浙江省金华市义乌市2016年高考数学适应性试卷(理科)含答案解析

浙江省金华市义乌市 2016 年高考数学适应性试卷（理科） （解析版） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1 “0”是 “|a b|=|a|+|b|”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 2已知三个平面 ， ， ，若 ，且 与 相交但不垂直， a， b 分别为 ， 内的直线，则（ ） A a， a B a， a C b， b D b， b 3已知函 数 f（ x） =22x ） 1，则下列结论中错误的是（ ） A f（ x）的最小正周期为 B f（ x）的图象关于直线 x= 对称 C f（ x）在区间 0， 上是增函数 D函数 f（ x）的图象可由 g（ x） =21 的图象向右平移 个单位得到 4设关于 x， y 的不等式组 表示的平面区域内存在点 P（ 足=1，则实数 m 的取值范围是（ ） A 1， +） B C D 5若 a， b， c 0，且 a（ a+b+c） +6，则 2a+b+c 的最小值为（ ） A 2 B 4 C 6 D 8 6已知向量 ， ， 满足 | |=2， | |= =3，若（ 2 ）（ ） =0，则 | |的最小值是（ ） A 2+ B 2 C 1 D 2 7若抛物线 p 0）的焦点为 F，其准线经过双曲线 的左焦点，点 M 为这两条曲线的一个交点，且 |p，则双曲线的离心率为（ ） A B C D 8已知 a 为实数，函数 f（ x） =|2|在区间（ ， 1） 和（ 2， +）上单调递增，则 a 的取值范围为（ ） A 1， 8 B 3， 8 C 1， 3 D 1， 8 二、填空题：共 7 小题， 9小题 6 分， 13小题 6 分，共 36 分。 9设全集 U=R，集合 A=x|x 2， B=x|4x+3 0，则 AB= ； 10已知函数 f（ x） = 当 a=0 时，若 f（ x） =0，则 x= ； 若 f（ x）有三个不同零点，则实数 a 的取值范围为 11若某多面体的三视图如图所示（单位： 则此多面体的体积是 此多面体外接球的表面积是 12设等差数列 前 n 项和为 满足 0， a8+0，则 0 的最大 ；数列 （ 1 n 15）中最大的项为第 项 13如图，边长为 2 的正 点 A 在平面 上， B， C 在平面 的同侧， M 为 中点若 平面 上的投影是以 A 为直角顶点的 M 到平面 的距离的取值范围是 14在直角坐标平面内，点 A， B 的坐标分别为（ 2， 2），（ 2， 2），不等式 |x|+|y| 2表示的平面区域记为 M，设点 P 是线段 的动点，点 Q 是区域 M 上的动点，则线段 15设抛物线 C： x 的焦点为 F，过 F 的直线 l 与抛物线交于 A， B 两点， M 为抛物线C 的准线与 x 轴的交点，若 |8，则 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答写出文字说明、证明过程或验算过程。 16在 ，内角 A， B， C 对应的三边长分别是 a， b， c，且满足 c（ ） = （ I）求角 B 的大小： （ ）若 上的中线， ， ，求 面积 17如图，四棱锥 P ，底 面 边长为 3 的菱形， 0 面 F 在棱 ，且 ， E 在棱 （ ）若 面 值； （ ）求二面角 B A 的大小 18已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的右焦点为 F（ 1， 0），离心率 e= （ ）求椭 圆 C 的方程； （ ）若过点 M（ 2， 0）作直线与椭圆 C 相交于两点 G， H，设 P 为椭圆 C 上动点，且满足 + =t （ O 为坐标原点）当 t 1 时，求 积 S 的取值范围 19已知 a R，设函数 f（ x） =x|x a| x （ ） 若 a=1 时，求函数 f（ x）的单调区间； （ ） 若 a 1，对于任意的 x 0， t，不等式 1 f（ x） 6 恒成立，求实 数 t 的最大值及此时 a 的值 20已知数列 足 = + 且 （ n N*） （ ）求数列 通项公式； （ ）设 bn= 前 n 项和，证明： 12 15 2016 年浙江省金华市义乌市高考数学适应性试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小 题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1 “0”是 “|a b|=|a|+|b|”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 【分析】 根据充分条件和必要条件的定义，以及绝对值的意义进行判断即可 【解答】 解： 0， |a b|=|a|+| b|=|a|+|b|”， “|a b|=|a|+|b|”， 平方得 2ab+b2=| 即 | 得 0 即 “0”是 “|a b|=|a|+|b|”的充分不必 要条件 故选： A 【点评】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据绝对值的意义是解决本题的关键， 2已知三个平面 ， ， ，若 ，且 与 相交但不垂直， a， b 分别为 ， 内的直线，则（ ） A a， a B a， a C b， b D b， b 【分析】 选项 A 若存在 a， a ，则必然 ，选项 B 只要在平面 内存在与平面 与 的交线平行的直线，则此直线平行于平面 ，进行判定即可，选项 C 中 ，但并不是平面 内的任意直线都与平面 垂直，选项 D 只有在平面 内与平面 与 的交线平行的直线才和平面 平行 【解答】 解答：解：若存在 a， a ，则必然 ，选项 A 不正确； 只要在平面 内存在与平面 与 的交线平行的直线，则此直线平行于平面 ，故选项 B 正确； 选项 C 中 ，但并不是平面 内的任意直线都与平面 垂直，故选项 C 不正确； 由于 ，只有在平面 内与平面 与 的交线平行的直线才和平面 平行，选项 D 不正确； 故选 B 【点评】 点评：本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，以及面面垂直的性质，属于基础题 3已知函数 f（ x） =22x ） 1，则下列结论中错误的是（ ） A f（ x）的最小正周期为 B f（ x）的图象关于直线 x= 对称 C f（ x）在区间 0， 上是增函数 D函数 f（ x）的图象可由 g（ x） =21 的图象向右平移 个单位得到 【分析】 由条件利用正弦函数的周期性、图象的对称性、单调性， y=x+）的图象变换规律，得出结论 【解答】 解：对于函数 f（ x） =22x ） 1，由于它的最小正周期为 ，故 A 正确； 当 x= 时， f（ x） =22x ） 1=1，函数取得最大值，故 f（ x）的图象关于直线x= 对称，故 B 正确； 在区间 0， 上， 2x ， ，故 f（ x）在区间 0， 上是增函数，故 由于把 g（ x） =21 的图象向右平移 个单位得到 y=2x ） 1=22x ） 1 的图象，故 D 错误， 故选： D 【点评】 本题主要考查正弦函数的周期性、图象的对称性、单调性， y=x+）的图象变换规律，属于基础题 4设关于 x， y 的不等式组 表示的平面区域内存在点 P（ 足=1，则实数 m 的取值范围是（ ） A 1， +） B C D 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，由 |3x 4y 12|=5 得 d= =1，即 x 4y 12=0 的距离等于 1，利用数形结合进行求解即可 【解答】 解：作出不等式组对应的平面如图：交点 B 坐标为（ m， m），（ m 0） 直线 x 2y=2 的斜率为 ，斜截式方程为 ， 由 |3x 4y 12|=5 得 =1， 设 d= ， 则 d 的几何意义是区域内的点到直线 3x 4y 12=0 的距离等于 1， 设到直线 3x 4y 12=0 的距离等于 1 的直线为 3x 4y+c=0， 则 =1，得 c= 7 或 c= 17 要使平面区域内存在点 P（ 足 |3x 4y 12|=5， 则点 B（ m， m）必在直线 3x 4y 7=0 的下方， 即 3m+4m 7 0，解得 m 1 故 m 的取值范围是： 1， +） 故选： A 【点评】 本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强 5若 a， b， c 0，且 a（ a+b+c） +6，则 2a+b+c 的最小值为（ ） A 2 B 4 C 6 D 8 【分析】 因为（ 2a+b+c） 2=4a2+b2+已知等式 比较发现，只要利用均值不等式 b2+2可求出结果 【解答】 解：因为 a（ a+b+c） +6， 所以 16 4=（ a2+ab+ac+ 4=44ab+b2+ 2a+b+c） 2， 所以 2a+b+c 8， 所以 2a+b+c 的最小值为 8 故选： D 【点评】 本小题主要考查均值不等式的有关知识及配方法的有关知识，以及转化与化归的思想方法解答的关键是利用平方关系 4ab+b2+ 2a+b+c） 2 建立条件与结论之 间的联系 6已知向量 ， ， 满足 | |=2， | |= =3，若（ 2 ）（ ） =0，则 | |的最小值是（ ） A 2+ B 2 C 1 D 2 【分析】 由题意设 ， ，再设 ，由（ 2 ）（ ）=0 可 得 的终点的轨迹，数形结合即可得到 | |的最小值 【解答】 解： | |=2， | |= =3， 设 ， ， 再设 ， 由（ 2 ）（ ） =0， 得（ x 2， y ）（ x 2， y） =0， 即 的终点在以（ 2， ）为圆心，以 为半径的圆上， 如图， | |的最小值是 故选： B 【点评】 本题考查平面向量的数量积运算，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题 7若抛物线 p 0）的焦点为 F，其准线经过双曲线 的左焦点，点 M 为这两条曲线的一个交点，且 |p，则双曲线的离心率为（ ） A B C D 【分析】 确定抛物线 p 0）的焦点与准线方程，利用点 M 为这两条曲线的一个交点，且 |p，求出 M 的坐标，代入双曲线方程，即可求得结论 【解答】 解：抛物线 p 0）的焦点为 F（ ， 0），其准线方程为 x= ， 准线经过双曲线 的左焦点， c= ； 点 M 为这两条曲线的一个交点，且 |p， M 的横坐标为 ， 代入抛物线方程，可得 M 的纵坐标为 p， 将 M 的坐标代入双曲线方程，可得 =1， a= p， e= =1+ 故选： C 【点评】 本题考查抛物线的几何性质，考查曲线的交点，考查双曲线的几何性质，确定 8已知 a 为实数，函数 f（ x） =|2|在区间（ ， 1）和（ 2， +）上单调递增，则 a 的取值范围为（ ） A 1， 8 B 3， 8 C 1， 3 D 1， 8 【分析】 根据绝对值的应用，将函数进行转化，结合一元二次不等式与一元二次函数之间的关系，结合函数的单调性的性质进行讨论 判断 【解答】 解：令函数 g（ x） =2，由于 g（ x）的判别式 = 0，故函数 g（ x）一定有两个零点， 设为 函数 f（ x） =|2|= ， 故当 x （ ， （ +）时， 函数 f（ x）的图象是位于同一条直线上的两条射线， 当 x （ 时，函数 f（ x）的图象是抛物线 y=22 下凹的一部分，且各段连在一起 由于 f（ x）在区间（ ， 1）和（ 2， +）上单调递 增， a 0 且函数 g（ x）较小的零点 1， 即 a+2 ， 平方得 a+4 ，得 a 1， 同时由 y=22 的对称轴为 x= ， 若且 1 2，可得 4 a 8 综上可得， 1 a 8， 故实 a 的取值范围为 1， 8， 故选： A 【点评】 本题主要考查函数单调性的应用，根据绝对值的意义转化为一元二次函数，利用一元二次函数和一元二次不等式之间的关系是解决本题的关键综合性较强，难度较大 二、填空题：共 7 小题， 9小题 6 分， 13小题 6 分，共 36 分。 9设全集 U=R，集合 A=x|x 2， B=x|4x+3 0，则 AB= x|2 x 3 ；x|x 1 或 x 3 【分析】 利用二次不等式的解法求解集合 B，然后求解交集以及补集即可 【解答】 解：全集 U=R，集 合 A=x|x 2， B=x|4x+3 0=x|1 x 3，则AB=x|2 x 3； x|x 1 或 x 3 故答案为： x|2 x 3； x|x 1 或 x 3 【点评】 本题考查二次不等式的解法，集合的基本运算，考查计算能力 10已知函数 f（ x） = 当 a=0 时，若 f（ x） =0，则 x= 1 ； 若 f（ x）有三个不同零点，则实数 a 的取值范围为 0 a 【分析】 根据分段函数表达式，对 x 分类求解即可； 结合分段函数，得出当 x 0 时，需有两个不同零点， |x+1|=2a 在 x 0 有两跟，相当于函数 y=|x+1|与 y=2a 有两交点，利用数形结合得出答案 【解答】 解：若 x 0， |x+1|=0， x= 1； 若 x 0， x=1， 故 答案为 1； 显然当 x 0 时，有一个零点 x=1， 当 x 0 时，需有两个不同零点， |x+1|=2a 在 x 0 有两跟， 0 2a 1， 0 a 故 答案为 0 a 【点评】 考查了分段函数的分类讨论和分段函数零点问题难点是利用数学结合求解交点问题 11若某多面体的三视图如图所示（单位： 则此多面体的体积是 此多面体外接球的表面积是 3 【分析】 根据三视图得该几何体是由棱长为 1正方体、沿相邻三个侧面的对角线截去一个三棱锥得到一个多面体，画出图， 由正方体的体积和椎体的体积公式求出此多面体的体积； 由正方体的外接球求出此多面体外接球的半径，代入球的表面积公式求解 【解答】 解：根据三视图得该几何体是由棱长为 1正方体 沿相邻三个侧面的对角线截去一个三棱锥 E 到一个多面体， 此多面体的体积 V= = （ 此多面体外接也是正方体的外接球，设半径为 R， 则 2R= ，即 R= （ 所以此多面体外接球的表面积 S=4（ 故答案为： ； 3 【点评】 本题考查三视图求几何体的体积、以及外接球的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力 12设等差数列 前 n 项和为 满足 0， a8+0，则 0 的最大 n 是 15 ；数列 （ 1 n 15）中最大的项为第 8 项 【分析】 直接由已知结合等差数列的性质与前 n 项和得 0， 0，则答案可求， 由题意可知，该数列是递减数列，当 n=8 时， |小，且 |大，问题得以解决 【解答】 解： 等差数列 足 0， a8+0， =150， （ a1+=8（ a8+ 0， 0 的最大 n 是 15， 等差数列 前 n 项和为 满足 0， a8+0， 该数列是递减数列，当 n=8 时， |小，且 |大， 数列 （ 1 n 15）中最大的项为第 8 项 故答案为 15， 8 【点评】 本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前 n 项和，是基础题 13如图，边长为 2 的正 点 A 在平面 上， B， C 在平面 的同侧， M 为 中点若 平面 上的投影是以 A 为直角顶点的 M 到平面 的距离的取值范围是 ， ） 【分析】 设出 B， C 到面的距离，则 M 到平面 的距离为两者和的一半，确定 ，即可求出 M 到平面 的距离的取值范围 【解答】 解：设 B， C 到平面 距离分别为 a， b，则 M 到平面 距离为 h= 射影三角形两直角边的平方分别 4 4 设线段 影长为 c，则 4 b2= 1） 又线段 影长为 ，所以（ ） 2+ =3，（ 2） 由（ 1）（ 2）联立解得 ， a 2， b 2， h= （ a+ ） ， ）， 故答案为： ， ） 【点评】 本题考查 M 到平面 的距离的取值范围，考查学生分析解决问题的能力，确定 是关键 14在直角坐标平面内，点 A， B 的坐标分别为（ 2， 2），（ 2， 2），不等式 |x|+|y| 2表示的平面区域记为 M，设点 P 是线段 的动点，点 Q 是区域 M 上的动点，则线段 6 【分 析】 设出 Q 的坐标， 中点坐标，利用已知条件列出不等式，画出可行域，求解即可 【解答】 解：设线段 中点（ x， y）， Q（ m， n）， P（ 2， t）， t 2， 2 可得 =x， ，即 m=2x 2， n=2y t， 不等式 |x|+|y| 2 表示的平面区域记为 M，点 Q 是区域 M 上的动点， 可得： |2x 2|+|2y t| 2， t 2， 2 即： |x 1|+|y | 1， t 2， 2 不等式表示的可行域如图：可得线段 中点的运动区域的面积是一个长方形与两个等腰直角三角形的面积的和，即： 2 2+2 2 1=6 故答案为： 6 【点评】 本题考查线性规划的应用，转化思想以及计算能力 15设抛物线 C： x 的焦点为 F，过 F 的直线 l 与抛物线交于 A， B 两点， M 为抛物线C 的准线与 x 轴的交点，若 |8，则 2 【分析】 设 程 y=k（ x 1），与抛物线方程 x 联立，得到 x1+，根据弦长公式得到 +2=8，求出 ，解得 A， B 的坐标，即可求出 【解答】 解：焦点 F（ 1， 0）， M（ 1， 0），设 程 y=k（ x 1）， 设 A（ B（ 由 ，即 2（ ） x+， x1+， |x1+x2+p= +2=8， ， 即 6x+1=0， 解得 x=3 ， 即 A（ 3+ ， 2+2 ）， B（ 3 ， 2 2 ）， = = = =2 ， 故答案为： 2 【点评】 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查差角的正切公式，求根据弦长公式求出 于中档题 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答写出文字说明、证明过程或验算过程。 16在 ，内角 A， B， C 对应的三边长分别是 a， b， c，且满足 c（ ） = （ I）求角 B 的大小： （ ）若 上的 中线， ， ，求 面积 【分析】 （ 1）利用余弦定理将角化边得出 a， b， c 的关系，再使用余弦定理计算 （ 2）先根据两角和差的正弦公式求出 根据正弦定理得到 b， c 的关系，再利用余弦定理可求 b， c 的值，再由三角形面积公式可求结果 【解答】 解；（ 1）在 ， c（ ） =， b2+2 a2+b2= = ，又 B （ 0， ）， B= （ 2） ， ， A+B） = + = ， = = ， 设 b=7x， c=5x，则 = 在 ，由余弦定理得 2 =25 492 5x x 解得 x=1， b=7， c=5， S 35 =10 【点评】 本题考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式，熟记相关公式并灵活运用是解题关键，属于中档题 17如图，四棱锥 P ，底面 边长为 3 的菱形， 0 面 F 在棱 ，且 ， E 在棱 （ ）若 面 值； （ ）求二面角 B A 的大小 【分析】 （ ）根据线面平行的性质定理进行推理得到 E 为 点即可求 值； （ ）根据二面角的定义作出二面角的平面角，即可求二面角 B A 的大小 【解答】 证明：（ ）过 E 作 G，连接 连接 O，连接 面 面 E=E， 面 面 面 面 （ 3 分） 又 面 面 又面 O， 又 O 为 点， F 为 点， P=1， E 为 点， ： 1 （ 6 分） （ ）过点 B 作 直线 长线于 H，过点 H 作 直线 I， （ 8 分） 面 面 面 面 三垂线定理可得 二面角 B A 的平面角 由题易得 ， ， ， 且 = ， ， = ， （ 10 分） 二面角 B A 的大小为 （ 12 分） 【点评】 本题主要考查空间线面平行的性质的应用以及二面角的求解，利用相应的性质定理以及作出二面角的平面角是解决本题的关键 18已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的右焦点为 F（ 1， 0），离心率 e= （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）若过点 M（ 2， 0）作直线与椭圆 C 相交于两点 G， H，设 P 为椭圆 C 上动点，且满足 + =t （ O 为坐标原点）当 t 1 时，求 积 S 的取值范围 【分析】 （ ）由题意 可知 c=1，根据椭圆的离心率 e= ，即可求得 a 的值，再利用 a2=b2+得 b 的值，即可求得椭圆的方程； （ ）设出直线方程及点 G 和 H 的坐标，并将直线方程代入椭圆方程求得关于 y 的一元二次方程，利用韦达定理求得丨 的表达式，由 + =t ，求得 P 点坐标，并代入椭圆方程，求得 m 的取值范 围，利用三角形的面积公式，求得 积 S，并根据 m 的取值范围，及函数单调性求得 积 S 的取值范围 【解答】 解：（ ）由题意可知： c=1，由 e= = ， a= ， a2=b2+得 b=1， 故椭圆方程为： ； （ ）设过点 M 的直线方程为 x=， G， H 两点坐标分别为（ （ 将直线方程代入椭圆方程整理得：（ ） =0， =816 02， 由韦达定理可知 y1+ ， ， 由丨 = = = ， + =t 点 P（ ， ）， 点 P 在椭圆上，（ ） 2+2（ ） 2=2，化简整理得： m（ y1+42+2（ y1+=2 将 y1+ ，整理得： 2， t 1， 2 14， S 2 丨 = ， 令 =t， t （ 0， 2 ， S = ， 令 g（ t） =t+ ， g（ t）在（ 0， 2上单调递减，在 2， 2 单调递增， 0 S ， 积 S 的取值范围（ 0， 【点评】 本题考查椭圆方程的求法，考查了直线和 椭圆位置关系的应用、韦达定理及弦长公式的应用，考查分析问题及解决问题得能力，属于中档题 19已知 a R，设函数 f（ x） =x|x a| x （ ） 若 a=1 时，求函数 f（ x）的单调区间； （ ） 若 a 1，对于任意的 x 0， t，不等式 1 f（ x） 6 恒成立，求实数 t 的最大值及此时 a 的值 【分析】 （ ）把 a=1 代入函数解析式，然后分 x 1 和 x 1 写出分段函数，结合二次函数的解析式求得函