内蒙古包头市2016届高三(上)期末数学试卷(理)含答案解析

第 1 页（共 21 页） 2015年内蒙古包头市高三（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1已知集合 M= x| 3 x 5， N= x|x 5 或 x 5，则 M N=（ ） A x|x 5 或 x 3 B x| 5 x 5 C x| 3 x 5 D x|x 3 或 x 5 2设 a， b， c R，则复数（ a+ c+实数的充要条件是（ ） A B C ac+ D ad+ 3已知随机变量 服从正态分布 N（ 2， 2），且 P（ 4） = P（ 0 2） =（ ） A 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ） A 3 B 4 C 5 D 8 5若变量 x， y 满足约束条件 ，则 z=2x y 的最大值为（ ） A 1 B 0 C 3 D 4 6已知双曲线 =1（ a 0， b 0）的离心率为 ，则双曲线的渐近线方程为（ ） A y= 2x B y= x C y= x D y= x 7（ x+ ） 5（ x R）展开式中 系数为 10，则实数 a 等于（ ） A 1 B C 1 D 2 8已知函数 f（ x） =x+）的部分图象如图所示，点 B， C 是该图象与 x 轴的交点，过点 C 的直线与该图象交于 D， E 两点，则 的值为（ ） 第 2 页（共 21 页） A 1 B C D 2 9设偶函数 f（ x）满足 f（ x） =2x 4（ x 0），则 x|f（ x 2） 0=（ ） A x|x 2 或 x 4 B x|x 0 或 x 4 C x|x 0 或 x 6 D x|x 2 或x 2 10如图，一个几何体三视图的正视图和侧视图为边长为 2 锐角 60的菱形，俯视图为正方形，则此几何体的内切球表面积为（ ） A 8 B 4 C 3 D 2 11设 F 为抛物线 C： x 的焦点，过 F 且 倾斜角为 30的直线交 C 于 A， B 两点，若抛物线的准线与 x 轴的交点为 P，则 面积为（ ） A B C D 12已知函数 f（ x） = ，若对 x R 都有 |f（ x） | 实数 a 的取值范围是（ ） A（ ， 0 B 2， 0 C 2， 1 D（ ， 1 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上） 13设 和 为不重合的两个平面，给出下列命题： 若 内的两条相交直线分别平行于 内的两条直线，则 ； 若 外的一条直线 I 与 内的一条直线平行，则 I 设 =I，若 内有一条直线垂直于 I，则 直线 I 的充要条件是 I 与 内的两条直线垂直 其中所有的真命题的序号是 14正方形的四个顶点 A（ 1， 1）， B（ 1， 1）， C（ 1， 1）， D（ 1， 1）分别在抛物线 y= y=，如图所示，若将一个质点随机投入正方形 ，则质点落在图中阴影区域的概率是 第 3 页（共 21 页） 15已知二次函数 y=f（ x）的两个零点为 0， 1，且其图象的顶点恰好在函数 y=图象上函数 f（ x）在 x 0， 2上的值域是 16已知 a， b， c 分别为 三个内角 A， B， C 的对边， a=2 且（ 2+b）（ （ c b） 积的最大值为 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17设 数列 前 n 项和，已知 0， 21n N* （ 1）求 求数列 通项公式， （ 2）求数列 前 n 项和 18空气质量指数 位： g/示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重： 均浓度 0 35 35 75 75 115 115 150 150 250 250 空气质量级别 一级 二 级 三级 四级 五级 六级 空气质量类型 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 甲、乙两城市 2013 年 2 月份中的 15 天对空气质量指数 行监测，获得 均浓度指数数据如茎叶图所示： （ ）根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市 15 天内哪个城市空气质量总体较好？（注：不需说明理由） （ ）在 15 天内任取 1 天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率； （ ）在乙城市 15 个监测数据中任取 2 个，设 X 为空气质量类别为优或良的天数，求 X 的分布列及数学期望 19如图，在四棱锥 P ， 平面 5，D=2， 第 4 页（共 21 页） （ 1）证明 （ 2）求二面角 A D 的正弦值 20已知动点 M（ x， y）到直线 ： x=4 的距离是它到点 N（ 1， 0）的距离的 2 倍 （ 1）求动点 M 的轨迹 C 的方程； （ 2）过点 P（ 0， 3）的直线 m 与轨迹 C 交于 A， B 两点，若 A 是 中点，求点 A 的坐标 21已知函数 为常数， e=自然对数的底数），曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线与 x 轴平行 （ ）求 k 的值； （ ）求 f（ x）的单调区间； （ ）设 g（ x） =（ x2+x） f（ x），其中 f（ x）为 f（ x）的导函数证明：对任意 x 0， g（ x） 1+e 2 请考生在第 22， 23， 24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4何证明选讲 22如图， P 是 O 外一点， 切线， A 为切点，割线 O 相交于点 B， C， 为 中点， 延长线交 O 于点 E，证明： （ ） C； （ ） E=2 选修 4坐标系与参数方程 23在平面直角坐标系 ，直线 l 的参数方程为 （ t 为参数），在以坐标原点O 为极点， x 轴的正非负半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系中，圆的极坐标方程为=4 （ ）求直线 l 被圆截得的弦长； 第 5 页（共 21 页） （ ）从极点作圆 C 的弦，求各弦中点的极坐标方程 选修 4等式选讲 24设函数 f（ x） =|x+ |+|x a|（ a 0） （ ）证明： f（ x） 2； （ ）若 f（ 3） 5，求 a 的取值范围 第 6 页（共 21 页） 2015年内蒙古包头市高三（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1已知集合 M= x| 3 x 5， N= x|x 5 或 x 5，则 M N=（ ） A x|x 5 或 x 3 B x| 5 x 5 C x| 3 x 5 D x|x 3 或 x 5 【考点】 并集及其运算 【分析】 利用数轴，在数轴上画出集合，数形结合求得两集合的并集 【解答】 解：在数轴上画出集合 M=x| 3 x 5， N=x|x 5 或 x 5， 则 M N=x|x 5 或 x 3 故选 A 2设 a， b， c R，则复数（ a+ c+实数的充要条件是（ ） A B C ac+ D ad+ 【考点】 复数相等的 充要条件；复数的代数表示法及其几何意义 【分析】 本题考查的是复数的充要条件注意到复数 a+a R， b R）为实数 b=0 【解答】 解： a， b， c R，复数（ a+ c+=（ +（ ad+i 为实数， ad+，故选 D 3已知随机变量 服从正态分布 N（ 2， 2），且 P（ 4） = P（ 0 2） =（ ） A 考点】 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 【分析】 根据随机变量 X 服从正态分布 N（ 2， 2），看出 这组数据对应的正态曲线的对称轴 x=2，根据正态曲线的特点，得到 P（ 0 2） = P（ 0 4），得到结果 【解答】 解： 随机变量 X 服从正态分布 N（ 2， 2）， =2，得对称轴是 x=2 P（ 4） = P（ 4） =P（ 0） = P（ 0 4） = P（ 0 2） = 故选 C 第 7 页（共 21 页） 4如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ） A 3 B 4 C 5 D 8 【考点】 循环结构 【分析】 列出循环中 x， y 的对应关系，不满足判断框结束循环，推出结果 【解答】 解：由题意循环中 x， y 的对应关系如图： x 1 2 4 8 y 1 2 3 4 当 x=8 时不满足循环条件，退出循环，输出 y=4 故选 B 5若变量 x， y 满足约束条件 ，则 z=2x y 的最大值为（ ） A 1 B 0 C 3 D 4 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的平行直线，将直线平移，由图知过（ 2， 1）时，截距最小，此时 z 最大，从而求出 z=2x y 的最大值 【解答】 解：画出不等式表示的平面区域将目标函数变形为 y=3x z，作出目标函数对应的平行直线， 将直线平移，由图知过（ 2， 1）时，直线的纵截距最小，此时 z 最大， 第 8 页（共 21 页） 最大值为 4 1=3 故选 C 6已知双曲线 =1（ a 0， b 0）的离心率为 ，则双曲线的渐近线方程为（ ） A y= 2x B y= x C y= x D y= x 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 运用离心率公式，再由双曲线的 a， b， c 的关系，可得 a， b 的关系，再由渐近线方程即可得到 【解答】 解：由双曲线的离心率 为 ， 则 e= = ，即 c= a， b= = = a， 由双曲线的渐近线方程为 y= x， 即有 y= x 故选 D 7（ x+ ） 5（ x R）展开式中 系数为 10，则实数 a 等于（ ） A 1 B C 1 D 2 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令 x 的指数为 3，列出方程求出 【解答】 解： =r（ ） r=2r， 又令 5 2r=3 得 r=1， 第 9 页（共 21 页） 由题设知 0a=2 故选 D 8已知函数 f（ x） =x+）的部分图象如图所示，点 B， C 是该图象与 x 轴的交点，过点 C 的直线与该图象交于 D， E 两点，则 的值为（ ） A 1 B C D 2 【考点】 y=x+）中参数的物理意义；平面向量数量积的运算 【分析】 根据三角函数的图象和性质，求出函数的周期，利用向量的基本运算和向量的数量积定义即可得到结论 【解答】 解： 函数 f（ x） =2x+）的周期 T= =2， 则 =1，则 C 点是一个对称中心， 则根据向量的平行四边形法则可知： =2 ， = =2 =2| |2=2 12=2 故选： D 9设偶函数 f（ x）满足 f（ x） =2x 4（ x 0），则 x|f（ x 2） 0=（ ） A x|x 2 或 x 4 B x|x 0 或 x 4 C x|x 0 或 x 6 D x|x 2 或x 2 【考点】 偶函数；其他不等式的解法 【分析】 由偶函数 f（ x）满足 f（ x） =2x 4（ x 0），可得 f（ x） =f（ |x|） =2|x| 4，根据偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，再求解不等式，可得答案 【解答】 解：由偶函数 f（ x）满足 f（ x） =2x 4（ x 0），可得 f（ x） =f（ |x|） =2|x| 4， 则 f（ x 2） =f（ |x 2|） =2|x 2| 4，要使 f（ |x 2|） 0，只需 2|x 2| 4 0， |x 2| 2 解得 x 4，或 x 0 应选： B 10如图，一个几何体三视图的正视图和侧视图为边长为 2 锐角 60的菱形，俯视图为正方形，则此几何体的内切球表面积为（ ） 第 10 页（共 21 页） A 8 B 4 C 3 D 2 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由题意可知，该几何体的内切球的球心即为该几何体的中心，进而可求此几何体的内切球的半径，即可得到此几何体的内切球表面积 【解答】 解：由于此几何体三视图的正视 图和侧视图为边长为 2 锐角 60的菱形，俯视图为正方形， 则该几何体的内切球的球心即为该几何体的中心，即是正方形的中心 由此几何体三视图可知，几何体每个面的三边长分别为 ， 设此几何体的内切球的半径为 r，则由体积相等得到： = 解得 r= ，则此几何体的内切球表面积为 故答案为 C 11设 F 为抛物线 C： x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30的直线交 C 于 A， B 两点，若抛物线的准线与 x 轴的交点为 P，则 面积为（ ） A B C D 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 由焦点弦的性质求出 求出 P 点到直线 距离，即可求出 面积 【解答】 解：由焦点弦的性质可得 ， P 点到直线 距离就是原点到直线 距离的 2 倍，为 ， 那么 故选： C 12已知函数 f（ x） = ，若对 x R 都有 |f（ x） | 实数 a 的取值范围是（ ） 第 11 页（共 21 页） A（ ， 0 B 2， 0 C 2， 1 D（ ， 1 【考点】 分段函数的应用 【分析】 作出函数的图象，利用不等式恒成立进行转化求解即可 【解答】 解：由 y=|f（ x） |的图象知： 当 x 0 时， y=有 a 0 时，才有可能满足 |f（ x） | 排除 C， D 当 x 0 时， y=|f（ x） |=| x|=2x 故由 |f（ x） | 2x 当 x=0 时，不等式为 0 0 成立 当 x 0 时，不等式等价于 x 2 a x 2 2， a 2 综上可知： a 2， 0， 故选： B 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上） 13设 和 为不重合的两个平面，给出下列命题： 若 内的两条相交直线分别平行于 内的两条直线，则 ； 若 外的一条直线 I 与 内的一条直线平行，则 I 设 =I，若 内有一条直线垂直于 I，则 直线 I 的充要条件是 I 与 内的两条直线垂直 其中所有的真命题的序号是 【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】 结合判定定理，作出图形举出反例等进行判 断 【解答】 解：由面面平行的判定定理可知 正确； 由线面平行的判定定理可知 正确； 当 ， 斜交时， 内存在无数条直线都与 I 垂直，显然 ， 不垂直，故 错误； 若 内的两条平行直线与 I 垂直，则不能保证 I 与 垂直，故 错误 故答案为： 14正方形的四个顶点 A（ 1， 1）， B（ 1， 1）， C（ 1， 1）， D（ 1， 1）分别在抛物线 y= y=，如图所示，若将一个质点随机投入正方形 ，则质点落在图中阴影区域的概率是 第 12 页（共 21 页） 【考点】 几何概型 【分析】 利用几何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积比即可得到结论 【解答】 解： A（ 1， 1）， B（ 1， 1）， C（ 1， 1）， D（ 1， 1）， 正方体的 面积 S=2 2=4， 根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积 S=2=2 =2（ 1 ）（ 1+ ） =2 = ， 则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是 故答案为： 15已知二次函数 y=f（ x）的两个零点为 0， 1，且其图象的顶点恰好在函数 y=图象上函数 f（ x）在 x 0， 2上的值域是 1， 8 【考点】 函数零点的判定定理 【分析】 由函数零点的定义设出 f（ x）的解析式，结合条件求出顶点坐标，代入函数解析式求出系数，即可求出 f（ x）的解析式，由配方法和二次函数的性质求出值域 【解答】 解： 二次函数 y=f（ x）的两个零点为 0， 1， 设 f（ x） =x 1），则定点的横坐标 x= ， f（ x）图象的顶点恰好在函数 y=图象上， y= 1，则顶点为 ， 代入 f（ x）得， a（ 1） = 1，解得 a=4， 则 f（ x） =4x（ x 1） =4 ， x 0， 2， 当 x= 时， f（ x）取到最小值是 1；当 x=2 时， f（ x）取到最大值是 8， 1 f（ x） 8，即 f（ x） 的值域是 1， 8 第 13 页（共 21 页） 16已知 a， b， c 分别为 三个内角 A， B， C 的对边， a=2 且（ 2+b）（ （ c b） 积的最大值为 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 由正弦定理化简已知可得 2a b2=合余弦定理可求 A 的值，由基本不等式可求 4，再利用三角形面积公式即可计算得解 【解答】 解：因为：（ 2+b）（ =（ c b） （ 2+b）（ a b） =（ c b） c 2a b2= 又因为： a=2， 所以： ， 积 ， 而 b2+a2=b2+bc=b2+ 4 所以： ，即 积的最大值为 故答案为： 三、解答题 （本大题共 5 小题，共 70 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17设 数列 前 n 项和，已知 0， 21n N* （ 1）求 求数列 通项公式， （ 2）求数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ 1）利用递推式与等比数列的通项公式可得 （ 2）利用 “错位相减法 ”、等比数列前 n 项和公式即可得出 【解答】 解 （ 1） 0， 21n N* 令 n=1 得 ，令 n=2 得 当 n 2 时，由 21=21 1=1，两式相减得 1， 又 0，则 0， 于是数列 首项为 1，公比为 2 的等比数列， 通项公式 ； （ 2）由（ 1）知， n2n 1， +2 2+3 22+n 2n 1， 2+2 22+3 23+（ n 1） 2n 1+n 2n， +2+22+2n 1 n 2n= n 2n=（ 1 n） 2n 1， n 1） 2n+1 第 14 页（共 21 页） 18空气质量指数 位： g/示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重： 均浓度 0 35 35 75 75 115 115 150 150 250 250 空气质量级别 一级 二级 三级 四级 五级 六级 空气质量类型 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 甲、乙两城市 2013 年 2 月份中的 15 天对空气质量指数 行监测，获得 均浓度指数数据如茎叶图所 示： （ ）根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市 15 天内哪个城市空气质量总体较好？（注：不需说明理由） （ ）在 15 天内任取 1 天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率； （ ）在乙城市 15 个监测数据中任取 2 个，设 X 为空气质量类别为优或良的天数，求 X 的分布列及数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ I）由茎叶图可知：甲城市空气质量一级和二级共有 10 天，而乙城市空气质量一级和二级只有 5 天，因此 甲城市空气质量总体较好 （ （ I）的分析及相互独立事件的概率计算公式即可得出； （ 用超几何分布即可得到分布列，再利用数学期望的计算公式即可得出 【解答】 解：（ ）甲城市空气质量总体较好 （ ）甲城市在 15 天内空气质量类别为优或良的共有 10 天，任取 1 天，空气质量类别为优或良的概率为 ， 乙城市在 15 天内空气质量类别为优或良的共有 5 天，任取 1 天，空气质量类别为优或良的概率为 ， 在 15 天内任取 1 天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为 （ ） X 的取值为 0， 1， 2， ， ， P（ X=2） = = X 的分布列为： X 0 2 第 15 页（共 21 页） P 数学期望 19如图，在四棱锥 P ， 平面 5，D=2， （ 1）证明 （ 2）求二面角 A D 的正弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系 【分析】 （ 1）推导出 而 面 此能证明 （ 2）过 A 作 M，连接 所求角，由此能求出二面角 A D 的正弦值 【解答】 证明：（ 1） 平面 面 又 C=A， 面 又 （ 2）过 A 作 M，连接 所求角， 在 ， ， 在 ， ， 在 ， 二面角 A D 的正弦值为 第 16 页（共 21 页） 20已知动点 M（ x， y）到直线 ： x=4 的距离是它到点 N（ 1， 0）的距离的 2 倍 （ 1）求动点 M 的轨迹 C 的方程； （ 2）过点 P（ 0， 3）的直线 m 与轨迹 C 交于 A， B 两点，若 A 是 中点，求点 A 的坐标 【考点】 椭 圆的简单性质 【分析】 （ 1）由已知得 |x 4|=2 ，由此能求出动点 M 的轨迹方程 （ 2） P（ 0， 3），设 A（ B（ 由 A 是 中点，得 2x1=直线 m 的方程为 y=，代入椭圆，得（ 3+444=0，由此能求出点 A 的坐标 【解答】 解：（ 1）点 M（ x， y）到直线 x=4 的距离是它到点 N（ 1， 0）的距离的 2 倍， 则 |x 4|=2 ，即（ x 4） 2=4（ x 1） 2+4理得 ， 所以，动点 M 的轨迹是椭圆，方程为 （ 2） P（ 0， 3），设 A（ B（ 由 A 是 中点，得 2x1=圆的上下顶点坐标分别是（ 0， 3）和（ 0， 3）， 经检验直线 m 不经过这两点，即直线 m 的斜率 k 存在， 设直线 m 的方程为 y=，联立 ，得， 所以 ，得 ， 设直线 m 的方程为 ，则 ，得 21已知函数 为常数， e=自然对数的底数），曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线与 x 轴平行 （ ）求 k 的值； （ ）求 f（ x）的单调区间； （ ）设 g（ x） =（ x2+x） f（ x），其中 f（ x）为 f（ x）的导函数证明：对任意 x 0， g（ x） 1+e 2 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程 第 17 页（共 21 页） 【分析】 （ ）先求出 f（ x） = ， x （ 0， +），由 y=f（ x）在（ 1， f（ 1）处的切线与 x 轴平行，得 f（ 1） =0，从而求出 k=1； （ ）由（ ）得： f（ x） = （ 1 x x （ 0， +），令 h（ x） =1 x x （ 0， +），求出 h（ x）的导数，从而得 f（ x）在（ 0， 1）递增，在（ 1， +）递减； （ ）因 g（ x） = （ 1 x x （ 0， +），由（ ） h（ x） =1 x x （ 0，+），得 1 x 1+e 2，设 m（ x） = x+1），得 m（ x） m（ 0） =0，进而 1 x 1+e 2 （ 1+e 2），问题得以证明 【解答】 解：（ ） f（ x） = ， x （ 0， +）， 且 y=f（ x）在（ 1， f（ 1）处的切线与 x 轴平行， f（ 1） =0， k=1； （ ）由（ ）得： f（ x） = （ 1 x x （ 0， +）， 令 h（ x） =1 x x （ 0， +）， 当 x （ 0， 1）时， h（ x） 0，当 x （ 1， +）时， h（ x） 0， 又 0， x （ 0， 1）时， f（ x） 0， x （ 1， +）时， fx） 0， f（ x）在（ 0， 1）递增，在（ 1， +）递减； 证明：（ ） g（ x） =（ x2+x） f（ x）， g（ x） = （ 1 x x （ 0， +）， x 0， g（ x） 1+e 21 x （ 1+e 2）， 由（ ） h（ x） =1 x x （ 0， +）， h（ x） =（ 2）， x （ 0， +）， x （ 0， e 2）时， h（ x） 0， h（ x）递增， x （ e 2， +）时， h（ x） 0， h（ x）递减， h（ x） h（ e 2） =1+e 2， 1 x 1+e 2， 设 m（ x） = x+1）， m（ x） =1= x （ 0， +）时， m（ x） 0， m（ x）递增， m（ x） m（ 0） =0， x （ 0， +）时， m（ x） 0， 即 1， 第 18 页（共 21 页） 1 x 1+e 2 （ 1+e 2）， x 0， g（ x） 1+e 2 请考生在第 22， 23， 24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4何证明选讲 22如图， P 是 O 外一点， 切线， A 为切点，割线 O 相交于点 B， C， 为 中点， 延长线交 O 于点 E，证明： （ ） C； （ ） E=2 【考点】 与圆有关的比