2016年安徽省淮南市高考数学二模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 23 页） 2016 年安徽省淮南市高考数学二模试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1已知集合 M=x|x 1| 2， x R， N= 1， 0， 1， 2， 3，则 MN=（ ） A 0， 1， 2 B 1， 0， 1， 2 C 1， 0， 2， 3 D 0， 1， 2， 3 2已知 ） = 2+），则 值为（ ） A B 2 C D 2 3 “m= 1”是 “直线 2m 1） y+1=0 和直线 3x+=0 垂直 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4已知数列 足： +2，且 ，则 10 项和等于（ ） A B C 210 1 D 1 210 5以双曲线 的左右焦点为焦点，离心率为 的椭圆的标准方程为（ ） A + =1 B + =1 C + =1 D + =1 6函数 y=图象大致为（ ） A B CD 7 欧阳修卖油翁中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿可见 “行行出状元 ”，卖油翁的技艺让人叹为观止若铜钱是直径为 3间有边长为 1正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计），则油滴正好落入孔中的概率是（ ） A B C D 第 2 页（共 23 页） 8若执行如图所示的程序框图，输入 ， ， ， =2，则输出的数 S 等于（ ） A B 1 C D 9若变量 x， y 满足约束条件 ，则 z=x 2y 的最小值是（ ） A 3 B 1 C 3 D不存在 10在 ，点 D 在线段 延长线上，且 ，点 O 在线段 （与点 C、D 不重合），若 的取值范围是（ ） A B C D 11一个三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的体积为（ ） A 1000 B 125 C D 12已知 y=f（ x）为定义在 R 上的单调递增函数， y=f（ x）是其导函数，若对任意 x 有 x，则下列大小关系一定正确的是（ ） A B C D 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分） 13已知复数 z= ，则 |z|= 14求函数 f（ x） = 的单调减区间 第 3 页（共 23 页） 15过点（ 2， 0）引直线 l 与圆 x2+ 相交于 A， B 两点， O 为坐标原点，当 积取最大值时，直线 l 的斜率为 16设数列 前项和为 为常数，则称数列 “精致数列 ”已知等差数列首项为 1，公差不为 0，若数列 “精致数列 ”，则数列 通项公式为 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17在 ，边 a、 b、 c 分别是内角 A、 B、 C 所对的边，且满足 2 B 的最大值为 （ 1）求 值； （ 2）当 B=a=3， b=6 时，又 = ，求 长 18如图，三棱柱 ， 平面 D、 E 分别为 中点，点 F 在棱 ，且 （ ）求证： 平面 （ ）在棱 是否存在一个点 G，使得平面 三棱柱分割成的两部分体积之比为 1：15，若存在，指出点 G 的位置；若不存在，说明理由 19为了传承经典，促进课外阅读，某市从高中年级和初中年级各随机抽取 40 名同学进行有关对 “四大名著 ”常识了解的竞赛如图 1 和图 2 分别是高中和初中年级参加竞赛的学生成绩按 40， 50）， 50， 60）， 60， 70）， 70， 80分组，得到频率分布直方图 （ 1）若初中年级成绩在 70， 80）之间的学生中恰有 4 名女同学，现从成绩在该组的初中年级的学生任选 2 名同学，求其中至少有 1 名男同学的概率； （ 2）完成下列 2 2 列联表，并回答是否有 99%的把握认为 “两个学段的学生对 四大名著 的了解 有差异 ”？ 成绩小于 60分人数 成绩不小于 60 分人数 合计 高一年级 高二年级 合计 附： 第 4 页（共 23 页） 临界值表： P（ 0已知椭圆 C： =1，（ a b 0）的两个焦点为 c， 0）， c， 0）其短轴长是 2 ，原点 O 到过点 A（ a， 0）和 B（ 0， b）两点的直线的距离为 （ I）求椭圆 C 的方程； （ 点 定直线 x=4 上的两个动点，且 =0，证明以 直径的圆过定点，并求定点的坐标 21已知函数 g（ x） =（ 2 a） h（ x） =a R），令 f（ x） =g（ x） +h（ x） （ ）当 a=0 时，求 f（ x）的极值； （ ）当 3 a 2 时，若对任意 1， 2 1， 3，使得 |f（ 1） f（ 2） | （ m+a 2成立，求 m 的取值范围 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4何证明选讲 22选做题：平面几何 已知在 ， C，以 直径的 O 交 D，过 D 点作 O 的切线交 求证：（ 1） （ 2） E 选修 4标系与参数方程 第 5 页（共 23 页） 23已知直线 l： （ t 为参数），曲线 （ 为参数） （ ）设 l 与 交于 A， B 两点，求 | （ ）若把曲线 各点的横坐标压缩为原来的 倍，纵坐标压缩为原来的 倍，得到曲线 点 P 是曲线 的一个动点，求它到直线 l 的距离 的最小值 选修 4等式选讲 24设函数 f（ x） =|x+ | |x | （ I）当 a=1 时，求不等式 f（ x） 的解集； （ ）若对任意 a 0， 1，不等式 f（ x） b 的解集为空集，求实数 b 的取值范围 第 6 页（共 23 页） 2016 年安徽省淮南市高考数学二模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1已知集合 M=x|x 1| 2， x R， N= 1， 0， 1， 2， 3，则 MN=（ ） A 0， 1， 2 B 1， 0， 1， 2 C 1， 0， 2， 3 D 0， 1， 2， 3 【考点】 交集及其运算 【分析】 利用交集定义求解 【解答】 解： M=x|x 1| 2， x R=x| 1 x 3， N= 1， 0， 1， 2， 3 MN=0， 1， 2 故选： A 2已知 ） = 2+），则 值为（ ） A B 2 C D 2 【考点】 同角三角函数基本关系的运用；三角函数的化简求值 【分析】 已知等式利用诱导公式化简，整理即可求出 值 【解答】 解：已知等式整理得： 2 = 2， 则 = 2， 故选： D 3 “m= 1”是 “直线 2m 1） y+1=0 和直线 3x+=0 垂直 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 由 m= 1 能推出这两条直线垂直；而由这两条直线垂直，不能推出 m= 1，再根据充分条件、必要条件、充要条件的定义作出判断 【解答】 解：当 m= 1 时，直线 2m 1） y+1=0 和直线 3x+=0，即 x+3y 1=0 和3x y+2=0， 显然这两条直线的斜率互为负倒数，故这两条直线垂直，故充分性成立 由直线 2m 1） y+1=0 和直线 3x+=0 垂直，可得 3m+m（ 2m 1） =0，求得 m=0，或 m= 1， 不能推出 m= 1，故必要性不成立 综上可得， m= 1 是直线 2m 1） y+1=0 和直线 3x+=0 垂直的充分不必要条件， 故选： A 4已知数列 足： +2，且 ，则 10 项和等于（ ） 第 7 页（共 23 页） A B C 210 1 D 1 210 【考点】 数列的求和 【分析】 通过 +2 可确定数列 公比为 2 的等比数列，进而通过 可知首项 1，利用等比数列的求和公式计算即得结论 【解答】 解： +2， 数列 公比为 2 的等比数列， 又 ， （ 0 = 1， 所求值为 = ， 故选： B 5以双曲线 的左右焦点为焦点，离心率为 的椭圆的标准方程为（ ） A + =1 B + =1 C + =1 D + =1 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求出双曲线的焦点，设椭圆的方程为 + =1（ a b 0），由题意可得 c=2，即有 ，又 e= = ，解得 a， b，即可得到所求椭圆方程 【解答】 解：双曲线 的焦点为（ 2， 0）， 设椭圆的方程为 + =1（ a b 0）， 由题意可得 c=2，即有 ， 又 e= = ， 解得 a=4， b=2 ， 可得椭圆的方程为 + =1 故选： C 第 8 页（共 23 页） 6函数 y=图象大致为（ ） A B CD 【考点】 函数的图象 【分析】 利用特殊值法排除 A， C 选项，再根据单调性得出选项 D 【解答】 解： f（ 0） =1， 排除 A， C； f（ x） = 显然在（ 0， ）上， f（ x） 0， 函数为递增， 故选： D 7欧阳修卖油翁中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿可见 “行行出状元 ”，卖油翁的技艺让人叹为观止若铜钱是直径为 3中间有边长为 1正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计），则油滴正好落入孔中的概率是（ ） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要求出铜钱面积的大小和中间正方形孔面积的大小，然后代入几何概型计算公式进行求解 【 解答】 解：如图所示： S 正 =1， S 圆 = = P= = = 故选： A 第 9 页（共 23 页） 8若执行如图所示的程序框图，输入 ， ， ， =2，则输出的数 S 等于（ ） A B 1 C D 【考点】 程序框图 【分析】 先弄清该算法功能， S=0+（ 1 2） 2=1， i=1，满足条件 i 3，执行循环体，依此类推，当 i=3，不满足条件 i 3，退出循环体，输出所求即可 【解答】 解： S=0+（ 1 2） 2=1， i=1，满足条件 i 3，执行循环体， i=2 S=1+（ 2 2） 2=1， i=2，满足条件 i 3，执行循环体， i=3 S=1+（ 3 2） 2=2， i=3，不满足条件 i 3，退出循环体， 则 S= 2= 故选： A 第 10 页（共 23 页） 9若变量 x， y 满足约束条件 ，则 z=x 2y 的最小值是（ ） A 3 B 1 C 3 D不存在 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分 由 z=x 2y 得 y= ， 平移直线 y= ， 由图象可知当直线 y= ，过点 A 时，直线 y= 的截距最大， 此时 z 最小， 由 ，解得 ，即 A（ 3， 1） 代入目标函数 z=x 2y， 得 z=3 2=1 目标函数 z=x 2y 的最小值是 1 故选 C： B 第 11 页（共 23 页） 10在 ，点 D 在线段 延长线上，且 ，点 O 在线段 （与点 C、D 不重合），若 的取值范围是（ ） A B C D 【考点】 向量的共线定理 【分析】 根据所给的数量关系，写出要求向量的表示式，注意共线的向量之间的三分之一关系，根据表示的关系式和所给的关系式进行比较，得到结果 【解答】 解： = = = y ， ，点 O 在线段 （与点 C、 D 不重合）， y ， ， 故选 D 11一个三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的体积为（ ） 第 12 页（共 23 页） A 1000 B 125 C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图可知该三棱锥：为棱长为 5、 4、 3 的长方体切去 四个小棱锥得到的几何体，得该三棱锥和长方体的外接球相同，利用长方体的体对角线是球的直径求出 R，代入球的体积公式计算即可 【解答】 解：由三视图可知该三棱锥： 为棱长为 5、 4、 3 的长方体切去四个小棱锥得到的几何体， 该三棱锥和长方体的外接球相同， 设该三棱锥的外接球半径为 R， 2R= =5 R= ， 外接球的体积为 V= = ， 故选： D 12已知 y=f（ x）为定义在 R 上的单调递增函数， y=f（ x）是其导函数，若对任意 x x，则下列大小关系一定正确的是（ ） A B C D 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 函数单调递增， f（ x） 0，根据复合函数求导法则 f（ x 1） =f（ x） 0，由 x，整理得： 0，可以得到 f（ x 1） x 1） 0，构造第 13 页（共 23 页） 辅助函数， g（ x） = ， x 0 求导，根据上式可知 g（ x） 0， g（ x）单调递增，以此可以判断 【解答】 解： y=f（ x）为定义在上的单调递增函数， ， y=f（ x） 0， x，即 x 0， 整理得： 0， 由复合函数求导法则可知： f（ x 1） =f（ x） 0， f（ x 1） x 1） 0， 设 g（ x） = ， x 0， g（ x） = ， x 1） f（ x 1） 0， g（ x） 0， g（ x）单调递增， e+1 +1， ， 故答案选： B 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分） 13已知复数 z= ，则 |z|= 【考点】 复数求模 【分析】 直接利用复数的乘方法则，化简即得 【解答】 解： z= = = ， 则 |z|= ， 故答案为： 14求函数 f（ x） = 的单调减区间 （ ， 1） 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 求出函数的定义域，求出函数的导函数，令导函数小于 0 求出 x 的范围，写出区间形式即得到函数 y= 的单调递减区间 【解答】 解：函数的定义域为 x|x 0 第 14 页（共 23 页） 则 令 解得： x 1 函数 f（ x） = 的单调递减区间是：（ ， 0） （ 0， 1） 故答案为：（ ， 0） （ 0， 1） 15过点（ 2， 0）引直线 l 与圆 x2+ 相交于 A， B 两点， O 为坐标原点，当 积取最大值时，直线 l 的斜率为 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 当 积取最大值时， 心 O（ 0， 0）到直线直线 l 的距离为 1，由此能求出直线 l 的斜率 【解答】 解：当 积取最大值时， 圆 x2+ 相交于 A， B 两点， O 为坐标原点， 圆心 O（ 0， 0），半径 r= ， B= ， =2， 圆心 O（ 0， 0）到直线直线 l 的距离为 1， 当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x=2，不合题意； 当直线 l 的斜率存在时，直线 l 的方程为 y=k（ x 2）， 圆心（ 0， 0）到直线 l 的距离 d= =1， 解得 k= 故答案为： 16设数列 前项和为 为常数，则称数列 “精致数列 ”已知等差数列首项为 1，公差不为 0，若数列 “精致数列 ”，则数列 通项公式为 【考点】 数列递推式 【分析】 由题意设数列 公差为 d（ d 0）， =k，代入等差数列的前 n 项和与前 2理后得（ 4k 1） 2k 1）（ 2 d） =0，由该式对任意 n N*都成立，得 第 15 页（共 23 页） ，求解方程组得到公差 d， 则数列 通项公式可求 【解答】 解：设数列 公差为 d（ d 0）， =k， ， ， 即 2+（ n 1） d=4k+2k（ 2n 1） d， 整理得：（ 4k 1） 2k 1）（ 2 d） =0， 上式对任意 n N*都成立， ，解得 故答案为： 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17在 ，边 a、 b、 c 分别是内角 A、 B、 C 所对的边，且满足 2 B 的最大值为 （ 1）求 值； （ 2）当 B=a=3， b=6 时，又 = ，求 长 【考点】 正弦定理；余弦定理 【分析】 （ 1）由题设及正弦定理知， 2b=a+c，即 ，由余弦定理，基本不等式可得 ，由 B 为锐角，利用余弦函数的单调性即可解得 B 的最大值 （ 2）由已知及余弦定理可求 c 的值，又 = ，可得 + ，在 ，由余弦定理即可解得 值 【解答】 （本题满分为 12 分） 解：（ 1）由题设及正弦定理知， 2b=a+c，即 由余弦定理知， y=（ 0， ）上单调递减， B 的最 大值 第 16 页（共 23 页） （ 2） ， 由 b2=a2+2得： 36=9+2 3 c ，解得： c= ， 又 = ， =1+ ， 在 ，由余弦定理可得： = 18如图，三棱柱 ， 平面 D、 E 分别为 中点，点 F 在棱 ，且 （ ）求证： 平面 （ ）在棱 是否存在一个点 G，使得平面 三棱柱分割成的两部分体积之比为 1：15，若存在，指出点 G 的位置；若不存在，说明理由 【考点】 直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 （ I）取 中点 M，根据 ，得到 F 为 中点，又 E 为 中点，根据三角形中位线定理得 而在三棱柱 ， 平行四边形，进一步得出 后根据线面平行的判定即可证出 平面 （ 于存在性问题，可先假设存在，即假设在棱 存在一个点 G，使得平面 三棱柱分割成的两部分体积之比为 1： 15，再利用棱柱、棱锥的体积公式，求出 出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在 第 17 页（共 23 页） 【解答】 证明：（ I）取 中点 M， ， F 为 中点， 又 E 为 中点， 三棱柱 ， D， M 分别为 中点， M， 平行四边形， 面 面 平面 （ 存在一点 G，使得平面 三棱柱分割成两部分的体积之比为 1： 15， 则 ， = = ， ， 所以符合要求的点 G 不存在 19为了传承经典，促进课外阅读，某市从高中年级和初中年级各随机 抽取 40 名同学进行有关对 “四大名著 ”常识了解的竞赛如图 1 和图 2 分别是高中和初中年级参加竞赛的学生成绩按 40， 50）， 50， 60）， 60， 70）， 70， 80分组，得到频率分布直方图 （ 1）若初中年级成绩在 70， 80）之间的学生中恰有 4 名女同学，现从成绩在该组的初中年级的学生任选 2 名同学，求其中至少有 1 名男同学的概率； （ 2）完成下列 2 2 列联表，并回答是否有 99%的把握认为 “两个学段的学生对 四大名著 的了解有差异 ”？ 成绩小于 60分人数 成绩不小于 60 分人数 合计 高一年级 第 18 页（共 23 页） 高二 年级 合计 附： 临界值表： P（ 考点】 独立性检验的应用 【分析】 （ 1）初中年级成绩在 70， 80）之间的学生共有 10 40=6 人，恰有 4 名女同学， 2 名男同学，利用对立事件的概率公式，即可求其中至少有 1 名男同学的概率； （ 2）根据列联表中的数据，计算 值，即可得 到结论 【解答】 解：（ 1）初中年级成绩在 70， 80）之间的学生共有 10 40=6 人，恰有 4名女同学， 2 名男同学， 现从成绩在该组的初中年级的学生任选 2 名同学，有 5 种情况，全是女生有 种情况 其中至少有 1 名男同学的概率为 1 = ； （ 2） 2 2 列联表 成绩小于 60分人数 成绩不小于 60 分人数 合计 高中年级 20 20 40 初中年级 28 12 40 合计 48 32 80 由 ，知只有 90%的把握认为 “两个学段的学生对 ”四大名著 ”的了解有差异 ”，没有 99%的把握认为 “两个学段的学生对 四大名著 的了解有差异 ” 20已知椭圆 C： =1，（ a b 0）的两个焦点为 c， 0）， c， 0）其短轴长是 2 ，原点 O 到过点 A（ a， 0）和 B（ 0， b）两点的直线的距离为 （ I）求椭圆 C 的方程； 第 19 页（共 23 页） （ 点 定直线 x=4 上的两个动点，且 =0，证明以 直径的圆过定点，并求定点的坐标 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ I）由题意可得 b= ，求得 方程，运用点到直线的距离公式，解方程可得a=2，进而得到椭圆方程； （ 题意可设 P（ 4， s）， Q（ 4， t）， 运用向量的坐标和数量积的坐标表示，可得 15，求得以 直径的圆的方程，化简整理，令 y=0，即可得到定点 【解答】 解：（ I）由题意可得 2b=2 ，即 b= ， 直线 方程为 + =1，即为 ， 由题意可得 = ， 解得 a=2， 即有椭圆的方程为 + =1； （ 明：由题意可设 P（ 4， s）， Q（ 4， t）， 由 1， 0）， 1， 0），且 =0， 可得（ 5， s） （ 3， t） =0，即 15+， 即为 15 以 直径的圆的 方程为（ x 4） 2+（ y ） 2= ， 化简为（ x 4） 2+ s+t） y 15=0， 可令 y=0，即有（ x 4） 2=15， 解得 x=4 ， 可得以 直径的圆过定点，定点的坐标为（ 4 ， 0） 21已知函数 g（ x） =（ 2 a） h（ x） =a R），令 f（ x） =g（ x） +h（ x） （ ）当 a=0 时，求 f（ x）的极值； （ ）当 3 a 2 时，若对任意 1， 2 1， 3，使得 |f（ 1） f（ 2） | （ m+a 2成立，求 m 的取值范围 【考点】 利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】 （ ）当 a=0 时，对 f（ x）求导，判断单调性求极值； （ ）当 3 a 2 时，使不等式恒成立即求 f（ x）的最值，转化为 f（ 1） f（ 2） |（ m+a 2后求 m 范围 【解答】 解：（ ）依题意， ，所以 ，其定义域为（ 0， +） 当 a=0 时， ， 第 20 页（共 23 页） 令 f（ x） =0，解得： ，当 时， f（ x） 0，当 时， f（ x） 0 所以当 时， f（ x）有极小值 ，无极大值 （ ） ， x 0 当 3 a 2 时， ，故当 x 1， 3时， f（ x） 0，所以 f（ x）在 1， 3 单调递减，此时 f（ x） f（ 1） =2a+1， = 依题意，只需（ m+a 2 即： 而当 3 a 2， 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4何证明选讲 22选做题：平面几何 已知在 ， C，以 直径的 O 交 D，过 D 点作 O 的切线交 求证：（ 1） （ 2） E 【考点】 圆周角定理；直角三角形的射影定理 【分析】 （ 1）连接 O 的切线可 知 C，可得 C，从而可证 （ 2） ，由射影定理得 E证 【解答】 证明： （ 1）连接 O 的切线，