高三数学新增教材专题――向量.doc

高三数学新增教材专题-向量河北 刘尚超（063600）平面向量是这次(教材改革新增加的内容之一按新大纲的教学目标和要求，主要内容有向量的概念与性质，向量的四种基本运算向量的简单应用其中的重点是向量的运算与简单应用 分析近年的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算由于新教材是首次增加这部分内容，而且大纲要求重在基础，加之教学中师生还有一个逐步适应的过程所以预计单独考查平面向量的题目应属基本运算之类，将会以填空题或选择属的形式出现1个题目对于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容，作为将来学习解析几何的基本工具，在相关内容中也可能会进行考查本章的另一部分是解斜三角形，它是从初中教材中遂步分离并划归到高中教材中的一部分内穿从知识体系上看，应属于三角函数一章，从研究方法上看，应属于向量应用的一个方面近几年的全国高考试题逐渐加大了对这部分三角内容的考查力度，主要是在三角形中考查正弦定理、余弦定理与三角恒等变形等知识的综合应用由于向量沟通着初中数学的有关知识，与高中数学中的函数、三角、解析几何、立几几何的知识密切相关，较之导数、概率统计知识更为活跃、更为重要。一、向量正成为支撑高中数学学科的重点知识2005年普通高等学校招生全国统一考试大纲（理科数学。新课程版）明确指出：“对数学基础知识的考查，要求全面又突出重点，对于支撑学科知识体系的重点知识，考查时要保持较高的比例，构成数学试题的主体，注重学科的内在联系，不刻意追求知识的覆盖面，从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络交汇点设计试题，考查达到必要的深度。”由于新课程的新增加 的内容大都是近年来现代数学的重要基础，对于学生对于数学学科的学习兴趣、增强学生的数学应用意识，都具有十分重要而深远的意义，并且它们必然成为支撑数学学科知识体系的重点知识，从而他成为保持较高的比例，构成数学试题的组提的终于只是啊板块，在向量的在新高考试卷中频频出现，引起大家的注意和关注，对改革传统高中数学教育学都产生意义深远的影响和积极的作用。向量的特有的“神”（坐标形式）形（几何形式）兼备这一特征，时向量及其平行、垂直的充要条件都有其坐标表示形式和几何表示形式，加之向量的数量积不仅是一个数值，而且与向量的夹角及其余弦值密切联系，使得它必然成为沟通数学个主要分支（解析几何、立体几何、三角知识、数列等知识），嫁接数学知识之间横向联系的重要桥梁和纽带，决定了作为新课程卷新增内容的向量必然成为支撑数学学科知识体系的重点知识，近年来向量的所占的比例大约在30分左右，约占全卷的20，向量作为现代数学的重要基础进入高中数学知识体系后，不仅确定立即成为支撑数学学科的重要知识，也是学习和研究许多重要数学问题的通性通法的强有力的工具，“注重通性通法，淡化特殊技巧”是近几年高空新命题的重要理念之一，向量是高中数学的重要工具之一，向量作为工具不仅在处理三角、不等式、解几、立几问题时显得简捷、明快，而且在中学其它学科也有广泛的应用，向量的概念与运算包含着丰富的数学语言，常见形式主要有三种：一是自然语言，二是符号语言，三是图形语言，这三种语言本质上是等价的，但不同的语义给人不同的信息，因此灵活、准确地进行语义转换是正确、快速地用向量解题的保证。二、向量概念教学中的几个似是而非的问题注意向量中一些不合常理的性质：如向量不是有向线段，但却用有向线段表示；（向量有大小方向，但与起点无关，有向线段有大小、方向、和起点组成）向量有大小却不可以进行大小比较；（向量是一个有大小的量，它可以用数来表示它的大小（模），但它却不可以进行大小比较，同时向量在一个特殊的情况下可以比较大小，即同向又模相等的情况下，存在）零向量方向是任意的，但可平行却不可垂直；（零向量的方向是任意的，因此可以和任意向量平行，但却不可以与任何向量垂直，因此是错误的，必须加上都是非零向量。向量运算满足交换律、分配律，但满足结合律、消去律。（都是错误的）向量有坐标，但坐标却与向量无关；（向量（3，2）并不意味着向量过点（3，2），但，常见的错误有，正确的式子是：但是却要画辅助线。，但不等价于（必须）直线方向向量的夹角不一定是直线的夹角。三、向量解题中的通性常法平面向量具有代数形式和几何形式的双重身份和内涵，在高中数学中起着桥梁和工具的作用，涉及的主要问题有线段定比分点，平移问题，三角问题、平面几何，解析几何等。平面向量在高考中处于解决问题的辅助地位，在解题中具有独特的功能常作为工具与数列、三角函数、不等式、解析几何、立体几何等专题结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、角度、垂直等问题以及圆锥曲线中的典型问题等由于向量有其独特的形式和内涵，因此解题方法也多种多样，各领风骚，主要的有以下几种：1. 巧用“回路”在平面封闭图形中，根据首尾相接的向量和为零向量，构造出一个向量等式，再根据向量加法的三角形法则、平行四边形法则进行化简求解。【例】如图，已知任意平面四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：=（+）.【分析】根据求证的内容，将转化为向量、的和、差形式表示，充分运用如、减法的运算法则完成.【证明】如图，在四边形CDEF中，+=.在四边形ABFE中，+=.+得（+）+（+）+（+）+（+）=.E、F分别是AD、BC的中点， +，+.2=+. 因此=（+）.【评析】在四边形CDEF和在四边形ABFE中写出向量的“回路”形式是破题的关键。“回路”是向量解题的一个特点，看似简单，但其应用广泛。2. 数形结合由于向量具有代数和几何的双重特征，因此充分挖掘问题的几何背景，数形结合往往是化解问题难点的制胜法宝。【例】(2003年高考新课程题)设O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足 则P点的轨迹通过ABC的（ ）（A）外心，（B）内心 (C) 重心 (D)ABC的垂心.【分析】注意是单位向量，利用向量加法的三角形法则作图求解。【解】记则、都是单位向量，设=+，|=|，是菱形，平分，而由条件知 点P的轨迹是射线AQ，且AQ通过ABC的内心.应选B。【评析】如果设则、都是单位向量，这是构造单位向量的一条捷径.【例】点P为直线L上一点，A为L外一点，为L上的单位向量，点为点关于直线L的对称点，若用和表示，则=_.【分析】注意到对称与垂直、中点的内在联系，并结合向量中射影的知识。【解】如图，作ABL于B，则所以2.【评析】本题解法构思精巧，别出心裁，特别是是向量数量积几何性质的巧妙应用。【例】设x，yR，为直角坐标平面内x，y轴正方向上的单位向量，若向量x（y2），x（y2）且|8。求点M（x，y）的轨迹方程；【解】因为x（y2），x（y2）且|8。所以点M（x，y）到两定点（0，2），（0，2）的距离之和为8。所以轨迹C为以，为焦点的椭圆，方程为。【评析】如果仅仅从代数的角度出发，将|8转化为，则会遭遇“计算之痛”，而数形结合则巧妙求解，一气呵成。3“模”取平方模是向量的一个特性，许多问题都与此相关，向量的模形式上是距离和根式，它的解题方法以两边平方为佳。是处理向量模常用的方法，通过平方以及利用向量数量积等知识转为为实数的有关问题的研究。这种方法往往与数学中整体处理方法相结合。【例】（2005年高考浙江卷(理）已知向量，|=1满足：对任意tR，恒有|t|，则（ ）A. t B. () C. () D.( )()【分析】|t|两边同时平方展开进行讨论；【解】tR，恒有|t|，等价于|t|恒成立，即（t）（）恒成立.展开整理得t22t(21)0对任意tR均成立.则需方程的判别式=(2)24(21)0.整理得()22()10，即(1)20.=1.()=2=11=0. (). 应选C.【评析】是常用的一个公式，应熟练掌握。4“建基设系” 利用平面向量基本定理，即如果、是同一平面的两个不共线向量，则对这个平面内的任意向量，有且只有一对实数1、2，使=1+2.因此可以将平面上任何一个向量表示成不共线两个向量的线性组合形式，这在证明相关的平面几何时尤为常用。特别地，向量的中点公式,M为A、B的中点。【例】在ABC内求一点P，使取得最小值，该点是三角形的A垂心 B内心 C重心 D，外心【分析】解决三角形的有关问题常常以两边为基底，将其它的量表示成基底的线性组合形式。【解】如图，设，根据向量运算的意义，知当时，有最小值.设M为AB的中点，易知即当时，此时P为三角形的重心.【评析】本题的关键在于建立一个以向量为变量的二次函数，因此，在解题重应消除只能以实数为变量的原有定势，只要任何一个量是变化的，不管量的性质如何，就可以作为变量，从而建立以这个量为变量的函数.本题也说明了解决利用向量解三角形问题，常常可以通过建立基向量的方法。【例】已知ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P，满足，则点P与ABC的关系为（ ）A、P在ABC内部 B、P在ABC外部 C、P在AB边所在直线上 D、P是AC边的一个三等分点 【解】构作一个特殊三角形，即以A为顶点的等腰直角三角形，且A（0，0），B（1，0），C（0，1），P则由条件得,应选D。【评析】利用平面直角坐标系将向量问题坐标化，是向量代数化的一条有效途径，向量问题坐标化的优点在于思路明晰、以算取胜。5.“算两次”列方程 算两次的方法在数学解题中屡试不爽，同一个式子、同一个图形、同一个问题从两个不同的角度出发，得到不同的式子、方程，从而为解决问题提供了方便。在平面向量中“算两次”的方法运用的最为普遍的是三点共线问题。【例】ABC中，|AM|AB|13，|AN|AC|14。线段BN与CM交于点E，试用。【分析】用两种方式来刻划M，E，C三点共线，并注意利用平面向量基本定理。【解】 M，E，C三点共线，且由平面向量定理知，t（1t）t，又设s，由平面向量定理知，s（1s）s。，是ABC的两条边向量，不共线，由平面向量基本定理知，的表示唯一。即t，且s。解得，t。.【点拨指导】由t（1t），s（1s），和向量表示的唯一性，得到t，且s.这种“算两次”的方法被广泛的应用在利用向量解决几何问题中，应反复琢磨，领会要义.6待定系数法 待定系数法是常用的数学思想方法，在平面向量中关于向量的平行、三点共线、点的轨迹、最值问题等都可以利用待定系数法，从而转化为方程的求解。【例】已知两点A（1，0）、B（1，0），点P使，成公差小于等差数列，则与的夹角的取值范围是 。【解】设P（x，y），则由2，得又由公差d（1x）（x1）0，则0x。所以cos得得0。【例】已知（2，1）（1，7），（5，1），设M是直线OP上的一点（O是坐标原点），（1）求使取最小值时的；（2）对（1）中求出的点M，求AMB的值。【分析】因为M是直线OP上的一点，所以设并将表示成的函数。求出了M（2）就容易解决了。【解】（1）0、P、M三点共线，设（2，），则（12，7），（52，1），52012，当2时，取最小值，这时（4，2）。（2）（3，5），（1，1），cosAMB，又0，。【评析】上述解法的“点睛”之笔就是根据O,P,M三点共线引入参数，至此将向量问题转化为关于的函数问题。【例】如图，在ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN=2NC，AM与BN相交于点P，求AP:PM的值.【思路分析】选择一组合适当的向量做基底，用这组基底可表示平面内的有关向量，再由向量共线条件列出等式，用待定系数法解之. 在BC和AC上有已知分点，选向量和为一组基底的建模方式较好.【过程方法】设=，=，则=3，=2A、P、M和B、P、N分别共线，存在实数、使=3，=2 +，故=（+2）+（3+）.而=2+3由基本定理，得解得 故=，即APPM=41.【评析】（1）若，是两个不共线的向量，为同一平面内的任一向量，则向量可用，表示为=+（，R），且表示方式是唯一的（有唯一的一组，），但未给出寻找，的方法，这需要结合具体问题，通过向量的线性运算来完成.（2）基底建模是向量法解决几何图形有关证明和求解的一种重要方法，关键在于选取的基底是否合适，选好基底就迈出了成功的第一步。【例】（2002年天津高考题）平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1)，B(1,3)，若点C满足=，其中、R，=1，则点C的轨迹方程为（ ）.A.3x2y11=0 B.(x1)2(y2)2=5 C.2xy=0 D. x2y5=0【思路分析】求轨迹方程的基本思路就是设点，并列出关于的方程。【过程方法】设=(x, y)，=(3,1)，=(1,3)，=(3,)，=(,3)，又=(3,3)，(x, y)= (3,3)，又=1，x2y5=0. 应选D。【评析】本题体现了向量法和坐标的相互关系及转换方法.注意本题的结论是表示C点是AB直线上的点，理解这个结论有助于解决有关三点共线的问题。提炼本题会得到一个一般性的结论，即若点C满足=，其中、R，=1，则点C的轨迹方程为过A，B的一条直线。7巧用中点根据向量加法的平行四边形法则，对于任意不共线的三点O、A、B，则O、A、B、P组成平行四边形，其中隐含着一个重要的性质过的中点。解题通过构作中点往往可以起到曲径通幽的作用。【例】（2005年高考江苏卷）在ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2，则()的最小值是 .【分析】利用向量的加法的三角形法则和数量积，以及均值不等式。【解】由题易得 ()=2=2|cos=2|.又|=2，|()2=1（当且仅当|=|时取等号）.()=2|=|2，即O为AM中点时，()取最小值为2. 应填2。【评析】涉及两个向量和的问题可联想和构作中点、三角形的中线图形。【例】如图，O、A、B是平面上一点，向量，设P是线段AB垂直平分线上任意一点，向量。若|3，|2，则（）的值是 。【解】连结OC，则因为CPBA，所以即故（）（）（）（）（【评析】向量的中点公式实际上是提供了一个向量方程,能否充分挖掘和利用这一隐含条件往往是解题的关键和难点。 2004年全国高考(四川云南吉林黑龙江) 理科数学第9题已知平面上直线l的方向向量e=点O（0，0）和A（1，2）在l上的射影分别是O和A，则e，其中=（ ）ABC2D2四、关于向量在立体几何解题中的作用利用法向量求解和传统方法相比具有明显的优势。1、 空间向量在许多问题的证明中有独到之处。比如证明直线和平面垂直的判定定理，传统方法是构造并多次利用平面几何中的三角形全等，技巧性大，思想方法灵活（多次转化），虽然解题方法典型但许多同学难以理解和熟练掌握，更不便于表述，再比如，证明同垂直与一个平面的两条直线平行，理解很简单，真正书写时不少同学无从下手，但使用空间向量简单明了，易于掌握。【例】（2003年高考全国卷）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB=90，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G.（1）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求点A1到平面AED的距离【思路分析】本题涉及的垂直、度量、中点、重心等条件比较丰富，适合利用向量方法解题。当然用综合几何的方法也可以解决，这时关键要充分利用中点、重心的条件，添加适当的辅助线，并注意在直角三角形中射影定理的运用。【方法过程】法一:(1)解:连结BG，则BG是BE在面ABD上的射影，即A1BG是A1B与平面ABD所成的角.如图所示建立坐标系，坐标原点为O，设CA=2a，则A(2a,0,0),B(0,2a,0),D(0,0,1)（2）由（1）有A（2，0，0），A1（2，0，2），E（1，1，1），D（0，0，1），设平面的法向量为则，解得取，得点A1到平面AED的距离法二：（1）解：连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即EBG是A1B与平面ABD所成的角.设F为AB中点，连结EF、FC，（2）连结A1D，有, 设A1到平面AED的距离为h，则【点拨指导】本题考查的知识点多、数学内涵丰富，问题所给的信息和图形位置关系比较复杂；对立体几何的综合解题能力有较高的要求，两种解法视角不同、各显风采， 比较而言，解法一、目标明确，以算取胜，解法二、构思巧妙，以智夺标。要仔细比较两种解法的差异，体会其中的实质。【例17】（2004年春季高考上海卷）如图，点为斜三棱柱的侧棱上一点2、 空间法向量在求解距离和角度方面比传统方法更简单。求解空间角与距离，传统方法要需要“作证算”但对于不容易作出的角与距离，空间向量则简单易行。比较吻合重在能力，重在内在，重在空间相象能力的考查，适当淡化形式的教改方向。【例19】（2005年上海高考题（理）在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形,平面VAD底面ABCD（）证明AB平面VAD（）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小【证明】（）作AD的中点O，则VO底面ABCD建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为1，则A（，0，0），B（，1，0），C（-，1，0），D（-，0，0），V（0，0，），由，又ABAV=A,AB平面VAD（）由（）得是面VAD的法向量，设是面VDB的法向量，则,，又由题意知，面VAD与面VDB所成的二面角，所以其大小为.【点拨指导】利用向量方法求解立体几何问题要注意一下几点：重视直角坐标系的选择；点坐标要正确表示和计算；对于法向量的计算要选好自由量（本题法向量的选择是一种比较灵活的设法）；求二面角时要根据图形和计算结果判断二面角的平面角是锐角还是钝角。3、 传统思路和方法不可轻易丢弃，要注重基础知识和基本技能。凡事都要讲求一个度的问题，“一着鲜吃遍天下”的现象应该避免，空间向量虽然具有上述优势，但并非完美无暇，也不是包医百病的灵丹妙药，上面提及的公式时教科书上没有明确提出的结论，因此教学中对它的使用要讲究一个度，同时过多地趋于这种简单的代数化的倾向也或多或少削弱了立体几何对空间想像能力培养这一立体几何教学的中心任务，因此教学中要适度把握，适量应用。 近年来的立体几何的命题趋势在今后的教学中要高度重视，空间向量的引入，使立体几何习题的解法得以拓展和丰富，但使用空间向量解题也不是要题题皆向量，无向量不成题；对于传统的解题方法不仅不应该全盘否定，反而更应该很好地进行扬弃，两者相得益彰可以更好地促进立体几何的学习。4、 空间向量中几个可供参考的公式空间距离点面距离 设向量是平面的的法向量，AB是平面的一条斜线，平面，则点B到平面的距离为；线线距离 设向量是两条异面直线的公垂线的方向向量，若A,B分别是上的任意一点，则之间的距离为；线面距离 线面距离的求法与线线距离的求法相同；（2）空间角线线成角 异面直线所成角转化为两条直线所在向量的夹角；线面成角 直线AB与平面所成角为,其中是平面的法向量；面面成角 二面角的大小为或其中是两个半平面的法向量。特别是对于求不容易作出的空间距离（线线距离，点面距离等）、空间角（如线线成角、无棱二面角等），五、 高考中向量题的几个特点1、以数学知识为载体，考查一般能力一般能力是指顺利完成各种活动所必须的基本心理能力，高考对数学一般能力的考查主要有符号学习能力、概念学习能力和规则学习能力符号学习能力是指知道和记亿符号表示名称的能力；概念学习能力是指掌握事物的共同本质属性，并能辨别本质属性和非本质属性的能力；规则学习能力是指揭示几个概念之间的关系，掌握规则并能运用的能力2005年高考数学试题是定义一些新的概念、符号或运算规则等来考查学生的一般能力【例】（05全国卷III）已知向量，且A、B、C三点共线，则k=【例】（05北京卷）若，且，则向量与的夹角为(C ) （A）30 （B）60 （C）120 （D）1502、以思想方法为桥梁，注重能力的形成高中数学课程标准(实验)指出“数学教学应注 重提高学生的数学思维能力”，在教学中要注重学生形成知识和技能的过程，在建构知识网络中培养能力因为这个“过程”是创造性的思维元学生在解决问题的过程中，建构解决问题的方法和拄能高考试卷通过考查最基本的思想方法和解题策略，从而使考生在问题解决的过程中形成能力【例】（05全国I）点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是的（B）（A）三个内角的角平分线的交点（B）三条边的垂直平分线的交点（C）三条中线的交点（D）三条高的交点【例】.(05湖南)P是ABC所在平面上一点，若，则P是ABC的（D）A外心B内心C重心D垂心3、以思维为核心，考查数学能力层次要培养学生的思维能力应当探讨思维能力的层次，探讨学生能达到的思维广度和深度般来说，知识和方法水平层次越高，即知识的抽象度和所用方法的熟悉程度越高，学生的思维层次越高高考对思维能力层次的考查上要有两个方面：一题多解，不同的切入 点体现不同的思维层次；一题多问，不同的设问体现不同的思维程度。【例】（2002年天津高考题）平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1)，B(1,3)，若点C满足=，其中、R，=1，则点C的轨迹方程为（ ）.A.3x2y11=0 B.(x1)2(y2)2=5 C.2xy=0 D. x2y5=0【例】（2005年高考浙江卷(理）已知向量，|=1满足：对任意tR，恒有|t|，则（ ）A. t B. () C. () D.( )()4、以数学素养为目标，发展理性思维能力数学是一门思维的科学，思维能力是数学能力的核心，是人们进行思维活动的基础，是一个人基本累养的标志高考把思维能力的号查放在重要位置，上升到理性思维的高度。【例】（2005年高考江苏卷）在ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2，则()的最小值是 .【思路分析】利用向量的加法的三角形法则和数量积，以及均值不等式。【过程方法】由题易得 ()=2=2|cos=2|.又|=2，|()2=1（当且仅当|=|时取等号）.()=2|=|2，即O为AM中点时，()取最小值为2. 应填2。【例】（2002天津文22，理21）已知两点M（1，0），N（1，0），且点P使成公差小于零的等差数列.（1）点P的轨迹是什么曲线？（2）若点P坐标为（x0，y0），为与的夹角，求tan.5、以“双基”为立足点，着重创新能力“双基”教学是中国的教学特色，对“双基”的考查一直是高考命题的重点“设有基础的创新是空想，没有创新的双基是傻练”近几年的高号试题一直在寻求“双基”与创新之间的 个平衡2005年高考试卷中有许多新颖别致的试题，这些试髓的编制，是以“双基为立足点，进行横向类比、纵向加深或陈题开放这些题目背景新颖、运算量不大、但思维容量较大，靠“题诲战术”和大量重复操练是无法达到的，能很好地考查学生的创新意识和创新能力，【例29】（2005年上海高考题（理） 在直角坐标平面中,已知点P1(1,2),P2(2,22),Pn(n,2n),其中n是正整数.对平面上任一点A0,记A1为A0关于点P1的对称点, A2为A1关于点P2的对称点, , AN为AN-1关于点PN的对称点. (1)求向量的坐标; (2)当点A0在曲线C上移动时, 点A2的轨迹是函数y=f(x)的图象,其中f(x)是以3为周期的函数,且当x(0,3时,f(x)=lgx.求以曲线C为图象的函数在(1,4上的解析式; (3)对任意偶数n,用n表示向量的坐标.【思路分析】（1）利用对称点的关系求出；（2）利用平移得到，由此根据周期性进行适当的变形求函数在(1,4上的解析式;(3) 从 =入手转化为等比数列求和问题。【过程方法】(1)设点A0(x,y), A0为P1关于点的对称点A0的坐标为(2-x,4-y), A1为P2关于点的对称点A2的坐标为(2+x,4+y), =（2,4）. (2)法一： =（2,4）,f(x)的图象由曲线C向右平移2个单位,再向上平移4个单位得到.因此, 曲线C是函数y=g(x)的图象,其中g(x)是以3为周期的周期函数,且当x(-2,1时,g(x)=lg(x+2)-4.于是,当x(1,4时,g(x)=lg(x-1)-4.法二：设点A0(x,y), A2(x2,y2),于是x2-x=2,y2-y=4,若3 x26,则0 x2-33,于是f(x2)=f(x2-3)=lg(x2-3).当1 x4时, 则3 x26,y+4=lg(x-1).当x(1,4时,g(x)=lg(x-1)-4.(3) =,由,得 =2()=2(1,2+1,23+1,2n-1)=2,=n,。【例】（2000年上海高考题）根据指令，机器人在平面上