2016年陕西省高考数学一模试卷(理科)含答案解析

第 1 页（共 22 页） 2016 年陕西省高考数学一模试卷（理科） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 有一个是符合题目要求的） 1设集合 M=x|x 1| 1， N=x|y=1） ，则 M ） A 1， 2 B 0， 1 C（ 1， 0） D（ 0， 2） 2复数 （ i 是虚数单位）的虚部是（ ） A 1 B 2 C 2 D 1 3设 为锐角，若 ，则 值为（ ） A B C D 4在区间 0， 1上随机取两个数 x， y，记 P 为事件 “x+y ”的概率，则 P=（ ） A B C D 5设 等差数列 前 n 项和，若 a2+a3+，则 ） A 5 B 7 C 9 D 11 6一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 64 B 64 2 C 64 4 D 64 8 7执行右面的程序框图，如果输入的 N=3，那么输出的 S=（ ） 第 2 页（共 22 页） A 1 B C D 8已知向量 =（ 1， 2）， =（ 2， 3）若向量 满足 （ + ），且 （ ）， 则 =（ ） A B C D 9设函数 f（ x） = 则 ff（ 8） =（ ） A 4 B 4 C 2 D 2 10若圆 C：（ x 3） 2+（ y 2） 2=1（ a 0）与直线 y= x 相交于 P、 Q 两点，则 |（ ） A B C D 11设 m 1，在约束条件 下，目标函数 z=x+最大值小于 2，则 m 的取值范围为（ ） A（ 1， ） B（ ， +） C（ 1， 3） D（ 3， +） 12对于函数 f（ x） =a 是实常数），下列结论正确的一个是（ ） A a=1 时， f（ x）有极大值，且极大值点 （ ， 1） 第 3 页（共 22 页） B a=2 时， f（ x）有极小值，且极小值点 （ 0， ） C a= 时， f（ x）有极小值，且极小值点 （ 1， 2） D a 0 时， f（ x）有极大值，且极大值点 （ ， 0） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13如果 的展开式中各项系数之和为 128，则展开式中 的系数是 14已知数列 1、 a、 b 成等差数列，而 1、 b、 a 成等比数列若 a b，则 7 b）= 15已知 A， B 是球 O 的球面上两点， 0， C 为该球面上的动点若三棱锥 O积的最大值为 3，则球 O 的体积为 16已知曲线 y=x+点（ 1， 1）处的切线与曲线 y= a+2） x+1 相切，则 a= 三、解答题（共 5 小题，每小题 12 分，共 60 分） 17在 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 a=3， b=4， B= +A （ I）求 值； （ ）求 c 的值 18某中学利用周末组织教职员工进 行了一次秋季登山健身的活动，有 N 人参加，现将所有参加者按年龄情况分为 20， 25）， 25， 30）， 30， 35）， 35， 40）， 40， 45）， 45， 50），50， 55）等七组，其频率分布直方图如下所示已知 35， 40）这组的参加者是 8 人 （ 1）求 N 和 30， 35）这组的参加者人数 （ 2）已知 30， 35）和 35， 40）这两组各有 2 名数学教师，现从这两个组中各选取 2 人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人中都至少有 1 名数学老师的概率； （ 3）组织者从 45， 55）这组的参加者 （其中共有 4 名女教师，其余全为男教师）中随机选取 3 名担任后勤保障工作，其中女教师的人数为 x，求 x 的分布列和均值 19如图，在四棱柱 P ，底面 矩形， 等边三角形， ，点 M 为 点，平面 平面 （ 1）求证： （ 2）求二面角 P D 的大小 第 4 页（共 22 页） 20已知椭圆 L： + =1（ a b 0）的一个焦点于抛物线 x 的焦点重合，点（ 2，）在 L 上 （ ）求 L 的方程； （ ）直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴， l 与 L 有两个交点 A， B，线段 中点为M，证明： 斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值 21已知函数 f（ x） =g（ x） =mx+n （ 1）设 h（ x） =f（ x） g（ x）当 n=0 时，若函数 h（ x）在（ 1， +）上没有零点，求m 的取值范围； （ 2）设函数 r（ x） = ，且 n=4m（ m 0），求证： x 0 时， r（ x） 1 选修 4何证明选讲 （共 1 小题，满分 10 分） 22（选修 4 1：几何证明选讲） 如图，直线 圆的切线，切点为 B，点 C 在圆上， 角平分线 圆于点 E，直 圆于 D （ ）证明： C； （ ）设圆的半径为 1， ，延长 点 F，求 接圆的半径 选修 4标系与参数方程 （共 1 小题，满分 0 分） 23在直角坐标系 ，曲线 （ t 为参数， t 0），其中 0 ，在以O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 =2=2 （ 1）求 点的直角坐标； （ 2）若 交于点 A， 交于点 B，求 |最大值 选修 4等式选讲 （共 1 小题，满分 0 分） 24设 a， b， c， d 均为正数，且 a c=d b，证明： （ ）若 + + ； （ ） + + 是 |a b| |c d|的充要条件 第 5 页（共 22 页） 第 6 页（共 22 页） 2016 年陕西省高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 有一个是符合题目要求的） 1设集合 M=x|x 1| 1， N=x|y=1） ，则 M ） A 1， 2 B 0， 1 C（ 1， 0） D（ 0， 2） 【考点】 交、并、补集的混合运 算 【分析】 化简集合 M、 N，求出 计算 M 【解答】 解：集合 M=x|x 1| 1=x| 1 x 1 1=x|0 x 2=0， 2， N=x|y=1） =x|1 0=x|x 1 或 x 1=（ ， 1） （ 1， +）； 1， 1； M0， 1 故选： B 2复数 （ i 是虚数单位）的虚部是（ ） A 1 B 2 C 2 D 1 【考点】 复数代数形式的乘除运 算 【分析】 直接由复数代数形式的乘除运算化简复数 ，则答案可求 【解答】 解： = ， 则复数 （ i 是虚数单位）的虚部是： 1 故选： D 3设 为锐角，若 ，则 值为（ ） A B C D 【考点】 二倍角的正弦；三角函数的化简求值 【分析】 利用同角三角函数基本关系式、倍角公式即可得出 【解答】 解： 为锐角， ， ， = = 则 = = 故选： B 第 7 页（共 22 页） 4在区间 0， 1上随机取两个数 x， y，记 P 为事件 “x+y ”的概率，则 P=（ ） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 由题意可得总的基本事件为 （ x， y） |0 x 1， 0 y 1，事件 P 包含的基本事件为 （ x， y） |0 x 1， 0 y 1， x+y ，数形结合可得 【解答】 解：由题意可得总的基本事件为 （ x， y） |0 x 1， 0 y 1， 事件 P 包含的基本事件为 （ x， y） |0 x 1， 0 y 1， x+y ， 它们所对应的区域分别为图中的正方形和阴影三角形， 故所求概率 P= = ， 故选： D 5设 等差数列 前 n 项和，若 a2+a3+，则 ） A 5 B 7 C 9 D 11 【考点】 等差数列的前 n 项和 【分析】 由题意和等差数列的性质可得 由求和公式和等差数列的性质可得 值计算可得 【解答】 解： 等差数列 前 n 项和， a2+a3+， 3a3=a2+a3+，即 ， = =5， 故选： A 6一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） 第 8 页（共 22 页） A 64 B 64 2 C 64 4 D 64 8 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图可知：该几何体是由一个正方体在中间挖去一个圆柱得 到的即可得出 【解答】 解：由三视图可知：该几何体是由一个正方体在中间挖去一个圆柱得到的 该几何体的体积 =43 12 2=64 2 故选： B 7执行右面的程序框图，如果输入的 N=3，那么输出的 S=（ ） A 1 B C D 【考点】 程序框图 【分析】 根据框 图的流程模拟运行程序，直到满足条件 K 3，跳出循环，计算输出 S 的值 【解答】 解：由程序框图知：输入 N=3 时， K=1， S=0， T=1 第一次循环 T=1， S=1， K=2； 第二次循环 T= ， S=1+ ， K=3； 第 9 页（共 22 页） 第三次循环 T= ， S=1+ + ， K=4； 满足条件 K 3，跳出循环，输出 S=1+ + = 故选： C 8已知向量 =（ 1， 2）， =（ 2， 3）若向量 满足 （ + ），且 （ ），则 =（ ） A B C D 【考点】 平面向量的坐标运算 【分析】 设出 =（ x， y），根据平面向量的坐标运算以及向量垂直与共线的坐标表示，列出方程组求出 x、 y 的值即可 【解答】 解：设 =（ x， y），向量 =（ 1， 2）， =（ 2， 3）， + =（ 3， 1）， =（ 1 x， 2 y）； 又 （ + ）， （ + ） =3x y=0； 又 （ ）， 2（ 2 y）（ 3） （ 1 x） =0； 由 、 组成方程组，解得 x= ， y= ； =（ ， ） 故选： A 9设函数 f（ x） = 则 ff（ 8） =（ ） A 4 B 4 C 2 D 2 【考点】 函数的值 【分析】 利用分段函数由已知先求出 f（ 8），由此能求出 ff（ 8） 【解答】 解： f（ x） = ， f（ 8） =（ 8） =2， ff（ 8） =2+ 7= 4 故选： B 10若圆 C：（ x 3） 2+（ y 2） 2=1（ a 0）与直线 y= x 相交于 P、 Q 两点，则 |（ ） 第 10 页（共 22 页） A B C D 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 求出圆 C 圆心 C（ 3， 2），半径 r=1，再求出圆心 C（ 3， 2）到直线 y= x 的距离 d，由此利用勾股定理能求出 |长 【解答】 解： 圆 C：（ x 3） 2+（ y 2） 2=1 的圆心 C（ 3， 2），半径 r=1， 圆心 C（ 3， 2）到直线 y= x 的距离 d= = ， 圆 C：（ x 3） 2+（ y 2） 2=1（ a 0）与直线 y= x 相交于 P、 Q 两点， |2 =2 = 故选： C 11设 m 1，在约束条件 下，目标函数 z=x+最大值小于 2，则 m 的取值范围为（ ） A（ 1， ） B（ ， +） C（ 1， 3） D（ 3， +） 【考点】 简单线性规划的应用 【分析】 根据 m 1，我们可以判断直线 y=倾斜角位于区间（ ， ）上，由此我们不难判 断出满足约束条件 的平面区域的形状，再根据目标函数 Z=X+应的直线与直线 y=直，且在直线 y=直线 x+y=1 交点处取得最大值，由此构造出关于m 的不等式组，解不等式组即可求出 m 的取值范围 【解答】 解： m 1 故直线 y=直线 x+y=1 交于 点， 目标函数 Z=X+应的直线与直线 y=直，且在 点，取得最大值 其关系如 下图所示： 即 ， 解得 1 m 又 m 1 解得 m （ 1， ） 故选： A 第 11 页（共 22 页） 12对于函数 f（ x） =a 是实常数），下列结论正确的一个是（ ） A a=1 时， f（ x）有极大值，且极大值点 （ ， 1） B a=2 时， f（ x）有极小值，且极小值点 （ 0， ） C a= 时， f（ x）有极小值，且极小值点 （ 1， 2） D a 0 时， f（ x）有极大值，且极大值点 （ ， 0） 【考点】 利用导数研究函数的极值 【分析】 求出函数的导数，根据函数极值存在的条件，以及函数零点的判断条件，判断 f（ x） =0 根的区间即可得到结论 【解答】 解： f（ x） = 函数的定义域为（ 0， +）， 函数的导数为 f（ x） =， 若 a= ， f（ x） = 则 f（ x） = 在（ 0， +）上单调递增， f（ 1） = ， f（ 2） ， 函数 f（ x）存在极小值，且 f（ x） =0 的根在区间（ 1， 2）内， 故选： C 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13如果 的展开式中各项系数之和为 128，则展开式中 的系数是 21 【考点】 二项式系数的性质 第 12 页（共 22 页） 【分析】 先通过给 x 赋值 1 得到展开式的各项 系数和；再利用二项展开式的通项公式求出第r+1 项，令 x 的指数为 3 得到展开式中 的系数 【解答】 解：令 x=1 得展开式的各项系数和为 2n 2n=128 解得 n=7 展开式的通项为 = 令 7 = 3，解得 r=6 展开式中 的系数为 31 故答案为： 21 14已知数列 1、 a、 b 成等差数列，而 1、 b、 a 成等比数列若 a b，则 7 b） = 【考点】 等比数列的通项公式；等差数列的通项公式 【分析】 数列 1、 a、 b 成等差数列，而 1、 b、 a 成等比数列可得 2a=1+b， b2=a，解得 b，a，再利用对数的运算性质即可得出 【解答】 解： 数列 1、 a、 b 成等差数列，而 1、 b、 a 成等比数列 2a=1+b， b2=a， 可得 2b 1=0， 解得 b=1 或 a b， b 1 b= ， a= 则 7 b） = = 故答案为： 15已知 A， B 是球 O 的球面上两点， 0， C 为该球面上的动点若三棱锥 O积的最大值为 3，则球 O 的体积为 24 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 当点 C 位于垂直于面 直径端点时，三棱锥 O 体积最大，利用三棱锥 O 积的最大值为 3，求出半径，即可求出球 O 的表面积 【解答】 解：如图所示，当点 C 位于垂直于面 直径端点时，三棱锥 O 体积最大，设球 O 的半径为 R，此时 C = =3 8， 第 13 页（共 22 页） 则球 O 的体积为 4 故答案为： 24 16已知曲线 y=x+点（ 1， 1）处的切线与曲线 y= a+2） x+1 相切，则 a= 8 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 求出 y=x+导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线 y= a+2） x+1 相切，有且只有一切点，进而可联立切 线与曲线方程，根据 =0 得到 a 的值 【解答】 解： y=x+导数为 y=1+ ， 曲线 y=x+ x=1 处的切线斜率为 k=2， 则曲线 y=x+ x=1 处的切线方程为 y 1=2x 2，即 y=2x 1 由于切线与曲线 y= a+2） x+1 相切， 故 y= a+2） x+1 可联立 y=2x 1， 得 =0， 又 a 0，两线相切有一切点， 所以有 =8a=0， 解得 a=8 故答案为： 8 三、解答题（共 5 小题， 每小题 12 分，共 60 分） 17在 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 a=3， b=4， B= +A （ I）求 值； （ ）求 c 的值 【考点】 正弦定理 【分析】 （ I）由正弦定理，诱导公式可得 3得 值，由已知及诱导公式即可求 值 （ ）由 ，利用同角三角函数基本关系式可求 两角和的余弦 函数公式可求 值，利用余弦定理即可求 c 的值 【解答】 解：（ I） a=3， b=4， B= +A 第 14 页（共 22 页） 由正弦定理可得： = ， 3得： = ， +A） = = （ ） = ， = ， B ） = ， A+B） = （ ） = ， c= = = 18某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登山健身的活动，有 N 人参加，现将所有参加者按年龄情况分为 20， 25）， 25， 30）， 30， 35）， 35， 40）， 40， 45）， 45， 50），50， 55）等七组，其频率分布直方图如下所示已知 35， 40）这组的参加 者是 8 人 （ 1）求 N 和 30， 35）这组的参加者人数 （ 2）已知 30， 35）和 35， 40）这两组各有 2 名数学教师，现从这两个组中各选取 2 人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人中都至少有 1 名数学老师的概率； （ 3）组织者从 45， 55）这组的参加者（其中共有 4 名女教师，其余全为男教师）中随机选取 3 名担任后勤保障工作，其中女教师的人数为 x，求 x 的分布列和均值 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及 其分布列 【分析】 （ 1）先求出年龄在 35， 40）内的频率，由此能求出总人数和 30， 35）这组的参加者人数 （ 2）记事件 B 为 “从年龄在 30， 35之间选出的人中至少有 1 名数学教师 ”，记事件 C 为 “从年龄在 35， 40）之间选出的人中至少有 1 名数学教师 ”，分别求出 P（ B）， P（ C），由此能求出两组选出的人中都至少有 1 名数学老师的概率 （ 3）年龄在 45， 55）之间的人数为 6 人，其中女教师 4 人， 的可能取值为 1， 2， 3，分别求出相应的概率，由此能求出 的分布列和 【解答】 解：（ 1） 年龄在 35， 40）内的频率为 5= 第 15 页（共 22 页） 总人数 N= =40 人 30， 35）这组的频率为： 1（ 2+2+ 5= 30， 35）这组的参加者人数 ： 40 2 人 （ 2）记事件 B 为 “从年龄在 30， 35之间选出的人中至少有 2 名数学教师 ”， 年龄在 30， 35）之间的人数为 12， P（ B） =1 = ， 记事件 C 为 “从年龄在 35， 40）之间选出的人中至少有 1 名数学教师 ”， 年龄在 35， 40）之间的人数为 8， P（ C） =1 = ， 两组选出的人中都至少有 1 名数学老师的概率 P（ = = （ 3）年龄在 45， 55）之间的人数为 6 人，其中女教师 4 人， 的可能取值为 1， 2， 3， P（ =1） = = ， P（ =2） = = ， P（ =3） = = ， 的分布列为： 1 2 3 P =2 19如图，在四棱柱 P ，底面 矩形， 等边三角形， ，点 M 为 点，平面 平面 （ 1）求证： （ 2）求二面角 P D 的大小 第 16 页（共 22 页） 【 考点】 二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系 【分析】 （ 1）根据线面垂直的性质定理即可得到结论 （ 2）过点 O 垂直 直线为 x 轴， y 轴， z 轴，分别求出平面 法向量和平面 法向量，利用向量法能求出二面角 P D 的大小 【解答】 解：（ 1）取 中点 O，连接 等边三角形， 又平面 平面 平面 平面 （ 2）以 O 为原点，过点 O 垂直 直线为 x 轴， y 轴， z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系 O ，不妨设 ，则 ， 依题意得： A（ 2 ， 1， 0）， D（ 0， 1， 0）， P（ 0， 0， ）， M（ ， 1， 0）， 平面 是平面 法向量， 设平面 法向量为 ，又 ， 由 ，令 y=1，得 =（ ）， = = ， 二面角 P D 的大小为 45 20已知椭圆 L： + =1（ a b 0）的一个焦点于抛物线 x 的焦点重合，点（ 2，）在 L 上 第 17 页（共 22 页） （ ）求 L 的方程； （ ）直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴， l 与 L 有两个交点 A， B，线段 中点为M，证明： 斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ ）求得抛物线的焦点，可得 c=2，再由点满足椭圆方程，结合 a， b， c 的关系，解方程可得椭圆的方程； （ ）设直线 l 的方程为 y=kx+b（ k， b 0）， A（ B（ 代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式可得 M 的坐标，可得直线 斜率，进而得到证明 【解答】 解：（ ）抛物线 x 的焦点为（ 2， 0）， 由题意可得 c=2，即 ， 又点（ 2， ）在 L 上，可得 + =1， 解得 a=2 ， b=2， 即有椭圆 L： + =1； （ ）证明：设直线 l 的方程为 y=kx+b（ k， b 0）， A（ B（ 将直线 y=kx+b 代入椭圆方程 + =1，可得 （ 1+28=0， x1+ ， 即有 中点 M 的横坐标为 ，纵坐标为 k +b= ， 直线 斜率为 = ， 即有 k= 则 斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值 21已知函数 f（ x） =g（ x） =mx+n （ 1）设 h（ x） =f（ x） g（ x）当 n=0 时，若函数 h（ x）在（ 1， +）上没有零点，求m 的取值范围； （ 2）设函数 r（ x） = ，且 n=4m（ m 0），求证： x 0 时， r（ x） 1 【考点】 利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理 【分析】 （ 1）求出函数的导数，利用导数的几何意义即可得到结论（ 2）求出 r（ x）的表达式，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性即可 【解答】 解：（ 1）当 n=0 时， h（ x） =f（ x） g（ x） = 若函数 h（ x）在（ 1， +）上没有零点， 第 18 页（共 22 页） 即 在（ 1， +）上无解， 若 x=0，则方程无解，满足条件， 若 x 0，则方程等价为 m= ， 设 g（ x） = ， 则函数的导数 g（ x） = ， 若 1 x 0，则 g（ x） 0，此时函数单调递减，则 g（ x） g（ 1） = e 1， 若 x 0，由 g（ x） 0 得 x 1， 由 g（ x） 0，得 0 x 1，即当 x=1 时，函数取得极小值，同时也是最小值，此时 g（ x） g（ 1） =e， 综上 g（ x） e 或 g（ x） e 1， 若方程 m= 无解，则 e 1 m e （ 2） n=4m（ m 0）， 函数 r（ x） = = + = + ， 则函数的导数 r（ x） = ， 设 h（ x） =16 x+4） 2， 则 h（ x） =162（ x+4） =162x 8， h（ x） =162， 当 x 0 时， h（ x） =162 0，则 h（ x）为增函数，即 h（ x） h（ 0） =16 8=80， 即 h（ x）为增函数， h（ x） h（ 0） =16 16=0， 即 r（ x） 0，即函数 r（ x）在 0， +）上单调递增， 故 r（ x） r（ 0） = +0=1， 故当 x 0 时， r（ x） 1 成立 选修 4何证明选讲 （共 1 小题，满分 10 分） 22（选修 4 1：几何证明选讲） 如图，直线 圆的切线，切点为 B，点 C 在圆上， 角平分线 圆于点 E，直 圆于 D （ ）证明： C； （ ）设圆的半径为 1， ，延长 点 F，求 接圆的半径 第 19 页（共 22 页） 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 （ I）连接 点 G，由弦切角定理可得 已知角平分线可得 是得到 E由已知 知 O 的直径， 用三角形全等的性质即可得到 B （ （ I）可知： 垂直平分线，即可得到 设 中点为 O，连接 得 0从而 0得到 而得到 外接圆的半径 = 【解答】 （ I）证明：连接 点 G 由弦切角定理可得 E 又 O 的直径， 0 B （ （ I）可知： C 故 垂直平分线， 设 中点为 O，连接 0 从而 0 外接