陕西省汉中市2016届高三(上)期末数学试卷(理)含答案解析

第 1 页（共 20 页） 2015年陕西省汉中市高三（上）期末数学试卷（理科） 一 大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知复数 +i， 2i，则复数 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2在等差数列 ，已知 a4+6，则该数列前 11 项和 ） A 58 B 88 C 143 D 176 3两向量 ，则 在 方向上的投影为（ ） A（ 1， 15） B（ 20， 36） C D 4已知命题 p： 0 a 4，命题 q：函数 y= 的值恒为正，则 p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不 必要条件 5函数 y= x ）的大致图象为（ ） A B C D 6已知某名校高三学生有 2000 名，在某次模拟考试中数学成绩 服从正态分布 N，已知P=年段按分层抽样的方式从中抽出 100 份试卷进行分析研究，则应从 140 分以上的试卷中抽（ ） A 4 份 B 5 份 C 8 份 D 10 份 7某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（ ） A B 6 C D 第 2 页（共 20 页） 8若椭圆和双曲线 C： 22 有相同的焦点，且该椭圆经过点 ，则椭圆的方程为（ ） A B C D 9已知函数 f（ x） =x+）（ 0， | ）的图象如图所示，为得到 g（ x） =只要将 f（ x）的图象（ ） A向右平移 个单位长度 B向左平移 个单位长度 C向左平移 个单位长度 D向右平移 个单位长度 10设 a= 二项式（ ） 5 的展开式中 x 的系数为（ ） A 40 B 40 C 80 D 80 11若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高为（ ） A 3 B 2 C 2 D 3 12设函数 f（ x） = （其中 a R）的值域为 S，若 1， +） S，则 ） A（ ， ） B 1， （ ， 2 C（ ， ） 1， 2 D（ ， +） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13若变量 x， y 满足约束条件 ，则 z=3x+y 的最小值为 14点 M 到 F（ 4， 0）距离比它到直线 x+6=0 距离小 2，则 M 的轨迹方程为 15设等比数列 公比为 q，若 1， 成等差数列，则 = 16某工厂接到一任务，需加工 6000 个 P 型零件和 2000 个 Q 型零件这个厂有 214 名工人，他们每一个人用以加工 5 个 P 型零件的时间可以加工 3 个 Q 型零件，将这些工人分成两组同时工作，每组加工一种型号的零件 为了在最短时间内完成这批任务，则加工 P 型零件的人数为 人 第 3 页（共 20 页） 三 答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17已知函数 f（ x） =2x+ ） （ I）求 f（ x）的最小正周期； （ ）在 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 f（ C） =1， 面积为 2 ，求 c 的值 18如图在三棱柱 ，已知 侧面 ， ， ，点 E 在棱 （ 1）求 长，并证明 平面 （ 2）若 确定 的值，使得二面角 A C 的余弦值为 19为弘扬民族古典文化，市电视台举行古诗词知识竞赛，某轮比赛由节目主持人随机从题库中抽取 题目让选手抢答，回答正确将给该选手记正 10 分，否则记负 10 分根据以往统计，某参赛选手能答对每一个问题的概率均为 ；现记 “该选手在回答完 n 个问题后的总得分为 （ 1）求 0 且 0（ i=1， 2， 3）的概率； （ 2）记 X=|求 X 的分布列，并计算数学期望 E（ X） 20已知直线 l： ，圆 O： x2+，椭圆 E： （ a b 0）的离心率 ，直线 l 被圆 O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等 （ 1）求椭圆 E 的方程； （ 2）过圆 O 上任意一点 作两条直线与椭圆 E 分别只有唯一一个公共点，求证：这两直线斜率之积为定值 21已知函数 f（ x） =x a， （ ）求函数 f（ x）的单调递增区间； （ ）若 a=n 且 n N*，设 函数 x） =x n 的零点 （ i）证明： n 2 时存在唯一 ； （ i i）若 1 1 ），记 Sn=b1+明： 1 第 4 页（共 20 页） 请考生在第 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 .选修 4何证明选讲 22在 ， C，过点 A 的直线与其外接圆交于点 P，交 长线于点 D （ 1）求证： ； （ 2）若 ，求 D 的值 选修 4标系与参数方程 23在平面直角坐标系 ，已知曲线 ，以平面直角坐标系 原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线 l： （ 2=6将曲线 的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 、 2 倍后得到曲线 写出直线 l 的直角坐标方程和曲线 参数方程 【选修 4等式选讲】 24已 知函数 f（ x） =|x+a|+|x 2| （ 1）当 a= 3 时，求不等式 f（ x） 3 的解集； （ 2）若 f（ x） |x 4|的解集包含 1， 2，求 a 的取值范围 第 5 页（共 20 页） 2015年陕西省汉中市高三（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一 大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知复数 +i， 2i，则复数 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象 限 C第三象限 D第四象限 【考点】 复数的代数表示法及其几何意义 【分析】 直接利用复数代数形式的除法运算化简，得到复数对应的点，则答案可求 【解答】 解： +i， 2i， = = = i 在复平面内对应的点为（ ， ）， 在复平面内对应的点位于第四象限 故选： D 2在等差数列 ，已知 a4+6，则该数列前 11 项和 ） A 58 B 88 C 143 D 176 【考点】 等差数列的性质；等差数列的前 n 项和 【分析】 根据等差数列的定义和性质得 a1+a4+6，再由 运算求得结果 【解答】 解： 在等差数列 ，已知 a4+6， a1+a4+6， =88， 故选 B 3两向量 ，则 在 方向上的投影为（ ） A（ 1， 15） B（ 20， 36） C D 【考点】 平面向量数量积的运算 第 6 页（共 20 页） 【分析】 利用平面向量的数量积、向量的投影定义即可得出 【解答】 解： ， =4 （ 5） +（ 3） （ 12） =16， = =13， 在 方向上的投影为 = ， 故选： C 4已知命题 p： 0 a 4，命题 q：函数 y= 的值恒为正，则 p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 对于命题 q：当 a=0 时，函数 y=1，恒为正，满足条件；当 a 0 时，可得 ，解得 a即可判断出 【解答】 解：对于命题 q：当 a=0 时，函数 y=1，恒为正，满足条件； 当 a 0 时，可得 ，解得 0 a 4 p 是 q 的充分不必要条件 故选： A 5函数 y= x ）的大致图象为（ ） A B C D 【考点】 抽象函数及其应用 【分析】 先研究函数的奇偶性知它是非奇非偶函数，从而排除 A、 D 两个选项，再看此函数的最值情况，即可作出正确的判断 【解答】 解：由于 f（ x） = f（ x） = x） =e f（ x） f（ x），且 f（ x） f（ x）， 故此函数是非奇非偶函数，排除 A， D； 又当 x= 时， y=得最大值，排除 B； 故选： C 第 7 页（共 20 页） 6已知某名校高三学生有 2000 名，在某次模拟考试中数学成绩 服从正态分布 N，已知P=年段按分层抽样的方式从中抽出 100 份试卷进行分析研究，则应从 140 分以上的试卷中抽（ ） A 4 份 B 5 份 C 8 份 D 10 份 【考点】 分层抽样方法 【分析】 根据考试的成绩 服从正态分布 N得到考试的成绩 关于 =120 对称，根据 P=到 P（ 140） =据频率 乘以样本容量得到这个分数段上的人数 【解答】 解：由题意，考试的成绩 服从正态分布 N 考试的成绩 关于 =120 对称， P= P=2 P（ 140） =P（ 100） = （ 1 2） = 该班数学成绩在 140 分以上的人数为 100=5 故选： B 7某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（ ） A B 6 C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图知几何体是由上半部分为半圆锥，下半部分为半圆柱组成的几何体，根据三视图的数据求半圆柱与半圆锥的体积，再相加 【解答】 解：由三视图知几何体是由上半部分为半圆锥，下半部分为半圆柱组成的几何体， 根据图中数据可知圆柱与圆锥的底面圆半径为 2，圆锥的高为 2，圆柱的高为 1， 几何体的体积 V=V 半圆锥 +V 半圆柱 = 22 2+ 22 1= 故选 C 8若椭圆和双曲线 C： 22 有相同的焦点，且该椭圆经过点 ，则椭圆的方程为（ ） 第 8 页（共 20 页） A B C D 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 求得双曲线的焦点坐标，可得椭圆的 c=1，再由椭圆的定义，运用两点的距离公式计算可得 a=2，由 a， b， c 的关系，可得 b，进而得到椭圆方程 【解答】 解：双曲线 C： 22 的焦点为（ 1， 0），（ 1， 0）， 即有椭圆的 c=1， 由椭圆的定义可得 2a= + =4， 解得 a=2， b= = ， 即有椭圆的方程为 + =1 故选： B 9已知函数 f（ x） =x+）（ 0， | ）的图象如图所示，为得到 g（ x） =只要将 f（ x）的图象（ ） A向右平移 个单位长度 B向左平移 个单位长度 C向左平移 个单位长度 D向右平移 个单位长度 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 利用函数的图象求出 函数的周期，然后求出 ，通过函数图象经过的特殊点求出 ，由函数 y=x+）的图象变换即可得解 【解答】 解：由函数的图象可知函数的周期为： T=4 （ ） =， 所以 = =2， 因为函数的图象经过（ ， 0）， 所以： 2 +） =k Z，可解得： =， k Z 由于： | ，可得： = ， 所以： f（ x） =2x+ ） =（ 2x+ ） =x ）， g（ x） = 第 9 页（共 20 页） 所以，要得到 g（ x） =图象，则只要将 f（ x）的图象向左平移 个单位长度即可 故选： B 10设 a= 二项式（ ） 5 的展开式中 x 的系数为（ ） A 40 B 40 C 80 D 80 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 先求出定积分 a 的值，再利用二项展开式的通项公式，令 x 的指数等于 1，求出 可计算结果 【解答】 解： a= dx= 0=2， （ ） 5=（ ） 5 的展开式的通项公式 为： = 5 r） = （ 2） r3r， 令 10 3r=1，解得 r=3， （ ） 5 的展开式中含 x 项的系数为 （ 2） 3= 80 故选： D 11若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方 形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高为（ ） A 3 B 2 C 2 D 3 【考点】 棱锥的结构特征 【分析】 由四棱锥的体积为 9 可得到底面边长 a 与高 h 的关系，作出图形，则球心 O 在棱锥的高或高的延长线上，分两种情况根据勾股定理列出方程，解出球的半径 R 的表达式，将问题转化为求 R 何时取得最小值的问题 【解答】 解：设底 面边长 AB=a，棱锥的高 SM=h， V 棱锥 S a2h=9， ， 正四棱锥内接于球 O， O 在直线 ，设球 O 半径为 R， （ 1）若 O 在线段 ，如图一，则 M SO=h R， （ 2）若 O 在在线段 延长线上，如图二，则 O h， 平面 直角三角形， ， a， 第 10 页（共 20 页） （ h R） 2+ =（ R h） 2+ = 2hR=， 即 R= + = + = 3 = 当且仅当 = 取等号， 即 h=3 时 R 取得最小值 故选： A 12设函数 f（ x） = （其中 a R）的值域为 S，若 1， +） S，则 ） A（ ， ） B 1， （ ， 2 C（ ， ） 1， 2 D（ ， +） 【考点】 函数的值域 【分析】 对 a=0， a ， a 0 分类求出分段函数的值域 S，结合 1， +） S，由两集合端点值间的关系列不等式求得 a 的取值范围 【解答】 解： a=0，函数 f（ x） = = ，函数的值域为 S=（ 0， +），满足 1， +） S， 第 11 页（共 20 页） a 0，当 x 0 时， f（ x） = 2 a， 2+a；当 x 0 时， f（ x） =a （ 2a， +） 若 0 ， f（ x）的值域为（ 2a， +），由 1， +） S，得 2a 1， 0 ； 若 ，即 ， f（ x）的值域为 2 a， +），由 1， +） S，得 2 a 1， 1 a 2； 若 2+a 2a，即 a 2， f（ x）的值域为 2 a， 2+a （ 2a， +），由 1， +） S，得 2a 1， a ； a 0，当 x 0， f（ x） =a 2a，此时一定有 1， +） S 综上，满足 1， +） S 的 a 的取值范围是（ ， ） 1， 2 故选： C 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13若变量 x， y 满足约束条件 ，则 z=3x+y 的最小值为 1 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通 过平移即可求 z 的最小值 【解答】 解：作出不等式对应的平面区域如图， 由 z=3x+y，得 y= 3x+z， 平移直线 y= 3x+z，由图象可知当直线 y= 3x+z，经过点 A（ 0， 1）时，直线 y= 3x+ 此时 z 最小此时 z 的最小值为 z=0 3+1=1， 故答案为： 1 14点 M 到 F（ 4， 0）距离比它到直线 x+6=0 距离小 2，则 M 的轨迹方程为 6x 【考点】 点到直线的距离公式 【分析】 由题意得 点 M 的轨迹是以 F 为焦点，以直 线 x+4=0 为准线的抛物线，设方程为 =4，求得 p 值，即得抛物线方程 第 12 页（共 20 页） 【解答】 解：由题意得点 M 到 F（ 4， 0）的距离和它到直线 x+4=0 的距离相等， 点 M 的轨迹是以 F 为焦点，以直线 x+4=0 为准线的抛物线， 设方程为 则 =4， p=8，故点 M 的轨迹方程是 6x， 故答案为： 6x 15设等比数列 公比为 q，若 1， 成等差数 列，则 = 4 【考点】 等比数列的通项公式 【分析】 由已知得 21=n+1=1+n 1+an+，从而得到 q= = 2，由此能求出 的值 【解答】 解： 等比数列 公比为 q， 1， 成等差数列， 1、 成等差数列， 则 21=n+1=1+n 1+an+， = 2 q= = 2， = = 2） 2=4 故答案为： 4 16某工厂接到一任务，需加工 6000 个 P 型零件和 2000 个 Q 型零件这个厂有 214 名工人，他们每一个人用以加工 5 个 P 型零件的时间可以加工 3 个 Q 型零件，将这些工人分成两组同时工作，每组加工一种型号的零件为了在最短时间内完成这批任务，则加工 P 型零件的人数为 137 人 【考点】 根据实际问题选择函数类型；简单线性规划 【分析】 设最短加工时间为 x，建立方程关系进行求解即可 【解答】 解：设最短加工时间为 x， 则加工 P 型零件的人数为 = ，则加工 Q 型零件的人数为 ， 则满足 + =214， 即 =214， 即 =214， 第 13 页（共 20 页） 则 = ， 则加工 P 型零件的人数为 =1200 = 故加工 P 型零件的人数为 137 人， 故答案为： 137 三 答应写 出文字说明，证明过程或演算步骤 17已知函数 f（ x） =2x+ ） （ I）求 f（ x）的最小正周期； （ ）在 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 f（ C） =1， 面积为 2 ，求 c 的值 【考点】 余弦定理；三角函数的周期性及其求法 【分析】 （ I） f（ x）解析式利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理为一个角的正弦函数，找出 的值，即可确定 出 f（ x）的最小正周期； （ ）由 f（ C） =1 确定出 C 的度数， 用正弦定理化简得到 b=2a，利用三角形面积公式列出关系式，把 已知面积代入求出 值，联立求出 a 与 b 的值，利用余弦定理求出 c 的值即可 【解答】 解：（ I） f（ x） =2= =2x+ ） + ， =2， f（ x）的最小正周期为 ； （ ） f（ C） =2C+ ） + =1， 2C+ ） = ， 2C+ ， 2C+ = ，即 C= ， b=2a， 积为 2 ， 2 ，即 ， 联立 ，得： a=2， b=4， 由余弦定理得： c2=a2+22，即 c=2 18如图在三棱柱 ，已知 侧面 ， ， ，点 E 在棱 （ 1）求 长，并证明 平面 （ 2）若 确定 的值，使得二面角 A C 的余弦值为 第 14 页（共 20 页） 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）由余弦定理，得 ，由勾股定理得 线面垂直得 此能证明 平面 （ 2）以 B 为空间坐标系的原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当 = 时，二面角 A C 的余弦值为 【解答】 解：（ 1）因为 ， ， ， 在 ，由余弦定理，得 = ， 所以 又 侧面 又 B=B，所以 平面 （ 2）由（ 1）知， 两垂直， 以 B 为空间坐标系的原点，建立如图所示的坐标系， 则 B（ 0， 0， 0）， A（ 0， 2， 0）， C（ ， 0， 0）， =（ 0， 2， ）， = + = + =（ ， 0， ）， 设平面 一个法向量为 =（ x， y， z）， 则 ， 令 z= ，得 =（ ， 1， ）， 平面 一个法向量 =（ 0， 1， 0）， 定 的值，使得二面角 A C 的余弦值为 ， = = = ， 解得 ， 当 = 时，二面角 A C 的余弦值为 第 15 页（共 20 页） 19为弘扬民族古典文化，市电视台举行古诗词知识竞赛，某轮比赛由节目主持人随机从题库中抽取题目让选手抢答，回答正确将给该选手记正 10 分，否则记负 10 分根据以往统计，某参赛选手能答对每一个问题的概率均为 ；现记 “该选手在回答完 n 个问题后的总得分为 （ 1）求 0 且 0（ i=1， 2， 3）的概率； （ 2）记 X=|求 X 的分布列，并计算数学期望 E（ X） 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ 1）当 0 时，即回答 6 个问题后，正确 4 个，错误 2 个若回答正确第 1 个和第 2 个问题，则其余 4 个问题可任意回答正确 2 个问题；若第一个问题回答正确，第 2 个问题回答错误，第三个问题回答正确，则其余三个问题可任意回答正确 2 个记回答每个问题正确的概率为 p，则 ，同时回答 每个问题错误的概率为 ，由此能求出 0 且 0（ i=1， 2， 3）的概率 （ 2）由 X=|知 X 的取值为 10， 30， 50，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和 E（ X） 【解答】 解：（ 1）当 0 时，即回答 6 个问题后，正确 4 个，错误 2 个 若回答正确第 1 个和第 2 个问题，则其余 4 个问题可任意回答正确 2 个问题； 若第一个问题回答正确，第 2 个问题回答错误，第三个问题回答正确，则其余三个问题可任意回答正确 2 个 记回答每个问题正确的概率为 p，则 ，同时回答每个问题错误的概率为 故所求概率为： （ 2）由 X=|知 X 的取值为 10， 30， 50 可有 ， ， 故 X 的分布列为： X 10 30 50 第 16 页（共 20 页） P E（ X） = = 20已知直线 l： ，圆 O： x2+，椭圆 E： （ a b 0）的离心率 ，直线 l 被圆 O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等 （ 1）求椭圆 E 的方程； （ 2）过圆 O 上任意一点 作两条直线与椭圆 E 分别只有唯一一个公共点，求证：这两直线斜率之积为定值 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）求得圆心到直线的距离，运用弦长公式，由离心率公式和 a， b， c 的关系，解方程可得 a， b，进而得到椭圆方程； （ 2）设过 P 的椭圆 E 的切线 方程为 y y0=k（ x 代入椭圆方程，运用直线和椭圆相切的条件：判别式为 0，化简整理，再由韦达定理，即可得到斜率之积为定值 【解答】 解：（ 1）设椭圆半焦距为 c， 圆心 O 到 l 的距离 d= = ， 则 l 被圆 O 截得的弦长为 2 =2 ， 所以 b= 由题意得 = ，且 b2= ， ， 椭圆 E 的方程为 + =1； （ 2）过 P（ 直线与椭圆 E 分别只有唯一的公共点， 设过 P 的椭圆 E 的切线 方程为 y y0=k（ x 整理得 y=kx+ 联立直线 椭圆 E 的方程得 ， 消去 y 得 2 2+36=0， 整理得（ 3+2k（ x+2（ 2 6=0， 与椭圆 E 分别只有唯一的公共点（即与椭圆 E 相切）， =4k（ 2 4（ 3+22（ 2 6=0， 整理得（ 2 x ） y 3） =0， 设满足题意的与椭圆 E 分别只有唯一的公共点的直线的斜率分别为 第 17 页（共 20 页） 则 点 P 在圆 O 上， ， = 1 两条切线斜率之积为 1 21已知函数 f（ x） =x a， （ ）求函数 f（ x）的单调递增区间； （ ）若 a=n 且 n N*，设 函数 x） =x n 的零点 （ i）证明： n 2 时存在唯一 ； （ i i）若 1 1 ），记 Sn=b1+明： 1 【考点】 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ ）对 f（ x）求导得到单调区间 （ ）（ i）由（ ）得， x） =x n 在 R 上单调递增，证明 ） =即可 （ 用数列裂项求和和不等式放缩技巧证明即可 【解答】 解：（ ） f（ x） =3， 若 a 0，则 f（ x） 0，函数 f（ x）在 R 上单调递增； 若 a 0， 令 f（ x） 0， 或 ， 函数 f（ x）的单调递增区间为 和 ； （ ）（ i）由（ ）得， x） =x n 在 R 上单调递增， 又 1） =n+2 n=2 0， ） = = = = 当 n 2 时， g（ n） =n 1 0， ， n 2 时存在唯一 （ i i）当 n 2 时， ， （零点的区间判 定） ，（数列裂项求和） 第 18 页（共 20 页） ， 又 x） =x 1， ，（函数法定界） ，又 ， ， ，（不等式放缩技巧） 命题得证 请考生在第 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分