广东省汕头市2015-2016学高二下期末质量数学试题(理)含答案

汕头市 2015年高二下学期期末质量监测 数学理试题 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。） 1集合 A x x ， B x 16，则 A B （） A（ 1， 4） B l， 4） C l， ） D e， 4） 2复 数 231A一 3 一 4i B一 3 4i C 3 一 4i D 3 4i 3函数 22( ) s i n c o x x x的图象中相 邻 的两 条 称轴间距离为（） A、 3 B、 43C、 32D、 764下列命题中，是真命题的是（） A 00 ,0 e B已知 a ， b 为实数，则 a 十 b 0 的充要条件是 1 C 2,2 x D已知 a ， b 为实数，则 a 1， b 1 是 a b 1 的充分条件 5现有 2 个男生， 3 个女生和 1 个老师共六人站成一排照相，若两端站男生， 3 个女生中有且仅 有两人相邻，则不同的站法种数是（） B 24 C 36 D 48 a (1, x)， b (1, x 一 1)，若 ( 2 )a b a，则 2 （） A. 2 B. 3 C. 2 D. 5 2 1 ( 0 , 0 )xy 的离心率为 52， 则 C 的渐近线方程为 （） A. y 14xB. y 13xC. y 12xD. y x ， , 3 36A A B， 3， D 在边 ，且 2 ） A. 19 B. 21 C. 5 D. 2 7 将输出 ( , )依次记为：11( , )2( , )，33( , )若程序运行中输出的一个数组是 (x， 一 10)，则数组中的 x（） A. 32 B. 24 C. 18 D. 16 ，已知正方体 1a，动点 M、 N、 Q 分别在线段 三棱锥 俯视图如图 2 所示时，三棱锥 正视图面积等于（） f(x) c o s ( s i n 3 c o s ) ( 0 )x x x ，如果存在实数 得对任意的实数 x， 都有 f( ) ( 2 0 1 6 )f x f x 成立，则 的最小值为（ ） A、 14032B、 14032C、 12016D、 设 a 为实数，若存在实数 m ，使 f(m)一 2g(a) 0 则实数 A. 1， ) B. 1, 3 C.（一 ， 1 U 3， ) D.（一 ， 3 第 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题一第 21 题为必考题，每个考生都必须做答。第 22 题一第 24 题为选考题，考生根据要求做答。 二填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分 ，共 20 分。） 2px(p 0)的准线经过双曲线 1 的一个焦点，则 P (x, y)是不等式组0333 表示的平面区域 内的一动点，且不等式 2x y+m 0 总成立，则 m 的取值范围是 最长的棱 ，且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球的体 积是 展开式中常数项是 三解答题：（ 本大题 8 个小题，共 70 分，解答须写出文字说明、证明过程、演算步骤。） 17.（本 小 题 满分 12 分 )若数 列 n 项和 3 1 ( * )a n N ，等 差数列 3 23 , 3b a b S (1）求数列 (2）设3 nn a，求数列 n 项和 18.（本小题满分 12 分）如图，四棱锥 中， 90 ， 都是等边三角形 . （ 1）证明： ； （ 2）求二面角 的余弦值 . 19. 2016 年 4 月 21 日上午 10 时，某省会首次启动重污染天气 应急响应，正式实施机动车车尾号限行，当天某报社为了解公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了 50 人，将调查情况进行整理后制成下表： 年龄（岁） 15,25 25,35 35,45 45,55 55,65 65,75 频数 5 10 15 10 5 5 赞成人数 4 6 9 6 3 4 (1)完成被调查人员的频率分布直方图； (2)若从年龄 15,25 ， 25,35 的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的 4 人中不赞成“车辆限行”的人数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望 . 知抛物线 21 :4C y x的焦点为 F ，椭圆2F 为其右焦点，点 M 为曲线1 5|2（ 1）求椭圆2 （ 2）设 ,使得线段 中点 D 在直线 上， (3,2)P 为定点，求 面积的最大值 2( ) l n ef x e （ 1）求曲线 y f x 在点 )1(,1 f 处的切线方程 ; （ 2）证明： 1. 请从下面所给的 22、 23、 24 三题中选定一题作答 ， 并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多图均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。 22. （本小题满分 10 分）选修 4 1：几何证明选讲 如图所示，已知 相切， 点 割线交圆于点，弦，交于点 E， 2 （ 1）求证：； （ 2）若2,3,2:3: 23本小题满分 10 分 )选修 4 4；坐标系与参数方程 已知曲线 c o s 13 s ( 为参数 )，以直角坐标 系原点为极点， （ 1） 求曲线 的极坐标方程； （ 2）若直线 l 的参数方程为t 为参数，求直线 l 被曲线 24（本小题满分 10 分 ）选修 45 ：不等式选讲 已知函数1( ) | | xf x x ，( ) | 4 |g x m （ 1）解关于( ) 1 0f x m ； （ 2）若函数()实数 m 的取值范围 参考答案 一 、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 B A C D B A C A A B B B 二、填空题： 13、 ,22 14、 ,3| ,3m ， 15、34， 16、 160 三、解答题 . 17、解 ： (1)当 1n 时，1 1 12 3 1 , 1S a a （ 1 分） 当 2n 时， 112 2 2 3 1 3 1n n n n S a a ，即13 （ 3 分） 数列 以 1 1a 为首项， 3 为公比的等比数列， 13 （ 4 分） 设 3 2, 3 3 , 3 7 2 3 , 2d b a b S d d （ 5 分） 所以 12)1(23 （ 6 分） 由（ 1）可知道：1 2 32 1 3 5 7 2 1,3 3 3 3 3 （ 7 分） 1 2 32 1 3 5 7 2 1,3 3 3 3 3 2 3 4 11 3 5 7 2 13 3 3 3 3 ， （ 8 分） 由 - 得， 132 312)3 1.(2132（ 9 分） 131231131131231 （ 10 分） 131231131nn n（ 11 分） 所以 223n （ 12 分） 18.（本小题满分 12 分）如图，四棱锥 中， 90 ， 都是等边三角形 .（ 1）证明： ； （ 2）求二面角 的余弦值 . 证明：（ 1）取 中点 E ，连接 则 正方形 （ 1 分） 过 P 作 面 垂足为点 O ，由 与 都是等边三角形 . 不难得到 ,所以 ,（ 2 分） 即点 O 为正方形 对角线交点，故 （ 3 分） 所以 面 又 面 所以 （ 4 分） 因为 分别是 的中点，所以 ,所以 ； （ 6 分） （ 2）由（ 1）知，可以 O 为坐标原点， , 为 , 轴的正方向，建立如图所示的直角坐标系，设 2则点 )0,0,2(A , )0,2,0( D , )2,0,0(P （ 7 分） 所以 )0,2,2( )2,0,2(（ 8 分） 设平面 一个法向量为 ),( 所以022022 取 1x 得到 1,1 所以 )1,1,1( n （ 9 分） 又 面 所以可以取平面 一个法向量 )0,0,1(m （ 10 分） 由图像可知，该二面角为锐角，可设为 所以 13c o .（ 12 分） 19. 2016 年 4 月 21 日上午 10 时，某省会首次启动重污染天气 应急响应，正 式实施机动车车尾号限行，当天某报社为了解公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了 50 人，将调查情况进行整理后制成下表： 年龄（岁） 15,25 25,35 35,45 45,55 55,65 65,75 频数 5 10 15 10 5 5 赞成人数 4 6 9 6 3 4 (1)完成被调查人员的频率分布直方图； (2)若从年龄 15,25 ， 25,35 的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的 4 人中不赞成“车辆限行”的人数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望 . 解： (1)各组的频 率分别是 所以图中 各组的纵坐 图 （ 2 分） 0 . 030 . 020 . 01频率组距年龄15 25 35 45 55 65 75（ 5 分） (2) 的所有可能取值为： 0,1,2,3（ 6 分） 22 64225 1 06 1 5 1 501 0 4 5 7 5 （ 7 分） 2 1 1126 4 6442 2 2 25 1 0 5 1 0 4 1 5 6 2 4 3 41 1 0 4 5 1 0 4 5 7 5C C C C C （ 8 分） 21 2 264 4 42 2 2 25 1 0 5 1 04 1 5 6 6 2 221 0 4 5 1 0 4 5 7 5 C C （ 9 分） 1244225 1 06 6 431 0 4 5 7 5 （ 10 分） 所以 的分布列是： 0 1 2 3 P 157534752275475所以 的数学期望是 1 5 3 4 2 2 4 60 1 2 37 5 7 5 7 5 7 5 5E .（ 12 分） 知抛物线 21 :4C y x的焦点为 F ，椭圆2F 为其右焦点，点 M 为曲线1 5|2（ 1）求椭圆2 （ 2）设 ,使得线段 中点 D 在直线 上， (3,2)P 为定点，求 面积的最大值 解：（ 1）设 椭圆 2C 的方程为22 1 ( 0 )xy ，半焦距为 c 由已知，点 (1,0)F ，则 1c （ 1 分） 设点 00( , )M x y 00( , 0)，据抛物线定义，得 0| | 1MF x由已知， 0 51 2x ，则 0 32x 从而 0046，所以点 3( , 6)2M （ 2 分） 设点 E 为椭圆的左焦点，则 ( 1,0)E ，237| | 1 622 据椭圆定义，得 752 | | | | 622a M E M F ，则 3a （ 4 分） 从而 2 2 2 8b a c ，所以椭圆 2C 的标准方式是22198（ 5 分） （ 2）设点 ( , )D 11( , )A x y ， 22( , )B x y ，则 221 1 2 24 , 4y x y x 两式相减，得 221 2 1 24 ( )y y x x ，即121 2 1 24x y y 因为 D 为线段 中点，则122y y m 2( ) l n ef x e （ 1）求曲线 y f x 在点 )1(,1 f 处的切线方程 ; （ 2）证明： 1. 解： (1)显然 函数 f(x)的定义域为 (0， ) ， (1 分 ) 且11222( ) l n x x xx e x e ef x e x (3 分 ) 所以切线斜率 )1(/ ，且 2)1( f (4 分 ) 所以曲线 )(在点 )1(,1 f 处的切线方程为 )1(2 即 02 (5 分 ) （ 2）由题意知 12 1 由于 0,0 该不等式可以转化为如下等价的不等式 : x 2,即证对于 ,0x 不等式x 2恒成立。 (6 分 ) 设 )0(, ，则 1 由 01 到，所以函数 )( ),1( 由 01 到0 ，所以函数 )( )1,0( (7 分 ) 所以函数 )( ),0( 上有最小值1( (8 分 ) 设 )0(,2)( x，则 1)(/ 由 01)(/ 到 10 x ，所以函数 )( )1,0( 上是增函数。 由 01)(/ 到 1x ，所以函数 )( ),1( 上是减函数。 (9 分 ) 所以函数 )( ),0( 上有最大值21)1( (10 分 ) 综上所述： x 2)(12 (12 分 ) 请从下面所给的 22、 23、 24 三题中选定一题作答 ， 并 用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多图均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。 22. （本小题满分 10 分）选修 4 1：几何证明选讲 如图所示，已知 相切， 点 割线交圆于点，弦，交于点 E， 2 （ 1）求证：； （ 2）若2,3,2:3: 解：（）2, (1 分 ) 又, , (2 分 ) P, (3 分 ) 又， (4 分 ) (5 分 ) （）2,2,3 29 (6 分 ) 2:3: (7 分 ) 由（ 1）可知：，解得427 (8 分 ) 415 的切线，2 (9 分 ) )29427(4152 得4315 (10 分 ) 23本小题满分 10 分 )选修 4 4；坐标系与参数方程 已知曲线 c o s 13 s ( 为参数 )，以直角坐标系原点为极点， （ 1） 求曲线 的极坐标方程； （ 2）若直线 l 的参数方程为t 为参数，求直线 l 被曲线 解 (1) 曲线3 ( 为参数 ) 曲线 的普通方程为 2 21 143x y (2 分 ) 将2 即曲线 c 的极坐标方程为 (5 分 ) （ 2） 直线 l 的普通方程为 ， (6 分 ) 将 直线 l 的极坐标方程为 ： 2,0,3 (7 分