可知过焦点的直线方程为 2 p yx 联立有 2 2 2 2 30 4 2 ypx p xpx p yx 又 2 22 1 1 3 482 4 p ABpp 7 2009 辽宁卷理 以知 F 是双曲线 22 1 412 xy 的左焦点 1 4 AP是双曲线右支上的 动点 则PFPA 的最小值为 解析 注意到 P 点在双曲线的两只之间 且双曲线右焦点为 F 4 0 于是由双曲线性质 PF PF 2a 4 为您服务教育网 第 8 页 共 34 页 而 PA PF AF 5 两式相加得 PF PA 9 当且仅当 A P F 三点共线时等号成立 答案 9 8 2009 宁夏海南卷文 已知抛物线 C 的顶点坐标为原点 焦点在 x 轴上 直线 y x 与抛 物线 C 交于 A B 两点 若 2 2P为AB的中点 则抛物线 C 的方程为 答案 2 4yx 解析 设抛物线为 y2 kx 与 y x 联立方程组 消去 y 得 x2 kx 0 21 xx k 2 2 故 2 4yx 9 2009 年上海卷理 已知 1 F 2 F是椭圆1 2 2 2 2 b y a x C a b 0 的两个焦点 P为椭圆C上一点 且 21 PFPF 若 21F PF 的面积为 9 则b 答案 3 解析 依题意 有 22 2 2 1 21 21 4 18 2 cPFPF PFPF aPFPF 可得 4c2 36 4a2 即 a2 c2 9 故有 b 3 10 2009 上海卷文 已知 12 F F是椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 的两个焦点 p为椭 圆C上的一点 且 12 PFPF 若 12 PFF 的面积为 9 则b 答案 3 解析 依题意 有 22 2 2 1 21 21 4 18 2 cPFPF PFPF aPFPF 可得 4c2 36 4a2 即 a2 c2 9 故有 b 3 三 解答题 1 2009 年广东卷文 本小题满分 14 分 已知椭圆 G 的中心在坐标原点 长轴在x轴上 离心率为 2 3 两个焦点分别为 1 F和 2 F 椭圆 G 上一点到 1 F和 2 F的距离之和为 12 圆 k C 02142 22 ykxyx Rk 的圆心为 为您服务教育网 第 9 页 共 34 页 点 k A 1 求椭圆 G 的方程 2 求 21F FAk 的面积 3 问是否存在圆 k C包围椭圆 G 请说明理由 解析 1 设椭圆 G 的方程为 22 22 1 xy ab 0ab 半焦距为 c 则 212 3 2 a c a 解得 6 3 3 a c 222 36279bac 所求椭圆 G 的方程为 22 1 369 xy w w w k s 5 u c o m 2 点 K A的坐标为 2K 1 2 12 11 26 326 3 22 K A F F SFF V 3 若0k 由 22 60120215 120kk f可知点 6 0 在圆 k C外 若0k 由 22 6 0120215 120kk f可知点 6 0 在圆 k C外 不论 K 为何值圆 k C都不能包围椭圆 G 2 2009 浙江理 本题满分 15 分 已知椭圆 1 C 22 22 1 0 yx ab ab 的右顶点为 1 0 A 过 1 C的焦点且垂直长轴的弦长为1 I 求椭圆 1 C的方程 II 设点P在抛物线 2 C 2 yxh h R上 2 C在点P处 的切线与 1 C交于点 M N 当线段AP的中点与MN的中 点的横坐标相等时 求h的最小值 解析 I 由题意得 2 1 2 121 b a b b a 所求的椭圆方程为 2 2 1 4 y x w w w k s 5 u c o m II 不妨设 2 1122 M x yN xyP t th 则抛物线 2 C在点 P 处的切线斜率为 为您服务教育网 第 10 页 共 34 页 2 x t yt 直线 MN 的方程为 2 2ytxth 将上式代入椭圆 1 C的方程中 得 222 4 2 40 xtxth 即 22222 4 14 40txt th xth 因为直线 MN 与椭圆 1 C有两个不同的交点 所以有 422 1 162 2 40thth 设线段 MN 的中点的横坐标是 3 x 则 2 12 3 2 22 1 xxt th x t w w w k s 5 u c o m 设线段 PA 的中点的横坐标是 4 x 则 4 1 2 t x 由题意得 34 xx 即有 2 1 10th t 其中的 2 2 1 40 1hh 或3h 当3h 时有 2 20 40hh 因此不等式 422 1 162 2 40thth 不 成立 因此1h 当1h 时代入方程 2 1 10th t 得1t 将1 1ht 代入 不等式 422 1 162 2 40thth 成立 因此h的最小值为 1 3 2009 浙江文 本题满分 15 分 已知抛物线C 2 2 0 xpy p 上一点 4 A m到 其焦点的距离为 17 4 I 求p与m的值 II 设抛物线C上一点P的横坐标为 0 t t 过P的直线交C于另一点Q 交 x轴于点M 过点Q作PQ的垂线交C于另一点N 若MN是C的切线 求 t的最小值 解析 由抛物线方程得其准线方程 2 p y 根据抛物线定义 点 4 mA到焦点的距离等于它到准线的距离 即 4 17 2 4 p 解得 2 1 p 抛物线方程为 yx 2 将 4 mA代入抛物线方程 解得2 m 由题意知 过点 2 ttP的直线PQ斜率存在且不为 0 设其为k 则 2 txktylPQ 当 0 2 k ktt xy 则 0 2 k ktt M 联立方程 yx txkty 2 2 整理得 0 2 tktkxx 即 0 tkxtx 解得 tx 或tkx 2 tktkQ 而QPQN 直线NQ斜率为 k 1 w w w k s 5 u c o m 为您服务教育网 第 11 页 共 34 页 1 2 tkx k tkylNQ 联立方程 yx tkx k tky 2 2 1 整理得 0 11 22 tktk k x k x 即 0 1 2 tkktkxkx 0 1 tkxtkkkx 解得 k tkk x 1 或tkx 1 1 2 2 k tkk k tkk N 1 1 1 1 22 22 2 2 2 ktk ktk k ktt k tkk k tkk KNM 而抛物线在点 N 处切线斜率 k tkk yk k tkk x 2 2 1 切 MN 是抛物线的切线 k tkk ktk ktk2 2 1 1 22 22 整理得 021 22 ttkk 0 21 4 22 tt 解得 3 2 t 舍去 或 3 2 t 3 2 min t 4 2009 江苏卷 本题满分 10 分 在平面直角坐标系xoy中 抛物线 C 的顶点在原点 经过点 A 2 2 其焦点 F 在x轴 上 1 求抛物线 C 的标准方程 2 求过点 F 且与直线 OA 垂直的直线的方程 3 设过点 0 0 M mm 的直线交抛物线 C 于 D E 两点 ME 2DM 记 D 和 E 两点间的距离为 f m 求 f m关于m的表达式 解析 必做题必做题 本小题主要考查直线 抛物线及两点间的距离公式等基 本知识 考查运算求解能力 满分 10 分 为您服务教育网 第 12 页 共 34 页 5 2009 山东卷理 本小题满分 14 分 设椭圆 E 22 22 1 xy ab a b 0 过 M 2 2 N 6 1 两点 O 为坐标原点 I 求椭圆 E 的方程 II 是否存在圆心在原点的圆 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A B 且 OAOB 若存在 写出该圆的方程 并求 AB 的取值范围 若不存在说明理由 解 1 因为椭圆 E 22 22 1 xy ab a b 0 过 M 2 2 N 6 1 两点 所以 22 22 42 1 61 1 ab ab 解得 2 2 11 8 11 4 a b 所以 2 2 8 4 a b 椭圆 E 的方程为 22 1 84 xy 2 假设存在圆心在原点的圆 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A B 且OAOB 设该圆的切线方程为ykxm 解方程组 22 1 84 xy ykxm 得 22 2 8xkxm 即 222 12 4280kxkmxm w w w k s 5 u c o m 则 222222 164 12 28 8 84 0k mkmkm 即 22 840km 为您服务教育网 第 13 页 共 34 页 12 2 2 12 2 4 12 28 12 km xx k m x x k 222222 222 12121212 222 28 48 121212 kmk mmk y ykxm kxmk x xkm xxmm kkk 要使OAOB 需使 1212 0 x xy y 即 222 22 288 0 1212 mmk kk 所以 22 3880mk 所以 2 2 38 0 8 m k 又 22 840km 所以 2 2 2 38 m m 所以 2 8 3 m 即 2 6 3 m 或 2 6 3 m 因为直线ykxm 为圆心在原点的圆的一条切 线 所以圆的半径为 2 1 m r k 22 2 22 8 3813 1 8 mm r mk 2 6 3 r 所求的圆 为 22 8 3 xy 此时圆的切线ykxm 都满足 2 6 3 m 或 2 6 3 m 而当切线的 斜率不存在时切线为 2 6 3 x 与椭圆 22 1 84 xy 的两个交点为 2 62 6 33 或 2 62 6 33 满足OAOB 综上 存在圆心在原点的圆 22 8 3 xy 使得该圆 的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A B 且OAOB 因为 12 2 2 12 2 4 12 28 12 km xx k m x x k 所以 222 222 121212 2222 4288 84 4 4 1212 12 kmmkm xxxxx x kkk 22 2 2222 121212 22 8 84 1 1 12 km ABxxyykxxk k 为您服务教育网 第 14 页 共 34 页 422 4242 32 45132 1 34413441 kkk kkkk 当0k 时 2 2 321 1 1 3 44 AB k k 因为 2 2 1 448k k 所以 2 2 11 0 1 8 44k k 所以 2 2 32321 1 12 1 33 44k k 所以 4 6 2 3 3 AB 当且仅当 2 2 k 时取 w w w k s 5 u c o m 当0k 时 4 6 3 AB 当 AB 的斜率不存在时 两个交点为 2 62 6 33 或 2 62 6 33 所以此时 4 6 3 AB 综上 AB 的取值范围为 4 6 2 3 3 AB 即 4 6 2 3 3 AB 命题立意 本题属于探究是否存在的问题 主要考查了椭圆的标准方程的确定 直线与椭 圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法 能够运用解方程组法研究有 关参数问题以及方程的根与系数关系 6 2009 山东卷文 本小题满分 14 分 设mR 在平面直角坐标系中 已知向量 1 amx y 向量 1 bx y ab 动点 M x y的轨迹为 E 1 求轨迹 E 的方程 并说明该方程所表示曲线的形状 w w w k s 5 u c o m 2 已知 4 1 m 证明 存在圆心在原点的圆 使得该圆的任意一条切线与轨迹 E 恒有两个 交点 A B 且OAOB O 为坐标原点 并求出该圆的方程 3 已知 4 1 m 设直线l与圆 C 222 xyR 1 R 2 相切于 A1 且l与轨迹 E 只有一个公 共点 B1 当 R 为何值时 A1B1 取得最大值 并求最大值 为您服务教育网 第 15 页 共 34 页 解 1 因为ab 1 amx y 1 bx y 所以 22 10a bmxy 即 22 1mxy w w w k s 5 u c o m 当 m 0 时 方程表示两直线 方程为1 y 当1m 时 方程表示的是圆 当0 m且1 m时 方程表示的是椭圆 当0 m时 方程表示的是双曲线 2 当 4 1 m时 轨迹 E 的方程为 2 2 1 4 x y 设圆心在原点的圆的一条切线为ykxt 解 方程组 2 2 1 4 ykxt x y 得 22 4 4xkxt 即 222 14 8440kxktxt 要使切线与轨迹 E 恒有两个交点 A B 则使 2 22222 6416 14 1 16 41 0k tktkt 即 22 410kt 即 22 41tk 且 12 2 2 12 2 8 14 44 14 kt xx k t x x k 222 222 222 12121212 222 44 84 141414 ktk ttk y ykxt kxtk x xkt xxtt kkk 要使OAOB 需使 1212 0 x xy y 即 22222 222 444544 0 141414 ttktk kkk 所以 22 5440tk 即 22 544tk 且 22 41tk 即 22 44205kk 恒成立 所以又因为直线ykxt 为圆心在原点的圆的一条切线 所以圆的半径为 2 1 t r k 2 2 2 22 4 1 4 5 115 k t r kk 所求的圆为 22 4 5 xy 当切线的斜率不存在时 切线为5 5 2 x 与 2 2 1 4 x y 交于点 5 5 2 5 5 2 或 5 5 2 5 5 2 也满足OAOB 为您服务教育网 第 16 页 共 34 页 综上 存在圆心在原点的圆 22 4 5 xy 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A B 且OAOB 3 当 4 1 m时 轨迹 E 的方程为 2 2 1 4 x y 设直线l的方程为ykxt 因为直线l与圆 C 222 xyR 1 R0 与 x 轴 的左 右两个交点 直线l过点 B 且与x轴垂直 S 为l上 异于点 B 的一点 连结 AS 交曲线 C 于点 T 1 若曲线 C 为半圆 点 T 为圆弧AAB的三等分点 试求出点 S 的坐标 II 如图 点 M 是以 SB 为直径的圆与线段 TB 的交点 试问 是否存在a 使得 O M S 三 点共线 若存在 求出 a 的值 若不存在 请说明理由 解析 解法一 当曲线 C 为半圆时 1 a 如图 由点 T 为圆弧AAB的三等分点得 BOT 60 或 120 为您服务教育网 第 23 页 共 34 页 1 当 BOT 60 时 SAE 30 又 AB 2 故在 SAE 中 有tan30 SBABs t 2 当 BOT 120 时 同理可求得点 S 的坐标为 1 2 3 综上 2 3 1 3 S或S 1 2 3 假设存在 0 a a 使得O M S三点共线 由于点 M 在以 SB 为直线的圆上 故BTOS 显然 直线 AS 的斜率 k 存在且 k 0 可设直线 AS 的方程为 yk xa 由 2 2 22222422 2 1 1 20 x y a kxa k xa ka a yk xa 得 设点 222 22 1 TTT a ka T xyxa a k 故 22 22 1 T aa k x a k 从而 22 2 1 TT ak yk xa a k 亦即 22 2222 2 11 aa kak T a ka k 22 2222 22 0 11 a kak B aBT a ka k 由 xa yk xa 得 2 2 s aakOSaak 由BTOS 可得 2222 2 24 0 12 a ka k BT OS a k 即 2222 240a ka k 0 0 2kaa 经检验 当2a 时 O M S 三点共线 故存在2a 使得 O M S 三点共线 解法二 同解法一 假设存在 a 使得O M S三点共线 由于点 M 在以 SO 为直径的圆上 故SMBT 显然 直线 AS 的斜率 k 存在且 K 0 可设直线 AS 的方程为 yk xa 由 2 2 22222222 2 1 1 20 x y a bxa k xa ka a yk xa 得 设点 TT T xy 则有 422 22 1 T a ka xa a k 为您服务教育网 第 24 页 共 34 页 故 2222 22222222 22 111 TTT aa kakaa kak xyk xaT aa ka ka ka k 从而亦即 2 2 1 0 T BTSM T y B akka k xaa k 故 由 xa yk xa 得S a 2ak 所直线 SM 的方程为 2 2 yaka k xa O S M 三点共线当且仅当 O 在直线 SM 上 即 2 2 aka ka 0 0 2aKa 故存在2a 使得 O M S 三点共线 13 2009 辽宁卷文 本小题满分 12 分 已知 椭圆 C 以过点 A 1 3 2 两个焦点为 1 0 1 0 1 求椭圆 C 的方程 2 E F 是椭圆 C 上的两个动点 如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数 证明直 线 EF 的斜率为定值 并求出这个定值 解 由题意 c 1 可设椭圆方程为 22 22 1 14 xy bb 因为 A 在椭圆上 所以 22 19 1 14bb 解得 2 b 3 2 b 3 4 舍去 所以椭圆方程为 22 1 43 xy 4 分 设直线 方程 得 3 1 2 yk x 代入 22 1 43 xy 得 222 3 3 4 4 32 4 120 2 kxkk xk 设 E x E y F x F y 因为点 1 3 2 在椭圆上 所以 2 2 3 4 12 2 34 E k x k 3 2 EE ykxk 8 分 为您服务教育网 第 25 页 共 34 页 又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数 在上式中以k 代k 可得 2 2 3 4 12 2 34 F k x k 3 2 FF ykxk 所以直线 EF 的斜率 21 2 FEFE EF FEFE yyk xxk k xxxx 即直线 EF 的斜率为定值 其值为 1 2 12 分 14 2009 辽宁卷理 本小题满分 12 分 已知 椭圆 C 过点 A 3 1 2 两个焦点为 1 0 1 0 3 求椭圆 C 的方程 4 E F 是椭圆 C 上的两个动点 如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数 证明直 线 EF 的斜率为定值 并求出这个定值 解 由题意 c 1 可设椭圆方程为 22 19 1 14bb 解得 2 3b 2 3 4 b 舍去 所以椭圆方程为 22 1 43 xy 4 分 设直线 AE 方程为 3 1 2 yk x 代入 22 1 43 xy 得 222 3 34 4 32 4 120 2 kxkk xk 设 x y EE E x y FF F 因为点 3 1 2 A在椭圆上 所以 2 2 3 4 12 2 x 34 F k k 3 2 EE ykxk 8 分 又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数 在上式中以 K 代 K 可得 2 2 3 4 12 2 x 34 F k k 为您服务教育网 第 26 页 共 34 页 3 2 EE ykxk 所以直线 EF 的斜率 21 2 FEFE EF FEFE yyk xxk K xxxx 即直线 EF 的斜率为定值 其值为 1 2 12 分 15 2009 宁夏海南卷理 本小题满分 12 分 已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点 焦点在 s 轴上 它的一个顶点到两个焦点 的距离分别是 7 和 1 求椭圆 C 的方程 若 P 为椭圆 C 上的动点 M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点 OP OM 求点 M 的轨迹方程 并说明轨迹是什么曲线 解 设椭圆长半轴长及半焦距分别为ac 由已知得 1 4 3 7 ac ac ac 解得 所以椭圆C的标准方程为 22 1 167 xy 设 M x y 其中 4 4x 由已知 2 2 2 OP OM 及点P在椭圆C上可得 2 2 22 9112 16 x xy 整理得 2222 169 16112xy 其中 4 4x i 3 4 时 化简得 2 9112y 所以点M的轨迹方程为 4 7 44 3 yx 轨迹是两条平行于x轴的线段 ii 3 4 时 方程变形为 22 22 1 112112 16916 xy 其中 4 4x 当 3 0 4 时 点M的轨迹为中心在原点 实轴在y轴上的双曲线满足 44x 的部分 当 3 1 4 时 点M的轨迹为中心在原点 长轴在x轴上的椭圆满足44x 的 为您服务教育网 第 27 页 共 34 页 部分 当1 时 点M的轨迹为中心在原点 长轴在x轴上的椭圆 16 2009 宁夏海南卷文 本小题满分 12 分 已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点 焦点在x轴上 它的一个项点到两个 焦点的距离分别是 7 和 1 I 求椭圆C的方程 II 若P为椭圆C的动点 M为过P且垂直于x轴的直线上的点 OP e OM e 为椭圆 C 的离心率 求点M的轨迹方程 并说明轨迹是什么曲线 解 设椭圆长半轴长及分别为 a c 由已知得 1 7 ac ac 解得 a 4 c 3 w w w k s 5 u c o m 所以椭圆 C 的方程为 22 1 167 xy 设 M x y P x 1 y 其中 4 4 x 由已知得 22 2 1 22 xy e xy 而 3 4 e 故 2222 1 16 9 xyxy 由点 P 在椭圆 C 上得 2 2 1 1127 16 x y 代入 式并化简得 2 9112 y 所以点 M 的轨迹方程为 4 7 44 3 yx 轨迹是两条平行于 x 轴的线段 17 2009 天津卷理 本小题满分 本小题满分 1414 分 分 以知椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的两个焦点分别为 12 0 0 0 FcF cc 和 过 为您服务教育网 第 28 页 共 34 页 点 2 0 a E c 的直线与椭圆相交与 A B两点 且 1212 2F AF B F AF B 1 求椭圆的离心率 2 求直线 AB 的斜率 3 设点 C 与点 A 关于坐标原点对称 直线 2 F B上有一点 0 H m n m 在 1 AFC的外接圆上 求 n m 的值 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质 直线的方程 圆的方程等基础知识 考查用 代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想 考查运算能力和推理能力 满分 14 分 I 解 由 1 FA 2 F B且 12 FA2 F B 得 22 11 EFF B1 EFFA2 从而 2 2 a 1 a2 c c c c 整理 得 22 3ac 故离心率 3 3 c e a II 解 由 I 得 2222 2bacc 所以椭圆的方程可写为 222 236xyc 设直线 AB 的方程为 2 a yk x c 即 3 yk xc 由已知设 1122 A x yB xy 则它们的坐标满足方程组 222 3 236 yk xc xyc 消去 y 整理 得 222222 23 182760kxk cxk cc 依题意 22 33 48 1 3 0 33 ckk 得 而 2 12 2 18 23 k c xx k 22 12 2 276 23 c k cc x x k 由题设知 点 B 为线段 AE 的中点 所以 12 32xcx 联立 解得 2 1 2 92 23 k cc x k 2 2 2 92 23 k cc x k w w w k s 5 u c o m 为您服务教育网 第 29 页 共 34 页 将 12 x x代入 中 解得 2 3 k III 解法一 由 II 可知 12 3 0 2 c xx 当 2 3 k 时 得 0 2 Ac 由已知得 0 2 Cc 线段 1 AF的垂直平分线 l 的方程为 22 222 c ycx 直线 l 与 x 轴 的交点 0 2 c 是 1 AFC 外接圆的圆心 因此外接圆的方程为 22 2 x 22 cc yc 直线 2 F B的方程为2 yxc 于是点 H m n 的坐标满足方程组 2 2 2 9 24 2 cc mn nmc 由0 m 解得 5 3 2 2 3 mc nc 故 2 2 5 n m 当 2 3 k 时 同理可得 2 2 5 n m 解法二 由 II 可知 12 3 0 2 c xx 当 2 3 k 时 得 0 2 Ac 由已知得 0 2 Cc w w w k s 5 u c o m 由椭圆的对称性可知 B 2 F C 三点共线 因为点 H m n 在 1 AFC 的外接圆上 且 12 F AF B 所以四边形 1 AFCH为等腰梯形 由直线 2 F B的方程为2 yxc 知点 H 的坐标为 22 mmc 因为 1 AHCF 所以 222 222 mmcca 解得 m c 舍 或 5 3 mc 则 2 2 3 nc 所以 2 2 5 n m 当 2 3 k 时同理可得 n2 2 5m 18 2009 福建卷文 本小题满分 14 分 为您服务教育网 第 30 页 共 34 页 已知直线220 xy 经过椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab w w w k s 5 u c o m 的左顶点 A 和上顶点 D 椭圆C的右顶点为B 点S和椭 圆C上位于x轴上方的动点 直线 AS BS与直线 10 3 l x 分别交于 M N两点 I 求椭圆C的方程 求线段 MN 的长度的最小值 当线段 MN 的长度最小时 在椭圆C上是否存在这 样的点T 使得TSB 的面积为 1 5 若存在 确定点T的个数 若不存在 说明理由 解法一 I 由已知得 椭圆C的左顶点为 2 0 A 上顶点为 0 1 2 1Dab 故椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y 直线 AS 的斜率k显然存在 且0k 故可设直线AS的方程为 2 yk x 从 而 10 16 33 k M 由 2 2 2 1 4 yk x x y 得 2222 14 16164kxk xk 0 设 11 S x y则 2 1 2 164 2 14 k x k 得 2 1 2 28 14 k x k 从而 1 2 4 14 k y k w w w k s 5 u c o m 为您服务教育网 第 31 页 共 34 页 即 2 22 284 1414 kk S kk 又 2 0 B 由 1 2 4 10 3 yx k x 得 10 3 1 3 x y k 101 33 N k 故 161 33 k MN k 又 1611618 0 2 33333 kk kMN kk 当且仅当 161 33 k k 即 1 4 k 时等号成立 w w w k s 5 u c o m 1 4 k 时 线段MN的长度取最小值 8 3 由 可知 当MN取最小值时 1 4 k 此时BS的方程为 6 44 2 20 5 55 xysBS 要使椭圆C上存在点T 使得TSB 的面积等于 1 5 只