浙江省台州市2016届高三(上)期末数学试卷(理)含答案解析

第 1 页（共 17 页） 2015年浙江省台州市高三（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的 . 1 “a 4”是 “16”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 2已知点（ 2， 1）在双曲线 C： =1（ a b 0）的渐近线上，则 C 的离心率为（ ） A B 2 C D 3若 “ x ， ， m”是真命题，则实数 m 的最小值为（ ） A B C D 4在边长为 1 的正三角形 ，设 D， E 分别为 中点，则 =（ ） A B C D 0 5已知三 棱柱 底面是锐角三角形，则存在过点 A 的平面（ ） A与直线 直线 平行 B与直线 直线 垂直 C与直线 行且直线 直 D与直线 直线 成角相等 6设函数 f（ x） =下列结论中错误的为（ ） A点（ ， 0）是函数 y=f（ x）图象的一个对称中心 B直线 x= 是函数 y=f（ x）图象的一条对称轴 C 是函数 y=f（ x）的周期 D函数 y=f（ x）的最大值为 1 7已知正实数 a， b 满足 b+4 0，则 u= （ ） A有最大值为 B有最小值为 C没有最小值 D有最大值为 3 8如图，在三棱锥 P ， C=C=10， ， 2，点 M 在平面 ，设异面直线 成角为 ，则 最大值为（ ） 第 2 页（共 17 页） A B C D 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分 .、共 36 分 . 9已知全集为 R，集合 A=x|2x 0， B=x|1 x 3，则 ，AB= 10某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为 6 的正方形，俯视图是腰长为 5，底边长为 6 的等腰三角形，则该几何体的体积是 ，表面积是 11设等差数列 前 n 项和 Sn=n2+bn+c（ b， c 为常数， n N*），若 a2+，则c= ， b= 12已知函数 f（ x） = ，则 f（ f（ 2） = ，不等式 f（ x 3） f（ 2）的解集为 13已知 ， 是夹角为 的两个单位向量，非零向量 =x +y ， x， y R，若 x+2y=2，则 | |的最小 值为 14平面直角坐标系 ，直线 y=5 与抛物线 C： p 0）交于点 A， B，若 的焦点，则 p 的值为 15若函数 f（ x） =（ 26x a）的值域是 0， +），则实数 a= 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16已知函数 f（ x） =2 1，在 ，内角 A， B， C 的对边分别 为a， b， c，且 f（ B） =1 （ ）求 B； （ ）若 =3，求 b 的取值范围 第 3 页（共 17 页） 17如图，在菱形 ， 0，平面 平面 边形 正方形，点 M 在线段 ， = （ ）当 = ，求证： 平面 （ ）如二面角 A C 的平面角的余弦值为 ，求实数 的值 18已知 a 0， b R，函数 f（ x） =42a+b 的定义域为 0， 1 （ 1）当 a=1 时，函数 f（ x）在定义域内有两个不同的零点，求 b 的取值范围； （ 2）设 f（ x）的最大值和最小值分别为 M 和 m，求证： M+m 0 19如图，椭圆 C： + =1（ a b 0）的左焦点为 1， 0），离心率是 e，点（ 1，e）在椭圆上 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）设点 M（ 2， 0），过点 直线交 C 于 A， B 两点，直线 直线 x= 2 分别交于 P， Q 两点，求 积的最大值 20已知数列 a1=a（ a R）， = （ n N*） （ 1）若数列 第二项起每一项都大于 1，求实数 a 的取值范围； （ 2）若 a= 3，记 数列 前 n 项和，证明： n+ 第 4 页（共 17 页） 2015年浙江省台州市高三（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的 . 1 “a 4”是 “16”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条 件的判断 【分析】 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可 【解答】 解：由 16 得 a 4 或 a 4， 则 “a 4”是 “16”的充分不必要条件， 故选： A 2已知点（ 2， 1）在双曲线 C： =1（ a b 0）的渐近线上，则 C 的离心率为（ ） A B 2 C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求出双曲线的渐近线方程，由题意可得 a=2b，运用双曲线的离心率公式计算即可得到所求值 【解答】 解：双曲线 C： =1（ a b 0）的渐近线方程为 y= x， 由题意可得 =1，即 a=2b， c= = a，可得 e= = 故选： D 3若 “ x ， ， m”是真命题，则实数 m 的最小值为（ ） A B C D 【考点】 全称命题 【分析】 由 x 的范围求出 范围，然后结合 “ x ， ， m”是真命题求得 m 的最小值 第 5 页（共 17 页） 【解答】 解：当 x ， 时， ， ， 又 “ x ， ， m”是真命题， m ，即实数 m 的最小值为 故选： C 4在边长为 1 的正三角形 ，设 D， E 分别为 中点，则 =（ ） A B C D 0 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 由题意画出图形，把 ， 用基底 表示，代入 ，展开得答案 【解答】 解：如图， =（ ） （ ） =（ ） （ ） = = = = 故选： B 5已知三棱柱 底面是锐角三角形，则存在过点 A 的平面（ ） A与直线 直线 平行 B与直线 直线 垂直 C与直线 行且直线 直 D与直线 直线 成角相等 【考点】 空间中直线与直线之间的位置关系 【分析】 对 4 个选项分别进行判断，即可得出结论 第 6 页（共 17 页） 【解答】 解：对于 A，过点 A 与直线 行的平面经过 B，与直线 交，不正确； 对于 B，过点 A 与直线 直的平面存在，则 底面是锐角三角形矛盾，不正确 对于 C，过点 A 与直线 行且直线 直，则 底面是锐角三角形矛盾，不正确； 对于 D，存在过点 A 与 点的平面，与直线 直线 成角相等， 与直线 1成角相等，正确 故选： D 6设函数 f（ x） =下列结论中错误的为（ ） A点（ ， 0）是函数 y=f（ x）图象的一个对称中心 B直线 x= 是函数 y=f（ x）图象的一条对称轴 C 是函数 y=f（ x）的周期 D函数 y=f（ x）的最大值为 1 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的 图象 【分析】 对于 A 选项，用中心对称的充要条件，直接验证 f（ 2 x） +f（ x） =0 是否成立即可判断其正误； 对于 B 选项，用轴对称的条件直接验证 f（ x） =f（ x）成立与否即可判断其正误； 对于 C 选项，用周期函数的定义直接验证 f（ x+） =f（ x）成立与否即可判断其正误； 对于 D 选项，利用三角函数的性质即可直接判断 【解答】 解： A、 f（ 2 x） +f（ x） =2 x） 2 x） +， 点（ ， 0）是函数 y=f（ x）图象的 一个对称中心，故 A 正确； B、 f（ x） = x） x） =f（ x）， f（ x）关于直线 x= 对称，故 B 正确； C、 f（ x+） =+x） +x） = f（ x）， 不是函数 y=f（ x）的周期，故 C 错误； D、 1， 1， 1， 1，可得 f（ x） =最大值为 1，故 D 正确 故选： C 7已知正实数 a， b 满足 b+4 0，则 u= （ ） A有最大值为 B有最小值为 C没有最小值 D有最大值为 3 【考点】 基本不等式 【分析】 b+4 0，可得 b ， a， b 0可得 ，再利用基本不等式的性质即可得出 【解答】 解： b+4 0， b ， a， b 0 a+b a2+a+4， ， 第 7 页（共 17 页） ， u= =3 3 =3 3 = ，当且仅当 a=2，b=8 时取等号 故选： B 8如图，在三棱锥 P ， C=C=10， ， 2，点 M 在平面 ，设异面直线 成角为 ，则 最大值为（ ） A B C D 【考点】 异面直线及其所成的角 【分析】 取 点 N，连结 可证 等边三角形，过 A 作平面 垂线 O 为 中点，求出 长，利用勾股定理可得出 长，即 M 的轨迹以 O 为坐标原点建立空间坐标系，设 M 的坐标（ x， y， 0），求出 的坐标， 利用向量求出夹角，根据 x， y 的范围得出 最值 【解答】 解：取 点 N，连结 C=C=10， 2， N=8， ， 等边三角形， 0 二面角 A P 的平面角 过 A 作 平面 结 O 为 中点， ， 4 =1 M 的轨迹是以 O 为圆心，以 1 为半径的圆 以平面 过 O 点平行于 直线为 x 轴，以 y 轴，以 z 轴建立空间直角坐标系如图 则 A（ 0， 0， 4 ）， B（ 6， 4， 0）， C（ 6， 4， 0），设 M（ x， y， 0），则 x2+ =（ x， y， 4 ）， =（ 12， 0， 0） | |=7， | |=12， =12x = = 当 x=1 时， 得最大值 第 8 页（共 17 页） 故选 A 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分 .、共 36 分 . 9已知全集为 R，集合 A=x|2x 0， B=x|1 x 3，则 （ ， 1 3， +） ，AB= （ 2， 3） 【考点】 交集及其运算；补集及其运算 【分析】 求出 A 中不等式的解集确定出 A，由 B 及全集 R，求出 B 的补集，找出 A 与 B 的交集即可 【解答】 解：由 A 中不等式变形得： x（ x 2） 0， 解得： x 0 或 x 2，即 A=（ ， 0） （ 2， +）， 全集为 R， B=（ 1， 3）， ， 1 3， +）， 则 AB=（ 2， 3）， 故答案为：（ ， 1 3， +）；（ 2， 3） 10某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为 6 的正方形，俯视图是腰长为 5，底边长为 6 的等腰三角形，则该几何体的体积是 72 ，表面积是 120 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图可知几何体是一个三棱柱，此三棱柱 的高为 6，底面正三角形的高为 4，利用表面积公式和体积公式得到结果 【解答】 解：由三视图图可知此三棱柱的高为 6，底面正三角形的高为 4， 可求得底面面积为： =12 V=Sh=6 12=72 S 表面 =2S 底 +S 侧面 =2 12+6 （ 6+5+5） =120 第 9 页（共 17 页） 11设等差数列 前 n 项和 Sn=n2+bn+c（ b， c 为常数， n N*），若 a2+，则 c= 0 ，b= 2 【考点】 等差数列的通项公式 【分析】 由等差数列的前 n 项和是不含常数项的一次或二次函数，可得 c=0，再由 a2+3 式求得 b 值 【解答】 解： 数列 等差数列，且前 n 项和 Sn=n2+bn+c， c=0， 则 Sn=n2+ 又 a2+3 +3b 1 b=4， b= 2 故答案为： 0， 2 12已知函数 f（ x） = ，则 f（ f（ 2） = ，不等式 f（ x 3） f（ 2）的解集为 x|x 或 x 5 【考点】 其他不等式的解法；函数的值 【分析】 根据分段函数的解析式直接代值计算即可求出 f（ f（ 2），分类讨论，即可求出不等式 f（ x 3） f（ 2）的解集 【解答】 解： f（ 2） = = ， f（ ） = ， f（ f（ 2） = ， 当 x 3 1 时，即 x 4 时， ，解得 x 5， 当 x 3 1 时，即 x 4 时， x 3 ，解得 x ， 综上所述不等式 f（ x 3） f（ 2）的解集为 x|x 或 x 5 故答案为： ， x|x 或 x 5 13已知 ， 是夹角为 的两个单位向量，非零向量 =x +y ， x， y R，若 x+2y=2，则 | |的最小值为 1 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 计算 ，将 x=2 2y 代入得到关于 y 的函数，求此函数的最小值 【解答】 解： = . 2=x2+x2+y2+ x+2y=2， x=2 2y 2=（ 2 2y） 2+ 2 2y） y=36y+4=3（ y 1） 2+1 当 y=1 时， 2 取得最小值 1 | |的最小值为 1 第 10 页（共 17 页） 故答案为： 1 14平面直角坐标系 ， 直线 y=5 与抛物线 C： p 0）交于点 A， B，若 的焦点，则 p 的值为 2 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 将 y=5 代入抛物线的方程，可得 A， B 的坐标，求得抛物线的焦点坐标，再由垂心的性质可得 有 1，再由斜率公式，解方程即可得到 p 的值 【解答】 解：由 y=5 代入抛物线 C： 得， A（ ， 5）， B（ ， 5）， 由抛物线 得焦点为 F（ 0， ）， 由 垂心为 C 的焦点，可得 有 1， 即为 = 1， 解方程可得 p=2 故答案为： 2 15若函数 f（ x） =（ 26x a）的值域是 0， +），则实数 a= 或 1 【考点】 函数与方程的综 合运用；函数的值域 【分析】 根据函数与方程的关系先求出两个函数的零点，根据函数的值域得到在定义域内两个函数的函数值同号，即可得到结论 【解答】 解： f（ x） =（ x 2a）（ 2x+3a） x a）， 由 f（ x） =0 得 x=2a，或 x= ，或 x=a+1， 若 a=0，则 f（ x） =2x2函数的值域为（ ， +），不满足条件 若 a 0，则函数的定义域为 x a，此时函数 f（ x）的零点为 x=2a， x=a+1， 设 y=（ x 2a）（ 2x+3a）， y=x a）， 要使函数 f（ x）的值域为 0， +），则函数 y=（ x 2a）（ 2x+3a）， y=x a）， 则定义域（ a， +）上函数值的符号相同， 即两个函数的零点相等即 2a=a+1，得 a=1， 若 a 0，则函数的定义域为 x a，此时函数 f（ x）的零点为 x= ， x=a+1， 设 y=（ x 2a）（ 2x+3a）， y=x a）， 要使函数 f（ x）的值域为 0， +），则函数 y=（ x 2a）（ 2x+3a）， y=x a）， 则定义域（ a， +）上函数值的符号相同， 即两个函数的零点相等即 =a+1，得 a= ， 综上 a= 或 a=1， 故答案为： 或 1 第 11 页（共 17 页） 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16已知函数 f（ x） =2 1，在 ，内角 A， B， C 的对边分别为a， b， c，且 f（ B） =1 （ ）求 B； （ ）若 =3，求 b 的取值范围 【考点】 平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 【分析】 （ I）利用倍角公式、和差公式可得： f（ x） = ，由于 f（ B） =1，可得 =1， B （ 0， ），即可得出 （ =3，可得 再利用余弦定理与基本不等式的性质即可得出 【解答】 解：（ I） f（ x） =2 1= ， f（ B） =1， =1，即 2B+ ） = ， B （ 0， ）， （ =3， 3，解得 b2=a2+2a2+6 26=6， 解得 b b 的取值范围是 17如图，在菱形 ， 0，平面 平面 边形 正方形，点 M 在线段 ， = （ ）当 = ，求证： 平面 （ ）如二面角 A C 的平面角的余弦值为 ，求实数 的值 第 12 页（共 17 页） 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定 【分析】 （ ） M 是 中点，设 D=O，连结 此能证明 面 （ ）以 O 为原点， 别为 x 轴， y 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出实数 的值 【解答】 证明：（ ） = ， M 是 中点， 设 D=O，连结 又 面 面 平面 解：（ ）以 O 为原点， 别为 x 轴， y 轴，建立空间直角坐标系， A（ 0， ， 0）， B（ 1， 0， 0）， C（ 0， ， 0）， M（ 2 1， 0， 2）， =（ 1， ， 0）， =（ 2 2， 0， 2）， =（ 1， ， 0）， 设平面 法向量 =（ x， y， z），则 ， =0， ，取 x= ，得 =（ ）， 设平面 法向量 =（ a， b， c），则 ， ，取 x= ，得 =（ ）， 二面角 A C 的平面角的余弦值为 ， | |= = ， 解得 ，或 （舍） 故实数 的值为 第 13 页（共 17 页） 18已知 a 0， b R，函数 f（ x） =42a+b 的定义域为 0， 1 （ 1）当 a=1 时，函数 f（ x）在定义域内有两个不同的零点，求 b 的取值范围； （ 2）设 f（ x）的最大值和最小值分别为 M 和 m，求证： M+m 0 【考点】 函数的最值及其几何意义 【分析】 （ 1）由题意可得 f（ 0） 0， f（ 1） 0， 0， 0 1，解不等式即可得到所求范围； （ 2）求出对称轴，讨论对称轴和区间 0， 1的关系，可得最值，即可证明 M+m 0 【解答】 解：（ 1）由题意可得 f（ x） =421+b 在 0， 1内有两个不同的零点， 即有 即为 ， 解得 1 b 2 或 2 b 3； （ 2）证明： f（ x）的对称轴为 x= ， 当 1 时，区间 0， 1为减区间，可得 M=f（ 0） =b a， m=f（ 1） =3a b，则 M+m=2a 0； 当 0 时，区间 0， 1为增区间，可得 m=f（ 0） =b a， M=f（ 1） =3a b，则 M+m=2a 0； 当 0 1 时，区间 0， 为减区间， ， 1为增区间， 可得 m=f（ ） = ， 若 f（ 0） f（ 1），即 b 2a，可得 M=f（ 1） =3a b， 第 14 页（共 17 页） M+m= =a 0； 若 f（ 0） f（ 1），即 2a b 4a，可得 M=f（ 0） =b a， M+m= = ， 由于 2a b 4a，可得 M+m （ a， 2a，即为 M+m 0 综上可得 M+m 0 恒成立 19如图，椭圆 C： + =1（ a b 0）的左焦点为 1， 0），离心率是 e，点（ 1，e）在椭圆上 （ ）求椭圆 C 的方 程； （ ）设点 M（ 2， 0），过点 直线交 C 于 A， B 两点，直线 直线 x= 2 分别交于 P， Q 两点，求 积