河北省廊坊市2015-2016年高二上期末数学试卷(理)含答案解析

第 1 页（共 17 页） 2015年河北省廊坊市高二（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求 . 1若命题 p： x R， 3x+5 0，则该命题的否定是（ ） A x R， 3x+5 0 B x R， 3x+5 0 C x R， 3x+5 0 D x R， 3x+5 0 2抛物线 的焦点坐标是（ ） A（ 0， 1） B C D 3某商场有 A、 B、 C、 D 四类产品， A、 B、 C、 D 分别有 40， 10， 30， 20 种，现从这抽取一个容量为 20 的样本，则抽取的 B、 D 两类产品种数之和是（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 4根据如下样本数据得到的回归直线方程必过点（ ） x 0 1 2 3 4 y 1 3 4 5 7 A（ 2， 2） B（ 2） C（ 2， 4） D（ 4） 5 “ 是第一象限角 ”是 “关于 x， y 的方程 所表示的曲线是椭圆 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6已知双曲线 的一条渐近线方程为 y=2x，则双曲线的离心率为（ ） A B C 或 D 2 7阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ） 第 2 页（共 17 页） A 2 B 4 C 8 D 16 8已知椭圆 与双曲线 有相同的焦点，则动点 P（ n， m）的轨迹是（ ） A椭圆的一部分 B双曲线的一部分 C抛物线的一部分 D圆的一部分 9一个圆内有一个内接等边三角形， 一动点在圆内运动，则此点落在等边三角形内部的概率为（ ） A B C D 10在空间四边形 ， ， P 在线段 ，且 C 的中点，则 =（ ） A B C D 11在直三棱柱 ABC中，所有的棱长都相等， M 为 BC的中点， N 为 AB的中点，则 成角的余弦值为（ ） A B C D 12设 别为椭圆 的左右两个焦点，点 P 为椭圆上任意一点，则使得成立的 P 点的个数为（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13已知空间向量 ，若 ，则x= 14连续抛掷 2 颗骰子，则出现朝上的点数之和等于 8 的概率为 15已知 f（ x） =x5+x+1，应用秦九韶算法计算 x=2 时的值时， 值为 16下列四个命题中： 若 p q 为真命题，则 p 与 q 至少有一个为真命题； 统计中用相关系数 r 来衡量两个变量之间线性关系的强弱，且 r 越大相关性越强； “若 ，则 x=1”的否命题为真命题； 双曲线 与双曲线 有相同的焦点其中真命题的序号为 第 3 页（共 17 页） 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 5000 辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示问： （ 1）求汽车速度在 50， 70）的频率； （ 2）根据频率分布直方图估算出样本数据的中位数 18如图， 边长为 2 的正方形， 平面 平面 成角为 45， G， H 分别为 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）求二面角 F E 的大小 19已知椭圆 ，焦点在直线 x 2y 2=0 上，且离心率为 （ 1）求椭圆方程； （ 2）过 P（ 3， 1）作直线 l 与椭圆交于 A， B 两点， P 为线段 中点，求直线 l 的方程 20某商家开展迎新春促销抽奖活动 ，小张、小李两人相约同一天上午去参加抽奖活动 （ 1）若抽奖规则是从一个装有 3 个红球和 4 个白球的袋中又放回地抽取 2 个球，当两球同色时则中奖，求中奖的概率； （ 2）若小张计划在 10： 00 10： 40 之间赶到，小李计划在 10： 20 11： 00 之间赶到，求小张比小李提前到达的概率 21已知抛物线 y2=a 0），过动点 P（ m， 0）且斜率为 1 的直线与该抛物线交于不同的两点 A， B， | a （ 1）求 m 的取值范围； （ 2）若线段 垂直平分线交 x 轴于点 Q，求 积的最大值 22如图所示，在四棱 柱 ，底面 等腰梯形， 0，若 直于平面 ， M 是线段 中点 （ 1）求证： （ 2）设 N 是线段 的一个动点，问当 的值为多少时，可使得 平面 成角的正弦值为 ，并证明你的结论 第 4 页（共 17 页） 第 5 页（共 17 页） 2015年河北省廊坊市高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求 . 1若命题 p： x R， 3x+5 0，则该命题的否定是（ ） A x R， 3x+5 0 B x R， 3x+5 0 C x R， 3x+5 0 D x R， 3x+5 0 【考点】 命题的否定 【分析】 根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可 【解答】 解：命题是全称命 题，则命题的否定是特称命题， 即 x R， 3x+5 0， 故选： A 2抛物线 的焦点坐标是（ ） A（ 0， 1） B C D 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 先根据标准方程求出 p 值，判断抛物线 y 的开口方向及焦点所在的坐标轴，从而写出焦点坐标 【解答】 解： 抛物线 ，即 y 中， p=1， = ，焦点在 y 轴上，开口向上， 焦点坐标为（ 0， ）， 故选： B 3某商场有 A、 B、 C、 D 四类产品， A、 B、 C、 D 分别有 40， 10， 30， 20 种，现从这抽取一个容量为 20 的样本，则抽取的 B、 D 两类产品种数之和是（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 【考点】 分层抽样方法 【分析】 先计算分层抽样的抽样比，再求抽取的 B、 D 两类产品种数之和即可 【解答】 解：共有产品 100 种，抽取容量为 20 的样本，各抽取 = ，故抽取的 B、 D 两类产品种数之和为（ 10+10） =6 故选： C 4根据如下样本数据得到的回归直线方程必过点（ ） x 0 1 2 3 4 第 6 页（共 17 页） y 1 3 4 5 7 A（ 2， 2） B（ 2） C（ 2， 4） D（ 4） 【考点】 线性回归方程 【分析】 由已知表格中的数据，我们根据平均数公式计算出变量 x， y 的平均数，根据回归直线一定经过样本数据中心点，可得结论 【解答】 解：由表中数据可得： = （ 0+1+2+3+4） =2， = （ 1+3+4+5+7） =4， 回归直线一定经过样本数据中心点， 故选： C 5 “ 是第一象限角 ”是 “关于 x， y 的方程 所表示的曲线是椭圆 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 根据充分条件和必要条件的定义结合椭圆的方程进行判断即可 【解答】 解：若 表示的曲线是椭圆， 则满足 0， 0，且 即 2 2，且 2， k Z， 则 “是第一象限角 ”是 “关于 x， y 的方程 所表示的曲线是椭圆 ”必要不充分条件， 故选： B 6已知双曲线 的一条渐近线方程为 y=2x，则双曲线的离心率为（ ） A B C 或 D 2 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求出双曲线的渐近线方程，可得 b=2a，由 a， b， c 的关系和离心率公式，计算即可得到所求值 【解答】 解：双曲线 的渐近线方程为 y= x， 由题意可得 =2，即有 b=2a， c= = a， 可得 e= = ， 故选： A 7阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ） 第 7 页（共 17 页） A 2 B 4 C 8 D 16 【考点】 循环结构 【分析】 根据程序框图可知，程序运行时，列出数值 S 与 n 对应变化情况，从而求出当 S=2时，输出的 n 即可 【解答】 解：由框图可知，程序运行时，数值 S 与 n 对应变化如下表： S 1 2 n 2 4 8 故 S=2 时，输出 n=8 故选 C 8已知椭圆 与双曲线 有相同的焦点，则动点 P（ n， m）的轨迹是（ ） A椭圆的一部分 B双曲线的一部分 C抛物线的一部分 D圆的一部分 【考点】 轨迹方程 【分析】 由椭圆双曲 线方程可求得焦点坐标，进而根据有相同的焦点，建立等式求得 m 和 【解答】 解： 椭圆 与双曲线 有相同的焦点， 9 + m2+（ 0 n 3）这是圆的一部分， 故选： D 第 8 页（共 17 页） 9一个圆内有一个内接等边三角形，一动点在圆内运动，则此点落在等边三角形内部的概率为（ ） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 根据几何概型的概率公式求出对应的面积进行计算即可 【解答】 解：设圆的半径为 R，则圆内接等边三角形的边长为 R， 则正三角形的面积 S= （ R） 2 = 圆的面积 S= 则点落在等边三角形内部的概率为 P= = ， 故选： B 10在空间四边形 ， ， P 在线段 ，且 C 的中点，则 =（ ） A B C D 【考点】 空间向量的加减法 【分析】 由于 = ， = ， = ，即可得出 【解答】 解： = ， = = ， = = ， = + + 11在直三棱柱 ABC中，所有的棱长都相等， M 为 BC的中点， N 为 AB的中点，则 成角的余弦值为（ ） A B C D 【考点】 异面直线及其所成的角 【分析】 以 A 为原点，在平面 ，过 A 作 垂线为 x 轴， y 轴， 立空间直角坐标系，利用向量法能求出 成角的余弦值 【解答】 解：以 A 为原点，在平面 ，过 A 作 垂线为 x 轴， y 轴， z 轴， 第 9 页（共 17 页） 建立空间直角坐标系， 设直三棱柱 ABC中，所有的棱长都为 2， 则 A（ 0， 0， 0）， M（ ， ， 2）， B（ ， 1， 0）， N（ ， ， 2）， =（ ）， =（ ， ， 2）， 设 成角为 ， 则 = = 故选： B 12设 别为椭圆 的左右两个焦点，点 P 为椭圆上任意一点，则使得成立的 P 点的个数为（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 设 P（ 由 和 P（ 椭圆上任意一点，列出方程组，能求出使得 成立的 P 点的个数 【解答】 解：设 P（ 别为椭圆 的左右两个焦点，点 P 为椭圆上任意一点， 4， 0）， 4， 0）， =（ 4 =（ 4 ， （ 4 4 +（ 2= 7，即 =9， 第 10 页（共 17 页） 又 设 P（ 椭圆上任意一点， ， 联立 ，得： 或 ， 使得 成立的 P 点的个数为 2 个 故选： C 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13已知空间向量 ，若 ，则 x= 4 【考点】 空间向量的数量积运算 【分析】 利用向量垂直的性质求解 【解答】 解： 空间向量 ， ， = 2（ 1 x） x 2=0， 解得 x=4 故答案为： 4 14连续抛掷 2 颗骰子，则出现朝上的点数之和等于 8 的概率为 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 先求出基本事件总数，再用列举法求出出现朝上的点数之和等于 8 的基本事件个数，由此能求出出现朝上的点数之和等于 8 的概率 【解答】 解：连续抛掷 2 颗骰子，基本事件总数 n=6 6=36， 出现朝上的点数之和等于 8 的基本事件有： （ 2， 6），（ 6， 2），（ 3， 5），（ 5， 3），（ 4， 4），共 5 个， 出现朝上的点数之和等于 8 的概率为 p= 故答案为： 15已知 f（ x） =x5+x+1，应用秦九韶算法计算 x=2 时的值时， 值为 8 【考点】 秦九韶算法 【分析】 由 f（ x） =x5+x+1=（ x+1） x+2） x+4） x+1，即可得出 【解答】 解： f（ x） =x5+x+1=（ x+1） x+2） x+4） x+1， x=2 时， ， 2+1） 2=6， +2=8 故答案为： 8 16下列四个命题中： 若 p q 为真命题，则 p 与 q 至少有一个为真命题； 第 11 页（共 17 页） 统计中用相关系数 r 来衡量两个变量之间线性关系的强弱，且 r 越大相关性越强； “若 ，则 x=1”的否命题为真命题； 双曲线 与双曲线 有相同的焦点其中真命题的序号为 【考点】 复合命题的真假 【分析】 根据复合命题判断 ，根据线性关系判断 ，根据对数函数函数性质判断 ，根据双曲线的性质判断 【解答】 解： 若 p q 为真命题，则 p 与 q 至少有一个为真命题，故 正确； 用相关指数 |r|来刻画回归效果， |r|越大，说明模型的拟合效果越好，故 错误； “若 ，则 x=1”的否命题是：若 0，则 x 1 为真命题，故 正确； 双曲线 中 3，双曲线 中 3，有相同的焦点，故 正确； 其中真命题的 序号为： ， 故答案为： 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 5000 辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示问： （ 1）求汽车速度在 50， 70）的频率； （ 2）根据频率分布直方图估算出样本数据的中位数 【考点】 众数、中位数、平均数；频率分布直方图 【分析】 （ 1）由频率分布直方图分别求出 50， 60）的频率和 60， 70）的频率，由此能求出汽车速度在 50， 70）的频 率 （ 2）设中位数为 x，由频率分布直方图可知中位数落在 60， 70）之间，由此能求出样本数据的中位数 【解答】 解：（ 1）由频率分布直方图得 50， 60）的频率为 10= 60， 70）的频率为 10= 汽车速度在 50， 70）的频率为 （ 2）设中位数为 x，由频率分布直方图可知中位数落在 60， 70）之间， x 60） 解得 x= 样本数据的中位数为 18如图， 边长为 2 的正方形， 平面 平面 成角为 45， G， H 分别为 中点 （ 1）求证： 平面 第 12 页（共 17 页） （ 2）求二面角 F E 的大小 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定 【分析】 （ 1）取 中点 P，连接 明四边形 平行四边形，可得 用线面平行的判定定理证明： 平面 （ 2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量的夹角公式 ，即可求二面角 FE 的大小 【解答】 （ 1）证明：取 中点 P，连接 中位线， ， 四边形 平行四边形 又 面 平面 平面 （ 2）解：如图建立空间直角坐标系， 由条件可知 B（ 2， 2， 0）， F（ ， 0， 1） 平面 成角为 45，且 平面 D=2 ， E（ 0， 0， 2 ） =（ ， 0， 1）， =（ 2， 2， 0） 设平面 法向量为 =（ x， y， z），则 ， 取 =（ 1， 1， ） 正方形， 又 平面 E=D， 平面 =（ 2， 2， 0）可作为面 一个法向量 ， = 又 二面角 F E 为锐二面角， 其大小为 45 第 13 页（共 17 页） 19已知椭圆 ，焦点在直线 x 2y 2=0 上，且离心率为 （ 1）求椭圆方程； （ 2）过 P（ 3， 1）作直线 l 与椭圆交于 A， B 两点 ， P 为线段 中点，求直线 l 的方程 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）由焦点在直线 x 2y 2=0 上，令 y=0，得焦点（ 2， 0），再由离心率 e= = ，能求出椭圆方程 （ 2）设 A（ B（ 利用点差法能求出 l 的方程 【解答】 （本题满分 12 分） 解：（ 1） 椭圆 ，焦点在直线 x 2y 2=0 上， 令 y=0，得焦点 （ 2， 0）， c=2， 离心率 e= = ， ，解得 a=4， 6 4=12， 椭圆方程为 （ 2）设 A（ B（ 过 P（ 3， 1）作直线 l 与椭圆交于 A， B 两点， P 为线段 中点， 由题意， x1+， y1+， ， + =0， = ， 第 14 页（共 17 页） l 的方程为： y 1= ，即 9x+4y 31=0 20某商家开展迎新春促销抽奖活动，小张、小李两人相约同一天上午去参加抽奖活动 （ 1）若抽奖规则是从一个装有 3 个红球和 4 个白球的袋中又放回地抽取 2 个球，当两球同色时则中奖，求中奖的概率； （ 2）若小张计划在 10： 00 10： 40 之间赶到，小李计划在 10： 20 11： 00 之间赶到，求小张比小李提前到达的概率 【考点】 几何概型；列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 （ 1）根据古典概型的概率公式进行计算即可 （ 2）根据几何概型的概率公式求出对应事件对应区域的面积进行计算即可 【解答】 解：（ 1）从袋中 7 个球中的摸出 2 个，试验的结果共有 7 7=49（种） 中奖的情况分为两种： （ i） 2 个球都是红色，包含的基本事件数为 4 4=16； （ 2 个球都是白色，包含的基本事件数为 3 3=9 所以，中奖这个事件包含的基本事件数为 16+9=25 因此，中奖概率为 （ 2）设小张和小李到达的时间分别为 10 点到 11 点之间的 x， y 分钟 用（ x， y）表示每次试验的结果， 则所有可能结果为 =（ x， y） |0 x 4 或 0 y 60； 记小张比小李提前到达为事件 A，则事件 A 的可能结果为 A=（ x， y） |x y， 0 x 4 或 0 y 60； 如图所示，试验全部结果构成区域 为正方形 事件 A 所构成区域是正方形内的阴影部分 根据几何概型公式，得到 P（ A） = = = 所以，小张比小李提前到达的概率为 21已知抛物线 y2=a 0），过动点 P（ m， 0）且斜率为 1 的直线与该抛物线交于不同的两点 A， B， | a （ 1）求 m 的取值范围； （ 2）若线段 垂直平分线交 x 轴于点 Q，求 积的最大值 【考点】 抛物线的简单性质 第 15 页（共 17 页） 【分析】 （ 1）设出直线的方程与抛物线方程联立消去 y，设直线 l 与抛物线两个不同的交点坐标为 A， B，进而根据判别是对大于 0，及 x