北京市昌平区2015-2016年高二上期末数学试卷(理)含答案解析

第 1 页（共 17 页） 2015年北京市昌平区高二（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1抛物线 0x 的焦点到准线的距离是（ ） A B 5 C D 10 2过点（ 2， 1）且倾斜角为 60的直线方程为（ ） A 1=0 B 3=0 C +1=0D 3若命题 p 是真命题，命题 q 是假命题，则下列命题一定是真命题的是（ ） A p q B（ p） q C（ p） q D（ p） （ q） 4已知平面 和直线 a， b，若 a ，则 “b a”是 “b ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5如图，在正 方体 ，点 M， N 分别是面对角线 中点，若 = ， = ， = ，则 =（ ） A （ + ） B （ + ） C （ ） D （ ） 6已知双曲线 =1（ a 0， b 0）的离心率为 ，则双曲线的渐近线方程为（ ） A y= 2x B y= x C y= x D y= x 7某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ） A 2+2 B 2+ C 4+2 D 4+ 第 2 页（共 17 页） 8从点 P（ 2， 1）向圆 x2+22y+ 作切线，当切线长最短时 m 的值为（ ） A 1 B 0 C 1 D 2 9已知点 椭圆 C： =1 的焦点，点 M 在椭圆 C 上且满足 | + |=2 ，则 面积为（ ） A B C 1 D 2 10如图，在棱长为 1 的正方体 ，点 M 是左侧面 的一个动点，满足 =1，则 与 的夹角的最大值为（ ） A 30 B 45 C 60 D 75 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 11若命题 P： x R， x+2 0，则 p： 12已知 =（ 1， 3， 1）， =（ 1， 1， 3），则 | |= 13若直线（ 1+a） x+y+1=0 与直线 2x+=0 平行，则 a 的值为 14如图，在长方体 ，设 ， ， P 是 中点，则所成角的大小为 ， = 15已知 P 是抛物线 x 上的一点，过点 P 向其准线作垂线交于点 E，定点 A（ 2， 5），则 |最小值为 ；此时点 P 的坐标为 16已知直线 l： y+1=0（ k R）若存在实数 k，使直线 l 与曲线 C 交于 A， B 两点，且 |k|，则称曲线 C 具有性质 P给定下列三条曲线方程： y= |x|； x2+2y=0； y=（ x+1） 2 其中，具有性质 P 的曲线的序号是 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17已知圆 C： x2+2x 4y+1=0 （ ）求过点 M（ 3， 1）的圆 C 的切线方程； （ ）若直线 l： y+4=0 与圆 C 相交于 A， B 两点，且弦 长为 ，求 a 的值 第 3 页（共 17 页） 18在直平行六面体 ，底面 菱形， 0， D=O， （ ）求证： 平面 ）求证：平面 平面 ）求三棱锥 体积 19已知椭圆 C： =1（ a b 0）的离心率为 ，且经过点 A（ 0， 1） （ ）求椭圆 C 的标准方程； （ ）如果过点 的直线与椭圆交于 M， N 两点（ M， N 点与 A 点不重合），求证： 直角三角形 20如图，在四棱锥 P ， 底面 面 直角梯形， 0， D=，过 平面分别交 M， N 两点 （ ）求证： （ ）若 M， N 分别为 中点， 求证： 求二面角 P A 的余弦值 21抛物线 p 0）与直线 y=x+1 相切， A（ B（ 抛物线上两个动点， F 为抛物线的焦点，且 |8 （ ） 求 p 的值； （ ） 线段 垂直平分线 l 与 x 轴的交点是否为定点，若是，求出交点坐标，若不是，说明理由； （ ）求直线 l 的斜率的取值范围 第 4 页（共 17 页） 2015年北京市昌平区高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1抛物线 0x 的焦点到准线的距离是（ ） A B 5 C D 10 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 根据抛物线的标准方程，可求得 p，再根据抛物线焦点到准线的距离是 p，进而得到答案 【解答】 解： 2p=10， p=5，而焦点到准线的距离是 p 故抛物线 0x 的焦点到准线的距离是 5 故选 B 2过点（ 2， 1）且倾斜角为 60的直线方程为（ ） A 1=0 B 3=0 C +1=0D 【考点】 直线的点斜式方程 【分析】 由直线的倾斜角求出直线的斜率，代入直线方程的点斜式，整理为一般式得答案 【解答】 解： 直线的倾斜角为 60， 斜率 k= ， 又直线过点（ 2， 1）， 由直线方程的点斜式得： y+1= ， 化为一般式： 故选： A 3若命题 p 是真命题，命题 q 是假命题，则下列命题一定是真命题的是（ ） A p q B（ p） q C（ p） q D（ p） （ q） 【考点】 复合命题的真假 【分析】 根据命题 q 是假命题，命题 p 是真命题，结合复合命题真假判断的真值表，可判断出复合命题的真假，进而得到答案 【解答】 解： 命题 q 是假命题，命题 p 是真命题， “p q”是假命题，即 A 错误； “ p q”是假命题，即 B 错误； “ p q”是假命题，即 C 错误； “ p q”是真命题，故 D 正确； 故选： D 4已知平面 和直线 a， b，若 a ，则 “b a”是 “b ”的（ ） 第 5 页（共 17 页） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 由 a ， b ，可得 b a，反之不成立，可能 b 与 相交或平行即可得出 【解答】 解：由 a ， b ，可得 b a，反之不成立，可能 b 与 相交或平行 “b a”是 “b ”的必要不充分条件 故选： B 5如图，在正方体 ，点 M， N 分别是面对角线 中点，若 = ， = ， = ，则 =（ ） A （ + ） B （ + ） C （ ） D （ ） 【考点】 空间向量的加减法 【分析】 由空间向量运算法则得 = ，由此能求出结果 【解答】 解：在正方体 ， 点 M， N 分别是面对角线 中点， = ， = ， = ， = = + + = （ + ） + + （ ） = （ + ） + + （ ） = + = （ ） 故选： D 第 6 页（共 17 页） 6已知双曲线 =1（ a 0， b 0）的离心率为 ，则双曲线的渐近线方程为（ ） A y= 2x B y= x C y= x D y= x 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 运用离心率公式，再由双曲线的 a， b， c 的关系，可得 a， b 的关系，再由渐近线方程即可得到 【解答】 解：由双曲线的离心率为 ， 则 e= = ，即 c= a， b= = = a， 由双曲线的渐近线方程为 y= x， 即有 y= x 故选 D 7某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ） A 2+2 B 2+ C 4+2 D 4+ 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 根据三视图作 出棱锥直观图，根据棱锥的结构特征计算每个侧面的面积 【解答】 解：根据三视图作出三棱锥 P 直观图， P 在底面 的射影为 中点 D， ， ， S = =1 S = = 由 平面 而 平面 第 7 页（共 17 页） = ， S = =1 由勾股定理得 = ， =2， = ， S = = 三棱锥额表面积 S=1+ +1+ =2+2 故选 A 8从点 P（ 2， 1）向圆 x2+22y+ 作切线，当切线长最短时 m 的值为（ ） A 1 B 0 C 1 D 2 【考点】 圆的切线方程 【分析】 确定圆心与半径，利用切线长最短时， 小，可得结论 【解答】 解：圆 x2+22y+，可化为圆（ x m） 2+（ y 1） 2=1， 圆心 C（ m， 1），半径为 1， 切线长最短时， 小， | ， m=2 时， 小，切线长最短 故选： D 9已知点 椭圆 C： =1 的焦点，点 M 在椭圆 C 上且满足 | + |=2 ，则 面积为（ ） A B C 1 D 2 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 由椭圆性质和余弦定理推导出 0，由此利用椭圆定义和定弦定理能求出 面积 【解答】 解： 点 椭圆 C： =1 的焦点， 第 8 页（共 17 页） 点 M 在椭圆 C 上且满足 | + |=2 ， +2| | |2， 由余弦定理得 2 =12， 联立 ，得： 0， |2a=4， =16， | （ 16 12） =2， 面积 S= | 2=1 故选： C 10如图，在棱长为 1 的正方体 ，点 M 是左侧面 的一个动点，满足 =1，则 与 的夹角的最大值为（ ） A 30 B 45 C 60 D 75 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 先建立空间坐标系，再根据向量的坐标运算和向量的夹角公式计算即可 【解答】 解：以 D 为坐标原点，以 x 轴， y 轴， z 轴，建立空 间坐标系，如图所示， M 是左侧面 的一个动点， 设点 M（ x， 0， z），其中（ 0 x 1， 0 z 1）， B（ 1， 1， 0）， =（ 0， 1， 1）， =（ 1， 0， 1）， =（ x 1， 1， z）， =1 x+z=1，即 x=z， | |= ， | |= = ， 设 与 的夹角为 ， 第 9 页（共 17 页） = ， 设 f（ x） =x+1， f（ x）在 0， 上单调递减，在 ， 1上单调递增， f（ 0） =1， f（ ） = ， f（ x） 1， ， =60， 故选： C 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 11若命题 P： x R， x+2 0，则 p： x R， x+20 【考点】 命题的否定 【分析】 根据特称命题的否定是全称命题进行求解 【解答】 解：命题是特称命题，则命题的否定是： x R， x+2 0， 故答案为： x R， x+2 0 12已知 =（ 1， 3， 1）， =（ 1， 1， 3），则 | |= 6 【考点】 空间向量运算的坐标表示 【分析】 根据空间向量的坐标运算，求出 ，再求它的模长 【解答】 解： =（ 1， 3， 1）， =（ 1， 1， 3）， =（ 2， 4， 4）， | |= =6 故答案为： 6 13若直线（ 1+a） x+y+1=0 与直线 2x+=0 平行，则 a 的值为 1 或 2 【考点】 直线的一般式方程与直线的平行关系 【分析】 根据两直线平行时方程的系数关系，列出方程求出 a 的值 【解答】 解： 直线（ a+1） x+y+1=0 与直线 2x+=0 互相平行， 第 10 页（共 17 页） a（ a+1） 2=0， 即 a2+a 2=0； 解得 a=1 或 a= 2； 当 a=1 时， 2x+y+1=0， 2x+y+2=0，平行，符合题意， a= 2 时， x y 1=0， x y+1=0，平行，符合题 意， 所以实数 a 的值等于 1 或 2， 故答案为： 1 或 2 14如图，在长方体 ，设 ， ， P 是 中点，则所成角的大小为 60 ， = 1 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 先建立空间坐标系，再根据向量的坐标运算和向量的夹角公式计算即可 【解答】 解：以 D 为坐标原点，以 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间坐标系，如图所示， ， ， P 是 中点， 1， 2， 1）， C=（ 0， 2， 0）， 1， 0， 1）， P（ 0， 1， 1）， =（ 1， 0， 1）， =（ 1， 1， 0）， =1+0+0=1， | |= ， | |= 设 所成角为 ， = ， =60， 故答案为： 60， 1 第 11 页（共 17 页） 15已知 P 是抛物线 x 上的一点，过点 P 向 其准线作垂线交于点 E，定点 A（ 2， 5），则 |最小值为 5 ；此时点 P 的坐标为 （ 2， 4） 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 抛物线 x 的焦点坐标为（ 2， 0），定点 A（ 2， 5）在抛物线的外部，由抛物线的定义， |则当 P， A， F 三点共线时， |小，答案可得 【解答】 解：抛物线 x 的焦点坐标为（ 2， 0），定点 A（ 2， 5）在抛物线的外部， 由抛物线的定义， | 则当 P， A， F 三点共线时， |小， |最小值为 5，；此时点 P 的坐标为（ 2， 4） 故答案为： 5；（ 2， 4） 16已知直线 l： y+1=0（ k R）若存在实数 k，使直线 l 与曲线 C 交于 A， B 两点，且 |k|，则称曲线 C 具有性质 P给定下列三条曲线方程： y= |x|； x2+2y=0； y=（ x+1） 2 其中，具有性质 P 的曲线的序号是 【考点】 曲线与方程 【分析】 确定直线 l： y+1=0（ k R）过定点（ 0， 1），曲线过定点（ 0， 1），即可得出结论 【解答 】 解： y= |x|与直线 l： y+1=0（ k R）至多一个交点，不具有性质 P； x2+2y=0 圆心为（ 0， 1），直线 l： y+1=0（ k R）过定点（ 0， 1），故存在 k= 2，使直线 l 与曲线 C 交于 A， B 两点，且 |k|，具有性质 P； y=（ x+1） 2，过点（ 0， 1），直线 l： y+1=0（ k R）过定点（ 0， 1），故存在 k，使直线 l 与曲线 C 交于 A， B 两点，且 |k|，具有性质 P 故答案为： 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程 或演算步骤） 17已知圆 C： x2+2x 4y+1=0 （ ）求过点 M（ 3， 1）的圆 C 的切线方程； （ ）若直线 l： y+4=0 与圆 C 相交于 A， B 两点，且弦 长为 ，求 a 的值 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 （ ）分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求过点 M（ 3， 1）的圆 （ ）因为弦 长为 2 ，所以点 C 到直线 l 的距离为 1，即可求 a 的值 【解答】 解 ：（ I）圆 C 的方程可化为（ x 1） 2+（ y 2） 2=4，圆心 C（ 1， 2），半径是 2 当切线斜率存在时，设切线方程为 y 1=k（ x 3），即 y 3k+1=0 因为 ， 所以 当切线斜率不存在时，直线方程为 x=3，与圆 C 相切 所以过点 M（ 3， 1）的圆 C 的切线方程为 x=3 或 3x 4y 5=0 第 12 页（共 17 页） （ 为弦 长为 2 ， 所以点 C 到直线 l 的距离为 因为 所以 18在直平行六面体 ，底面 菱形， 0， D=O， （ ）求证： 平面 ）求证：平面 平面 ）求三棱锥 体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定 【分析】 （ I）由直平行六面体的结构特征可知 是 平面 （ 线面垂直的性质得 菱形的性质得 而 平面是平面 平面 （ 棱锥的底面， 棱锥的高，代入棱锥的体积公式计算即可 【解答】 证明：（ I）设 11，连接 因为 所以四边形 平行四边形 所以 C 因为底面 菱形， 所以 O 所以四边形 平行四边形 所以 因为 平面 面 以 平面 （ 为 平面 平面 所以 因为底面 菱形， 所以 因为 11， 所以 平面 为 平面 所以平面 平面 （ 题意可知， 平面 第 13 页（共 17 页） 所以 三棱锥 A 高 因为 所以三棱锥 体积为 19已知椭圆 C： =1（ a b 0）的离心率为 ，且经过点 A（ 0， 1） （ ）求椭圆 C 的标准方程； （ ）如果过点 的直线与椭圆交于 M， N 两点（ M， N 点与 A 点不重合），求证： 直角三角形 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ ）由椭圆 C： =1（ a b 0）经过点 A（ 0， 1），求出 b，由离心率为 ，求出 a，由此能求出椭圆 C 的标准方程 （ ）设 方程为 ，与椭圆联立，得 ，由此利用韦达定理、根的判别式、向量的数量积，结合已知条件能证明 直角三角形 【解答】 （本小题满分 14 分） 解：（ ） 椭圆 C： =1（ a b 0）的离心率为 ，且经过点 A（ 0， 1）， b=1 ，解得 a=2 椭圆 C 的标准方程为 证明：（ ）若过点 的直线 斜率不存在，此时 M， N 两点中有一个点与 A 点重合，不满足题目条件 若过点 的直线 斜率存在，设其斜率为 k，则 方程为 ， 第 14 页（共 17 页） 由 ，得 设 M（ N（ 则 ， ， A（ 0， 1）， = 直角三角形 20如图，在四棱锥 P ， 底面 面 直角梯形， 0， D=，过 平面分别交 M， N 两点 （ ）求证： （ ）若 M， N 分别为 中点， 求证： 求二面角 P A 的余弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系 【分析】 （ I）推导出 而 平面 此能证明 （ 推导出 而 由 平面 此能证明 以 A 为坐标原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系 A A 的余弦值 【解答】 （本小题满分 14 分） 第 15 页（共 17 页） 证明：（ I）因为底面 直角梯形，所以 因为 面 面 所以 平面 因为 平面 面 面 N， 所以 （ 因为 M， N 分别为 中点， B， 所以 因为 0，所以 因为 底面 以 因为 B=A，所以 平面 以 因为 A=A，所以 平面 因为 面 以 解： 如图，以 A 为坐标原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系 A 则 A（ 0， 0， 0）， B（ 2， 0， 0）， C（ 2， 1， 0）， D（ 0， 2， 0）， P（ 0， 0， 2） 由（ ， 平面 以平面 法向量为 =（ 2， 0， 2） 设平面 法向量为 =（ x， y， z）， 因为 ， ， 所以 令 z=2，则 y=