广东省汕头市2016年高考数学二模试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 23 页） 2016 年广东省汕头市高考数学二模试卷（理科） 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1已知函数 y=f（ 定义域为 1， 2，那么函数 y=f（ x）的定义域为（ ） A 2， 4 B 1， 2 C 0， 1 D（ 0， 1 2在等差数列 ，已知 a4+6，则该数列前 11 项和 ） A 58 B 88 C 143 D 176 3若 m 为实数且（ 2+ m 2i） = 4 3i，则 m=（ ） A 1 B 0 C 1 D 2 4在三角形 ，已知 ， ， 上的中线，点 E 是 一个三等分点（靠近点 A），则 =（ ） A 12 B 6 C 24 D 4 5给出下列 4 个命题，其中正确的个数是（ ） 若 “命题 pq 为真 ”，则 “命题 p q 为真 ”； 命题 “x 0， x 0”的否定是 “x 0， x ”； “0”是 “0”的充要条件； 计算： 9192除以 100 的余数是 1 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 6如图，该程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著九章算术中的 “更相减损术 ”，执行该程序框图，若输出的 a=3，则输入的 a， b 分别可能为（ ） A 15、 18 B 14、 18 C 13、 18 D 12、 18 7一条光线从点（ 2， 3）射出，经 y 轴反射后与圆（ x+3） 2+（ y 2） 2=1 相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A 或 B 或 C 或 D 或 8从 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9 这 9 个数字中任取两个，其中一个作为底数，另一个 作为真数，则可以得到不同对数值的个数为（ ） A 64 B 56 C 53 D 51 9已知正三棱锥 S 六条棱长都为 ，则它的外接球的体积为（ ） 第 2 页（共 23 页） A B C D 10已知函数 f（ x） =x+）（ A 0， 0， 0 ）为奇函数，该函数的部分图象如图所示， 边长为 2 的等边三角形，则 f（ 1）的值为（ ） A B C D 11设 任意等比数列，它的前 n 项和，前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X， Y， Z， 则下列等式中恒成立的是（ ） A X+Z=2Y B Y（ Y X） =Z（ Z X） C Z D Y（ Y X） =X（ Z X） 12已知定义在 R 上的函数满足条件 f（ x+ ） = f（ x），且函数 y=f（ x ）为奇函数，则下面给出的命题，错误的是（ ） A函数 y=f（ x）是周期函数，且周期 T=3 B函数 y=f（ x）在 R 上有可能是单调函数 C函数 y=f（ x）的图象关于点 对称 D函数 y=f（ x）是 R 上的偶函数 二、填空题：（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 13若 x， y 满足约束条件 ，则 的最小值为 14已知等比数列 满足 ， ，函数 y=f（ x）的导函数为 y=f（ x），且 f（ x）=x（ x x （ x 那么 f（ 0） = 15二项式（ 4x 2 x） 6（ xR）展开式中的常数项是 16已知函数 f（ x） = 1 的定义域是 a， b（ a， b 为整数），值域是 0， 1，请在后面的下划线上写出所有满足条件的整数数对（ a， b） 三、解答题：（本大题 8个小题，共 70分，解答须写出文字说明、证明过程、演算步骤） 17如图，在四边形 ， A= ， = 1， （ 1）求证： （ 2）求四边形 面积； （ 3）求 值 第 3 页（共 23 页） 18如图，已知直四棱柱 ， 0， 0 （ 1）求直线 平面 成的角正弦值； （ 2）若异面直线 C 所成的角的余弦值为 ，求二面角 B A 的正切值 19一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取 5 件作检验，这 5 件产品中优质品的件数记为 n如果 n=3，再从这批产品中任取 2 件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果 n=4，再从这批产品中任取 1 件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；如果 n=5，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验假设这批产品的优质品率为 50%，即取出的产品是优质品的概率都为 ，且各件产品是否为优质品相互独立 （ 1）求这批产品通过检验的概率； （ 2）已知每件产品检验费用为 200 元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为 x（单位：元），求 x 的分布列 20如图，曲线 由曲线 和曲线 成，其中点 曲线 曲线 在圆锥曲线的焦点， （ 1）若 2， 0）， 6， 0），求曲线 的方程； （ 2）如图，作直线 l 平行于曲线 曲线 、 B，求证：弦 中点M 必在曲线 第 4 页（共 23 页） （ 3）对于（ 1）中的曲线 ，若直线 4 交曲线 点 C、 D，求 21设函数 f（ x） =x+1） +a（ x），其中 aR， （ ）讨论函数 f（ x）极值点的个数，并说明理由； （ ）若 x 0， f（ x） 0 成立，求 a 的取值范围 四 2、 23、 24题中 任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分，答题时请写清题号 选修 4何证明选讲 22选修 4 1：几何证明选讲 如图， O 和 O相交于 A， B 两点，过 A 作两圆的切线分别交两圆于 C， D 两点，连接延长交 O 于点 E证明： （ ） D=B； （ ） E 选修 4标系与参数方程 23在平面直角坐标系 ，已知圆 x2+，圆 x 2） 2+ （ ）在以 O 为极点， x 轴正半轴为 极轴的极坐标系中，分别求圆 圆 极坐标方程及两圆交点的极坐标； （ ）求圆 2 的公共弦的参数方程 选修 4等式选讲 24已知 a 0， b 0， c 0，函数 f（ x） =|x+a|+|x b|+c 的最小值为 4 （ 1）求 a+b+c 的值； （ 2）求 b2+最小值 第 5 页（共 23 页） 2016 年广东省汕头市高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：（本大题 共 12 小题，每小题 5分，共 60 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1已知函数 y=f（ 定义域为 1， 2，那么函数 y=f（ x）的定义域为（ ） A 2， 4 B 1， 2 C 0， 1 D（ 0， 1 【考点】 函数的定义域及其求法 【分析】 函数 y=f（ 定义域为 1， 2，即 x1， 2，求得 范围即可得到函数 y=f（ x）的定义域 【解答】 解： 函数 y=f（ 定义域为 1， 2，即 1x2，可得 0， 即 函数 y=f（ x）的定义域为 0， 1 故选： C 2在等差数列 ，已知 a4+6，则该数列前 11 项和 ） A 58 B 88 C 143 D 176 【考点】 等差数列的性质；等差数列的前 n 项和 【分析】 根据等差数列的定义和性质得 a1+a4+6，再由 运算求得结果 【解答】 解： 在等差数列 ，已知 a4+6， a1+a4+6， =88， 故选 B 3若 m 为实数且（ 2+ m 2i） = 4 3i，则 m=（ ） A 1 B 0 C 1 D 2 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的运算法则、复数相等即可得出 【解答】 解： （ 2+ m 2i） = 4 3i， 4m+（ 4） i= 4 3i， ，解得 m= 1 故选： A 4在三角形 ，已知 ， ， 上的中线，点 E 是 一个 三等分点（靠近点 A），则 =（ ） A 12 B 6 C 24 D 4 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 用 表示出 ，再利用数量积的运算性质计算 第 6 页（共 23 页） 【解答】 解： 上的中线，点 E 是 一个三等分点（靠近点 A）， = ， = ， ， = = （ ） = =4 故选： D 5给出下列 4 个命题，其中正确的个数是（ ） 若 “命题 pq 为真 ”，则 “命题 p q 为真 ”； 命题 “x 0， x 0”的否定是 “x 0， x ”； “0”是 “0”的充要条件； 计算： 9192除以 100 的余数是 1 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 利用复合命题的真假判断 的正误；命题的否定判断 的正误；充要条件判断 的正误二项式定理判断 的正误 【解答】 解： 若 “命题 pq 为真 ”，则 p， q 都为真命题，所以 “命题 p q 为真 ”，故正确； 命题 “x 0， x 0”的否定是 “x 0， x ”，满足命题的否定形式，正确； “0”可得 x（ ）， kZ； “0“可得 2x（ 22），即 x（ k，）， kZ；所以 “0”是 “0“的充要条件正确； 由于 9192=92=0092（ 9） 0+001（ 9） 91+000（ 9） 92， 在此展开式中，除了最后一项外，其余的项都能被 100 整除，故 9192除以 100 的余数等价于 000（ 9） 92=992 除以 100 的余数，而 992=（ 10 1） 92=092（ 1）0+01（ 1） 91+00（ 9） 92，故 992 除以 100 的余数等价于 01（ 1） 91+00（ 9） 92 除以 100 的余数，而 01（ 1） 91+00（ 9）92= 919= 10100+81，故 9192 除以 100 的余数是 81不正确 故选： C 6如图，该程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著九章算术中的 “更相减损术 ”，执行该程序框图，若输出的 a=3，则输入的 a， b 分别可能为（ ） 第 7 页（共 23 页） A 15、 18 B 14、 18 C 13、 18 D 12、 18 【考点】 程序框图 【分析】 由程序框图的输出功能，结合选项中的数据，即可得出输入前 a， b 的值 【解 答】 解：根据题意，执行程序后输出的 a=3， 则执行该程序框图前，输人 a、 b 的最大公约数是 3， 分析选项中的四组数，满足条件的是选项 A 故选： A 7一条光线从点（ 2， 3）射出，经 y 轴反射后与圆（ x+3） 2+（ y 2） 2=1 相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A 或 B 或 C 或 D 或 【考点】 圆的切线方程；直线的斜率 【分析】 点 A（ 2， 3）关于 y 轴的对称点为 A（ 2， 3），可设反射光线所在直线的方程为： y+3=k（ x 2），利用直线与圆相切的性质即可得出 【解答】 解：点 A（ 2， 3）关于 y 轴的对称点为 A（ 2， 3）， 故可设反射光线所在直线的方程为： y+3=k（ x 2），化为 y 2k 3=0 反射光线与圆（ x+3） 2+（ y 2） 2=1 相切， 圆心（ 3， 2）到直线的距离 d= =1， 化为 240k+24=0， k= 或 故选： D 8从 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9 这 9 个数字中任取两个，其中一个作为底数，另一个作为真数，则可以 得到不同对数值的个数为（ ） A 64 B 56 C 53 D 51 【考点】 计数原理的应用 【分析】 对数真数为 1 和不为 1，对数底数不为 1，分别求出对数值的个数 【解答】 解：由于 1 只能作为真数，从其余各数中任取一数为底数，对数值均为 0 从 1 除外的其余各数中任取两数分别作为对数的底数和真数，共能组成 87=56 个对数式， 复了 4 次，要减去 4 共有 1+56 4=53 个 故选： C 9已知正三棱锥 S 六条棱长都为 ，则它的外接球的体积为（ ） A B C D 【考点】 球的体积和表面积；球内接多面体 第 8 页（共 23 页） 【分析】 由正三棱锥 S 所有棱长均为 ，所以此三棱锥一定 可以放在棱长为的正方体中，所以此四面体的外接球即为此正方体的外接球，由此能求出此四面体的外接球的半径，再代入球的体积公式计算即可 【解答】 解： 正三棱锥 S 所有棱长都为 ， 此三棱锥一定可以放在正方体中， 我们可以在正方体中寻找此三棱锥 正方体的棱长为 = ， 此四面体的外 接球即为此正方体的外接球， 外接球的直径为正方体的对角线长， 外接球的半径为 R= =2， 球的体积为 V= ， 故选： A 10已知函数 f（ x） =x+）（ A 0， 0， 0 ）为奇函数，该函数 的部分图象如图所示， 边长为 2 的等边三角形，则 f（ 1）的值为（ ） A B C D 【考点】 余弦函数的奇偶性；余弦函数的图象 【分析】 由 f（ x） =x+）为奇函数，利用奇函数的性质可得 f（ 0） = 结合已知 0 ，可求 = ，再由 边长为 2 的等边三角形，可得 =A，结合图象可得，函数的周期 T=4，根据周期公式可得 ，从而可得 f（ x），代入可求 f（ 1） 【解答】 解： f（ x） =x+）为奇函数 f（ 0） = 0 = f（ x） =x ） = 边长为 2 的等边三角形，则 =A 第 9 页（共 23 页） 又 函数的周期 T=2，根据周期公式可得， = f（ x） = x= 则 f（ 1） = 故选 D 11设 任意 等比数列，它的前 n 项和，前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X， Y， Z，则下列等式中恒成立的是（ ） A X+Z=2Y B Y（ Y X） =Z（ Z X） C Z D Y（ Y X） =X（ Z X） 【考点】 等比数列 【分析】 取一个具体的等比数列验证即可 【解答】 解：取等比数列 1， 2， 4，令 n=1 得 X=1， Y=3， Z=7 代入验算，只有选项 D 满足 故选 D 12已知定义在 R 上的函数满足条件 f（ x+ ） = f（ x），且函数 y=f（ x ）为奇函数，则下面给出的命题，错误的是（ ） A函数 y=f（ x）是周期函数，且周期 T=3 B函数 y=f（ x）在 R 上有可能是单调函数 C函数 y=f（ x）的图象关于点 对称 D函数 y=f（ x）是 R 上的偶函数 【考点】 函数的周期性 【分析】 题目中条件： f（ x+ ） = f（ x）可得 f（ x+3） =f（ x）知其周期，利用奇函数图象的对称性，及函数图象的平移变换，可得 函数的对称中心，结合这些条件可探讨函数的奇偶性，及单调性 【解答】 解：对于 A： f（ x+3） = f（ x+ ） =f（ x） 函数 f（ x）是周期函数且其周期为3， A 对； 对于 B：由 D 得： 偶函数的图象关于 y 轴对称， f（ x）在 R 上不是单调函数， B 不对 对于 C： y=f（ x ）是奇函数 其图象关于原点对称， 又 函数 f（ x）的图象是由 y=f（ x ） 向左平移 个单位长度得到， 函数 f（ x）的图象关于点（ ， 0）对称，故 C 对； 对于 D：由 C 知，对于任意的 xR，都有 f（ x） = f（ +x），用 +x 换 x，可得：f（ x） +f（ x） =0， f（ x） = f（ x） =f（ x+ ）对于任意的 xR 都成立， 第 10 页（共 23 页） 令 t= +x，则 f（ t） =f（ t）， 函数 f（ x）是偶函数， D 对 故选： B 二、填空题：（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 13若 x， y 满足约束条件 ，则 的最小值为 2 【考点】 简单线性规划 【分析】 由约束条件作出可行域， 的几何意义是（ x， y）与（ 3， 0）连线的斜率，数形结合得到 的最小值 【解答】 解：由约束条件 作出可行域如图， 的几何意义是（ x， y）与（ 3， 0）连线的斜率 联立 ，解得 B（ 1， 1）， 联立 ，解得 C（ 2， 2） 的最小值为 = 2 故答案为： 2 第 11 页（共 23 页） 14已知等比数列 满足 ， ，函数 y=f（ x）的导函数为 y=f（ x），且 f（ x）=x（ x x （ x 那么 f（ 0） = 21008 【考点】 导数的运算 【分析】 由题意，设 g（ x） =（ x x （ x 利用导数的运算，得到 f（ x），得到所求为 g（ 0） 【解答】 解：由已知，设 g（ x） =（ x x （ x 则 f（ x） =x）， f（ x） =g（ x） + x）， 所以 f（ 0） =g（ 0） =（ （ = 等比数列 满足 ， ，得到 1008=21008； 故答案为： 21008 15二项式（ 4x 2 x） 6（ xR）展开式中的常数项是 15 【考点】 二项式定理的应用 【分析】 利用二项展开式的通项公式 = （ 4x） 6 r（ 1） r（ 2 x） r，令 2 的指数次幂为 0 即可求得答案 【解答】 解：设二项式（ 4x 2 x） 6（ xR）展开式的通项公式为 ， 则 = （ 4x） 6 r（ 1） r（ 2 x） r =（ 1） r 212x 3 x 不恒为 0，令 12x 3， 则 r=4 展开式中的常数项是（ 1） 4 = =15 故答案为： 15 16已知函数 f（ x） = 1 的定义域是 a， b（ a， b 为整数），值域是 0， 1，请在后面的下划线上写出所有满足条件的整数数对（ a， b） （ 2， 0），（ 2， 1），（ 2， 2），（ 1， 2），（ 0， 2） 【考点】 函数的定义域及其求法 【分析】 根据函数的值域先求出满足条件的条件 x，结合函数的定义域进行求解即可 【解答】 解：由 f（ x） = 1=0 得 =1，得 |x|+2=4，即 |x|=2，得 x=2 或 2， 由 f（ x） = 1=1 得 =2，得 |x|+2=2，即 |x|=0，得 x=0， 则定义域为可能为 2， 0， 2， 1， 2， 2， 1， 2， 0， 2， 则满足条件的整数数对（ a， b）为（ 2， 0），（ 2， 1），（ 2， 2），（ 1， 2），（ 0， 2）， 故答案为：（ 2， 0），（ 2， 1），（ 2， 2），（ 1， 2），（ 0， 2）， 第 12 页（共 23 页） 三、解答题：（本大题 8个小题，共 70分，解答须写出文字说明、证明过程、演算步骤） 17如图，在四边形 ， A= ， = 1， （ 1）求证： （ 2）求四边形 面积； （ 3）求 值 【考点】 平面向量数量积的运算；正弦定理；解三角形 【分析】 （ 1）根据题意可分别求得 用 = 1，利用向量的数量积的性质求得 值，进而求得 而利用余弦定理求得 长 求得 断 （ 2）在直角三角形中求得 值，利用同角三角函数的基本关系气的 后利用三角形面积公式求得三角形 面积，二者相加即可求得答案 （ 3）在 利用余弦定理求得 长，最后利用正弦定理求得 值 【解答】 解：（ 1） A= ， = 1， =| | |2， ， 由余弦定理 2+4 22 =3 ， 第 13 页（共 23 页） （ 2）由（ 1） ， + = 0， ）， S 11 = S 四边形 + （ 3） 在 ， 2+1 211 = ， = ， = 18如图，已知直四棱柱 ， 0， 0 （ 1）求直线 平面 成的角正弦值； （ 2）若异面直线 C 所成的角的余弦值为 ，求二面角 B A 的正切值 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面所成的角 【分析】 （ 1）根据直线和平面所成角的定义先作出线面角，根据三角形的边 角关系即可求直线 平面 成的角正弦值； 第 14 页（共 23 页） （ 2）根据异面直线 C 所成的角的余弦值为 ，先求出直四棱柱高的值，根据二面角平面角的定义作出二面角的平面角，根据三角形的边角关系即可求二面角 B 【解答】 解：（ 1） ， 0， 0 D=2， B=2 ， ， 即三角形 正三角形， 则 取 中点 P，则 平面 则 直线 平面 成的角， 则 0， 则 ， 即直线 平面 成的角正弦值是 ； （ 2） 直线 1成的角即是直线 成的角， 连接 设 m， 则 = ， = ， C=2 ， 则 = = ， 异面直线 C 所成的角的余弦值为 ， = ， 即 =4，则 12+6， 则 ， m=2， 取 中点 F，连接 ， 即 二面角 B A 的平面角， 则 = 第 15 页（共 23 页） 19一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取 5 件作检验，这 5 件产品中优质品的件数记为 n如果 n=3，再从这批产品中任取 2 件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果 n=4，再从这批产品中任取 1 件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；如果 n=5，则这批产品通过检验；其他情况 下，这批产品都不能通过检验假设这批产品的优质品率为 50%，即取出的产品是优质品的概率都为 ，且各件产品是否为优质品相互独立 （ 1）求这批产品通过检验的概率； （ 2）已知每件产品检验费用为 200 元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为 x（单位：元），求 x 的分布列 【考点】 离散型随机变量及其分布列；列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 （ 1）由题意知：第一次取 5 件产品中，恰好有 k 件优质品的概率为 P（ k） = ，由此能求出这批产品通过检验的概率 （ 2）由题意得 X 的可能取值为 1000， 1200， 1400，分别求出相应的概率，由此能求出 【解答】 解：（ 1）由题意知：第一次取 5 件产品中，恰好有 k 件优质品的概率为： P（ k） = ， k=0， 1， 2， 3， 4， 5， 这批产品通过检验的概率： p= = +5 +（ ） 5= （ 2）由题意得 X 的可能取值为 1000， 1200， 1400， P（ X=1000） =（ ） 5= ， P（ X=1200） = = ， P（ X=1400） = + + = ， 第 16 页（共 23 页） X 的分布列为： X 1000 1200 1400 P 20如图，曲线 由曲线 和曲线 成，其中点 曲线 曲线 在圆锥曲线的焦点， （ 1）若 2， 0）， 6， 0），求曲线 的方程； （ 2）如图，作直线 l 平行于曲线 曲线 、 B，求证：弦 中点M 必在曲线 （ 3）对于（ 1）中的曲线 ，若直线 4 交曲线 点 C、 D，求 大值 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题 【分析】 （ 1）由 2， 0）， 6， 0），可得 ，解出即可； （ 2）曲线 渐近线为 ，如图，设点 A（ B（ M（ 设直线 l： y= ，与椭圆方程联立化为 22 =0， 利用 0，根与系数的关系、中点坐标公式，只要证明 ，即可 （ 3）由（ 1）知，曲线 ，点 6， 0）设直线 x=（ n 0）与椭圆方程联立可得（ 5+484=0，利用根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质即可得出 【解答】 （ 1）解： 2， 0）， 6， 0）， ， 第 17 页（共 23 页） 解得 ， 则曲线 的方程为 和 （ 2）证明：曲线 如图，设直线 l： y= ， 则 ，化为 22 =0， =48（ 0， 解得 又由数形结合知 设点 A（ B（ M（ 则 x1+x2=m， ， = ， ，即点 M 在直线 y= 上 （ 3）由（ 1）知，曲线 ，点 6， 0） 设直线 x=（ n 0） ，化为（ 5+484=0， =（ 48n） 2 464（ 5+4 0，化为 1 设 C（ D（ ， | = ， = = = ， 第 18 页（共 23 页） 令 t= 0， n2=， = = = ，当且仅当 t= ，即 n= 时等号成立 n= 时， = 21设函数 f（ x） =x+1） +a（ x），其中 aR， （ ）讨论函数 f（ x）极值点的个数，并说明理由； （ ）若 x 0， f（ x） 0 成立，求 a 的取值范围 【考点】 利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题 【分析】 （ I）函数 f（ x） =x+1） +a（ x），其中 aR， x（ 1， +）= 令 g（ x） =2a+1对 a 与 分类讨论可得：（ 1）当 a=0 时，此时 f（ x） 0，即可得出函数的单调性与极值的情况 （ 2）当 a 0 时， =a（ 9a 8） 当 时， 0， 当 a 时， 0，即可得出函数的单调性与极值的情况 （ 3）当 a 0 时， 0即可得出函数的单调性与极值的情况 （ （ I）可知：（ 1）当 0a 时，可得函数 f（ x）在（ 0， +）上单调性，即可判断出 （ 2）当 a1 时，由 g（ 0） 0，可得 ，函数 f（ x）在（ 0， +）上单调性，即可判断出 （ 3）当 1 a 时，由 g（ 0） 0，可得 0，利用 x（ 0， 函数 f（ x）单调性，即可判断出； （ 4）当 a 0 时，设 h（ x） =x x+1）， x（ 0， +），研究其单调性，即可判断出 【解答】 解：（ I）函数 f（ x） =x+1） +a（ x），其中 aR， x（ 1， +） = 令 g（ x） =2a+1 （ 1）当 a=0 时， g（ x） =1，此时 f（ x） 0，函数 f（ x）在（ 1， +）上单调递增，无极值点 （ 2）当 a 0 时， =8a（ 1 a） =a（ 9a 8） 当 时， 0， g（ x） 0， f（ x） 0，函数 f（ x）在（ 1， +）上单调递增，无极值点 当 a 时， 0，设方程 2a+1=0 的两个实数根分别为 第 19 页（共 23 页） x1+， ， 由 g（ 1） 0，可得 1 当 x（ 1， ， g（ x） 0， f（ x） 0，函数 f（ x）单调递增； 当 x（ ， g（ x） 0， f（ x） 0，函数 f（ x）单调递减； 当 x（ +）时， g（ x） 0， f（ x） 0，函数 f（ x）单调递增 因此函数 f（ x）有两个极值点 （ 3）当 a 0 时， 0由 g（ 1） =1 0，可得 1 当 x（ 1， ， g（ x） 0， f（ x） 0，函数 f（ x）单调递增； 当 x（ +）时， g（ x） 0， f（ x） 0，函数 f（ x）单调递减 因此函数 f（ x）有一个极值点 综上所述：当 a 0 时，函数 f（ x）有一个极值点； 当 0a 时，函数 f（ x）无极值点； 当 a 时，函数 f（ x）有两个极值点 （ （ I）可知： （ 1）当 0a 时，函数 f（ x）在（ 0， +）上单调递增 f（ 0） =0， x（ 0， +）时， f（ x） 0，符合题意 （ 2）当 a1 时，由 g（ 0） 0，可得 ，函数 f（ x）在（ 0， +）上单调递增 又 f（ 0） =0， x（ 0， +）时， f（ x） 0，符合题意 （ 3）当 1 a 时，由 g（ 0） 0，可得 0， x（ 0， ，函数 f（ x）单调递减 又 f（ 0） =0， x（ 0， ， f（ x） 0，不符合题意，舍去； （ 4）当 a 0 时，设 h（ x） =x x+1）， x（ 0， +）， h（ x） = 0 h（ x）在（ 0， +）上单调递增 因此 x（ 0， +）时， h（ x） h（ 0） =0，即 x+1） x， 可得： f（ x） x+a（ x） = 1 a） x， 当 x 时， 1 a） x 0