北京市顺义区2015-2016年高二上期末数学试卷(理)含答案解析

第 1 页（共 16 页） 2015年北京市顺义区高二（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题：本大题供 8 小题，每小题 5 分，供 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1直线 的倾斜角是（ ） A B C D 2直 线 l 过点 P（ 2， 2），且与直线 x+2y 3=0 垂直，则直线 l 的方程为（ ） A 2x+y 2=0 B 2x y 6=0 C x 2y 6=0 D x 2y+5=0 3一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的侧面面积为 12，则该几何体的体积是（ ） A 4 B 12 C 16 D 48 4在空间中，下列命题正确的是（ ） A如果直线 m 平面 ，直线 n内，那么 m n B如果平面 内的两条直线都平行于平面 ，那么平面 平面 C如果平面 外的一条直线 m 垂直于平面 内的两条相交直线，那么 m D如果平面 平面 ，任取直线 m，那么必有 m 5如果直线 3ax+y 1=0 与直线（ 1 2a） x+=0 平行那么 a 等于（ ） A 1 B C 3 D 1 或 6方程 ax+（ a 0）表示的圆（ ） A关于 x 轴对称 B关于 y 轴对称 C关于直线 y=x 轴对称 D关于直线 y= x 轴对称 7如图，正方体 ，点 E， F 分别是 中点，则 ） A 0 B 45 C 60 D 90 8如果过点 M（ 2， 0）的直线 l 与椭圆 有公共点，那么直线 l 的斜率 k 的取值范围是（ ） A B C D 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 . 第 2 页（共 16 页） 9已知双曲线的标准方程为 ，则该双曲线的焦点坐标为， 渐近线方程为 10已知向量 ， 且 ，则 y= 11已知点 A（ m， 2， n），点 B（ 5， 6， 24）和向量 且 则点 A 的坐标为 12直线 2x+3y+6=0 与坐标轴所围成的三角形的面积为 13抛物线 8x 上到焦点距离等于 6 的点的坐标是 14已知点 A（ 2， 0），点 B（ 0， 3），点 C 在圆 x2+ 上，当 面积最小时，点 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 . 15如图，在三棱锥 A ， 平面 E， F， G 分别是 C 的中点求证： （ I） 平面 （ 面 平面 16已知斜率为 2 的直线 l 被圆 x2+4y+24=0 所截得的弦长为 ，求直线 l 的方程 17如图，在四棱锥 P ，平面 平面 为 中点， M 在 （ I）求证： （ ）若 ，则当 为何值时，平面 平面 （ ）在（ 条件下，求证： 平面 18如图，在四棱锥 P ，底面 正方形，平面 底面 D， D， E 为 中点 （ I）求证： （ ）求二面角 P E 的余弦值 第 3 页（共 16 页） 19已知斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 p 0）的焦点 F，且与抛物线相交于 A， |4 （ I）求 p 的值； （ ）设经过点 B 和抛物线对称轴平行的直线交抛物线 准线于点 D，求证： A， O，D 三点共线（ O 为坐标原点） 20已知椭圆 的左焦点为 F，离心率为 ，过点 M（ 0， 1）且与 x 轴平行的直线被椭圆 G 截得的线段长为 （ I）求椭圆 G 的方程； （ 动点 P 在椭圆 G 上（ P 不是顶点），若直线 斜率大于 ，求直线 O 是坐标原点）的斜率的取值范围 第 4 页（共 16 页） 2015年北京市顺义区高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题供 8 小题，每小题 5 分，供 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 . 1直线 的倾斜角是（ ） A B C D 【考点】 直线的倾斜角 【分析】 先求出直线 的斜率，再根据斜率是倾斜角的正切值，计算倾斜角即可 【解答】 解 ：设倾斜角为 ， 直线 的斜率为 ， ， 0 180， =30 故选 A 2直线 l 过点 P（ 2， 2），且与直线 x+2y 3=0 垂直，则直线 l 的方程为（ ） A 2x+y 2=0 B 2x y 6=0 C x 2y 6=0 D x 2y+5=0 【考点】 直线的一般式方程与直线的垂直关系 【分析】 由直线的垂直关 系可得直线的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可 【解答】 解： 直线 x+2y 3=0 的斜率为 ， 与直线 x+2y 3=0 垂直的直线斜率为 2， 故直线 l 的方程为 y（ 2） =2（ x 2）， 化为一般式可得 2x y 6=0 故选： B 3一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的侧面面积为 12，则该几何体的体积是（ ） A 4 B 12 C 16 D 48 【考点】 由三视图求面积、 体积 第 5 页（共 16 页） 【分析】 几何体为圆柱，底面半径为 2，根据侧面积求出圆柱的高 h，代入体积公式计算即可 【解答】 解：由三视图可知几何体是底面半径为 2 的圆柱， 几何体的侧面积为 2 2 h=12，解得 h=3， 几何体的体积 V= 22 3=12 故选 B 4在空间中，下列命题正确的是（ ） A如果直线 m 平面 ，直线 n内，那么 m n B如果平面 内的两条直线都平行于平面 ，那么平面 平面 C如果平面 外的一条直线 m 垂直于平面 内的两条相交直线，那么 m D如果平面 平面 ，任取直线 m，那么必有 m 【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】 利用线面平行、平面与平面平行的判定与性质，线面垂直、平面与平面垂直的判定与性质，即可得出结论 【解答】 解：对于 A，直线 m 平面 ，直线 n内，则 m 与 n 可能平行，可能异面，故不正确； 对于 B，如果平面 内的两条相交直线都平行于平面 ，那么平面 平面 ，故不正确； 对于 C，根据线面垂直的判定定理可得正确； 对于 D，如果平面 平面 ，任取直线 m，那么可能 m ，也可能 m 和 斜交，； 故选： C 5如果直线 3ax+y 1=0 与直线（ 1 2a） x+=0 平行那么 a 等于（ ） A 1 B C 3 D 1 或 【考点】 直线的一般式方程与直线的平行关系 【分析】 由直线的平行关系可得 a 的方程，解方程排除直线重合即可 【解答】 解： 直线 3ax+y 1=0 与直线（ 1 2a） x+=0 平行， 3aa=1（ 1 2a），解得 a= 1 或 a= ， 经检验当 a= 1 时，两直线重合，应舍去， 故选： B 6方程 ax+（ a 0）表示的圆（ ） A关于 x 轴对称 B关于 y 轴对称 C关于直线 y=x 轴对称 D关于直线 y= x 轴对称 【考点】 圆的一般方程 【分析】 方程 ax+（ a 0）可化为（ x+a） 2+y2=心为（ a， 0），即可得出结论 【解答】 解：方程 ax+（ a 0）可化为（ x+a） 2+y2=心为（ a， 0）， 方程 ax+（ a 0）表示的圆关于 x 轴对称， 故选： A 第 6 页（共 16 页） 7如图，正方体 ，点 E， F 分别是 中点，则 ） A 0 B 45 C 60 D 90 【考点】 异面直线及其所成的角 【分析】 由 成角，由此能求出 【解答】 解：连结 正方体 ，点 E， F 分别是 中点， 成角， 1B= 0 成角为 60 故选： C 8如果过点 M（ 2， 0）的直线 l 与椭圆 有公共点，那么直线 l 的斜率 k 的取值范围是（ ） A B C D 【考点】 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质 【分析】 设过点 M（ 2， 0）的直线 l 的方程为 y=k（ x+2），与椭圆方程联立，得（ 2）2=0，由此利用根的判别式能求出直线 l 的斜率 k 的取值范围 【解答】 解：设过点 M（ 2， 0）的直线 l 的方程为 y=k（ x+2）， 联立 ，得（ 2） 2=0， 过点 M（ 2， 0）的直线 l 与椭圆 有公共点， =644（ 2）（ 82） 0， 整理，得 第 7 页（共 16 页） 解得 k 直线 l 的斜率 k 的取值范围是 ， 故选： D 二、填空题：本大题共 6 小题，每 小题 5 分，共 30 分 . 9已知双曲线的标准方程为 ，则该双曲线的焦点坐标为， （ ， 0） 渐近线方程为 y= 2x 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求出双曲线的 a， b， c，即可得到焦点坐标；由渐近线方程为 y= x，可得所求渐近线方程 【解答】 解：双曲线 的 a=2， b=4， c= =2 ， 可得焦点的坐标为（ ， 0）， 渐近线方程为 y= x，即为 y= 2x 故答案为：（ ， 0）， y= 2x 10已知向量 ， 且 ，则 y= 4 【考点】 空间向量的数量积运算 【分析】 代入数量积公式列方程解出 【解答】 解： ， =0，即 10 3y 2=0，解得 y= 4 故答案为 4 11已知点 A（ m， 2， n），点 B（ 5， 6， 24）和向量 且 则点 A 的坐标为 （ 1， 2， 0） 【考点】 共线向量与共面向量 【分析】 根据空间向量的坐标表示与运算，求出 ，再根据共线定理列出方程组求出 m、 可得出点 A 的坐标 【解答】 解： 点 A（ m， 2， n），点 B（ 5， 6， 24）， =（ 5 m， 8， 24 n）； 又向量 ，且 ， = ， 第 8 页（共 16 页） 即 ， 解得 =2， m=1， n=0； 点 A 的坐标为（ 1， 2， 0） 故答案为：（ 1， 2， 0） 12直线 2x+3y+6=0 与坐标轴所围成的三角形的面积为 3 【考点】 直线的一般式方程 【分析 】 由直线方程可得直线与坐标轴的交点，由三角形的面积公式可得 【解答】 解：把 x=0 代入 2x+3y+6=0 可得 y= 2，把 y=0 代入 2x+3y+6=0 可得 x= 3， 直线与坐标轴的交点为（ 0， 2）和（ 3， 0）， 故三角形的面积 S= 2 3=3， 故答案为： 3 13抛物线 8x 上到焦点距离等于 6 的点的坐标是 （ 4， ） 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 算出抛物线的焦点为 F（ 2， 0），准线为 x=2设抛物线上点 P（ m， n）到焦点 ，利用抛物线的定义可得 m+2=6，解得 m= 4，进而利用抛物线方程解出 n= 4 ，可得所求点的坐标 【解答】 解： 抛物线方程为 8x，可得 2p=8， =2 抛物线的焦点为 F（ 2， 0），准线为 x=2 设抛物线上点 P（ m， n）到焦点 F 的距离等于 6， 根据抛物线的定义，得点 P 到 F 的距离等于 P 到准线 的距离， 即 | m+2=6，解得 m= 4， m=32，可得 n= 4 ， 因此，点 P 的坐标为（ 4， ） 故答案为：（ 4， ） 14已知点 A（ 2， 0），点 B（ 0， 3），点 C 在圆 x2+ 上，当 面积最小时，点 （ ， ） 【考点】 圆的标准方程 【分析】 设 C（ a， b）根据点 A、 B 的坐标利用待定系数法求得直线 程，然后根据点到直线的距离和不等式的性质得到 a、 b 的数量关系，将其代入圆的方程即可求得 a、 b 的值，即点 C 的坐标 【解答】 解：设 C（ a， b）则 a2+， 点 A（ 2， 0），点 B（ 0， 3）， 直线 解析式为： 3x+2y 6=0 如图，过点 C 作 点 F，欲使 面积最小，只需线段 短 第 9 页（共 16 页） 则 ，当且仅当 2a=3b 时，取 “=”， a= ， 联立 求得： a= ， b= ， 故点 C 的坐标为（ ， ） 故答案是：（ ， ） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 . 15如图，在三棱锥 A ， 平面 E， F， G 分别是 C 的中点求证： （ I） 平面 （ 面 平面 【考点】 平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定 【分析】 （ I）利用线线平行证 明线面平行，利用三角形中位线的性质证明 可； （ 明 平面 得 平面 而可证平面平面 平面 【解答】 证明：（ I）在三棱锥 A ， E， G 分别是 中点 所以 因为 面 面 以 平面 （ 为 平面 面 以 又 C=B 第 10 页（共 16 页） 所以 平面 又 E， F 分别是 中点 所以 以 平面 又 面 所以平面平面 平面 16已知斜率为 2 的直线 l 被圆 x2+4y+24=0 所截得的弦长为 ，求直线 l 的方程 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 先设直线的方程，再求出圆心到直线的距离，再由半径的平方等于圆心到直线的距离平方与弦长一半的平方的和建立方程求解 【解答】 解：将圆的方程写成标准形式，得 y+7） 2=25， 所以，圆心坐标是（ 0， 7），半径长 r=5 因为直线 l 被圆所截得的弦长是 ， 所以，弦心距为 ， 即圆心到所求直线 l 的距离为 因为直线 l 的斜率为 2，所以可设所求直线 l 的方程为 y=2x+b，即 2x y+b=0 所以圆心到直线 l 的距离为 ， 因此， 解得 b= 2，或 b= 12 所以，所求直线 l 的方程为 y=2x 2，或 y=2x 12 即 2x y 2=0，或 2x y 12=0 17如图，在四棱锥 P ，平面 平面 为 中点， M 在 （ I）求证： （ ）若 ，则当 为何值时，平面 平面 （ ）在（ 条件下，求证： 平面 【考点】 直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面垂直的 判定 【分析】 （ I）由平面 平面 得 平面 而得出 第 11 页（共 16 页） （ 平面 知当 ，平面 平面 中位线，所以 = ； （ 中点为 F，连接 可证 面 中位线定理得 而 平面 【解答】 （ I）证明： 平面 平面 面 面 B， 平面 面 （ ：由（ I）可知， 平面 E 为 中点， 当 M 为 中点时， 平面 面 平面 平面 此时， （ 中点为 F，连接 （ 知， M 为 中点 B， 平行四边形 B， E， M， F 四点共面 面 又 面 平面 18如图，在四棱锥 P ，底面 正方形，平面 底面 D， D， E 为 中点 （ I）求证： （ ）求二面角 P E 的余弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系 【分析】 （ I）推导出 底面 而 正方形性质得 而 平 面 此能证明 第 12 页（共 16 页） （ 导出 立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 P E 的余弦值 【解答】 证明：（ I）因为平面 底面 直于这两个平面的交线 所以 底面 又 面 以 因为底面 正方形，所以 又 D=D，所以 平面 因为 面 以， （ ：由（ I）可知 由题可知 如图所示 建立空间直角坐标系， 点 D 为坐标原点， 设 ，依题意得 A（ 1， 0， 0）， C（ 0， 1， 0）， P（ 0， 0， 1） 因为底面 正方形， 所以点 B 的坐标为（ 1， 1， 0） 因为， E 为 中点， 所以，点 E 的坐标为 . 设平面 法向量为 ， 则 ，即 ， 令 z=1，得 x=1， y= 1 所以， 又平面 一个法向量为 所以， 由题知二面角 P E 为锐角， 所以二面角 P E 的余弦值为 第 13 页（共 16 页） 19已知斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 p 0）的焦点 F，且与抛物线相交于 A， |4 （ I）求 p 的值； （ ）设经过点 B 和抛物线对称轴平行的直线交抛物线 准线于点 D，求证： A， O，D 三点共线（ O 为坐标原点） 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 （ I）由 消 y 并整理，利用 |x1+x2+p=4，求 p 的值； （ ）写出点 A、 B、 D 的坐标，可利用斜率相等，证明三点共线 【解答】 解：（ I）由题意可知，抛物线 p 0）的焦点坐标为 ， 准线方程为 所以，直线 l 的方程为 由 消 y 并整理，得 设 A（ B（ 则 x1+p， 又 |x1+x2+p=4， 所以， 3p+p=4， p=1 （ （ I）可知，抛物线的方程为 x 设点 B 的坐标为 ，又焦点 ， 当 时，直线 斜率为 所以，直线 方程为 ，即 第 14 页