2016年天津市河东区高考数学一模试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2016 年天津市河东区高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分 1设集合 I=x|x| 3， x Z， A=1， 2， B= 2， 1， 2，则 A （ =（ ） A 1 B 1， 2 C 2 D 0， 1， 2 2设变量 x， y 满足约束条件 ，则目标函数 z=x+2y 的最小值为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 3一个直棱柱被一个平面截去一部分后 所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 9 B 10 C 11 D 4在 ， b=5， B= ， ，则 a 的值是（ ） A 10 B 2 C D 5已知 p：函数 f（ x） = m 有零点， q： |m| ，则 p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6设 双曲线 的两个焦点， P 在双曲线上，若， （ c 为半焦距），则双曲线的离心率为（ ） A B C 2 D 7已知 f（ x） =2x 1， g（ x） =1 定：当 |f（ x） | g（ x）时， h（ x） =|f（ x） |；当 |f（ x） | g（ x）时， h（ x） = g（ x），则 h（ x）（ ） A有最小值 1，最大值 1 B有最大值 1，无最小值 C有最小值 1，无最大值 D有最大值 1，无最小值 第 2 页（共 19 页） 8在平面四边形 ，点 E、 F 分别是边 中点，且 ， ， ，若 =15，则 的值为（ ） A 13 B 14 C 15 D 16 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分 .） 9若（ 1+2i=1 中 a、 b R， i 是虚数单位，则 |a+ 10 的展开式中 系数是 11如图是一个程序框图，则输出的 S 的值是 12如图， O 于点 A，割线 过圆心 O， B=1， 点 O 逆时针旋转60到 长为 13在极坐标系中，直线 + ） =2 被圆 =4 截得的弦长为 14已知 x， y R，满足 2 y 4 x， x 1，则 的最大值为 三、解答题：（本大题 6 个题，共 80 分） 15设函数 f（ x） =x ） （ 0， ）已知当 x= 时 ， f（ x）取得最大值 （ 1）求 的值； （ 2）设 g（ x） =2f（ x），求函数 g（ x）在 0， 上的最大值 16甲、乙两个乒乓球选手进行比赛，他们的水平相当，规定 “七局四胜 ”，即先赢四局者胜，若已知甲先赢了前两局，求： （ 1）乙取胜的概率； （ 2）比赛打满七局的概率； 第 3 页（共 19 页） （ 3）设比赛局数为 X，求 X 的分布列和数学期望 17如图所示，在四棱锥 P ，底面四边形 菱形， D=O， 边长为 2 的等边三角形， ， （ ）求证： 底面 （ ）求直线 平面 成角的大小； （ ）在线段 是否存在一点 M，使得 平面 果存在，求 的值，如果不存在，请说明理由 18已知中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心率为 ， 且经过点 ，过点 P（ 2， 1）的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 A， B （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）是否存直线 l，满足 ？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由 19已知函数 f（ x） = ，数列 足 ， =f（ ）， n N*， （ 1）求数列 通项公式； （ 2）令 Tn= ，求 （ 3）令 （ n 2）， ， Sn=b1+ 对一切 n N*成立，求最小正整数 m 20已知函数 （ 1）求 f（ x）的极值； （ 2）求证： 且 n N* 第 4 页（共 19 页） 2016 年天津市 河东区高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分 1设集合 I=x|x| 3， x Z， A=1， 2， B= 2， 1， 2，则 A （ =（ ） A 1 B 1， 2 C 2 D 0， 1， 2 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 把集合 A 用列举法表示，然后求出 后进行并集运算 【解答】 解：因为 I=x|x| 3， x Z= 2， 1， 0， 1， 2， B= 2， 1， 2，所以， 0， 1， 又因为 A=1， 2，所以 A （ =1， 2 0， 1=0， 1， 2 故选 D 2设变量 x， y 满足约束条件 ，则目标函数 z=x+2y 的最小值为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求 z 的最大值 【解答】 解：作出不等式对应的平面区域， 由 z=x+2y，得 y= ， 平移直线 y= ，由图象可知当直线 y= 经过点 B（ 1， 1）时，直线 y=的截距最小，此时 z 最小 此时 z 的最小值为 z=1+2 1=3， 故选： B 3一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） 第 5 页（共 19 页） A 9 B 10 C 11 D 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 根据得出该几何体是在底面为边长是 2 的正方形、高是 3 的直四棱柱的基础上， 截去一个底面积为 2 1=1、高为 3 的三棱锥形成的，运用直棱柱减去三棱锥即可得出答案 【解答】 解：由三视图可知该几何体是在底面为边长是 2 的正方形、高是 3 的直四棱柱的基础上， 截去一个底面积为 2 1=1、高为 3 的三棱锥形成的， V 三棱锥 = =1， 所以 V=4 3 1=11 故选： C 4在 ， b=5， B= ， ，则 a 的值是（ ） A 10 B 2 C D 【考点】 正弦定理 【分析】 由条件利用同角三角函数的基本关系求得 ，再由正弦定理求得 a 的值 【解答】 解： 在 ， b=5， B= ， =2， ， 再由余弦定理可得 = ，解得 a=2 ， 故选 B 5已知 p：函数 f（ x） = m 有零点， q： |m| ，则 p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 第 6 页（共 19 页） 【分析】 令 x=2 0， ， g（ x） = 由于函数 f（ x）= m 有零点，可得 m 即可得出 【解答】 解：令 x=2 0， ， 则 g（ x） = = = 函数 f（ x） = m 有零点， m p 是 q 的充要条件 故选： A 6设 双曲线 的两个焦点， P 在双曲线上，若， （ c 为半焦 距），则双曲线的离心率为（ ） A B C 2 D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 由 ，可得 直角三角形，由勾股定理得（ 2c）2=|+|=| 2|44可求出双曲线的离心率 【解答】 解：由题意 得， 直角三角形， 由勾股定理得（ 2c） 2=|+|=| 2|44 ， e 1=0， e 1， e= 故选： D 7已知 f（ x） =2x 1， g（ x） =1 定：当 |f（ x） | g（ x）时， h（ x） =|f（ x） |；当 |f（ x） | g（ x）时， h（ x） = g（ x），则 h（ x）（ ） A有最小值 1，最大值 1 B有最大值 1，无 最小值 C有最小值 1，无最大值 D有最大值 1，无最小值 【考点】 分段函数的解析式求法及其图象的作法 【分析】 可以画出 f（ x） =2x 1， g（ x） =1 图象，根据规定分两种情况：在 A、 |f（ x） | g（ x）；在 A、 B 之间，从图象上可以看出最值； 【解答】 解：画出 y=|f（ x） |=|2x 1|与 y=g（ x） =1 图象， 它们交于 A、 B 两点 第 7 页（共 19 页） 由 “规定 ”，在 A、 B 两侧， |f（ x） | g（ x）故 h（ x） =|f（ x） |； 在 A、 B 之间， |f（ x） | g（ x），故 h（ x） = g（ x） 综上可知， y=h（ x）的图象是图中的实线部分， 因此 h（ x）有最小值 1，无最大值 故选 C 8在平面四边形 ，点 E、 F 分别是边 中点，且 ， ， ，若 =15，则 的值为（ ） A 13 B 14 C 15 D 16 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 可作出图形，设 C=O，根据向量加法及数乘的几何意义便可得到， ，从而得出 ，根据条件，两边平方即可求出 而 ，从而根据 便可以得到，从而便可以求得= =14 【解答】 解：如图所示， 设 C=O， = ， ； ； ，平方得， ； ； 又 ； 第 8 页（共 19 页） 即 = ； = ； = = = = = = =15 1 =14 故选 B 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分 ） 9若（ 1+2i=1 中 a、 b R， i 是虚数单位，则 |a+ 【考点】 复数求模 【分析】 由（ 1+2i=1 简求出 a、 b 的值，然后由复数模的公式即可求出 |a+值 【解答】 解：由（ 1+2i=1 1 2a+（ 1+b） i=0 解得： 设 z=a+a、 b R）， 则 z= i， |a+ 故答案为： 10 的展开式中 系数是 24 【考点】 二项式系数的性质 第 9 页（共 19 页） 【分析】 求出 的通项公式为 = ，令 ，求出 可求得 系数 【解答】 解：由于 的展开式的通项公式为 = ， 令 ，解得 r=2，故 4 展开式中 系数是 24， 故答案为： 24 11如图是一个程序框图，则输出的 S 的值是 63 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 n， S 的值，当 S=63 时满足条件 S 33，退出循环，输出 S 的值为 63 【解 答】 解：模拟执行程序框图，可得 S=1， n=1 S=3，不满足条件 S 33， n=2， S=7 不满足条件 S 33， n=3， S=15 不满足条件 S 33， n=4， S=31 不满足条件 S 33， n=5， S=63 满足条件 S 33，退出循环，输出 S 的值为 63 故答案为： 63 12如图， O 于点 A，割线 过圆心 O， B=1， 点 O 逆时针旋转60到 长为 第 10 页（共 19 页） 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 解法一：如图根据题设条件可求得角 大小，由于 ， ，由余弦定理求长度即可 解法二：由图形知，若能求得点 D 到线段 距离 线段 长度，在直角三角形用勾股定理求 可 【解答】 解：法一： O 于点 A， B 为 点， B= 0， 20， 在 由余弦定理， 得： 2 法二：过点 D 作 足为 E， 20， 0， 可得 ， ， 在 ，有 13在极坐标系中，直线 + ） =2 被圆 =4 截得的弦长为 4 【考点】 简单曲线的极坐标方程 【分析】 先利用三角函数的和角公式展开直线的极坐标方程的左式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用 x， y， 2=x2+行代换即得直角坐标方程，最后利用直角坐标中直线与圆的关系求出截得的弦长即可 【解答】 解： + ） =2， ，化成直角坐标方程为： x+y 2 =0， 圆 =4 化成直角坐标方程为 x2+6， 圆心到直线的距离为： 第 11 页（共 19 页） 截得的弦长为： 2 = 故答案为： 14已知 x， y R，满足 2 y 4 x， x 1，则 的最大值为 【考点】 基本不等式 【分析】 把原式化简可得 ，利用可行域和斜率计算公式可得 的取值范围，再利用导数即可得出最大值 【解答】 解：由 x， y 满足 2 y 4 x， x 1， 画出可行域如图所示 则 A（ 2， 2）， B（ 1， 3） = = ， 令 k= ， 则 k 表示可行域内的任意点 Q（ x， y）与点 P（ 1， 1）的斜率 而 ， ， ， 令 f（ k） =k+ ， 则 0 函数 f（ k）单调递减，因此当 k= 时， f（ k）取得最大值， 故答案为： 第 12 页（共 19 页） 三、解答题：（本大题 6 个题，共 80 分） 15设函数 f（ x） =x ） （ 0， ）已知当 x= 时， f（ x）取得最大值 （ 1）求 的值； （ 2）设 g（ x） =2f（ x），求函数 g（ x）在 0， 上的最大值 【考点】 三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用 【分析】 （ 1）由三角函数公式化简可得 f（ x） = 2x ），由三角函数的最值可得； （ 2）由（ 1）知 f（ x） = 2x ），可得 g（ x） =2f（ x） =3x ），由 0 x 和三角函数的最值可得 【解答】 解：（ 1）由三角函数公式化简可得： f（ x） = 2x ） 由 f（ x） f（ ） = 可得 ） =1 又 （ 0， ）， = ； （ 2）由（ 1）知 f（ x） = 2x ）， g（ x） =2f（ x） =3x ） 0 x ，所以 3x ， 当 3x =0，即 x= 时， g（ x） 16甲、乙两个乒乓球选手进行比赛，他们的水平相当，规定 “七局四胜 ”，即先赢四局者胜，若已知甲先赢了前两局，求： （ 1）乙取胜的概率； （ 2）比赛打满七局的概率； （ 3）设比赛局数为 X，求 X 的分布列和数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 第 13 页（共 19 页） 【分析】 （ 1）当甲先赢了前两局时，乙取胜的情况有两种：第一种是乙连胜四局；第二种是在第三局到第六局，乙赢了三局，第七局乙 赢由此能求出当甲先赢了前两局时，乙取胜的概率 （ 2）比赛打满七局有两种结果：甲胜或乙胜，记 “比赛打满七局甲胜 ”为事件 A，记 “比赛打满七局乙胜 ”为事件 B， A， B 互斥，由此能求出比赛打满七局的概率 （ 3）随机变量 X 的所有可能取值为 4， 5， 6， 7，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和数学期望 【解答】 解：（ 1）当甲先赢了前两局时，乙取胜的情况有两种：第一种是乙连胜四局；第二种是在第三局到第六局，乙赢了三局，第七局乙赢 在第一种情况下，乙取胜的概率为（ ） 4= ， 在第二种情况下，乙取胜的概率为 = ， 所以当甲先赢了前两局时，乙取胜的概率为 + = （ 2）比赛打满七局 有两种结果：甲胜或乙胜，记 “比赛打满七局甲胜 ”为事件 A，记 “比赛打满七局乙胜 ”为事件 B 则 P（ A） = = ， P（ B） = = ， 又 A， B 互斥，所以比赛打满七局的概率为 P（ A） +P（ B） = （ 3）随机变量 X 的所有可能取值为 4， 5， 6， 7 P（ X=4） =（ ） 2= ， P（ X=5） =C （ ） 2（ ） = ， P（ X=6） =C （ ） 3（ ） +（ ） 4= ， P（ X=7） =C （ ） 4（ ） +C （ ） 4（ ） = ， 所以 X 的分布列为 X 4 5 6 7 P 故随机变量 X 的数学期望 +5 +6 +7 = 17如图所示，在四棱锥 P ，底面四边形 菱形， D=O， 边长为 2 的等边三角形， ， （ ）求证： 底面 （ ）求直线 平面 成角的大小； （ ）在线 段 是否存在一点 M，使得 平面 果存在，求 的值，如果不存在，请说明理由 第 14 页（共 19 页） 【考点】 用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角 【分析】 （ ）证明 底面 需证明 （ ）建立空间直角坐标系，求出直线 方向向量，平面 法向量，利用向量的夹角公式可求直线 平面 成角的大小； （ ）设 =（ 0 1），若使 平面 且仅需 =0 且 面 可得出结论 【解答】 （ ）证明：因为底面 菱形， D=O， 所以 O 为 点 又因为 C， D， 所以 所以 底面 （ ）解：由底面 菱形可得 又由（ ）可知 如图，以 O 为原点建立空间直角坐标系 O 由 边长为 2 的等边三角形， ， 可得 所以 所以 ， 由已知可得 设平面 法向量为 =（ x， y， z），则 令 x=1，则 ，所以 =（ 1， 0， ） 第 15 页（共 19 页） 因为 ， 所以直线 平面 成角的正弦值为 ， 所以直线 平面 成角的大小为 30 （ ）解：设 =（ 0 1），则 若使 平面 且仅需 =0 且 面 解得 ， 所以在线段 存在一点 M，使得 平面 此时 = 18已知中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心 率为 ，且经过点 ，过点 P（ 2， 1）的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 A， B （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）是否存直线 l，满足 ？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由 【考点】 椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题 【分析】 （ 1）先设椭圆的标准方程，将点 M 代入得到一个方程，根据离心率得到一个关系式，再由 a2=b2+得到 a， b， c 的值，进而得到椭圆的方程 （ 2）假设存在直线满足条件，设直线方程为 y=k（ x 2） +1，然后与椭圆方程联立消去 方程一定有两根，故应 大于 0 得到 k 的范围，进而可得到两根之和、第 16 页（共 19 页） 两根之积的表达式，再表示出 、 、 ，再代入关系式 可确定 k 的值，从而得解 【解答】 解：（ ）设 椭圆 C 的方程为 ，由题意得 解得 ， ，故椭圆 C 的方程为 （ ）若存在直线 l 满足条件，由题意可设直线 l 的方程为 y=k（ x 2） +1， 由 得（ 3+48k（ 2k 1） x+1616k 8=0 因为直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 A， B，设 A， B 两点的坐标分别为（ （ x2， 所以 = 8k（ 2k 1） 2 4（ 3+4（ 1616k 8） 0 整理得 32（ 6k+3） 0 解得 又 ， ， 且 ，即 ， 所以 即 所以 ，解得 所以 于是存在直线 l 满足条件，其的方程为 19已知函数 f（ x） = ，数列 足 ， =f（ ）， n N*， （ 1）求数列 通项公式； （ 2）令 Tn= ，求 （ 3）令