2016年山东省威海市高考数学二模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 21 页） 2016 年山东省威海市高考数学二模试卷（文科） 一、选择题：本大题共 10小题，每小题 5分，共 50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知 i 为虚数单位，复数 z= 的实部与虚部互为相反数，则实数 a=（ ） A 1B 1C 3D 3 2已知集合 A=x|2x 3 0， B=x|y=2 x） ，定义 A B=x|xA，且 xB，则 A B=（ ） A（ 1， 2） B 2， 3） C（ 2， 3） D（ 1， 2 3已知 | |=| |=2，（ +2 ） （ ） = 2，则 与 的夹角 为（ ） A 30B 45C 60D 120 4已知变量 x， y 满足关系 y=1，变量 y 与 z 负相关，则下列结论正确的是（ ） A x 与 y 正相关， x 与 z 负相关 B x 与 y 负相关， x 与 z 正相关 C z 与 y 正相关， x 与 z 正相关 D x 与 y 负相关， x 与 z 负相关 5下列命题的逆命题为真命题的是（ ） A若 x 2，则（ x 2）（ x+1） 0B若 x2+，则 C若 x+y=2，则 xy ab，则 如图所示的程序框图中按程序运行后输出的结果（ ） A 7B 8C 9D 10 7已知函数 f（ x） =2x+）（ 0 ， 0）为奇函数，其图象与直线 y=2 相邻两交点的距离为 ，则函数 f（ x）（ ） A在 ， 上单调递减 B在 ， 上单调递增 第 2 页（共 21 页） C在 ， 上单调递减 D在 ， 上单调递增 8设双曲线 =1（ a 0， b 0）的右焦点为 F，过点 F 作 x 轴的垂线，与双曲线及其渐近线在第一象限分别交于点 A， P，若 | ，则双曲线的离心率为（ ） A B C D 9已知等腰 B= D= ） A B C D 10设函数 f（ x） =|若 0 a 1 b 且 f（ b） =f（ a） +1，则 a+2b 的取值范围为（ ） A 4， +） B（ 4， +） C 5， +） D（ 5， +） 二、填空题：本大题共 5小题，每小题 5分，共 25分 11正四棱锥的主视图和俯视图如图所示，其中主视图为边长为 1 的 正三角形，则该正四棱锥的表面积为 12函数 f（ x） = 的值域为 13若变量 x， y 满足约束条件 ，则 z=x+2y 的最大值为 14抛物线 C： p 0）的焦点为 F， O 为坐标原点， M 为 C 上一点若 |2p， 面积为 4 ，则抛物 线方程为 15已知函数 f（ x） = ，若关于 x 的方程 f（ x） =x+m 有两个不同的实根，则实数所的取值范围为 三、解答题：本大题共 6小题，共 75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16已知 f（ x） =+ x） +1 第 3 页（共 21 页） （ ）求函数 f（ x）的对称轴； （ ）在 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 = ，若不等式 f（ B） m 恒成立，求实数 m 的取值范围 17 2015 年，威海智慧公交建设项目已经基本完成为了解市民对该项目的满意度，分别从不同公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分（满分 100 分），绘制如下频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级： 满意度评分 低于 60分 60 分到 79 分 80 分到 89 分 不低于 90 分 满意度等级 不满意 基本满意 满意 非常满意 已知满意度等级为基本满意的有 680 人 （ I）求等级为非常满意的人数： （ ）现从等级为不满意市民中按评分分层抽取 6 人了解不满意的原因，并从中选取 3 人担任整改监督员，求 3 人中恰有 1 人评分在 40， 50）的概率； （ ）相关部门对项目进行验收，验收的硬性指标是：市民对该项目的满意指数不低于 则该项目需进行整改，根据你所学的统计知识，判断该项目能否通过验收，并说明理由（注：满意指数 = ） 18设公差不为零的等差数列 前 n 项和为 2， 等比数列 （ ）求数列 通项公式； （ ）设 ，求数列 前 n 项和 19已知直四棱柱 ， C=1， E，F 分别为 （ I）求证： （ ）求证：面 面 第 4 页（共 21 页） 20 f（ x） =x， （ ）若函数 f（ x）在 x=1 处取得极小值，求 m 的值： （ ）求函数 f（ x）的单调区间： （ ）当 m 0， x ， +）时，曲线 y=f（ x）上总存在经过原点的切线试求 m 的取值范围 21已知椭圆 C： + =1（ a b 0）， 左右焦点， A， B 是长轴两端点，点 P（ a， b）与 成等腰三角形，且 = （ I）求椭圆 C 的方程； （ ）设点 Q 是椭圆上异于 A， B 的动点，直线 别交直线 l： x=m（ m 2）于 M， N 两点 （ i）当 = 时，求 Q 点坐标； （ 否存在实数 m，使得以 直径的圆经过点 存在，求出实数 m 的值，若不存在请说明理由 第 5 页（共 21 页） 2016年山东省威海市高考数学二模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10小题，每小题 5分，共 50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知 i 为虚数单位，复数 z= 的实部与虚部互为相反数，则实数 a=（ ） A 1B 1C 3D 3 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，由已知列式求得 a 值 【解答】 解： z= = 的实部和虚部互为相反数， a 2=（ 2a 1），即 a= 3 故选： D 2已知集合 A=x|2x 3 0， B=x|y=2 x） ，定义 A B=x|xA，且 xB，则 A B=（ ） A（ 1， 2） B 2， 3） C（ 2， 3） D（ 1， 2 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 根据条件求出集合 A， B 的等价条件，结合定义进行求解即可 【解答】 解： A=x|2x 3 0=x| 1 x 3， B=x|y=2 x） =x|2 x 0=x|x 2， 则 A B=x|xA，且 xB=2， 3）， 故选： B 3已知 | |=| |=2，（ +2 ） （ ） = 2，则 与 的夹角为（ ） A 30B 45C 60D 120 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 把已知的向量等式左边展开，代入向量数量积公式即可求得 与 的夹角 【解答】 解：由（ +2 ） （ ） = 2， 得 ， ， 又 | |=| |=2， ， 即 ， 两向量夹角的范围为 0， 180， 第 6 页（共 21 页） 与 的夹角为 60 故选： C 4已知变量 x， y 满足关系 y=1，变量 y 与 z 负相关，则下列结论正确的是（ ） A x 与 y 正相关， x 与 z 负相关 B x 与 y 负相关， x 与 z 正相关 C z 与 y 正相关， x 与 z 正相关 D x 与 y 负相关， x 与 z 负相关 【考点】 线性回归方程 【分析】 根据回归方程中，变量系数之间的关系，进行求解即可 【解答】 解：变量 x， y 满足关系 y=1， 则变量 y 与 z 正相关， 变量 y 与 z 负相关， 变量 x 与 z 负相关， 故选： A 5下列命题的逆命题为真命题的是（ ） A若 x 2，则（ x 2）（ x+1） 0B若 x2+，则 C若 x+y=2，则 xy ab，则 考点】 四种命题 【分析】 分别写出相应的逆命题，再判断真假即可 【解答】 解：选项 A， “若 x 2，则（ x 2）（ x+1） 0”的逆命题为 “若（ x 2） （ x+1） 0，则 x 2” 因为（ x 2）（ x+1） 0 得到 x 2 或 x 1，所以是假命题， 选项 B， “若 x2+，则 ”的逆命题为 “若 ，则 x2+”是真命题， 选项 C， “若 x+y=2，则 xyl”的逆命题为 “若 xyl，则 x+y=2”， 因为 x=2， y= ，满足 xyl，但不满足 x+y=2，所以是假命题， 选项 D， “若 ab，则 逆命题为 “若 ab”， 因为若 c=0， a=1， b=2，满 足 不满足 ab，所以是假命题 故选： B 6如图所示的程序框图中按程序运行后输出的结果（ ） 第 7 页（共 21 页） A 7B 8C 9D 10 【考点】 程序框图 【分析】 根据题意，模拟程序框图的运行过程，依次写出每次循环得到的 n， i 的值，当 n=1时退出循环，输出 i 的值为 7，从而得解 【解答】 解：模拟程序框图的运行过程，如下； i=0， n=3 执行循环体，满足条件 n 是奇数， n=10， i=1 不满足条件 n=1，执行循环体，不满足条件 n 是奇数， n=5， i=2 不满足条件 n=1，执行循环体，满足条件 n 是奇数， n=16， i=3 不满足条件 n=1，执行循环体，不满足条件 n 是奇数， n=8， i=4 不满足条件 n=1，执行循环体，不满足条件 n 是奇数， n=4， i=5 不满足条件 n=1，执行循环体，不满足条件 n 是奇数， n=2， i=6 不满足条件 n=1，执行循环体，不满足条件 n 是奇数， n=1， i=7 满足条件 n=1，退出循环，输出 i 的值为 7 故选： A 7已知函数 f（ x） =2x+）（ 0 ， 0）为奇函数，其图象与直线 y=2 相邻两交点的距离 为 ，则函数 f（ x）（ ） A在 ， 上单调递减 B在 ， 上单调递增 C在 ， 上单调递减 D在 ， 上单调递增 【考点】 余弦函数的图象 【分析】 由条件利用正弦函数的奇偶性、周期性求得 和 的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论 第 8 页（共 21 页） 【解答】 解： 函数 f（ x） =2x+） =2（ x+） = 2x+ ）（ 0 ， 0）为奇函数， = =， kZ， = ， f（ x） = 2 再根据它的图象与直线 y=2 相邻两交点的距离为 ，则函数 f（ x）的周期为 =， =2， f（ x） = 2 x ， 2x ， ，函数 f（ x）没有单调性，故排除 A、 B 在 ， 上， 2x ， ，函数 f（ x）单调递减，故排除 D， 故选： C 8设双曲线 =1（ a 0， b 0）的右焦点为 F，过点 F 作 x 轴的垂线，与双曲线及其渐近线在第一象限分别交于点 A， P，若 | ，则双曲线的离心率为（ ） A B C D 【考点】 双曲线 的简单性质 【分析】 根据直线 x=c 与双曲线和渐近线相交，求出交点坐标，结合 | ，建立方程关系进行求解即可 【解答】 解：过 F 作 x 轴的垂线，在第一象限与双曲线交于点 A， 令 x=c，代入双曲线的方程可得 y=b = ， 则 A 点坐标为（ c， ）， 双曲线过第一象限的渐近线为 y= x，当 x=c 时， y= ，即 P（ c， ）， 则 = = ， 即 33b2= 即 33b2= 得 3， 得 c=b（舍）或 c=2b， 则 a= = b， 则离心率 e= = = ， 第 9 页（共 21 页） 故选： A 9已知等腰 B= D= ） A B C D 【考点】 正弦定理 【分析】 设 C=a、 D=b，在 由余弦定理求出 由余弦定理表示出 正弦定理求出 值 【解答】 解：如图：设 C=a， D=b， 由 ， ， 在 ，由余弦定理得， = = ， C， 锐角， 则 = ， 在 ，由余弦定理得 2D ，解得 a= b， 由正弦定理得， ， ，解得 ， 故选： C 10设函数 f（ x） =|若 0 a 1 b 且 f（ b） =f（ a） +1，则 a+2b 的取值范围为（ ） A 4， +） B（ 4， +） C 5， +） D（ 5， +） 【考点】 对数函数的图象与性质 【分析】 画出函数 f（ x）的图象，则数形结合可知 ，再将所求 a+2b 化为关于 a 的一元函数，利用函数单调性求函数的值域即可 【解答】 解：画出 f（ x） =|图象如图： 0 a 1 b 且 f（ b） =f（ a） +1， |1， 第 10 页（共 21 页） ， ， ， y=a+2b=a+ ，（ 0 a 1）， y=a+ 在（ 0， 1）上为减函数， y 1+ =5， a+2b 的取值范围为（ 5， +）， 故选： D 二、填空题：本大题共 5小题，每小题 5分，共 25分 11正四棱锥的主视图和俯视图如图所 示，其中主视图为边长为 1 的正三角形，则该正四棱锥的表面积为 3 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由正视图、俯视图以及正四棱锥的结构特征，求出正四棱锥的底面边长、侧面上的高，由面积公式求出该正四棱锥的表面积 【解答】 解：根据三视图可知正四棱锥的底面是边长为 1 正方形， 侧面的高是正视图中的边长 1， 该正四棱锥的表面积 S=11+4 =3， 故答案为： 3 12函数 f（ x） = 的值域为 （ 0， 2 第 11 页（共 21 页） 【考点】 函数的值域 【分析】 通过配方即可得出 2x ，而指数函数 y=2而便可得出，这样便可得出函数 f（ x）的值域 【解答】 解： 2x （ x 1） 2+11，且 y=2 ，且 ； f（ x）的值域为（ 0， 2 故答案为：（ 0， 2 13若变量 x， y 满足约束条件 ，则 z=x+2y 的最大值为 12 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求 z 的最大值 【解答】 解：作出约束条件 对应的平面区域（阴影部分）， 由 z=x+3y，得 y= x+ z， 平移直线 y= x+ z，由图象可知当直线 y= x+ z， 经过点 A 时，直线 y= x+ z 的截距最大，此时 z 最大 由 ，解得 ， 即 A（ 2， 5） 此时 z 的最大值为 z=2+25=12， 故答案为： 12 第 12 页（共 21 页） 14抛物线 C： p 0）的焦点为 F， O 为坐标原点， M 为 C 上一点若 |2p， 面积为 4 ，则抛物线方程为 x 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 根据 M 为抛物线上一点，且 |2p，可确定 M 的坐标，利用 面积， 求出 p，即可求得抛物线的方程 【解答】 解：由题意， F（ ， 0），准线方程为 x= ， |2p M 的横坐标为 2p = p M 的纵坐标为 y= p 面积为 4 ， =4 ， p=4， 抛物线的方程为 x 故答案为： x 15已知函数 f（ x） = ，若关于 x 的方程 f（ x） =x+m 有两个不同的实根，则实数所的取值范围为 0 m 9或 m 9 【考点】 根的存在性及根的个数判断 【分析】 关于 x 的方程 f（ x） =x+m 有两个不同的实根转化为函数 f（ x） = 与y=x+m 的图象有两个不同的交点，从而利用数形结合的方法求解 【解答】 解：由题意作函数 f（ x） = 与 y=x+m 的图象如下， 第 13 页（共 21 页） ， 当 x 1 时， f（ x） =f（ x） =3 令 f（ x） =1 解得， x= 或 x= ； 而 f（ ） = ， f（ ） = ； 故 m= + = ，或 m= = ， 结合图象可知， 0 m 或 m 故答案为： 0 m 或 m 三、解答题：本大题共 6小题，共 75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16已知 f（ x） =+ x） +1 （ ）求函数 f（ x）的对称轴； （ ）在 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 = ，若不等式 f（ B） m 恒成立，求实数 m 的取值范围 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦定理 【分析】 （ ）借助辅助角公式，将 f（ x）化简为一个三角函数式，由此得到对称轴 （ ）由正弦定理得到 A，由此得到 B 的范围，即可得到 f（ B）的范围 【解答】 解：（ ） f（ x） =+ x） +1 = =22x ） +1， 令 2x = +得 x= + ， kZ， 函数 f（ x）的对称轴为 x= + ， kZ， 第 14 页（共 21 页） （ ） 在 ， = ，由正弦定理得 = ， 可变形得， A+B） =2 ， ， 0 A ， A= ， f（ B） =22B ） +1，只需 f（ x） m， 0 B ， 2B ， 2B ） 1，即 0 f（ B） 3， m 3 17 2015 年，威海智慧公交建设项目已经基本完成为了解市民对该项目的满意度，分别从不同公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分（满分 100 分），绘制如下频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级： 满意度评分 低于 60分 60 分到 79 分 80 分到 89 分 不低于 90 分 满意度等级 不满意 基本满意 满意 非常满意 已知满意度等级为基本满意的有 680 人 （ I）求等级为非常满意的人数： （ ）现从等级为不满意市民中按评分分层抽取 6 人了解不满意的原因，并从中选取 3 人担任整改监督员，求 3 人中恰有 1 人评分在 40， 50）的概率； （ ）相关部门对项目进行验收，验收的硬性指标是：市民对该项目的满意指数不低于 则该项目需进行整改，根据你所学的统计知识，判断该项目能否通过验收，并说明理由（注：满意指数 = ） 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图 【分析】 （ ）由频率分布直方图中小矩形有面积之和为 1，能求出 a 的值，设满意度等级为非常满意 的人数为 m，则 ，由此能求出非常满意的市民的人数 （ ）由频率分布直方图可知，按评分分层抽取 6 人，则评分在 40， 50）中抽取 2 人，由此利用等可能事件概率计算公式能过河卒子 同 3 人中恰有 1 人评分在 40， 50）的概率 （ ）先求出所选样本满意程度的平均分，从而估计市民满意度程度的平均得分，进而求出市民满意度指数，由此得到该项目能通过验收 【解答】 解：（ ）由频率分布直方图，得： 第 15 页（共 21 页） a= 1 10（ = 设满意度等级为非常满意的人数为 m，则 ， 解得 m=500， 非常满意的市民有 500 人 （ ）由频率分布直方图可知，按评分分层抽取 6 人，则评分在 40， 50）中抽取 2 人， 设为 分在 50， 60）中抽取 4 人，设为 则从 6 人中所选 3 人担任整改监督员的基本事件总数 n= =20， 3 人中恰 有 1 人评分在 40， 50）中包含的基本事件个数 m= =12， 3 人中恰有 1 人评分在 40， 50）的概率 p= = （ ）所选样本满意程度的平均分为： 4555555 估计市民满意度程度的平均得分为 市民满意度指数为 = 该项目能通过验收 18设公差不为零的等差数列 前 n 项和为 2， 等比数列 （ ）求数列 通项公式； （ ）设 ，求数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ I）设等差数列 公差为 d0，由 得：，又 2， 3d=12，联立解得 d即可得出 （ = ，利用 “裂项求和 ”方法即可得出 【解答】 解：（ I）设等差数列 公差为 d0， 等比数列， = ，化为： d=3 又 2， 3d=12，化为 a1+d=4，联立解得 ， d=3 +3（ n 1） =3n 2 （ = = ， 第 16 页（共 21 页） 数列 前 n 项和 + += = 19已知直四棱柱 ， C=1， E，F 分别为 （ I）求证： （ ）求证：面 面 【考点】 平面与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系 【分析】 （ I）连结 中点 G，连结 算 用勾股定理的逆定理得出 平面 出 而 平面 是 以 （ 结 可证四边形 平行四边形，于是 而面 面 【解答】 证明：（ I）连结 中点 G，连结 ， ， 四边形 正方形， G=1， ， ， 直四棱柱 平面 面 面 面 1B=B， 平面 面 又 （ 结 E， F 为 中点， D D， F， 四边形 平行四边形， F， G 分别是 中点， 第 17 页（共 21 页） 又 面 面 F=E， 面 面 11， 面 面 20 f（ x） =x， （ ）若函数 f（ x）在 x=1 处取得极小值，求 m 的值： （ ）求函数 f（ x）的单调区间： （ ）当 m 0， x ， +）时，曲线 y=f（ x）上总存在经过原点的切线试求 m 的取值范围 【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值 【分析】 （ ）求出函数的导数，得到 f（ 1） =0，求出 m 的值；（ ）求出函数 f（ x） 导数，通过讨论 m 的范围，求出函数的单调区间即可； （ ）问题转化为求 g（ x） =x2+m 的最小值，从而求出 m 的范围即可 【解答】 解：（ ） f（ x） = ，（ x 0）， 函数 f（ x）在 x=1 处取得极小值， f（ 1） =0，解得： m=1 ， 经检验 m=1+ 时，函数 f（ x）在 x=1 处取得极小值， 故 m=1+ ； （ ）令 f（ x） =0，即 2x ，（ x 0）， 当 m=0 时， f（ x） 0， f（ x）在（ 0， +）递增， m 0 时， =1+80， 故 ， ，