河南省洛阳市2015-2016年高二下期末理科数学试卷(A)含解析

第 1页（共 18页） 2015年河南省洛阳市高二（下）期末数学试卷（理科）（ A 卷） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 A=x|y = ，集合 B= x|y= ，则 AB=（ ） A（ ， 1） B（ 1， 1 C 1， 2） D（ 2， +） 2复数 在复平面 内对应的点落在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3下列叙述正确的个数是（ ） 若 a b，则 若命题 p 为真命题题，命题 q 为假命题，则 p q 为假命题； 若命题 p： ， x 0，则 p： xR， x +1 0 A 0 B 1 C 2 D 3 4对两个变量 y 和 x 进行回归分析，得到一组样本数据：（ （ ，（ 则下列说法中不正确的是（ ） A 由样本数据得到的回归方程 = x+ 必过样本中心（ ， ） B残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C用相关指数 刻画回归效果， 小，说明模型的拟合效果越好 D两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于 1 5已知双 曲线 （ a 0）的离心率为 ，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A y= x B y= x C y= x D y=2x 6已知数列 等差数列， ，公差 d0， 等比数列，则值为（ ） A 4029 B 4031 C 4033 D 4035 7计算： （ ） d x=（ ） A 2 B C D 2 8设 f（ x）是定义在正整数集上的函数，且 f（ x）满足 “当 f（ k） 立时，总可推出 f（ k+ 1） （ k+1） 2”成立 ”那么，下列命题总成立的是（ ） A若 f（ 2） 4 成立，则当 k1 时，均有 f（ k） 立 B若 f（ 4） 16 成立，则当 k4 时，均有 f（ k） 立 C若 f（ 6） 36 成立，则当 k7 时，均有 f（ k） 立 第 2页（共 18页） D若 f（ 7） =50 成立，则当 k7 时，均有 f（ k） 立 9长方体 1 A B= ， 1， E 为 中点，则异面直线 成角的余弦值为（ ） A B C D 10已知函数 f（ x） =关于 x 的方程 f（ x） +a =0 有三个不等的实数根，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ ， ） （ 0， ） B（ ， 0） （ ， +） C（ ，） D（ ， ） （ ， +） 11定义点 P 到图形 C 上每一个点的距离的最小值为点 P 到图形 C 的距离，那么平面内到定圆 C 的距离与到定点 A（ A 在圆 C 内且不与圆心 C 重合）的距离相等的点的轨迹是（ ） A直线 B圆 C椭圆 D双曲线的一支 12定义在 R 上的函数 f（ x）， f（ x）是其导数，且满足 f（ x） +f（ x） 2，1） =2e+4，则不等式 x） 4 +2 中 e 为自然对数的底数）的解集为（ ） A（ 1， +） B（ ， 0） （ 1， +） C（ ， 0） （ 0， +） D（， 1） 二、填空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知随机变量 服从正态分布 N（ 0， 2），且 P（ 22） = P（ 2） = 14若实数 x， y 满足条件 ，则 z=4 x 3y 的最大值是 15（ ） （ 2x ） 5 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为 （用数字作答） 16已知 为等差数列，它们的前 n 项和分别为 对任意 nN*有 = ，则使 为整数的正整数 n 的集合为 第 3页（共 18页） 三、解答题：本大题共 6 个小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17在 ， a、 b、 c 分别是角 A、 B、 C 的对边，且 ， （ 1）求角 B 的大小； （ 2）若 ，求 面积 18设数列 前 n 项和为 23n，（ nN*） （ 1）证明数列 为等比数列 （ 2）求 前 n 项和 19某中学校本课程开设了 A， B， C， D 共 4 门选修课，每个学生必须且只能选修 1 门选修课，现有该校的甲、乙、丙 3 名学生 （ 1）求这 3 名学生选修课所有选法的总数； （ 2）求恰有 2 门选修课没有被这 3 名学生选择的概率； （ 3）求 A 选修课被这 3 名学生选择的人数 的分布列及数学期望 20在如图的多面体中， 平面 A C=2， 3， A E= ， G 是 中点 （ ） 求证： 平面 D （ ） 求证： （ ） 求二面角 C E 的余弦值 21已知点 F（ 0， 1），直线 l： y= 1， P 为平面上的动点，过点 P 作直线 足为 Q，且 （ 1）求动点 P 的轨迹 C 的方程； （ 2）已知圆 M 过定点 D（ 0， 2），圆心 M 在轨迹 C 上运动，且圆 M 与 x 轴交于 A、 B 两点，设 | D A| = | D B|= 的最大值 22已知函数 f（ x） = a（ 1 ） （ 1）若 a=1，求 f（ x）的单调区间； （ 2）若 f（ x） 0，对任意的 x1 均成立，求实数 a 的取值范围； （ 3）求证：（ ） 1008 e 第 4页（共 18页） 2015年河南省洛阳市高二（下）期末数学试卷（理科）（ A 卷） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题 共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 A=x|y = ，集合 B= x|y= ，则 AB=（ ） A（ ， 1） B（ 1， 1 C 1， 2） D（ 2， +） 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出 A 中 x 的范围确定出 A，求出 B 中 x 的范围确定出 B，找出两集合的交集即可 【解答】 解：由 A 中 y= 得到 0，即（ x+1）（ x 2） 0， 解得： 1 x 2，即 A=（ 1， 2）， 由 B 中 y= ，得到 1 x0，即 x1， B=（ ， 1， 则 AB=（ 1， 1， 故选： B 2复数 在复平面内对应的点落在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 复数代数形式的乘除运算；复数的 代数表示法及其几何意义 【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，求得复数的坐标得答案 【解答】 解： = ， 复数 在复平面内对应的点的坐标为（ ），落在第二象限 故选： B 3下列叙述正确的个数是（ ） 若 a b，则 若命题 p 为真命题题，命题 q 为假命题，则 p q 为假命题； 若命题 p： ， x 0，则 p： xR， x +1 0 A 0 B 1 C 2 D 3 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 根据不等式的关系进行判断， 根据复合命题真假关系进行判断， 第 5页（共 18页） 根据含有量词的命题的否定进行判断 【解答】 解： 若 a b，当 c =0 时， 则 成立，故 错误， 若命题 p 为真命题，命题 q 为假命题，则 p q 为真命题；故 错误 若命题 p： ， x 0，则 p： xR， x+1 0故 正确， 故选： B 4对两个变量 y 和 x 进行回归分析，得到一组样本数据：（ （ ，（ 则下列说法中不正确的是（ ） A由样本数据得到的回归方程 = x+ 必过样本中心（ ， ） B残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C用相关指数 刻画回归效果， 小，说明模型的拟合效果越好 D两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于 1 【考点】 线性回归方程 【分析】 对四个选项分别进行判断，即可得出结论 【解答】 解：由样本数据得到的回归方程 = x+ 必过样本中心（ ， ），正确； 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，正确 用相关指数 刻画回归效果， 大，说明模型的拟合效果越好，不正确， 线性相关系数 |r|越大，两个变量的线性相关性越强，故正确 故选： C 5已知双曲线 （ a 0）的离心率为 ，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A y= x B y= x C y= x D y=2x 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 根据双曲线的离心率求出 a 的值，结合双曲线的渐近线方程进行求解即可 【解答】 解： 双曲线 （ a 0）的离心率 ， e= = ，即 c 2=3 即 1+ ， 即 a= ， 第 6页（共 18页） 则双曲线的渐近线方程为 y= x= = x， 故选： C 6已知数列 等差数列， ，公差 d0， 等比数列，则值为（ ） A 4029 B 4031 C 4033 D 4035 【考点】 等差数列的通项公式 【分析】 由已知结合 等比数列求得公差，再代入等差数列的通项公式得答案 【解答】 解：在等差数列 ，由 等比数列得，（ 1+d） 2=1（ 1+4d），解得 d=2（ d0）， +20142=4029 故选： A 7计算： （ ） d x=（ ） A 2 B C D 2 【考点】 定积分 【分析】 根据定积分的运算性质，奇函数在对称区间内的定积分为 0，偶函数等于单侧定积分的 2 倍，只需求 值即可 【解答】 解： （ ） 2 2= ， 故答案选： C 8设 f（ x）是定义在正整数集上的函数，且 f（ x）满足 “当 f（ k） 立时，总可推出 f（ k+ 1） （ k+1） 2”成立 ”那么，下列命题总成立的是（ ） A若 f（ 2） 4 成立，则当 k1 时，均有 f（ k） 立 B若 f（ 4） 16 成立，则当 k4 时，均有 f（ k） 立 C若 f（ 6） 36 成立，则当 k7 时，均有 f（ k） 立 D若 f（ 7） =50 成立，则当 k7 时，均有 f（ k） 立 【考点】 四种命题间的逆否关系 【分析】 由题意对于定义域内任意的 k，若 f（ k） 立，则 f（ k+1） （ k+ 1）2 成立的含义是对前一个数成立，则能推出后一个数成立， 结合逆否命题的真假性相同，对选项中的命题分析、判断即可 【解答】 解：对于 A，当 k= 1 时，不一定有 f（ k） 立； A 命题错误； 对于 B，只能得出：对于任意的 k4，均有 f（ k） 立， 不能得出：任意的 k3，均有 f（ k） 立； B 命题错误； 第 7页（共 18页） 对于 C，根据逆否命题的真假性相同，由 f（ 6） 36 成立，能推出当 k6 时，均有 f（ k） 立； C 命题错误； 对于 D，根据逆否命题的真假性相同，由 f（ 7） =5 0 49，能得出对于任意的k7，均有 f（ k） 立； D 命题正确 故选： D 9长方体 1 A B= ， 1， E 为 中点，则异面直线 成角的余弦值为（ ） A B C D 【考点】 异面直线及其所成的角 【分析】 建立空间直角坐标系，先相关点的坐标，再相关向量的坐标，再进行运算 【解答】 解析：建立坐标系如图则 A（ 1， 0， 0）， E（ 0， 2， 1）， B（ 1， 2，0）， 0， 2， 2） =（ 1， 0， 2）， A=（ 1， 2， 1）， c 所以异面直线 成角的余弦值为 故选 B 10已知函数 f（ x） =关于 x 的方程 f（ x） +a =0 有三个不等的实数根，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ ， ） （ 0， ） B（ ， 0） （ ， +） C（ ，） D（ ， ） （ ， +） 【考点】 根的存在性及根的个数判断 第 8页（共 18页） 【分析】 令 g（ x） =f（ x） +a =a，把方程 f（ x） +a= 0 有三个不等的实数根转化为函数 g（ x）的极大值大于 0 且极小值小于 0，联立不等式组 求得实数 a 的取值范围 【解答】 解：令 g（ x） =f（ x） + a=a， 得 g（ x） =33a x=3 x（ x a）， 当 a=0 时， g（ x） 0，函数 g（ x）为增函数，不合题意； 当 a 0 时， x（ ， a），（ 0， +）时， g（ x） 0； x（ a， 0）时， g（ x） 0 x（ ， a），（ 0， +）时， g（ x）单调递增； x（ a， 0）时， g（ x）单调递减， x= a 时函数有极大值为 g（ a） = ， x=0 时函数有极小值为 g（ 0）=a 由 ，解得 a ； 当 a 0 时， x（ ， 0），（ a， +）时， g（ x） 0； x（ 0， a）时， g（ x） 0 x（ ， 0），（ a， +）时， g（ x）单调递增； x（ 0， a）时， g（ x）单调递减， x=0 时函数有极大值为 g（ 0） =a， x =a 时函数有极小值为 g（ a） = 由 ，解得 a 综上，实数 a 的取值范围是（ ， ） （ ， +） 故选： D 11定义点 P 到图形 C 上每一个点的距离的最小值为点 P 到图形 C 的距离，那么平面内到定圆 C 的距离与到定点 A（ A 在圆 C 内且不与圆心 C 重合）的距离相等的点的轨迹是（ ） A直线 B圆 C椭圆 D双曲线的一支 【考点】 椭圆的标准方程 【分析】 由题意画出图形，设动点为 P，连接 延长，交于圆上一点 B，可得 C=R，说明 P 的轨迹为椭圆 【解答】 解：如图，设动点为 P，点 A 在圆内不与圆心 C 重合，连接 延长，交于圆上一点 B， 第 9页（共 18页） 由题意知 A，又 P B+P C=R， C=R，即 P 的轨迹为椭圆 故选： C 12定义在 R 上的函数 f（ x）， f（ x）是其导数，且满足 f（ x） +f（ x） 2，1） =2e+4，则不等式 x） 4 +2 中 e 为自然对数的底数）的解集为（ ） A（ 1， +） B（ ， 0） （ 1， +） C（ ， 0） （ 0， +） D（， 1） 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 构造函数 g（ x） =x） 2 xR），研究 g（ x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解 【解答】 解：设 g（ x） =x） 2 xR）， 则 g（ x） =x） + x） 2ex=exf（ x） +f（ x） 2， f（ x） +f（ x） 2， f（ x） +f（ x） 2 0， g（ x） 0， y=g（ x）在定义域上单调递增， x） 2， g（ x） 4， 又 g（ 1） =1） 2e= 4， g（ x） g（ 1）， x 1， 故选： A 二、填空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知随机变量 服从正态分布 N（ 0， 2），且 P（ 22） = P（ 2） = 【考点】 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 【分析】 本题考查正态分布曲线的性质，随机变量 服从正态分布 N（ 0， 2），利用 P（ 22） = 案易得 【解答】 解： 随机变量 服从正态分布 N（ 0， 2）， P（ 22） =0. 4， P（ 2） = 1 P（ 22） = 故答案为： 14若实数 x， y 满足条件 ，则 z=4 x 3y 的最大值是 3 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义，求出最大值 【解答】 解：不等式组对应的平面区域如图： 第 10页（共 18页） 由 z=3x 4y 得 y= x ， 平移直线 y= x ，则由图象可知当直线 y= x ，当经过点 C 时，直线的截距最小，此时 z 最大 由 ，解得 ，即 C（ 3， 3）， 此时最大值 z=43 3 3= 3， 故答案为： 3 15（ ） （ 2x ） 5 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为 40 （用数字作答） 【考点】 二项式定理的应用 【分析】 令 x=1，可得：（ a+ 1）（ 2 1） 5=2，解得 a=1再利用（ 2x ） 5的展开式的通项公式进而得出 【解答】 解：令 x= 1，可得：（ a +1）（ 2 1） 5=2，解得 a= 1 （ 2x ） 5 的展开式的通项公式： = =（ 1） r 25 2r， 令 5 2r=1 或 1，分别解得： r=2， 3 该展开式中常数项为： 1 =40， 故答案为： 40 16已知 为等差数列，它们的前 n 项和分别为 对任意 nN*有 = ，则使 为整数的正整数 n 的集合为 1， 3 【考点】 等差数列的前 n 项和 第 11页（共 18页） 【分析】 由等差数列的性质可得： = ，化简即可得出 【解答】 解： = = = =31+ ， 只有 n=1， 3 时， 为整数， 使 为整数的正整数 n 的集合为 1， 3， 故答案为： 1， 3 三、解答题：本大题共 6 个小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17在 ， a、 b、 c 分别是角 A、 B、 C 的对边，且 ， （ 1）求角 B 的大小； （ 2）若 ，求 面积 【 考点】 解三角形 【分析】 （ 1）根据正弦定理表示出 a， b 及 c，代入已知的等式，利用两角和的正弦函数公式及诱导公式变形后，根据 s 不为 0，得到 c 的值，由 用特殊角的三角函数值即可求出角 B 的度数； （ 2）由（ 1）中得到角 B 的度数求出 s 和 c 的值，根据余弦定理表示出 用完全平方公式变形后，将 b， a+c 及 c 的值代入求出 值，然后利用三角形的面积公式表示出 A 面积，把 s 的值代入即可求出值 【解答】 解：（ 1）由正弦定理 得： a=2b=2 Rs ， c =2Rs 将上式代入已知 ， 即 2s c +c s =0， 即 2s B+ C） =0， A+B+C=， B+C） =s ， 2s =0，即 s （ 2c + 1） =0， ， ， 第 12页（共 18页） B 为三角形的内角， ； （ 代入余弦定理 b2=a2+2 ac c 得： a+c） 2 22ac c ， 3， 18设数列 前 n 项和为 23n，（ nN*） （ 1）证明数列 为等比数列 （ 2）求 前 n 项和 【考点】 数列的求和；等比 关系的确定 【分析】 （ 1）利用当 n2 时， 1=得得 21+3，从而可构造等比数列求解 ，进而可以判定 1是等比数列； （ 3）通过求出数列 3 的通项公式得出数列 通项公式，再求和即可 【解答】 解：（ 1）令 n=1， 3 由 1 =21 3（ n+1）， 3n， 两式相减，得 1 =21 23， 则 1 =2 1 +3=2（ ）， 所以 为公比为 2 的等比数列 （ 2） =（ ） 2n 1=62n 1， 2n 1 3 19某中学校本课程开设了 A， B， C， D 共 4 门选修课，每个学生必须且只能选修 1 门选修课，现有该校的甲、乙、丙 3 名学生 （ 1）求这 3 名学生选修课所有选法的总数； （ 2）求恰有 2 门选修课没有被这 3 名学生选择的概率； （ 3）求 A 选修课被这 3 名学生选择的人数 的分布列及数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ 1）每个学生有四个不同的选择，由此根据分步乘法计数原理，能求出这 3 名学生选修课所有选法的总数 （ 2）由已知利用排列组合知识能求出恰有 2 门选修课这 3 名学生都没选择的概率 第 13页（共 18页） （ 3） A 选修课被这 3 名学生选择的人数为 ，则 的可能取值为 0， 1， 2， 3，分别求出相应的概率，由此能求出 的分布列和 【解答】 解：（ 1）每个学生有四个不同的选择， 根据分步乘法计数原理， 这 3 名学生选修课所有选法的总数 N=4 4 4=6 4 （ 2）恰有 2 门选修课这 3 名学生都没选择的概率为： = = （ 3） A 选修课被这 3 名学生选择的人数为 ，则 的可能取值为 0， 1， 2， 3， P（ =0） = = ， P（ =1） = = ， P（ =2） = = ， P（ =3） = = ， 的分布列为： 0 1 2 3 P = 20在如图的多面体中， 平面 A C=2， 3， A E= ， G 是 中点 （ ） 求证： 平面 D （ ） 求证： （ ） 求二面角 C E 的余弦值 第 14页（共 18页） 【考点】 直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量求平面间的夹角；二面角的平面角及求法 【分析】 （ ） 先证明四边形 是平行四边形，可得 而证明 平面 D （ ） 过 H F 于 H，则 平面 ， 证 而可证 平面 （ ）分别以 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立空间坐标系，由已知得 是平面 的法向量 求出平面 法向量为 n=（ x， y， z），则由 求得 二面角 C E 的余弦值 【解答】 解：（ ）证明： 又 2 是 中点， ， 四边形 B 是平行四边形， 面 D 面 D 平面 D （ ）证明： 平面 面 A B， 面 平面 过 D 作 H，则 平面 面 四边形 行四边形， 2， 2，又 四边形 E 为正方形， 又 H= H， 面 面 平面 面 （ ）分别以 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立空间坐标系，由已知得 是平面 法向量设平面 D 法向量为 n=（ x， y， z）， ， ，即 ，令 z=1，得 n=（ 1， 2， 1） 设二面角 C E 的大小为 ， 则 ， 二面角 C E 的余弦值为 第 15页（共 18页） 21已知点 F（ 0， 1），直线 l： y= 1， P 为平面上的动点，过点 P 作直线 足为 Q，且 （ 1）求动点 P 的轨迹 C 的方程； （ 2）已知圆 M 过定点 D（ 0， 2），圆心 M 在轨迹 C 上运动，且圆 M 与 x 轴交于 A、 B 两点，设 | D A| = | D B|= 的最大值 【考点】 圆与圆锥曲线的综合 【分析】 （ 1）先设出点 P 的坐标，代入 整理即可得到动点 P 的轨迹 C 的方程； （ 2）先利用条件设出圆的方程，并求出 A、 B 两点的坐标以及 | D A|= |D B|= 入 整理后利用基本不等式求最大值即可 【解答】 （ 1）解：设 P（ x， y），则 Q（ x， 1）， ， （ 0， y+1） （ x， 2） =（ x， y 1） （ x， 2） 即 2（ y