广西来宾市2015-2016学年高一上期末数学试题含答案解析

第 1 页（共 15 页） 2015年广西来宾市高一（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的） 1设集合 X=0， 1， 2， 4， 5， 7， Y=1， 3， 6， 8， 9， Z=3， 7， 8，那么集合（ XY） Z 是（ ） A 0， 1， 2， 6， 8 B 3， 7， 8 C 1， 3， 7， 8 D 1， 3， 6， 7， 8 2下列直线中与直线 x 2y+1=0 平行的一条是（ ） A 2x y+1=0 B 2x 4y+2=0 C 2x+4y+1=0 D 2x 4y+1=0 3下列各式错误的是（ ） A 当 a 1 时，在同一坐标系中，函数 y=a x 与 y=图象为（ ） A B CD 5若圆 C 与圆（ x+2） 2+（ y 1） 2=1 关于原点对称，则圆 C 的方程是（ ） A（ x 2） 2+（ y+1） 2=1 B（ x 2） 2+（ y 1） 2=1 C（ x 1） 2+（ y+2） 2=1D（ x+1） 2+（ y 2） 2=1 6已知 m、 n 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，给出下列命题： 若 ， m ，则 m ； 若 m ， n ，且 m n，则 ； 若 m ， m ，则 ； 若 m ， n ，且 m n，则 其中正确命题的序号是（ ） A B C D 7如图是一个几何体的三视图，则此几何体的直观图是（ ） 第 2 页（共 15 页） A B C D 8函数 ，若 f（ 4） =f（ 0）， f（ 2） = 2，则关于 x 的方程f（ x） =x 的解 的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 9如果函数 f（ x） = a 1） x+5 在区间 上是减函数，那么实数 a 的取值范围是（ ） A a 2 B a 3 C 2 a 3 D a 3 10如图，长方体 ， B=2， ， E， F， G 分别是 中点，则异面直线 成角为（ ） A 30 B 45 C 60 D 90 11已知 y=2 0， 1上的减函数，则 a 的取值范围为（ ） A（ 0， 1） B（ 1， 2） C（ 0， 2） D 2， +） 12奇函数 f（ x）在（ ， 0）上单调递增，若 f（ 1） =0，则不等式 f（ x） 0 的解集是（ ） A（ ， 1） （ 0， 1） B（ ， 1）（ 1， +） C（ 1， 0） （ 0， 1）D（ 1， 0） （ 1， +） 二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 ) 13函数 y= 的定义域为 14已知点（ a， 2）（ a 0）到直线 l： x y+3=0 的距离为 1，则 a= 15一个长方体的顶点在球面上，它的长、宽、高分别为 、 、 3，则球的体积为 16已知 P 是直线 3x+4y+8=0 的动点， 圆（ x 1） 2+（ y 1） 2=1 的两条切线，A、 B 是切点， C 是圆心，则四边形 积的最小值为 三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） . 17已知直线 l 经过两条直线 2x+y 8=0 和 x 2y+1=0 的交点，且平行于直线 4x 3y 7=0，求直线 l 的方程 第 3 页（共 15 页） 18已知集合 A=x|y= B=x|23x 1 2x， C=x|2x） x 1） ，求 AB， B C 19如图，在四棱锥 P ，底面 矩形， 平面 B， C=2，E， F 分别是 中点 （ ）证明： 平面 （ ）求三棱锥 E 体积 V 20圆心在直线 5x 3y 8=0 上的圆与两坐标轴相切，求此圆的方程 21如图，三棱锥 P ， 平面 C=， 0， E 为 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）求二面角 E C 的正弦值 22已知定义域为 R 的函数 是奇函数 （ ）求 a， b 的值； （ ）若对任意的 t R，不等式 f（ 2t） +f（ 2k） 0 恒成立，求 k 的取值范围 第 4 页（共 15 页） 2015年广西来宾市高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的） 1设集合 X=0， 1， 2， 4， 5， 7， Y=1， 3， 6， 8， 9， Z=3， 7， 8，那么集合（ XY） Z 是（ ） A 0， 1， 2， 6， 8 B 3， 7， 8 C 1， 3， 7， 8 D 1， 3， 6， 7， 8 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 根据交集的含义取 X、 Y 的公共元素写出 XY，再根据并集的含义求（ XY） Z 【解答】 解： XY=1，（ XY） Z=1， 3， 7， 8， 故选 C 2下列直线中与直线 x 2y+1=0 平行的一条是（ ） A 2x y+1=0 B 2x 4y+2=0 C 2x+4y+1=0 D 2x 4y+1=0 【考点】 直线的一般式方程与直线的平行关系 【分析】 由两直线平行的判定，逐个选项验证即可 【解答】 解：选项 A， 1 （ 1） 2 （ 2） =3 0，故不与已知直线平行； 选项 B，方程可化为 x 2y+1=0，以已知直线重合，故不正确； 选项 C， 1 4 2 （ 2） =8 0，故不与已知直线平行； 选项 D， 1 （ 4） 2 （ 2） =0，且 1 1 1 2 0，与已知直线平行 故选 D 3下列各式错误的是（ ） A 考点】 不等式比较大小 【分析】 利用对数函数和指数函数的增减性进行选择 【解答】 解 ： A、 y=3x，在 R 上为增函数， A 正确； B、 y= x 0 上为减函数， B 正确； C、 y= R 上为减函数， C 错误； D、 y= x 0 上为增函数， D 正确； 故选 C 4当 a 1 时，在同一坐标系中，函数 y=a x 与 y=图象为（ ） 第 5 页（共 15 页） A B CD 【考点】 函数的图象 【分析】 当 a 1 时，根据函数 y=a x 在 R 上是减函数，而 y=在（ 0， +）上是增函数，结合所给的选项可得结论 【解答】 解：当 a 1 时，根据函数 y=a x 在 R 上是减函数，故排除 A、 B； 而 y=在（ 0， +）上是增函数，故排除 D， 故选： C 5若圆 C 与圆（ x+2） 2+（ y 1） 2=1 关于原点对称，则圆 C 的方程是（ ） A（ x 2） 2+（ y+1） 2=1 B（ x 2） 2+（ y 1） 2=1 C（ x 1） 2+（ y+2） 2=1D（ x+1） 2+（ y 2） 2=1 【考点】 圆的标准方程 【分析】 求出已知圆的圆心关于原点对称的点的坐标，可得要求的圆的方程 【解答】 解：由于圆（ x+2） 2+（ y 1） 2=1 的圆心 C（ 2， 1），半径为 1， 圆 C 与圆（ x+2） 2+（ y 1） 2=1 关于原点对称，故 C（ 2， 1）、半径为 1， 故圆 C 的 方程为：（ x 2） 2+（ y+1） 2=1， 故选： A 6已知 m、 n 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，给出下列命题： 若 ， m ，则 m ； 若 m ， n ，且 m n，则 ； 若 m ， m ，则 ； 若 m ， n ，且 m n，则 其中正确命题的序号是（ ） A B C D 【考点】 命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】 对于 当 ， m 时， m 不一定成立； 对于 可以看成 m 是平面 的法向量， n 是平面 的 法向量即可； 对于 可由面面垂直的判断定理作出判断； 对于 m ， n ，且 m n， ， 也可能相交 【解答】 解： 当 ， m 时， m 不一定成立，所以错误； 利用当两个平面的法向量互相垂直时，这两个平面垂直，故成立； 因为 m ，则一定存在直线 n 在 ，使得 m n，又 m 可得出 n ，由面面垂直的判定定理知， ，故成立； 第 6 页（共 15 页） m ， n ，且 m n， ， 也可能相交，如图所示， ，所以错误， 故选 B 7如图是一个几何体的三视图 ，则此几何体的直观图是（ ） A B C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 首先由几何体的三视图断定原几何体是一个圆锥和圆柱的组合体，分析四个答案可得结论 【解答】 解：由已知可得原几何体是一个圆锥和圆柱的组合 体， 上部分是一个圆锥， 下部分是一个圆柱， 而且圆锥和圆柱的底面积相等， 故此几何体的直观图是： 故选： D 8函数 ，若 f（ 4） =f（ 0）， f（ 2） = 2，则关于 x 的方程f（ x） =x 的解的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象 【分析】 由 f（ 4） =f（ 0）， f（ 2） = 2 得关于 b 和 c 的两个方程，求出 b、 c，再分 x 0 和 x 0 两段，分别解方程 f（ x） =x 即可 【解答】 解：由题知 ， 第 7 页（共 15 页） 解得 b=4， c=2 故 ， 当 x 0 时，由 f（ x） =x 得 x+2=x， 解得 x= 1，或 x= 2，即 x 0 时，方程 f（ x） =x 有两个解 又当 x 0 时，有 x=2 适合，故方程 f（ x） =x 有三个解 故选 C 9如果函数 f（ x） = a 1） x+5 在区间 上是减函数，那么 实数 a 的取值范围是（ ） A a 2 B a 3 C 2 a 3 D a 3 【考点】 二次函数的性质；函数单调性的性质 【分析】 求出函数 f（ x） = a 1） x+5 的对称轴 x= ，令 1，即可解出 【解答】 解：函数 f（ x） = a 1） x+5 的对称轴 x= ， 函数在区间（ ， 1）上是减函数， （ ， 1）在对称轴的左侧， 1，得 a 3 故选 D 10如图，长方体 ， B=2， ， E， F， G 分别是 中点，则异面直线 成角为（ ） A 30 B 45 C 60 D 90 【考点】 异面直线及其所成的角 【分析】 连接 利用长方形的特点，证明四边形 平行四边形，从而以 为异面直线 成的角，再在三角形 ，分别计算三边的长度，利用勾股定理即可得此角的大小 【解答】 解：如图：连接 E， G 分别是 中点， G， 四边形 平行四边形 第 8 页（共 15 页） 为异面直线 成的角 在三角形 ， = = = = = = 1 0 异面直线 成角为 90 故选 D 11已知 y=2 0， 1上的减函数，则 a 的取值范围为（ ） A（ 0， 1） B（ 1， 2） C（ 0， 2） D 2， +） 【考点】 对数函数的单调区间 【分析】 本题必须保证： 使 2 意义，即 a 0 且 a 1， 2 0 使 2 0， 1上是 x 的减函数由于所给函数可分解为 y=u=2 中 u=2 a 0 时 为减函数，所以必须 a 1； 0， 1必须是 y=2 义域的子集 【解答】 解： f（ x） =2 0， 1上是 x 的减函数， f（ 0） f（ 1）， 即 2 a） ， 1 a 2 故答案为： B 12奇函数 f（ x）在（ ， 0）上单调递增，若 f（ 1） =0，则不等式 f（ x） 0 的解集是（ ） A（ ， 1） （ 0， 1） B（ ， 1）（ 1， +） C（ 1， 0） （ 0， 1）D（ 1， 0） （ 1， +） 【考点】 奇偶性与单调性的综合 【分析】 根据题目条件，画出一个函数图象，再观察即得结果 【解答】 解：根据题意，可作出函数图象： 不等式 f（ x） 0 的解集是（ ， 1） （ 0， 1） 故选 A 第 9 页（共 15 页） 二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 ) 13函数 y= 的定义域为 （ 1， 2） 【考点】 对数函数的定义域；函数的定义域及其求法 【分析】 求函数的定 义域，根据分母不等于 0，及对数函数和根号有意义的条件进行求解 【解答】 解：求函数 y= 的定义域， 1 x 2， 函数的定义域为 x| 1 x 2 故答案为（ 1， 2） 14已知点（ a， 2）（ a 0）到直线 l： x y+3=0 的距离为 1，则 a= 【考点】 点到直线的距离公式 【分析】 由点到直线的距离公式表示出已知点到直线 l 的距离 d，让 d 等于 1 列出关于 a 的方程，求出方程的解，根据 a 大于 0，得到满足题意的 a 的值 【解答】 解：点（ a， 2）（ a 0）到直线 l： x y+3=0 的距离 d= =1， 化简得： |a+1|= ，解得 a= 1 或 a= 1， 又 a 0，所以 a= 1 不合题意，舍去， 则 a= 1 故答案为： 1 15一个长方体的顶点在球面上，它的长、宽、高分别为 、 、 3，则球的体积为 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 由已知得球的该球的半径 R 为长方体体对角线长的一半，由此能 求出该球的体积 【解答】 解： 一个长方体的顶点在球面上，它的长、宽、高分别为 、 、 3， 该球的半径 R= =2， 第 10 页（共 15 页） 球的体积 V= = = 故答案为： 16已知 P 是直线 3x+4y+8=0 的动点， 圆（ x 1） 2+（ y 1） 2=1 的两条切线，A、 B 是切点， C 是圆心，则四边形 积的最小值为 2 【考点】 圆的切线方程 【分析】 由圆的方程为求得圆心 C，半径 r，由 “若四边形面积最小，则圆心与点 P 的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长 小 ”，最后将四边形转化为两个直角三角形面积求解 【解答】 解： 圆的方程为：（ x 1） 2+（ y 1） 2=1， 圆心 C（ 1， 1），半径 r=1 根据题意，若四边形面积最小，当圆心与点 P 的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时， 切线长 小 圆心到直线的距离为 d= =3， B=2 故四边形 积的最小值为 2S r=2 故答案为： 2 三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） . 17已知直线 l 经过两条直线 2x+y 8=0 和 x 2y+1=0 的交点，且平行于直线 4x 3y 7=0，求直线 l 的方程 【考点】 直线的一般式方程与直线的平行关系 【分析】 联立 ，解得 P（ 3， 2），设与直线 4x 3y 7=0 平行的直线方程为：4x 3y+m=0，把 P（ 3， 2）代入解出 m 即可得出 【解答】 解：联立 ，解得 P（ 3， 2）， 设与直线 4x 3y 7=0 平行的直线方程为： 4x 3y+m=0， 把 P（ 3， 2）代入可得： 4 3 3 2+m=0， m= 6 直线 l 的方程为： 4x 3y 6=0 18已知集合 A=x|y= B=x|23x 1 2x， C=x|2x） x 1） ，求 AB， B C 【考点】 交集及其运算；并集及其运算 【分析】 求出 A 中 x 的范围确定出 A， 求出 B 与 C 中不等式的解集分别确定出 B 与 C，求出 A 与 B 的交集， B 与 C 的并集即可 【解答】 解：由 A 中 y=得到 4 x 0，即 x 4， 第 11 页（共 15 页） A=x|x 4， 由 B 中不等式变形得： 3x 1 x，即 x ， B=x|x ， 由 C 中不等式变形得： ，即 x 1， C=x|x 1， 则 AB=x| x 4， B C=x|x 19如图，在四棱锥 P ，底面 矩形， 平面 B， C=2，E， F 分别是 中点 （ ）证明： 平面 （ ）求三棱锥 E 体积 V 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 （ ）要证明： 平面 需证明 可 （ ）求三棱锥 E 体积 V只需求出底面 面积，再求出 E 到底面的距离，即可 【解答】 解（ ）在 ， E， F 分别是 中点， 又 又 面 面 平面 （ ）连接 过 E 作 点 G， 则 平面 在 ， B， 0， ， B= ， S C= 2= ， S G= = 第 12 页（共 15 页） 20圆心在直线 5x 3y 8=0 上的圆与两坐标轴相切，求此圆的方程 【考点】 圆的切线方程 【分析】 与坐标轴相切，所以圆心到两个坐标轴距离相等，结合圆心在 5x 3y 8=0 上，求出圆心坐标，可得圆的半径，从而可得圆的标准方程 【解答】 解：与坐标轴相切，所 以圆心到两个坐标轴距离相等，所以 x=y 或 x= y 又圆心在 5x 3y 8=0 上 若 x=y，则 x=y=4；若 x= y，则 x=1， y= 1 所以圆心是（ 4， 4）或（ 1， 1） 因为半径就是圆心到切线距离，即到坐标轴距离 所以圆心是（ 4， 4），则 r=4；圆心是（ 1， 1），则 r=1 所以所求圆的标准方程为（ x 4） 2+（ y 4） 2=16 和（ x 1） 2+（ y+1） 2=1 21如图，三棱锥 P ， 平面 C=， 0， E 为 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）求二面角 E C 的正弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定