2016年湖南省郴州市高考数学四模试卷(文科)含答案解析

第 1 页（共 21 页） 2016 年湖南省郴州市高考数学四模试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 A=x| 1 x 2， B=x|x 若 A B，则实数 m 的取值范围是（ ） A（ 0， 4 B（ ， 1 C（ 0， D（ ， 2已知复数 z 满足 z= 3i，则复数 z 在复平面上对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知 等差数列 前 n 项和， 1， 4，则 于（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 4已知向量 =（ 2， 1）， =（ 1， 7），则下列结论正确的是（ ） A B C （ + ） D （ ） 5已知直线 x y+2=0 过双曲线 =1（ a 0， b 0）的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的实轴为（ ） A 2 B 2 C 2 D 4 6已知 x （ 0， ）， x） =+ ），则 于（ ） A B 2 C D 7若曲线 f（ x） = 在点（ 1， f（ 1）处的切线过 点（ 0， 2e），则函数 y=f（ x）的极值为（ ） A 1 B 2 C 3 D e 8执行如图所示的程序框图，已知命题 p： k 4， 6，输出 S 的值为 30；命题 q： k （ 4， 5），输出 S 的值为 14，则下列命题正确的是（ ） A q B p q C（ p） q D p（ q） 第 2 页（共 21 页） 9已知函数 f（ x） =22x+） +1（ | ），若 f（ x） 1，对 x （ ， ）恒成立，则 f（ ）的最小值是（ ） A 1 B 2 C 1 D +1 10已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的左、右焦点分别为 c， 0）、 c， 0），上一点，且 |直线 x2+相切，则椭圆的离心率为（ ） A B C D 11一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 4 B 5 C D 6 12已知函数 f（ x） = ， g（ x） = ，实数 a， b 满足 a b 0，若 a， b， 1， 1使得 f（ =g（ 立，则 b a 的最大值为（ ） A 3 B 4 C 5 D 2 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。将答案填在答题卡 中的横线上 13如果实数 x， y 满足条件 ，则 z=y 2x 的最小值为 14某单位从包括甲、乙在内的 5 名应聘者中招聘 2 人，如果这 5 名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙两人中至少有 1 人被录用的概率是 15已知数列 ， ，当 n 2 时， 1+32n 1数列 的前 n 项和为 不等式 20 的解集为 16已知长方体 接于球 O，底面 边长为 2 的正方形， E 为中点， 平面 球 O 的表面积为 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 第 3 页（共 21 页） 17在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c 且 3b=2 c （ 1）若 B=2C，求 值； （ 2）若 c=3， 面积为 3 ，求 a 18为了解某班学生喜好体育运动是否与性别 有关，对本班 50 人进行了问卷调查得到了如下的列联表： 已知喜好体育运动与否，采用分层抽样法抽取容量为 10 的样本，则抽到喜好体育运动的人数为 6 （ 1）请将上面的列联表补充完整； （ 2）能否在犯错误的概率不超过 前提下认为喜好体育运动与性别有关？说明你的理由； 喜好体育运动 不喜好体育运动 合计 男生 5 女生 10 合计 50 下面的临界值表供参考： P（ k） k 参考公式： ，其中 n=a+b+c+d） 19如图，在四面体 P ， 边长为 2 的正三角形， 底面 （ 1）求证： （ 2）已知 E 是 一点，且 平面 ，求点 E 到平面 距离 20已知圆 x+1） 2+ 和圆 x 4） 2+ （ 1）过点 P（ 2， 2）引圆 两条割线 线 圆 得的弦的中点分别为 M， N求过点 P， M， N， 圆被直线 截的弦长； （ 2）过圆 任一点 Q（ 圆 两条切线，设两切线分别与 y 轴交于点 S 和 T求线段 度的取值范围 21已知函数 f（ x） =x R （ 1）设函数 g（ x） =f（ x）（ ），当 k=0 时，若函数 g（ x）有极值，求实数 b 的取值范围； （ 2）若 f（ x）在 区间（ 0， +）上单调递增，求 k 的取值范围 请考生在第 22、 23、 24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题计分。做答时请写清题号 选修 4何证明选讲 22如图，已知 圆 O 的直径， C 为圆 O 上一点，连接 延长使 P，连接 于点 D，过点 P 作圆 O 的切线，切点为 E 第 4 页（共 21 页） （ 1）证明： P= （ 2）若 ， ，求 长度 选修 4标系与参数方程 23已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合设点 O 为坐标原点，直线 （参数 t R）与曲线 C 的极坐标方程为 ）求直线 l 与曲线 C 的普通方程； （ ）设直线 l 与曲线 C 相交于 A， B 两点，证明： =0 选修 4等式选讲 24已知函数 f（ x） =|2x+1|， g（ x） =|x|+a （ ）当 a=0 时，解不等式 f（ x） g（ x）； （ ）若存在 x R，使得 f（ x） g（ x）成立，求实数 a 的取值范围 第 5 页（共 21 页） 2016 年湖南省郴州市高考数学四模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 A=x| 1 x 2， B=x|x 若 A B，则实数 m 的取值范围是（ ） A（ 0， 4 B（ ， 1 C（ 0， D（ ， 【考点】 集合的包含关系判断及应用 【分析】 利用 A=x| 1 x 2， B=x|x A B，得到 1，解不等式，即可求出实数 m 的取值范围 【解答】 解： A=x| 1 x 2， B=x|x A B， 1， m （ 0， 故选 ： C 2已知复数 z 满足 z= 3i，则复数 z 在复平面上对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 化简复数 z，即可得出 z 在复平面内的位置 【解答】 解： z= 3i= 3i= 3i=（ 1+2i） 3i=1 i， 复数 z 在复平面上对应的点在第四象限 3已知 等差数列 前 n 项和， 1， 4，则 于（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 等差数列的通项公式 【分析】 由已知求得 一步求得公差，代入等差数列通项公式求得答案 【解答】 解：由 ，且 1，得 ， d= ， 则 1+3=2 故选： B 4已知向量 =（ 2， 1）， =（ 1， 7），则下列结论正确的是（ ） A B C （ + ） D （ ） 第 6 页（共 21 页） 【考点】 平面向量的坐标运算 【分析】 求出 + ，然后通过向量的数量积求解即可 【解答】 解：向量 =（ 2， 1）， =（ 1， 7）， + =（ 3， 6） （ + ） =6 6=0 （ + ） =0 故选： C 5已知直线 x y+2=0 过双曲线 =1（ a 0， b 0）的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的实轴为（ ） A 2 B 2 C 2 D 4 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 由直线 x y+2=0 过（ 2， 0），可得 c=2，即 a2+，求出渐近线方程，运用两直线垂直的条件：斜率之积为 1，可得 = ，解方程可得 a=1，进而得到双曲线的实轴长 2a 【解答】 解：直线 x y+2=0 过（ 2， 0）， 由题意可得 c=2，即 a2+， 双曲线的渐近线方程为 y= x， 由题意可得 = ， 解得 a=1， b= ， 则双曲线的实轴为 2 故选： A 6已知 x （ 0， ）， x） =+ ），则 于（ ） A B 2 C D 【考点】 三角函数的化简求值 【分析】 由条件利用三角恒等变换化简条件，求得 值 【解答】 解： x （ 0， ）， x） =+ ） = = ， 即 ， 故选： D 7若曲线 f（ x） = 在点（ 1， f（ 1）处的切线过点（ 0， 2e），则函数 y=f（ x）的极值为（ ） A 1 B 2 C 3 D e 第 7 页（共 21 页） 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 求出 f（ x）的导数，可得切线的斜率，运用两点的斜率公式，解方程可得 a=2，求出 f（ x）的单调区间，即可得到 f（ x）的极大值 【解答】 解： f（ x） = 的导数为 f（ x） = ， 可得在点 （ 1， 0）处的切线斜率为 k= 由两点的斜率公式，可得 =2e， 解得 a=2， f（ x） = ， f（ x） = ， 当 x e 时， f（ x） 0， f（ x）递减；当 0 x e 时， f（ x） 0， f（ x）递增 即有 x=e 处 f（ x）取得极大值，且为 f（ e） =2 故选： B 8执行如图所示的程序框图，已知命题 p： k 4， 6，输出 S 的值为 30；命题 q： k （ 4， 5），输出 S 的值为 14，则下列命题正确的是（ ） A q B p q C（ p） q D p（ q） 【考点】 程序框图 【分析】 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量 S 的值，模拟程序的运行，对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果 【解答】 解：模拟程序的运行，可得： n=1， S=0 n=2， S=2 n=3， S=6 n=4， S=14 n=5， S=30 若输出的 S 的值为 14，则 2 k ；若输出 S 的值为 30，则 k 6 第 8 页（共 21 页） 故 p 是真命题， q 是假命题 故选： D 9已知函数 f（ x） =22x+） +1（ | ），若 f（ x） 1，对 x （ ， ）恒成立，则 f（ ）的最小值是（ ） A 1 B 2 C 1 D +1 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 根据 f（ x） 1 得出 +22x+ 2k Z；再根据 x （ ， ）得出 + 2x+ +； 由 | 求出 ，从而求出 f（ ）的最小值 【解答】 解： 函数 f（ x） =22x+） +1 1， 2x+） 0， +22x+ 2k Z； 又 x （ ， ）， 2x ， + 2x+ +； 又 | ， ， ， 2 + ， 2 +） 1， 2 22 +） +1 3， f（ ）的最小值是 2 故选： B 第 9 页（共 21 页） 10已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的左、右焦点分别为 c， 0）、 c， 0），上一点，且 |直线 x2+相切，则椭圆的离心率为（ ） A B C D 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 由题意作椭圆的图象，从而结合图象可知 | ， |c， |2c+2c=2a，从而求离心率 【解答】 解：由题意作椭圆的图象如下， 直线 圆 x2+相切， | ， |c， | c， |2 c+2c=2a， 即 e= = = ， 故选 B 11一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） 第 10 页（共 21 页） A 4 B 5 C D 6 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 该几何体的直观图如图所示， O 为 中点，四边形 矩形，连接 F，则该几何体由两个相同的直三棱柱 合而成，利用体积公式，即可得出结论 【解答】 解：该几何 体的直观图如图所示， O 为 中点，四边形 矩形，连接该几何体由两个相同的直三棱柱 合而成，其体积为 2 =4 故选： A 12已知函数 f（ x） = ， g（ x） = ，实数 a， b 满足 a b 0，若 a， b， 1， 1使得 f（ =g（ 立，则 b a 的最大值为（ ） A 3 B 4 C 5 D 2 【考点】 函数的最值及其几何意义 【分析】 化简 g（ x） = = x ，从而判断单调性及取值范围，化简 f（ x） = = 2（ x+ ），从而判断单调性，从而解得 【解答】 解： g（ x） = = x 在 1， 1上单调递增， 故 g（ 1） g（ x） g（ 1）， 第 11 页（共 21 页） 即 g（ x） 3， f（ x） = = 2（ x+ ）， 故 f（ x）在（ ， 2）上是减函数， 在（ 2， 0）上是增函数； f（ 2） = 2+4=2， 令 f（ x） =3 解得， x= 1 或 x= 4； 故 b 的最大值为 1， a 的最小值为 4， 故 b a 的最大值为 3， 故选 A 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。将答案填在答题卡中的横线上 13如果实数 x， y 满足条件 ，则 z=y 2x 的最小值为 2 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平 面区域，利用数形结合即可得到结论 【解答】 解：由 z=y 2x，则 y=2x+z， 作出不等式组对应的平面区域如图： 平移直线 y=2x+z，由图象知当直线 y=2x+z，经过点 A 时，直线 y=2x+z 的截距最大，此时m 最大， 当直线 y=2x+z 经过点 B 时，直线 y=2x+z 的截距最小， 此时 z 最小， 由 ，得 ，即 B（ 1， 0）， 此时 z=0 2= 2， 即 z=y 2x 的最小值 2， 故答案为： 2 第 12 页（共 21 页） 14某单位从包括甲、乙在内的 5 名应聘者中招聘 2 人，如果这 5 名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙两人中至少有 1 人被录用的概率是 【考点】 古典概型及其概率计算公式 【分析】 列举出所有可能的基本事件和符合条件的基本事件，使用古典概型的概率计算公式计算概率 【解答】 解：设剩余三名应聘者为 a， b， c，则从 5 人中录用两人的所有可能结果共有 10个， 分别为（甲，乙），（甲， a），（甲， b），（甲， c），（ 乙， a），（乙， b），（乙， c），（ a， b），（ a，c），（ b， c） 其中甲乙两人至少有 1 人被录用的基本事件有 7 个，分别是（甲，乙），（甲， a），（甲， b），（甲， c），（乙， a），（乙， b），（乙， c） 甲、乙两人中至少有 1 人被录用的概率 P= 故答案为： 15已知数列 ， ，当 n 2 时， 1+32n 1数列 的前 n 项和为 不等式 20 的解集为 1， 2， 3， 4 【考点】 数列的求和 【分析】 由题意可知 = ，从而写出 Sn=n+ = ，从而解得 【解答】 解 ： 1+32n 1， = + ， = ， 又 =1， 数列 是以 1 为首项， 为公差的等差数列， Sn=n+ = ， 故 20，且 n N*， 故 n=1， 2， 3， 4； 故答案为： 1， 2， 3， 4 第 13 页（共 21 页） 16已知长方体 接于球 O，底面 边长为 2 的 正方形， E 为中点， 平面 球 O 的表面积为 16 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 根据已知结合长方体锥的几何特征和球的几何特征，求出球的半径，代入可得球的表面积 【解答】 解： 长方体 接于球 O，底面 边长为 2 的正方形， 设 a， E 为 中点， 以 A 为坐标原点，分别以 x， y， z 轴建立空间坐标系， 则 A（ 0， 0， 0）， B（ 2， 0， 0）， D（ 0， 2， 0）， E（ 0， 0， a）， 2， 2， 2a）， O（ 1， 1，a）， 则 =（ 2， 2， 0）， =（ 2， 0， a）， =（ 1， 1， a）， 若 平面 ，即 ， 即 2=0， 解得 a= ， 球 O 的半径 R 满足： 2R= =4， 故球 O 的表面积 S=46， 故答案为： 16 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c 且 3b=2 c （ 1）若 B=2C，求 值； （ 2）若 c=3， 面积为 3 ，求 a 【考点】 余弦定理 ；正弦定理 【分析】 （ 1）运用正弦定理和二倍角公式，以及同角的平方关系，计算即可得到所求值； 第 14 页（共 21 页） （ 2）由条件可得 b=2 ，运用三角形的面积公式可得 ，求得 由余弦定理，可得 a 的值 【解答】 解：（ 1）由 3b=2 c， 运用正弦定理可得 3 由 B=2C，可 得 即有 ， = = ， 则 = ； （ 2）若 c=3， 3b=2 c， 可得 b=2 ， 由 面积为 3 ，可得 3 = 可得 ， 则 = ， 由余弦定理可得 a2=b2+2 即为 a= =3； 或 a= = 18为了解某班学生喜好体育运动是否与性别有关，对本班 50 人进行了问卷调查得到了 如下的列联表： 已知喜好体育运动与否，采用分层抽样法抽取容量为 10 的样本，则抽到喜好体育运动的人数为 6 （ 1）请将上面的列联表补充完整； （ 2）能否在犯错误的概率不超过 前提下认为喜好体育运动与性别有关？说明你的理由； 喜好体育运动 不喜好体育运动 合计 男生 5 女生 10 合计 50 下面的临界值表供参考： P（ k） k 参考公式： ，其中 n=a+b+c+d） 【考点】 线性回归方程 第 15 页（共 21 页） 【分析】 （ 1）根据分层抽样比计算出全班喜欢体育运动的人数和不喜欢体育运动的人数， （ 2）根据公式计算 照临界值表作结论 【解答】 解：（ 1）全班喜欢体育运动的人数为 50 =30，故不喜欢体育运动的人数为 20，列联表如下： 喜好体育运动 不喜好体育运动 合计 男生 20 5 25 女生 10 15 25 合计 30 20 50 （ 2） = 在犯错误的概率不超过 前提下认为喜好体育运动与性别有关 19如图，在四面体 P ， 边长为 2 的正三角形， 底面 （ 1）求证： （ 2）已知 E 是 一点，且 平面 ，求点 E 到平面 距离 【考点】 点、线、面间的距离计算；空间中直线与直线之间的位置关系 【分析】 （ 1）连接 O，利用线线垂直得到线面垂直，即可证明 （ 2）当 E 为 中点时， 平面 证明，并得到点 E 到平面 距离等于 题得以解决 【解答】 解：（ 1）证明：连接 O， P=P， P=P， 平面 ， ，即 0， 0， 0， 平面 第 16 页（共 21 页） 面 （ 2）取 中点 F，连接 当 E 为 中点时， 平面 明如下， D， 有（ 1）的 D，则 E 为 中点， 平面 平面 面 平面 底面 点 E 到平面 距离等于 20已知圆 x+1） 2+ 和圆 x 4） 2+ （ 1）过点 P（ 2， 2）引圆 两条割线 线 圆 得的弦的中点分别为 M， N求过点 P， M， N， 圆被直线 截的弦长； （ 2）过 圆 任一点 Q（ 圆 两条切线，设两切线分别与 y 轴交于点 S 和 T求线段 度的取值范围 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 （ 1）求出过点 P， M， N， 圆即为以 直径的圆的方程，由此能求出结果 （ 3）直线 y y0=k（ x y 轴的交点为（ 0， 不妨设 S（ 0， T（ 0， 则 k1|换元，利用函数的单调性，即可求线段 度的取值范围 【解答】 解： （ 1） 圆 x+1） 2+ 和圆 x 4） 2+， 圆 x+1） 2+ 的圆心 1， 0），半径 ， 圆 x 4） 2+ 的圆心 4， 0），半径 ， 过点 P（ 2， 2）引圆 两条割线 线 圆 得的弦的中点分别为 M， N 过点 P， M， N， 圆即为以 直径的圆的方程， 中点坐标为（ 1， 1）， | =2 ， 过点 P， M， N， 圆的圆心为（ 1， 1），半径 r= ， 直线 = ，即 x 2y 2=0， 第 17 页（共 21 页） 圆心（ 1， 1）到直线 x 2y 2=0 的距离 d= = ， 过点 P， M， N， 圆被直线 截的弦长为 ： 2 =2 = （ 2）设过 Q（ 直线与圆 线， 则 d= =1，即（ k+2=1+ 整理成关于 k 的方程（ 2k+1=0，（ *） 判别式 =（ 22 4（ 1）（ =4 k= 直线 y y0=k（ x y 轴的交点为（ 0， 不妨设 S（ 0， T（ 0， 则 k1| 而 （ *）方程的两根， 则 k1| 又（ 4） 2+， = = 令 =t（ t 2， 2 ），则 = ， 考察关于 t 的函数 f（ t） =t+ （ t 2， 2 ），函数 f（ t）在区间 单调递减，在区间 4， 2 上单调递增， （ f（ t） 0，（ f（ t） ， 21已知函数 f（ x） =x R （ 1）设函数 g（ x） =f（ x）（ ），当 k=0 时，若函数 g（ x）有极值，求实数 b 的取值范围； （ 2）若 f（ x）在区间（ 0， +）上单调递增，求 k 的取值范围 【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值 【分析】 （ 1）当 k=0 时，求得 g（ x）和 g（ x）将函数 f（ x）有极值，转化成 g（ x） =0 在R 上有解，根据二次函数性质求得 b 的取值范围； 第 18 页（共 21 页） （ 2） f（ x）在区间（ 0， +）上单调递增，等价于 f（ x） =20（ x 0）恒成立，分k 0， 0 k ， k 三种情况进行讨论，前 两种情况易作出判断， k 时，利用导数求出最值解不等式即可 【解答】 解：（ 1）当 k=0 时， g（ x） =）， g（ x） =ex 2 b） x+2 b， 函数 f（ x）有极值， g（ x） =0 在 R 上有解， 设 h（ x） = 2 b） x+2 b，由二次函数图象及性质可知： 0， （ 2 b） 2 4（ 2 b） 0，解得： b 2 或 b 2； 实数 b 的取值范围（ ， 2） （ 2， +）； （ 2） f（ x） =2 f（ x）在区 间（ 0， +）上单调递增，转化成 f（ x） 0（ x 0）恒成立， 若 k 0，显然 f（ x） 0， f（ x）在区间（ 0， +）上单调递增； 记 （ x） =2 （ x） =2k， 当 0 k 时， ， 2k 1， （ x） 0，则 （ x）在（ 0， +）上单调递增， 于是 f（ x） =（ x） （ 0） =1 0， f（ x）在（ 0， +）上单调递增； 当 k 时， （ x） =2（ 0， 单调递减，在（ +）上单调递增， 于是 f（ x） =（ x） （ =2 由 20，得 2k 20，则 k ， 综上， k 的取值范围为（ ， 请考生在第 22、 23、 24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题计分。做答时请写清题号 选修 4何证明选讲 22如图，已知 圆 O 的直径， C 为圆 O 上一点，连接 延长使 P，连接 于点 D，过点 P 作圆 O 的切线，切点为 E （ 1）证明： P= （ 2）若 ， ，求 长度 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 （ 1）连结 已知得 0， P，由此利 用切割线定理能证明P= （ 2