广东省茂名市电白区2015-2016学年高一上期末数学试卷含答案解析

第 1 页（共 15 页） 2015年广东省茂名市电白区高一（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分， 1 y=2x+ ）的最小正周期是（ ） A B C D 2 2已知向量 =（ 1， 3），则 | |的值是（ ） A B 10 C D 5 3函数 f（ x） =ex+x 2 的零点所在的一个区间是（ ） A（ 2， 1） B（ 1， 0） C（ 0， 1） D（ 1， 2） 4已知角 在第三象限，且 ，则 ） A B C D 5若向量 ， ， 满足 且 ，则 （ +2 ） =（ ） A 4 B 3 C 2 D 0 6方程 |x|=（ ， +）内（ ） A没有根 B有且仅有一个根 C有且仅有两个根 D有无穷多个根 7若向量 =（ 1， 2）， =（ 1， 1），则 2 + 与 的夹角等于（ ） A B C D 8下列函数中，周期为 ，且在 上为减函数的是（ ） A B CD 9设向量 ， 满足 | |=| |=1， = ，则 | + |等于（ ） A B C D 第 2 页（共 15 页） 10若 方程 的解，则 ） A（ ， 1） B（ ， ） C（ ， ） D（ 0， ） 11设点 P 是函数 f（ x） =图象 C 的一个对称中心，若点 P 到图象 C 的对称轴上的距离的最小值 ，则 f（ x）的最小正周期是（ ） A 2 B C D 12已知 f（ x） =2x+ 的一个零点若 1， +），则（ ） A f（ 0， f（ 0 B f（ 0， f（ 0 C f（ 0， f（ 0 D f（ 0， f（ 0 二、填空题：本大题共 4个小题，每小题 5分 .、共 20分 . 13 y= x+ ）的最大值为 14已知向量 =（ 3， 1）， =（ 1， 3）， =（ t， 2），若（ ） ，则实数 t 的值为 15为了得到函数 y=2x ）的图象，只需把函数 y=2x+ ）的图象 16若函数 f（ x） =x a（ a 0，且 a1）有两个零点，则实数 a 的取值范围是 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17若向量 =（ 1， 1）， =（ 2， 5）， =（ 3， x） （ 1）若 ，求 x 的值； （ 2）若（ 8 ） =30，求 x 的值 18已知 ， 为第二象限 （ 1）求 （ 2）设 =（ =（ 3， 4），求 ， 19已知 f（ x） =x+ ）（ 0）的最小正周期为 （ 1）求在（ 0， ）内一条对称轴； 第 3 页（共 15 页） （ 2）求在（ 0， 2内的零点 20在平面直角坐标系 ，点 A（ 1， 2）、 B（ 2， 3）、 C（ 2， 1） （ 1）求以线段 邻边的平行四边形两条对角线的长； （ 2）设实数 t 满足（ ） =0，求 t 的值 21已知函数 f（ x） =x b（ a 0，且 a1）当 2 a 3 b 4 时，函数 f（ x）的零点 n， n+1）， nN*，求 n 的值 22设 a 为实数，函数 f（ x） =x a|+1， xR （ 1）讨论 f（ x）的奇偶性； （ 2）求 f（ x）的最小值 第 4 页（共 15 页） 2015年广东省茂名市电白区高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分， 1 y=2x+ ）的最小正周期是（ ） A B C D 2 【考点】 三角函数的周期性及其求法 【专题】 转化思想；综合法；三角函数的图像与性质 【分析】 根据 y=x+）的周期等于 ，得出结论 【解答】 解：函数 y=2x+ ）的最小正周期是 =， 故选： C 【点评】 本题主要考查三角函数的周期性及其求法，利用了 y=x+）的 周期等于 ，属于基础题 2已知向量 =（ 1， 3），则 | |的值是（ ） A B 10 C D 5 【考点】 平面向量数量积的运算 【专题】 计算题；对应思想；向量法；平面向量及应用 【分析】 根据向量的模的计算即可 【解答 】 解： 向量 =（ 1， 3）， 则 | |= = ， 故选： A 【点评】 本题考查了向量的模的计算，属于基础题 3函数 f（ x） =ex+x 2 的零点所在的一个区间是（ ） A（ 2， 1） B（ 1， 0） C（ 0， 1） D（ 1， 2） 【考点】 函数零点的判定定理 【专题】 函数的性质 及应用 【分析】 将选项中各区间两端点值代入 f（ x），满足 f（ a） f（ b） 0（ a， b 为区间两端点）的为答案 【解答】 解：因为 f（ 0） = 1 0， f（ 1） =e 1 0，所以零点在区间（ 0， 1）上， 故选 C 【点评】 本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解 第 5 页（共 15 页） 4已知角 在第三象限，且 ，则 ） A B C D 【考点】 同角三角函数间的基本关系；任意角的三角函数的定义 【专题】 计算题；方程思想；转化法；三角函数的求值 【分析】 根三角函数同角的关系式进行求解 【解答】 解： 角 在第三象限，且 ， 0，且 = ， 故选： B 【点评】 本题主要考查三角函数值的计算，根据同角的三角函数的关系式是解决本题的关键 5若向量 ， ， 满足 且 ，则 （ +2 ） =（ ） A 4 B 3 C 2 D 0 【考点】 数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量数量积的运算 【专题】 平面向量及应用 【分析】 利用向量共线的充要条件将 用 表示； 垂直的充要条件得到 ；将 的值代入，利用向量的分配律求出值 【解答】 解： 存在 使 =0 =2 =0 故选 D 【点评】 本题考查向量垂直的充要条件 |考查向量共线的充要条件、考查向量满足的运算律 6方程 |x|=（ ， +）内（ ） A没有根 B有且仅有一个根 C有且仅有两个根 D有无穷多个根 【考点】 余弦函数的图象 【专题】 作图题；数形结合 【分析】 由题意，求出方程对应的函数，画出函数的图象，如图，确定函数图象交点的个数，即可得到方程的根 【解答】 解：方程 |x|=（ ， +）内根的个数，就是函数 y=|x|， y=（ ，+）内交点的个数， 如图，可知只有 2 个交点 第 6 页（共 15 页） 故选 C 【点评】 本题是基础题，考查三角函数的图象，一次函数的图象的画法，函数图象的交点的个数，就是方程根的个数，考查数形结合思想 7若向量 =（ 1， 2）， =（ 1， 1），则 2 + 与 的夹角等于（ ） A B C D 【考点】 数量积表示两个向量的夹角 【专题】 平面 向量及应用 【分析】 由已知中向量 =（ 1， 2）， =（ 1， 1），我们可以计算出 2 + 与 的坐标，代入向量夹角公式即可得到答案 【解答】 解： =（ 1， 2）， =（ 1， 1）， 2 + =2（ 1， 2） +（ 1， 1） =（ 3， 3）， =（ 1， 2）（ 1， 1） =（ 0， 3）， （ 2 + ）（ ） =03+39=9， |2 + |= =3 ， | |=3， = ， 0， = 故选： C 【点评】 本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，其中利用公式，是利用向量求夹角的最常用的方法，一定要熟练掌握 8下列函数中，周期为 ，且在 上为减函数的是（ ） A B CD 【考点】 函数 y=x+）的图象变换；正弦函数的单调性；余弦函数的单调性 【专题】 分析法 【分析】 先根据周期排除 C， D，再由 x 的范围求出 2x+ 的范围，再由正余弦函数的单调性可判断 A 和 B，从而得到答案 第 7 页（共 15 页） 【解答】 解： C、 D 中 函数周期为 2，所以错误 当 时， ， 函数 为减函数 而函数 为增函数， 故选 A 【点评】 本题主要考查三角函数的基本性质周期性、单调性属基础题三角函数的基础知识的熟练掌握是解题的关键 9设向量 ， 满足 | |=| |=1， = ，则 | + |等于（ ） A B C D 【考点】 平面向量数量积的运算 【专题】 对应思想；综合法；平面向量及应用 【分析】 计算 | + |2 开方得出答案 【解答】 解： | + |2=| |2+| |2+2 =1+1+1=3 | + |= 故选： B 【点评】 本题考查了平面向量的数量积运算，模长公式，属于基础题 10若 方程 的解，则 ） A（ ， 1） B（ ， ） C（ ， ） D（ 0， ） 【考点】 函数的零点与方程根的关系 【专题】 压轴题 【分析】 由题意 解，根据指数函数和幂数函数的增减性进行做题 【解答】 解： ， ， 于区间（ ， ） 故选 C 【点 评】 此题主要考查函数的零点与方程根的关系，利用指数函数的增减性来做题，是一道好题 11设点 P 是函数 f（ x） =图象 C 的一个对称中心，若点 P 到图象 C 的对称轴上的距离的最小值 ，则 f（ x）的最小正周期是（ ） 第 8 页（共 15 页） A 2 B C D 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【专题】 分析法 【分析】 先根据对称点到 对称轴上的距离的最小值 ，确定最小正周期的值，再由 T=求 w 的值 【解答】 解：设点 P 是函数 f（ x） =图象 C 的一个对称中心， 若点 P 到图象 C 的对称轴上的距离的最小值为 ， 则最小正周期为 ， 故选 B 【点评】 本题主要考查正弦函数的性质对称性、周期性 12已知 f（ x） =2x+ 的一个零点若 1， +），则（ ） A f（ 0， f（ 0 B f（ 0， f（ 0 C f（ 0， f（ 0 D f（ 0， f（ 0 【考点】 函数零点的判定定理 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 因为 函数 f（ x） =2x+ 的一个零点 可得到 f（ =0，再由函数 f（ x）的单调性可得到答案 【解答】 解： 函数 f（ x） =2x+ 的一个零点 f（ =0 f（ x） =2x+ 是单调递增函数，且 1， +）， f（ f（ =0 f（ 故选 B 【点评】 本题考查了函数零点的概念和函数单调性的问题，属中档题 二、填空题：本大题共 4个小题，每小题 5分 .、共 20分 . 13 y= x+ ） 的最大值为 【考点】 余弦函数的图象 【专题】 计算题；转化思想；综合法；三角函数的图像与性质 【分析】 由条件利用余弦函数的最大值，求得函数 y 的最大值 【解答】 解： x+ ）的最大值为 1， y= x+ ）的最大值为 ， 故答案为： 【点评】 本题主要考查余弦函数的最大值，属于基础题 14已知向量 =（ 3， 1）， =（ 1， 3）， =（ t， 2），若（ ） ，则实数 t 的值为 0 【考点】 数量积判断两个平面向量的垂直关系 第 9 页（共 15 页） 【专题】 计算题；平面向量及应用 【分析】 由已知可知 =0，然后结合向量的数量积的坐标表示可求 t 【解答】 解： =（ 3， 1）， =（ 1， 3）， =（ t， 2）， =（ 3 t， 1） （ ） =3 t 3=0 t=0 故答案为： 0 【点评】 本题主要考查了向量的数量积的坐标表示的简单应用，属于基础试题 15为了得到函数 y=2x ）的图象，只需把函数 y=2x+ ）的图象 向右平移 个单位 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【专题】 三角函数的图像与性质 【分析】 直接利用函数的图象的平移原则求解即可 【解答】 解： y=（ x ） + =2x ）， 把函数 y=2x+ ）的图象向右平移 个单位可得到函数 y=2x ）的图象 故答案为：向右平移 个单位 【点评】 本题主要考查了函数的图象的平移变换，解题时注意左加右减以及 x 的系数，属于基本知识的考查 16若函数 f（ x） =x a（ a 0，且 a1）有两个零点，则实数 a 的取值范围是 （ 1，+） 【考点】 函数的零点 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 根据题设条件，分别作出令 g（ x） =a 0，且 a1）， h（ x） =x+a，分 0 a 1，a 1 两种情况的图象，结合图象的交点坐标进行求解 【解答】 解：令 g（ x） =a 0，且 a1）， h（ x） =x+a，分 0 a 1， a 1 两种情况 第 10 页（共 15 页） 在同一坐标系中画出两个函数的图象，如图，若函数 f（ x） =x a 有两个不同的零点，则函数 g（ x）， h（ x）的图象 有两个不同的交点根据画出的图象只有当 a 1 时符合题目要求 故答案为：（ 1， +） 【点评】 作出图象，数形结合，事半功倍 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17若向量 =（ 1， 1）， =（ 2， 5）， =（ 3， x） （ 1）若 ，求 x 的值； （ 2）若（ 8 ） =30，求 x 的值 【考点】 平面向量数量积的运算；平面向量共线（平行）的坐标表示 【专题】 对应思想；综合法；平面向量及应用 【分析】 代入数量积的坐标运算公式计算 【解答】 解：（ 1） ， 2x 15=0，解得 x= （ 2） 8 =（ 6， 3）， （ 8 ） =30， 18+3x=0，解得 x= 6 【点评】 本题考查了平面向量数量积 的坐标运算，属于基础题 18已知 ， 为第二象限 （ 1）求 （ 2）设 =（ =（ 3， 4），求 ， 【考点】 平面向量数量积的运算；任意角的三角函数的定义 【专题 】 函数思想；综合法；三角函数的求值；平面向量及应用 【分析】 （ 1）根据三角函数的定义解出即可；（ 2）根据向量夹角的余弦公式计算即可 【解答】 解：（ 1） ， 为第二象限， = ， = ， （ 2）由 （ 1）得： =（ =（ ， ）， =（ 3， 4）， ， = = 【点评】 本题考查了三角函数问题，考查向量问题，熟练记住公式是解题的关键 19已知 f（ x） =x+ ）（ 0）的最小正周期为 第 11 页（共 15 页） （ 1）求在（ 0， ）内一条对称轴； （ 2）求在（ 0， 2内的零点 【考点】 正弦函数的图象 【专题】 转化思想；综合法；三角函数的图像与性质 【分析】 （ 1）由条件利用正弦函数的周期性求得 的值，可得函数的解析式，再根据正弦函数 的图象的对称性求得在（ 0， ）内一条对称轴 （ 2）由条件利用正弦函数的零点求得 x= ， kZ，再根据 x（ 0， 2，可得函数在（ 0， 2内的零点 【解答】 解：（ 1）根据 f（ x） =x+ ）（ 0）的最小正周期为 ，可得 =， =2， 令 2x+ =， kZ，求得 x= + ，故函数在（ 0， ）内一条对称轴为 x= （ 2）由题意可得， 2x+ =kZ，求得 x= ， kZ，再根据 x（ 0， 2， 可得 x= ， ， ， ， 故函数在（ 0， 2内的零点分别为： ， ， ， 【点评】 本题主要考查正弦函数的周期性、图象的对称性以及函数的零点，属于基础题 20在平面直角坐标系 ，点 A（ 1， 2）、 B（ 2， 3）、 C（ 2， 1） （ 1）求以线段 邻边的平行四边形两条对角线的长； （ 2）设实数 t 满足（ ） =0，求 t 的值 【考点】 平面向量数量积的运算；向量在几何中的应用 【专题】 平面向量及应用 【分析】 （ 1）（方法一）由题设知 ，则 从而得： （方法二）设该平行四边形的第四个顶点为 D，两条对角线的交点为 E，则： 由 E 是 中点，易得 D（ 1， 4） 从而得： 、 ； （ 2）由题设知： =（ 2， 1）， 由（ ） =0，得：（ 3+2t， 5+t） （ 2， 1） =0， 从而得： 第 12 页（共 15 页） 或者由 ， ，得： 【解答】 解：（ 1）（方法一）由题设知 ，则 所以 故所求的两条对角线的长分别为 、 （方法二）设该平行四边形的第四个顶点为 D，两条对角线的交点为 E，则： E 为 B、 C 的中点， E（ 0， 1） 又 E（ 0， 1）为 A、 D 的中点，所以 D（ 1， 4） 故所求的两条对角线的长分别为 、 ； （ 2）由题设知： =（ 2， 1）， 由（ ） =0，得：（ 3+2t， 5+t） （ 2， 1） =0， 从而 5t= 11，所以 或者： ， ， 【点评】 本题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查向量的坐标运算和基本的求解能力 21已知函数 f（ x） =x b（ a 0，且 a1）当 2 a 3 b 4 时，函数 f（ x）的零点 n， n+1）， nN*，求 n 的值 【考点】 二分法求方程的近似解；对数函数的图象与性质 【专题】 计算题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用 【分析】 把要求零点的函数，变成两个基本初等函数，根据所给的 a， b 的值，可以判断两个函数的交点的所在的位置，同所给的区间进行比较，得到 n 的值 【解答】 解：设函数 y=m= x+b 根据 2 a 3 b 4， 对于函数 y= x=2 时，一定得到一个值小于 1， 在同一坐 标系中画出两个函数的图象，判断两个函数的图形的交点在（ 2， 3）之间， 函