2016年吉林省白山市高考数学二模试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 20 页） 2016 年吉林省白山市高考数学二模试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求 . 1设复数 z=2+i，则复数 z（ 1 z）的共轭复数为（ ） A 1 3i B 1+3i C 1+3i D 1 3i 2若集合 A=x|11x 26 0， B=x|x=4n+3， n N，则 AB 的元素个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 3已知函数 f（ x） = ，则 f（ f（ ）等于（ ） A B C D 4若双曲线 M： =1（ m 0）的离心率为 2，则双曲线 N： =1 的渐近线方程为（ ） A y= x B y= 2x C y= x D y= 2 x 5如图，在梯形 ， 下列判断正确的是（ ） A =3 B = C = D = + 6某几何体的三视图如图所示则该几何体的体积等于（ ） A B 2 C D 3 7在等比数列 ，已知 7 + + + 等于（ ） 第 2 页（共 20 页） A B C D 8执行如图所示的程序框图，若输出 S 的值为 18，则输入的 S 值为（ ） A 4 B 7 C 22 D 32 9在底面为正方形的四棱锥 S ， B=D，异面直线 成的角为 60， 则四棱锥 S 外接球的表面积为（ ） A 6 B 8 C 12 D 16 10已知函数 f（ x） =x+）（ A 0， 0， | ）的部分图象如图所示，则下列判断错误的是（ ） A f（ ） =1 B函数 f（ x）的图象关于 x= 对称 C函数 f（ x）的图象关于（ ， 0）对称 D函数 f（ x）的图象向右平移 个单位后得到 y=图象 11设 k 0，变量 x， y 满足约束条件 ，若 z=y 有最小值，则 k 的取值范围为（ ） A（ 0， 1） B（ 0， 1 C 1， +） D（ 1， +） 12若函数 f（ x）满足 f（ x） f（ x） =2f（ 0） =1，其中 f（ x）为 f（ x）的导函数，则当 x 0 时， 的最大值为（ ） A B 2 C 2 D 4 第 3 页（共 20 页） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小 题 5 分，共 25 分 . 13已知 ，则 14（ 1 ） 7 的展开式中 系数为 15设 m 0，点 A（ 4， m）为抛物线 p 0）上一点， F 为焦点，以 A 为圆心 |半径的圆 C 被 y 轴截得的弦长为 6，则圆 C 的标准方程为 16已知 数列 前 n 项和，若 2+ =n（ 2+且 a b= 三、解答题：本大题共 5 小题，满分 60 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤、 17在 ，角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，已知 C 为锐角且 b=2a （ 1）求 值； （ 2）若 a+c=6，求 面积 18 A， B 两组各有 7 位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下： A 组： 10， 11， 12， 13， 14， 15， 16，； B 组： 12， 13， 15， 16， 17， 14， a 假设所有病人的康复时间相互独立，从 A， B 两组随机各选 1 人， A 组选出的人记为甲， （ 1）如果 a=11，求 B 组的 7 位病人康复时间的平均数和方差； （ 2）如果 a=14，设甲与乙的康复时间都低于 15，记甲的康复时间与乙的康复时间的差的绝对值 X，求 X 的分布列及数学期望 19在四棱锥 P ， 平面 为等腰三角形， ， M 为线段 一点，且 = （ 0 1） （ 1）若 = ，求证： 平面 （ 2）若 = ，求二面角 C M 的余弦值 20已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的长轴长是短轴长的 倍，且过点（ 2， ） （ 1）求椭圆 M 的方程； （ 2）四边形 顶点都在椭圆 M 上，且对角线 原点 O，若直线 ，求证： 2 2 第 4 页（共 20 页） 21已知函数 f（ x） = ， f（ 0） =9，其中 a 0， b， c R，且 b+c=10 （ 1）求 b， c 的值及函数 f（ x）的单调区间； （ 2）若 0 a 1，求证：当 x 1 时，（ ） f（ x） 9+ 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4何证明选讲 22如图， 边上的点 C、 D、 E 都在 O 上，已知 B （ l）求证：直线 O 相切； （ 2）若 ，且 ，求 长 选修 4标系与参数方程 23在极坐标中，直线 l 的方程为 （ 34=2，曲线 C 的方程为 =m（ m 0） （ 1）求直线 l 与极轴的交点到极点的距离； （ 2）若曲线 C 上恰好存在两个点到直线 l 的距离为 ，求实数 m 的取值范围 选修 4等式选讲 24已知不等式 |x+2|+|x 2 丨 10 的解集为 A （ 1）求集合 A； （ 2）若 a， b A， x R+，不等式 a+b （ x 4）（ 9） +m 恒成立，求实数 m 的取值范围 第 5 页（共 20 页） 2016 年吉林省白山市高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求 . 1设复数 z=2+i，则复数 z（ 1 z）的共轭复数为（ ） A 1 3i B 1+3i C 1+3i D 1 3i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分 析】 把 z=2+i 代入 z（ 1 z），利用复数代数形式的乘除运算化简，然后求得复数 z（ 1 z）的共轭复数 【解答】 解： z=2+i， z（ 1 z） =（ 2+i）（ 1 i） = 1 3i， 复数 z（ 1 z）的共轭复数为 1+3i 故选： B 2若集合 A=x|11x 26 0， B=x|x=4n+3， n N，则 AB 的元素个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 交集及其运算 【分析】 根据集合的基本运算进行求解即可 【解答】 解： A=x|11x 26 0=x| 2 x 13， B=x|x=4n+3， n N， 则 AB= 1， 3， 11， 所以 AB 中的元素的个数为 3 故选： B 3已知函数 f（ x） = ，则 f（ f（ ）等于（ ） A B C D 【考点】 函数的值 【分析】 根据函数解析式先求出 f（ ）的值，再求出 f（ f（ ）的值 【解答】 解：由题意得， f（ x） = ， 则 f（ ） = = = 2= ， f（ ） =1+ =1+ = ， 所以 f（ f（ ） = ， 故选： A 第 6 页（共 20 页） 4若双曲线 M： =1（ m 0）的离心率为 2，则双曲线 N： =1 的渐近线方程为（ ） A y= x B y= 2x C y= x D y= 2 x 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 根据双曲线的离心率求出 m=2，然后结合双曲线的渐近线方程进行求解即可 【解答】 解：由双曲线方程得 a2=m， ， c2=m+6， 双曲线 M： =1（ m 0）的离心率为 2， =，即 ，得 m+6=4m， 3m=6，得 m=2， 则双曲线 N： =1 的渐近线 y= x=y= x， 故选： A 5如图，在梯形 ， 下列判断正确的是（ ） A =3 B = C = D = + 【考点】 向量的线性运算性质及几何意义 【分析】 在梯形 ， 用向量的三角形法则、向量共线定理即可判断出结论 【解答】 解：在梯形 ， ， = = ， ， = = + =+ 故选： D 6某几何体的三视图如图所示则该 几何体的体积等于（ ） 第 7 页（共 20 页） A B 2 C D 3 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 几何体为四棱柱与三棱柱的组合体 【解答】 解：由三视图可知该几何体上部分为四棱柱，下部分为三棱柱，四棱柱的底面为边长为 1 的正方形，高为 2，三棱柱的底面为等腰直角三角形，直角边为 1，三棱柱的高为 1， 所以几何体的体积 V=1 1 2+ = 故选 C 7在等比数列 ，已知 7 + + + 等于（ ） A B C D 【考点】 等比数列的性质 【分析】 由已知求得等比数列的公比，然后再由等比数列的前 n 项和公式求得答案 【解答】 解：在等比数列 ，由 7 q=3， + + + =q+q2+ 故选： D 8执行如图所示的程序框图，若输出 S 的值为 18，则输入的 S 值为（ ） 第 8 页（共 20 页） A 4 B 7 C 22 D 32 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序，依次写出每次循环得到的 S， i 的值，当 i=6 时不满足条件 i 6，退出循环，输出 S 的值为 S+4 9+16 25= 18，从而解得 S 的值 【解答】 解：由题意， 模拟执行程序，可得 i=2， 满足条件 i 6，满足条件 i 是偶数， S=S+4， i=3 满足条件 i 6，不满足条件 i 是偶数， S=S+4 9， i=4 满足条件 i 6，满足条件 i 是偶数， S=S+4 9+16， i=5 满足条件 i 6，不满足条件 i 是偶数， S=S+4 9+16 25， i=6 不满足条件 i 6，退出循环，输出 S 的值为 S+4 9+16 25= 18， 故解得： S= 4 故选： A 9在底面为正方形的四棱锥 S ， B=D，异面直线 成的角为 60， 则四棱锥 S 外接球的表面积为（ ） A 6 B 8 C 12 D 16 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 作出直观图，根据所给条件寻找外接球的球心位置，计算球的半径 【解答】 解：取底面中心 O， 点 E，连结 =1，B=D= ， 平面 异面直线 成的角，即 0， C， 等边三角形， B=2， ， = B=D= O 为四棱锥 S 外接球球心 外接球的表面积 S=4 （ ） 2=8 故选： B 第 9 页（共 20 页） 10已知函数 f（ x） =x+）（ A 0， 0， | ）的部分图象如图所示，则下列判断错误的是（ ） A f（ ） =1 B函数 f（ x）的图象关于 x= 对称 C函数 f（ x）的图象关于（ ， 0）对称 D函数 f（ x）的图象向右平移 个单位后得到 y=图象 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 由函数图象的顶点的纵坐标求出 A，由周期为 可解 ，把点（ 0， 1）代入可解 的值，从而解得函数解析式，利用正弦函数的图象和性质逐一判断各个选项即可得解 【解答】 解： 由函数图象可得： A=2， 把点（ 0， 1）代入 f（ x） =x+）可得， 1=2 解得 ，又 | ，故 = ， 又 当 x= 时， y=0， + =，解得 =2， f（ x）的表达式为： f（ x） =22x+ ）， f（ ） =22 + ） =21， A 正确； 第 10 页（共 20 页） 由 2x+ =， k Z 解得函数的对称轴为 x= ， k Z，可得：当 k=2 时，函数f（ x）的图象关于 x= 对称， B 正确； 由 2x+ =k Z 解得函数的对称中心坐标为：（ ， 0）， k Z，由 = ，可得： k= Z，故 C 错误； 由于 f（ x ） =2（ x ） + =2 D 正确 故选： C 11设 k 0，变量 x， y 满足约束条件 ，若 z=y 有最小值，则 k 的取值范围为（ ） A（ 0， 1） B（ 0， 1 C 1， +） D（ 1， +） 【考点】 简单线性规划 【分析】 画出满足条件的平面区域，根据图象 得到关于 k 的不等式，解出即可 【解答】 解：画出满足条件的平面区域，如图示： ， 若 z=y 有最小值，只需 0 k ， 解得： 0 k 1， 故选： A 12若函数 f（ x）满足 f（ x） f（ x） =2f（ 0） =1，其中 f（ x）为 f（ x）的导函数，则当 x 0 时， 的最大值为（ ） A B 2 C 2 D 4 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 利用函数 f（ x）满足 f（ x） f（ x） =2f（ 0） =1，求出 f（ x），再代入利用基本不等式即可得出结论 第 11 页（共 20 页） 【解答】 解：由题意，（ ） =2x， =x2+b， f（ x） =（ x2+b） f（ 0） =1， b=1， f（ x） =（ ） f（ x） =（ x+1） 2 当 x 0 时， =1+ 2，当且仅当 x=1 时取等号， 当 x 0 时， 的最大值为 2 故选： B 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 25 分 . 13已知 ，则 【考点】 二倍角的余弦；对数的运算性质 【分析】 利用对数的运算性质及已知可求 据二倍角的余弦函数公式即可计算求 【解答】 解： ， 0 = ， 1=2 （ ） 2 1= 故答案为： 14（ 1 ） 7 的展开式中 系数为 7 【考点】 二项式定理的应用 【分析】 在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 2，求出 r 的值，即可求得展开式中 系数 【解答】 解：由于（ 1 ） 7 的展开式的通项公式为 = （ 1） r ， 令 =2，求得 r=6，可得展开式中 系数为 =7， 故答案为： 7 15设 m 0，点 A（ 4， m）为抛物线 p 0）上一点， F 为焦点，以 A 为圆心 |半径的圆 C 被 y 轴截得的弦长为 6，则圆 C 的标准方程为 （ x 4） 2+（ y 4） 2=25 【考点】 圆的标准方程；圆的一般方程 第 12 页（共 20 页） 【分析】 由题意可得点 A（ 4， m）到 y 轴的距离为 4， 又已知圆 C 被 y 轴截得的弦长为 6，可求出 |值，进一步得到 p 的值，把点 A（ 4， m）代入抛物线的方程，求得 m 的值，可得圆心和半径，从而得到所求的圆的标准方程 【解答】 解：由题意可得点 A（ 4， m）到 y 轴的距离为 4，又已知圆 C 被 y 轴截得的弦长为 6， 得 | ，则 ， p=2 点 A（ 4， m）为抛物线 p 0）上一点， 圆 C 的标准方程为（ x 4） 2+（ y 4） 2=25 故答案为：（ x 4） 2+（ y 4） 2=25 16已知 数列 前 n 项和，若 2+ =n（ 2+且 a b= 5 【考点】 数列的求和 【分析】 通过计算得出数列 8 项的值，进而联立 S4=a+b、 a+b，进而解方程组，计算即得结论 【解答】 解： 当 n=4k 3 时， 2+1） =n（ 2 1）， ； 当 n=4k 2 时， 2+0） =n（ 2+1）， n； 当 n=4k 1 时， 2 1） =n（ 2 1）， an=n； 当 n=4k 时， 2+0） =n（ 2+1）， n； S4=a+b = + 2+3+ 4 = +12， 4a+2b）（ a+b） =3a+b = 5+ 6+7+ 8 = +28， （ 3a+b）（ a+b） =（ +28）（ +12），解得： a= +8， b= +12 a=（ +12）（ +8） = +4， a b=（ +8）（ +4） =5， 故答案为： 5 第 13 页（共 20 页） 三、解答题：本大题共 5 小题，满分 60 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤、 17在 ，角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，已知 C 为锐角且 b=2a （ 1）求 值； （ 2）若 a+c=6，求 面积 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ 1） 正弦定理可得： a2= b=2a可得： 为 ，再利用同角三角函数基本关系式即可得出 （ 2）由 a+c=6，可得 c=6 a，利用余弦定理可得 ，解得 a， b， c即可得出 【解答】 解：（ 1）在 ， 正弦定理可得： a2= b=2a 为 ， C 为锐角， = ， = （ 2）由 a+c=6，可得 c=6 a， = = ，解得 a=2， b=4， c=4 S = 18 A， B 两组各有 7 位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下： A 组： 10， 11， 12， 13， 14， 15， 16，； B 组： 12， 13， 15， 16， 17， 14， a 假设所有病人的康复时间相互独立，从 A， B 两组随机各选 1 人， A 组选出的人记为甲， （ 1）如果 a=11，求 B 组的 7 位病人康复时间的平均数和方差； （ 2）如果 a=14，设甲与乙的康复时间都低于 15，记甲的康复时间与乙的康复时间的差的绝对值 X，求 X 的分布列及数学期望 【考 点】 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ 1）当 a=11 时，先求出 B 组的 7 位病人康复时间的平均数，由此能求出 B 组的 7位病人康复时间的方差 （ 2）由已知得 X 的可能取值为 0， 1， 2， 3， 4，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和 【解答】 解：（ 1）当 a=11 时， B 组的 7 位病人康复时间的平均数： = （ 12+13+15+16+17+14+11） =14， B 组的 7 位病 人康复时间的方差： （ 12 14） 2+（ 13 14） 2+（ 15 14） 2+（ 16 14） 2+（ 17 14） 2+（ 14 14） 2+（ 11 14） 2=4 第 14 页（共 20 页） （ 2） a=14，设甲与乙的康复时间都低于 15， 甲的康复时间与乙的康复时间的差的绝对值 X， X 的可能取值为 0， 1， 2， 3， 4， P（ X=0） = + = ， P（ X=1） = + + = ， P（ X=2） = + + + = ， P（ X=3） = = ， P（ X=4） = = ， X 的分布列为： X 0 1 2 3 4 P = 19在四棱锥 P ， 平面 为等腰三角形， ， M 为线段 一点，且 = （ 0 1） （ 1）若 = ，求证： 平面 （ 2）若 = ，求二面角 C M 的余弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定 【分析】 （ 1）根据线面平行的判定定理即可证明； （ 2）建立空间坐标系，求出 平面的法向量，利用向量法即可 【解答】 解：（ 1）在 取一点 E，使 = （ 0 1）且 = ， B， 第 15 页（共 20 页） 则四边形 平行四边形， 面 面 平面 （ 2）建立空间坐标系如图： 则 A（ 0， 0， 0）， C（ 4， 0， 4）， B（ 0， 0， 1）， M（ ， ， ）， =（ 0， 0， 1）， =（ ， ， ）， 设平面 一个法向量为 =（ x， y， z）， 则由 得 ，令 y=1，则 =（ 7， 1， 0） ， 平面 平面 法向量为 =（ 0， 1， 0）， 则 ， = = = ， 二面角 C M 的余弦值是 20已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的长轴长是短轴长的 倍，且过点（ 2， ） （ 1）求椭圆 M 的方程； （ 2）四边形 顶点都在椭圆 M 上，且对角线 原点 O，若直线 ，求证： 2 2 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）由椭圆长轴长是短轴长的 倍，且过点（ 2， ），列出方程组，求出 a， b，由此能求出椭圆 M 的方程 （ 2）设直线 方程为 y=kx+m，与椭圆联立，得（ 1+28=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线的斜率、向量的数量积，能证明 2 2 【解答】 解：（ 1） 椭圆 C： + =1（ a b 0）的长轴长是短轴长的 倍，且过点（ 2，）， 第 16 页（共 20 页） ，解得 a=2 ， b=2， 椭圆 M 的方程为 =1 证明：（ 2）设直线 方程为 y=kx+m，设 A（ B（ 联立 ，得（ 1+28=0， =（ 42 4（ 1+2 28） =8（ 8） 0， ， 对角线 原点 O，直线 斜率之积为 ， = ， = = ， m）（ m） =x1+ +， ， （ 4） =8 4= = = =2 ， 2=2 4 2 2 2 21已知函数 f（ x） = ， f（ 0） =9，其中 a 0， b， c R，且 b+c=10 （ 1）求 b， c 的值及函数 f（ x）的单调区间； （ 2）若 0 a 1，求证：当 x 1 时，（ ） f（ x） 9+ 【考点】 函数恒成立问题；二次函数的性质 【分析】 （ 1）求出 f（ x）的导数，由条件列方程，可得 b=9， c=1，由 a 0，令导数大于 0，可得增区间；令导数小于 0，可得减区间； 第 17 页（共 20 页） （ 2）当 x 1 时，（ ） f（ x） 9+为 f（ x） 在 x 1 成立，分别求得 f（ x）的最值和 g（ x） = 的最值，即可得证 【解答】 （ 1）解： f（ x） = ， f（ x） = ， f（ 0） =9，且 b+c=10， c=1， b=9， f（ x） = ， a 0， 当 x （ ， ）时， f（ x） 0， f（ x）递增； 当 x （ ， ）和（ ， +）时， f（ x） 0， f（ x）递减； （ 2）证明：当 x 1 时，（ ） f（ x） 9+为 f（ x） 在 x 1 成立， 由 g（ x） = 的导数为 g（ x） = 0， 即有 g（ x）在 x 1 递减，则 g（ x） g（ 1） = ； 由（ 1）可得 f（ x）在（ 1， ）时， f（ x）递增； （ ， +）时， f（ x）递减 x=1 时 f（ 1） = ， 可得 x= 处取得最大值，即为 ， 又（ ， +）时， f（ x） g（ x） 则有当 x 1 时，（ ） f（ x） 9+ 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4何证明选讲 22如图， 边上的点 C、 D、 E 都在 O 上，已知 B （ l）求证：直线 O 相切； （ 2）若 ，且 ，求 长 第 18 页（共 20 页） 【考点】 与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明 【分析】 （ 1）连结 导出 B， 此能证明直线 （ 2）延长 O 于点 F，连结 弦切角定理得 而 = ，由此能求出 长 【解答】 证明：（ 1） ，又 E， B， 如图，连结 B， 又点 C 在 O 上， 直线 O 相切 解：