北京市朝阳区2015-2016年高二上期末数学试题(理)含答案解析

1 / 20 北京市朝阳区 2015年高二上学期期末考试数学 一、选择题：共 10题 1 圆 被直线 截得的弦长为 A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系、圆的性质 心坐标为 (2,0),半径 r=2,则圆心到直线 x=1的距离为 d=1，由垂径定理可知，弦长为 2 抛物线 上与其焦点距离等于 的点的横坐标是 A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】本题主要考查抛物线的定义 x，由抛物线的定义可知， x+ =3，则 x= 3 已知 ,则 是 的 2 / 20 【答案】 A 【解析】本题主要考查充分条件与必要条件 所以 ,因此，且 ，故 是 的充分而不必要条件 . 4 已知两条不同的直线 ,三个不同的平面 ,下列说法正确的是 【答案】 D 【解析】本题主要考查线面、面面平行与垂直的判定与性质，考查空间想象能力 所以平面 内存在一条直线 c与 为 所以 b与 位置关系不确定，故 行于同一条直线的两个平面不一定平行，故 为 所以或 ，故 此， 5 在圆 上任取一点 ,过点 作 轴的垂线段 为垂足 ,当点 在圆上运动时 ,线段的中点 的轨迹方程是 A. B. C. D. 【答案】 C 3 / 20 【解析】本题主要考查点的轨迹方程、圆的方程 (s,t),M(x,y),D(s,0),由题意可知， s=x， t=2y，且 ，消去 s、 t，化简可得点 6 如图 ,平行六面体 中 , 与 的交点为 ,设 ,则下列向量中与 相等的向量是 A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】本题主要考查空间向量的应用 4 / 20 7 若由方程 和 所组成的方程组至多有两组不同的实数解 ,则实数 的取值范围是 A. 或 B. 或 C. D. 【答案】 B 【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系 . 方程 表示两条直线，联立两个方程，消去 x，化简可得 2,由题意可知，判别式 =4,所以 或 8 设 是坐标原点 ,若直线 与圆 交于不同的两点 ,且,则实数 的最大值是 A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】本题主要考查圆的性质、平面向量的平行四边形法则、菱形的性质、点到直线的距离公式 邻边作菱形，由 分别表示菱形两条对角线所表示的向量，因为,所以 的夹角为直角或钝角，所以圆心到直线 由点到直线的距离公式可得 ,所以 ，则实数 的最大值是 2 9 如图 ,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某三棱锥的三视图 ,则该三棱锥的体积为 5 / 20 A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】本题主要考查空间几何体的三视图、表面积与体积，考查了空间想象能力 三棱锥的底面面积为 ，高为 4，所以，该三棱角的体积 V= 10 已知动圆 位于抛物线 的内部 ( ),且过该抛物线的顶点 ,则动圆 的周长的最大值是 A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】本题主要考查抛物线的简单几何性质、圆的方程与性质 =b2(b0),与联立消去 4y=0,由题意可知，要使动圆 的周长最大，则圆的半径也最大，且圆与抛物线相切，则判别式 =0，故 b=2，所以动圆 的周长的最大值是 6 / 20 二、填空题：共 6题 11 写出命题 :“任意两个等腰直角三角形都是相似的 ”的否定 :_;判断 是_命题 . (后一 空中填 “真 ”或 “假 ”) 【答案】存在两个等腰直角三角形 ,它们不相似 ; 假 【解析】本题主要拿考查全称命题与特称命题的否定、命题真假的判断 题 : 存在两个等腰直角三角形 ,它们不相似 ;显然命题 是假命题 . 12 已知 ,则 的外接圆的方程是 . 【答案】 【解析】本题主要考查圆的标准方程与圆的性质 段 直平分线的交点即为圆心，所以圆心坐标为 (3,4),则半径 r=5,所以，所求圆的标准方程为13 中心在原点 ,焦点在 轴上 ,虚轴长为 并且离心率为 的双曲线的渐近线方程为 _. 【答案】 7 / 20 【解析】本题主要考查双曲线的简单几何性质 由题意可知， b= ，又因为 e=3，所以 c=3a， 易求得 a=1，所 以双曲线方程为 ，则渐近线方程为14 过椭圆 C: 的右焦点 的直线与椭圆 , ,则点 与左焦点的距离 =_. 【答案】 【解析】本题主要考查椭圆的简单几何性质、平面向量的共线定理 为 ,所以 x=1代入椭圆方程求得 |y|= ,即 | ,又因为 ,所以 = 15 下图为四棱锥 的表面展开图 ,四边形 为矩形 , 底面上的射影为点 ,四棱锥的高为 ,则在四棱锥 中 , 与平面 所成角的正切值为_. 8 / 20 P 4 ( P )P 3 ( P )P 2 ( P )P 1 ( P )C【答案】 【解析】本题主要考查直线与平面所成的角、线面垂直，考查了空间想象能力 四棱锥 中， 以 因为，所以 ，又 ， 所以 与平面 所成角的正切值 为 16 如图 ,正方体 的棱长为 1,点 ,的动点 (, 重合 )有四个命题 : 平面 /平面 ; 平面 平面 ; 三棱锥 的体积有最大值 . 9 / 20 其中真命题的序号是 _. D 1B 1A 1案】 【解析】本题主要考查线面与面面平行与垂直的判定与性质、空间几何体的体积空间向量的应用，考查了空间想象能力 接 证 然 平面 此 错误 ;根据线面与面面平行的判定定理易证平面易知 /平面 ，故 正确 ;利用线面与面面垂直的判定定理易证则易得平面 平面 ，故 正确 ;因为 为三角形 与 B、 以点 此， 错误 . 三、解答题：共 3题 10 / 20 17 如图 ,长方体 中 , 为 的中点 ,点 分别为棱的中点 C 1A 1( )求证 :平面 /平面 ; ( )求证 :平面 平面 . 【答案】 ( )在长方体 中 ,点 和点 分别为所在棱的中点 , 所以 且 ,从而四边形 为平行四边形 . 所以 . 又因为 平面 C 平面 所以 平面 又点 中点 , 所以 中位线 ,所以 . 由于 平面 N 平面 所以 平面 11 / 20 又因为 平面 平面 , 所以平面 平面 ( )在长方体 中 , 平面 平面 所以 . 在矩形 则 , 从而 ,即 . 因为 平面 , 所以 平面 . 又 面 ,所以平面 平面 , 【解析】本题主要考查线面与面面平行与垂直的判定定理与性质定理， 考查了空间想象能力 .(1)根据题意，先证明四边形 为平行四边形，即可证明 ，易得 平面 理可证明 平面 结果易证 ;(2)先证明 ， ，易得 平面 ，则结论即可证明 . 12 / 20 18 如图 ,四棱锥 的底面 为直角梯形 , / ,且,平面 底面为 的中点 , 为等边三角形 , 是棱 上的一点 ,设 与 不重合 ). ( )求证 : ; ( )若 /平面 ,求 的值 ; ( )若二面角 的平面角为 ,求 的值 . 【答案】 ( )因为 为等边三角形 , 为 的中点 ,所以 . 因为平面 平面 ,且平面 平面 平面 , 所以 平面 . 又 平面 ,所以 . 由已知得 , 13 / 20 所以 平面 . 且 平面 ,所以 . ( )连接 交 于 ,连接 . 因为 /平面 平面 , 平面 平面 , 所 以 . 因为 / , 所以 . 又 ,所以 . 所以 ,则 为 的中点 , . ( )方法一 : 依题意 ,若二面角 的大小为 ,则二面角 的大小为 . 14 / 20 连接 ,过点 作 交 于 ,过 作 于 ,连接 . 因为 平面 ,所以 平面 . 又 平面 ,所以 . 又 平面 平面 , 所以 平面 ,从而 . 则 为二面角 的平面角 ,即 . 在等边 中 , 所以 . 又 ,所以 . 在 中 , 解得 . 方法二 :由于 ,以 为原点 , 15 / 20 射线 分别为 正半轴 , 正半轴 , 正半轴建立空间直角坐标系 , 如图 . 根据条件 可知 : 平面 即 平面的一个法向量为 . 设 ,由条件 可知 : ) 即 ,解得 : 即 . 设平面 的一个法向量为 , 16 / 20 则 , ,令 ,则 . 即 . 因为二面角 的平面角为 , 所以 , 解得 . 因为 ,所以 . 【解析】本题主要考查线面、面面平行与垂直的判定定理与性质定理、二面角、空间向量的应用，考查了空间想象能力 .(1)根据题意证明 、 ，即可证明 平面 ，则结论易得 ;(2) 连接 交 于 ,连接 ，由 /平面 可得 ，根据题意证明，则易求 (3) 依题意 ,若二面角 的大小为 ,则二面角的大小为 ，连接 ,过点 作 交 于 ,过 作 于 ,连接 ，证 明，则 为二面角 的平面角 ,即 ，根据已知条件求解即可 ;法二：由于 ,以 为原点 ,射线 分别为 正半轴 , 正半轴 , 正半轴建立空间直角坐标系 , 平面 即 平面的一个法向量为 ，求出 平面 的一个法向量为 ，根据题意 ，化简求解即可 . 17 / 20 19 已知椭圆 ,过原点 作直线 交椭圆 于 两点 , 为椭圆上异于 的动点 ,连接 ,设直线 的斜率分别为 ),过 作直线 的平行线 ,分别交椭圆 于 和 . ( )若 分别为椭圆 的左、右顶点 ,是否存在点 ,使 ?说明理由 . ( )求 的值 ; ( )求 的值 . 【答案】 ( )不存在点 ,使 设 此时 ,则 . 若 ,则需使 ,即 . 又点 在椭圆 上所以 ,把 代入 (1)式中解得 , ,且 点矛盾 ,所以不存在 . ( )设 ,依题意直 线 过原点 ,则 . 由于 为椭圆上异于 的点 ,则直线 的斜率 ,直线 的斜率 椭圆 的方程化为 ,由于点 和点 都为椭圆 上的点 ,则 18 / 20 ,两式 相减得 ,因为点 和点 不重合 ,所以,即 . ( )方法一 : 由于 分别平行于直线 ,则直线 的斜率 ,直线 的斜率 . 设直线 的方程为 ,代入到椭圆方程中 ,得 ,解得 . 设 ,由直线 过原点 ,则 . 则 = . 由于 ,所以 ,即 . 直线 的方程为 ,代入到椭圆方程中 ,得 ,解得 . 同理可得 由 ( )问 ,且 ,则 . 即 化简得 . 19 / 20 即 . 方法二 : 设 ,由直线 都过原点 ,则 . 由于 分别平行于直线 ,则直线 的斜率 ,直线 的斜率 ,由 ( )问,可得 则 可能在 轴上 ,即 ,所以 ,过原点的直线 的方程为 ,代入椭圆 的方程中 ,得,化简得 . 由于点 在椭圆 上 ,所以 ,所以 ,不妨设 ,代入到直线中 ,得 则 . = = = . 又 ,所以 . 【解析】本题主要考查椭圆的几何性质、直线的斜率公式、两条直线的位置关系、两点间的距离公式、平面向量的数量 积，考查了计算能力 .(1) 设 ,(或 ),求出之间的关系，联立椭圆方程，求出 的值，即可判断结论 ;(2) 设 , 20 / 20 依题意直线 过原