深圳市南山区2016届高三(上)期末数学试卷(理)含答案解析

第 1 页（共 23 页） 2015年广东省深圳市南山区高三（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知全集 U=Z，集合 A=1， 6， A B=2， 0， 1， 6，那么（ B=（ ） A B 3， 4， 5 C 2， 0 D 1， 6 2已知复数 z=x+x、 y R），且有 ，则 |z|=（ ） A 5 B C 3 D 3设 a， b R，则 “a b 1”是 “a b （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4二项式 的展开式中，若常数项为 60，则 值为（ ） A 2 B 3 C 4 D 6 5实数 x、 y 满足条件 ，则 z=x y 的最小值为（ ） A 1 B 1 C D 2 6表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产 A 产品过程中记录的产量 x（吨）与相应的生产能耗 y（吨标准煤）的几组对应数据根据下表提供的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程为 =么表中 t 的值为（ ） x 3 4 5 6 y 2.5 t 4 3 B 设 是第二象限角，且 ，则 ） A B C D 8阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出 i 的结果为（ ） A 7 B 8 C 9 D 10 9如图，在矩形 ， ， ，沿 矩形 叠，连接 得三棱锥 D 正视图和俯视图如图所示，则三棱锥 D 侧视图的面积为（ ） 第 2 页（共 23 页） A B C D 10如图，已知 双曲线 的下，上焦点，过 作以圆心， |半径的圆的切线， P 为切点，若切线段 一条渐近线平分，则双曲线的离心率为（ ） A 3 B 2 C D 11在 ， A， B， C 的对边分别为 a， b， c， a=10， ，且 c=（ ） A 15 B 5 C 3 D 25 12已知椭圆 E： + =1（ a b 0）的右焦点为 F，短轴的一个端点为 M，直线 l： 3x 4y=0 交椭圆 E 于 A， B 两点，若 |4，点 M 到直线 l 的距离不小于 ，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ） A（ 0， B（ 0， C ， 1） D ， 1） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13设随机变量 X 服从正态分布 N（ 1， 2），且 P（ X 1） =P（ X a 3），则正数a= 第 3 页（共 23 页） 14设 a 0， a 1，则 “函数 f（ x） = R 上是减函数 ”，是 “函数 g（ x） =（ 2 a） 的 条件（在 “充分不必要条件 ”、 “必要不充分 ”、 “充分必要 ”、 “既不充分有不必要 ”中选一个填写） 15已知数列 足 ， ， 数列 前 n 项和，则 16函数 f（ x） =2x+）（ | ）的图象向左平移 个单位后关于原点对称，则当函数 f（ x）在 0， 上取得最小值时， x= 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17已知 一个单调递增的等差数列，且满足 是 等比中项， a1+0数列 足 （ 1）求数列 通项公式 （ 2）求数列 前 n 项和 18某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将 所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为 50， 60）， 60， 70）， 70， 80）， 80， 90）， 90， 100 （ ）试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩； （ ）如果从参加本次考试的同学中随机选取 1 名同学，求这名同学考试成绩在 80 分以上（含 80 分）的概率； （ ）如果从参加本次考试的同学中随机选取 3 名同学，这 3 名同学中考试成绩在 80 分以上（含 80 分）的人数记为 X，求 X 的分布列及数学期望（注：频率可以视为相应的概率） 19如图所示，已知四棱锥 P ， 平面 面 直角梯形， ， E 是棱 一点，且 （ 1）求证： 平面 （ 2）求二面角 A D 的大小 第 4 页（共 23 页） 20如图，点 O 为坐标原点，直线 l 经过抛物线 C： x 的焦点 F （ ）若点 O 到直线 l 的距离为 ，求直线 l 的方程； （ ）设点 A 是直线 l 与抛物线 C 在第一象限的交点点 B 是以点 F 为圆心， |半径的圆与 x 轴负半轴的交点试判断直线 抛物线 C 的位置关系，并给出证明 21已知函数 f（ x） =，其中 a 为常数 （ ）若 f（ x）的图象在 x=1 处的切线经过点（ 3， 4），求 a 的值； （ ）若 0 a 1，求证： ； （ ）当函数 f（ x）存在三个不同的零点时，求 a 的取 值范围 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 选修4何证明选讲 22如图所示， 圆 O 的切线， A 为切点， 圆 O 于 B， C 两点， 0， 0， 角平分线与 圆 O 分别交于点 D 和 E （ 1）求证： （ 2）求 E 的值 选修 4坐标系与参数方程 第 5 页（共 23 页） 23在直角坐标系 ，曲线 参数方程为 ，（ 为参数），以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 极坐标方程为 （ ）求曲线 普通方程与曲线 直角坐标方程； （ ）设 P 为曲线 的动点，求点 P 到 点的距离的最小值 选修 4等式选讲 24设函数 f（ x） =|2x a| （ 1）当 a=3 时，解不等式， f（ x） |x 2| （ 2）若 f（ x） 1 的解集为 0， 1， + =a（ m 0， n 0），求证： m+2n 4 第 6 页（共 23 页） 2015年广东省深圳市南山区高三（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知全集 U=Z，集合 A=1， 6， A B=2， 0， 1， 6，那么（ B=（ ） A B 3， 4， 5 C 2， 0 D 1， 6 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 直接利用补集和交集的运算进行求解即可得到答案 【解答】 解：全集 U=Z，集合 A=1， 6， A B=2， 0， 1， 6， 集合 B A B，并且一定有 0， 2， 一定有 0， 2， （ B=0， 2 故选： C 2已知复数 z=x+x、 y R），且有 ，则 |z|=（ ） A 5 B C 3 D 【考点】 复数求模 【分析】 利用复数的乘法运算法则化简复数，通过复数相等求出结果即可 【解答】 解：复数 z=x+x、 y R），且有 ， x=1+y+（ y 1） i， 解得 y=1， x=2， |z|=|2+i|= 故选： B 3设 a， b R，则 “a b 1”是 “a b （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论 【解答】 解：设命题 p： a b 1；则 a b 0， 命题 q： a b 简得 （ a b） （ a+b）（ a b）， 又 a， b R， pq， q 推不出 p， P 是 q 的充分不必要条件， 即 “a b 1”是 “a b 充分不必要条件， 故选： A 第 7 页（共 23 页） 4二项式 的展开式中，若常数项为 60，则 值为（ ） A 2 B 3 C 4 D 6 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 根据二项展开式的通项公式 ，求出常数项的表达式，即可求出 值 【解答】 解：（ x+ ） 6 的二项展开式的通项公式为： = = nr3r， 令 6 3r=0， 解得 r=2； 所以展开式中的常数项为： m250， 解得 故选： C 5实数 x、 y 满足条件 ，则 z=x y 的最小值为（ ） A 1 B 1 C D 2 【考点】 简单线性规划 【分析】 由题意作出其平面区域，将 z=x y 化为 y=x z， z 相当于直线 y=x z 的纵截距，由几何意义可得 【解答】 解：由题意作出其平面区域， 将 z=x y 化为 y=x z， z 相当于直线 y=x z 的纵截距， 则过点（ 0， 1）时， z=x y 取得最小值， 则 z=0 1= 1， 第 8 页（共 23 页） 故选 B 6表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产 A 产品过程中记录的产量 x（吨）与相应的生产能耗 y（ 吨标准煤）的几组对应数据根据下表提供的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程为 =么表中 t 的值为（ ） x 3 4 5 6 y 2.5 t 4 3 B 考点】 回归分析的初步应用 【分析】 先求出这组数据的样本中心点，样本中心点是用含有 t 的代数式表示的，把样本中心点代入变形的线性回归方程，得到关于 t 的一次方程，解方程，得到结果 【解答】 解： 由回归方程知 = ， 解得 t=3， 故选 A 7设 是第二象限角，且 ，则 ） A B C D 【考点】 二倍角的正切 【分析】 根据题意，利用同角三角函数的基本关系算出 得 由二倍角的正切公式加以计算，可得 值 【解答】 解： ， 又 是第二象限角，得 0， ， 由此可得 ，因此 = 故选： D 8阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出 i 的结果为（ ） A 7 B 8 C 9 D 10 【考点】 程序框图 第 9 页（共 23 页） 【分析】 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 i 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】 解：第一次执行循环体后 ， S=不满足退出循环的条件， i=3； 再次执行循环体后， S= ，不满足退出循环的条件， i=5； 再次执行循环体后， S= ，不满足退出循环的条件， i=7； 再次执行循环体后， S= ，不满足退出循环的条件， i=9； 再次执行循环体后， S= ，满足退出循环的条件， 故输出的 i 值为 9， 故选： C 9如图，在矩形 ， ， ，沿 矩形 叠，连接 得三棱锥 D 正视图和俯视图如图所示，则三棱锥 D 侧视图的面积为（ ） A B C D 【考点】 简单空间图形的三视图 【分析】 由题意知平面 平面 棱锥 A 视图为等腰直角三角形，两条直角边分别是过 B 和 D 向 做的垂线，求出直角边的长度，即可得侧视图的面积 【解答】 解：由正视图和俯视图可知平面 平面 三棱锥 A 视图为等腰直角三角形，两条直角边分别是过 A 和 C 向 做的垂线， 第 10 页（共 23 页） 由面积相等可得直角边长为 = ， 侧视图面积为 S = = 故选： C 10如图，已知 双曲线 的下，上焦点，过 作以圆心， |半径的圆的切线， P 为切点，若切线段 一条渐近线平分，则 双曲线的离心率为（ ） A 3 B 2 C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 由已知 0， c），直线 y c= ，过 作以 圆心， |半径的圆的方程为 y+c） 2=立 ，求出 P，从 而求出 M，由此能求出双曲线的离心率 【解答】 解： 双曲线 的下，上焦点，过 作以圆心， |半径的圆的切线， P 为切点，若切线段 一条渐近线平分， 0， c）， |2c， |c， 直线 斜率 k= ， 第 11 页（共 23 页） 直线 y c= ，过 作以 圆心， |半径的圆的方程为 y+c）2= 联立 ，得 P（ ， c）， M（ ， ）， 切线段 一条渐近线平分， M（ ， ）在渐近线 y= 上， ， b= ， c2=a2+c=2a， 双曲线的离心率为 e= 故选： B 11在 ， A， B， C 的对边分别为 a， b， c， a=10， ，且 c=（ ） A 15 B 5 C 3 D 25 【考点】 余弦定理的应用；三角形中的几何计算 【分析】 先根据等差数列的性质，以及正弦定理和两角和的正弦公式求出 B=60，再根据余弦定理即可求出 c 的值 【解答】 解、 等差数列， 2 由正弦定理 = = ， 2 即 2A+C） = A， B， C 为 内角， 0， ， B=60， 由余弦定理，可得 b2=a2+2a=10， ， 10c 15=0， 解得 c=15， 故选： A 12已知椭圆 E： + =1（ a b 0）的右焦点为 F，短轴的一个端点为 M，直线 l： 3x 4y=0 交椭圆 E 于 A， B 两点，若 |4，点 M 到直线 l 的距离不小于 ，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ） 第 12 页（共 23 页） A（ 0， B（ 0， C ， 1） D ， 1） 【考点】 直线与圆锥曲线的关系 【分析】 如图所示，设 F为椭圆的左焦点，连接 则四边形 平行四边形，可得 4=|+|2a取 M（ 0， b），由点 M 到直线 l 的距离不小于 ，可得 ，解得 b 1再利用离心率计算公式 e= = 即可得出 【解答】 解：如图所示，设 F为椭圆的左焦点，连接 则四边形 平行四边形， 4=|+|2a， a=2 取 M（ 0， b）， 点 M 到直线 l 的距离不小于 ， ，解得 b 1 e= = = 椭圆 E 的离心率的取值范围是 故选： A 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13设随机变量 X 服从正态分布 N（ 1， 2），且 P（ X 1） =P（ X a 3），则正数 a= 3 或 2 【考点】 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 【分析】 根据正态曲线关于 x=1 对称，得到两个概率相等的区间关于 x=1 对称，得到关于 方程即可 【解答】 解： 随机变量 X 服从正态分布 N（ 1， 2），且 P（ X 1） =P（ X a 3）， 1+a 3=2， a= 3 或 2， 故答案为： 3 或 2 14设 a 0， a 1，则 “函数 f（ x） = R 上是减函数 ”，是 “函数 g（ x） =（ 2 a） 的 充分不必要 条件（在 “充分不必要条件 ”、 “必要不充分 ”、 “充分必要 ”、 “既不 充分有不必要 ”中选一个填写） 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 第 13 页（共 23 页） 【分析】 根据函数 f（ x） = R 上是减函数求出 a 的范围，代入函数 g（ x） =（ 2 a） 析函数的增减性，然后根据函数 g（ x） =（ 2 a） R 上是增函数，求出 a 的范围，判断函数 f（ x） = R 上是否为减函数 【解答】 解：由函数 f（ x） = R 上是减函数，知 0 a 1，此时 2 a 0，所以函数 g（ x） =（ 2 a） R 上是增函数， 反之由 g（ x） =（ 2 a） R 上是增函数，则 2 a 0，所以 a 2，此时函数 f（ x） = 上可能是减函数，也可能是增函数， 故 “函数 f（ x） = R 上是减函数 ”是 “函数 g（ x） =（ 2 a） R 上是增函数 ”的充分不必要的条件 故答案为充分不必要 15已知数列 足 ， ， 数列 前 n 项和，则 1 【考点】 数列递推式 【分析】 由数列 足 ， ，可得 3=1， 2= 1， 1= 1， ， k N*即可得出 【解答】 解： 数列 足 ， ， 1， 1， ， ， 3=1， 2= 1， 1= 1， ， k N*即数列各项的值呈周期性出现 03 （ 1 1 1+1） +（ 1 1 1） = 1 故答案为： 1 16函数 f（ x） =2x+）（ | ）的图象向左平移 个单位后关于原点对称，则当函数 f（ x）在 0， 上取得最小值时， x= 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 由条件根据函数 y=x+）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性可得+=， k z，由此 根据 | 求得 的值得到函数解析式即可得解 【解答】 解：函数 f（ x） =2x+）（ | ）的图象向左平移 个单位后得到的函数解析式是： y=（ x+ ） +=2x+ +）， 函数图象关于原点对称， 可 得 +=， k z， | ， 可解得： = ，即有： f（ x） =2x+ ） 第 14 页（共 23 页） 由题意 x 0， ，得 2x+ ， ， 2x+ ） 1， ，即有当 2x+ = 即 x= 时，函数 f（ x） =2x+ ）在区间 0， 的取最小值为 1 故答案为： 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17已知 一个单调递增的等差数列，且满足 是 等比中项， a1+0数列 足 （ 1）求数列 通项公式 （ 2）求数列 前 n 项和 【考点】 数列的 求和 【分析】 （ 1）设等差数列 公差为 d，运用等比数列的中项的性质和等差数列的通项公式即可得出； （ 2）利用数列的求和方法： “错位相减法 ”与等比数列的前 n 项和公式即可得出 【解答】 解：（ 1）设等差数列 公差为 d，则依题知 d 0 由 2a3=a1+0，又可得 由 是 等比中项，可得 1， 得（ 5 d）（ 5+d） =21，可得 d=2 a1=2d=1可得 n 1（ n N*）； （ 2）由（ 1）得 =（ 2n 1） （ ） n， +3 +5 +（ 2n 1） （ ） n， +3 +5 +（ 2n 1） （ ） n+1， 得， +2（ + +（ ） n）（ 2n 1） （ ） n+1 = +2 （ 2n 1） （ ） n+1， 18某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字 听写考试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为 50， 60）， 60， 70）， 70， 80）， 80， 90）， 90， 100 第 15 页（共 23 页） （ ）试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩； （ ）如果从参加本次考试的同学中随机选取 1 名同学，求这名同学考试成绩在 80 分以上（含 80 分）的概率； （ ）如果从参加本次考试的同学中随机选取 3 名同学，这 3 名同学中考试成绩在 80 分以上（含 80 分）的人数记为 X，求 X 的分布列及数学期望（注：频率可以视为相应的概率） 【考点】 频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差 【分析】 （ ）根据频率分布直方图，计算数据的平均数即可； （ ）计算被抽到的同学考试成绩在 80（分）以上的概率； （ ）得出 X 可能的取值，求出 X 的分布列与期望 E（ X） 【解答】 解：（ ）估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩为： 55+65+75+85+95= （ ）设被抽到的这名同学考试成绩在 80（分）以上为事件 A P（ A） =10+10= 被抽到的这名同学考试成绩在 80（分）以上的概率为 （ ）从参加考试的同学中随机抽取 1 名同学的成绩在 80（分）以上的概率为 P= ； X 可能的取值是 0， 1， 2， 3； P（ X=0） = = ； P（ X=1） = = ； P（ X=2） = = ； P（ X=3） = = ； X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 所以 E（ X） =0 +1 +2 +3 = ； （或 X B（ 3， ）， 第 16 页（共 23 页） E（ X） = = 19如图所示，已知四棱锥 P ， 平面 面 直角梯形， ， E 是棱 一点，且 （ 1）求证： 平面 （ 2）求二面角 A D 的大小 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）先证 平面 得 用勾股定理的逆定理证 此能证明 平面 （ 2）设 点为 O， 点为 M，连 三垂线逆定理知 二面角 A D 的平面角，由此能求出二面角 A D 的大小 【解答】 证明：（ 1） 平面 面 底面 直角梯形， ， C= = ， A=A， 平面 = ， E 是棱 一点，且 ， ， C=C， 平面 解：（ 2）设 点为 O， 点为 M，连 则 平面 （ 1）知 由三垂线逆定理知 二面角 A D 的平面角， ， ， 0， 二面角 A D 的大小 60 第 17 页（共 23 页） 20如图，点 O 为坐标原点，直线 l 经过抛物线 C： x 的焦点 F （ ）若点 O 到直线 l 的距离 为 ，求直线 l 的方程； （ ）设点 A 是直线 l 与抛物线 C 在第一象限的交点点 B 是以点 F 为圆心， |半径的圆与 x 轴负半轴的交点试判断直线 抛物线 C 的位置关系，并给出证明 【考点】 直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程 【分析】 法一：（ ）抛物线的焦点 F（ 1， 0），当直线 l 的斜率不存在时，即 x=1 不符合题意当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为： y=k（ x 1），所以 ，由此能求出直线 l 的方程 （ ）直线 抛物线相切设 A（ 则 因为 |，所以B（ 0），由此能够证明直线 抛物线相切 法二：（ ）同解法一 （ ）直线 抛物线相切，设 A（ 则 设圆的方程为：由此能够证明直线 抛物线相切 【解答】 解法一：（ ）抛物线的焦点 F（ 1， 0）， 当直线 l 的斜率不存在时，即 x=1 不符合题意 当直线 l 的斜率存在时， 设直线 l 的方程为： y=k（ x 1），即 y k=0 所以， ，解得： 故直线 l 的方程为： ，即 （ ）直线 抛物线相切，证明如下： （法一）：设 A（ 则 因为 |，所以 B（ 0） 所以直线 方程为： ， 第 18 页（共 23 页） 整理得： （ 1） 把方程（ 1）代入 x 得： ， ， 所以直线 抛物线相切 解法二：（ ）同解法一 （ ）直线 抛物线相切，证明如下： 设 A（ 则 设圆的方程为： ， 当 y=0 时，得 x=1 （ ）， 因为点 B 在 x 轴负半轴，所以 B（ 0） 所以直线 方程为 ， 整理得： （ 1） 把方程（ 1）代入 x 得： ， ， 所以直线 抛物线相切 21已知函数 f（ x） =，其中 a 为常数 （ ）若 f（ x）的图象在 x=1 处的切线经过点（ 3， 4），求 a 的值； （ ）若 0 a 1，求证： ； （ ）当函数 f（ x）存在三个不同的零点时，求 a 的取值范围 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ ）求出原函数的导函数，得到 f（ 1） =1 2a，又 ，得 1 2a=2，求得 a= ； （ ）求出 ，构造函数，由导数求得 得答案； 第 19 页（共 23 页） （ ）求出原函数的导函数，然后分 a 0， a ， 0 三种情况讨论 f（ x）的零点的个数 【解答】 解：（ ） f（ x） =， ， f（ 1） =1 2a， 又 ， 1 2a=2， a= ； （ ） ， 令 ， 则 ， x （ 0， 1）时， g（ x） 0， g（ x）单调递减， 故 x （ 0， 1）时， ， 当 0 a 1 时， ； （ ） ， 当 a 0 时，在（ 0， +）上， f（ x） 0， f（ x）递增， f（ x）至多只有一个零点，不合题意； 当 a 时，在（ 0， +）上， f（ x） 0， f（ x）递减， f（ x）至多只有一个零点，不合题意； 当 0 时，令 f（ x） =0，得 ， 此时， f（ x）在（ 0， 递减，（ 递增，（ +）上递减， f（ x）至多有三个零点 f（ x）在（ 1）递增， f（ f（ 1） =0， 又 ， ，使得 f（ =0， 又 ， 恰有三个不同零点： ， 函数 f（ x）存在三个不同的零点时， a 的取值范围是 第 20 页（共 23 页） 请考生在 22、 23、 24 三