2015-2016学年东莞市高二上期末数学文科试卷(B)含答案解析

2015年广东省东莞市高二（上）期末数学试卷（文 科）（ 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60分 有一个选择支正确 ） 1在 ，若 A=60， B=45， ，则 ） A B C D 2命题 “若 a 2，则 a 1”及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 3设 等比数列 前 n 项和，且 8a3+，则 =（ ） A 11 B 8 C 5 D 11 4已知等差数列 前 n 项的和为 a5+0，则 ） A 40 B 45 C 50 D 55 5在 ， a、 b、 c 分别为角 A、 B、 C 所对的边，若 B=60， b2= 形状是（ ） A直角三角形 B钝角三角形 C等腰非等边三角形 D等边三角形 6若 x、 y 满足不等式 ，则 z=3x+y 的最大值为（ ） A 11 B 11 C 13 D 13 7已知 p： 2x 3 0， q： x+20，则 p 是 q 的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 8双曲线 5x2+ 的一个焦点是（ 2， 0），则其渐近线方程为（ ） A B C D 9已知函数 f（ x） =x（ x c） 2 在 x=2 处有极小值，则实数 c 的值为（ ） A 2 B 2 或 6 C 6 D 4 或 6 10已知 =2（ a 0， b 0），则 最小值是（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 11已知椭圆 E 的中心为坐标原点，长轴的长为 8， E 的右焦点与抛物线 C： x 的焦点重合，抛物 线 C 的准线与椭圆 E 交于 A， |（ ） A 3 B 6 C 9 D 12 12已知函数 f（ x） = 9x+8，则过点（ 0， 0）可以作几条直线与函数 y=f（ x）图象相切（ ） A 3 B 1 C 0 D 2 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20分 ） 13若关于 x 的不等式 4 0 的解集为（ 4， 1），则 m 的值为 14已知数列 足 =（ nN*），且 ，则 = 15已 知抛物线 x 的焦点为 F， O 为坐标原点， M 为抛物线上一点且 |3，则 面积为 16如图，测量河对岸的塔高 与塔底 与 D，在 D 点测得塔在北偏东 30方向，然后向正西方向前进 10 米到达 C，测得此时塔在北偏东 60方向并在点 的仰角为 60，则塔高 米 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17在锐角 ， a、 b、 c 分别为角 A、 B、 C 所对的边，且 （ 1） 求角 C 的大小； （ 2）若 ，且 周长为 ，求 面积 18已知数列 前 n 项和 ，等比数列 b1= （ 1）求数列 通项公式； （ 2）记 cn=an数列 前 n 项和 19命题 p： xR， x2+0；命题 q：方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆若 “p 且 q”是假命题， “p 或 q”是真命题，求实数 m 的取值范围 20已知某种商品每日的销售量 y（单位：吨）与销售价格 x（单位：万元 /吨， 1 x5）满足：当 1 x3 时， y=a（ x 4） 2+ （ a 为常数）；当 3 x5 时， y=，已知当销售价格为 3 万元 /吨时，每日可售出商品该 4 吨，当销售价格为 5 万元 /吨时，每日可售出商品该 2 吨 （ 1）求 a， k 的值，并确定 y 关于 x 的函数解析式； （ 2）若该商品的销售成本为 1 万元 /吨，试确定销售价格 x 的值，使得每日销售该商品所获利润最大 21如图，椭圆 C： =1（ a b 0）的右焦点为 F，右顶点、上顶点分别为点 A、 B，已知椭圆 C 的焦距为 2，且 | | （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）若过点 P（ 0， 2）的直线 l 交椭圆 C 于 M， N 两点，当 积取得最大时，求直线 22设函数 f（ x） =a（ 3x+2），其中 aR （ 1）若 a=1，求函数 f（ x）的单调区间； （ 2）若 a 0，对 x 1， f（ x） 0 成立，求实数 a 的最大值 2015）期末数学试卷（文科）（ B 卷） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60分 有一个选择支正确 ） 1在 ，若 A=60， B=45， ，则 ） A B C D 【分析】 结合已知，根据正弦定理， 可求 解答】 解：根据正弦定理， ， 则 故选 B 【点评】 本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础试题 2命题 “若 a 2，则 a 1”及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【分析】 根据四种命题真假之间的关系进行判断即可 【解答】 解：若 a 2，则 a 1，成立，即原命题为真命题，则逆否命题也为真命题， 逆命题为：若 a 1，则 a 2，为假命题，当 a=，满足 a 1，但 a 2 不成立， 则否命题为假命题， 故真命题的个数为 2 个， 故选： B 【点评】 本题主要考查四种命题真假关系的判断，根据逆否命题的等价性只需要判断两个命题即可， 3设 等比数列 前 n 项和，且 8a3+，则 =（ ） A 11 B 8 C 5 D 11 【分析】 利用等比数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出 【解答】 解：设等比数列 公比为 q， 8a3+， 8+=0， 解得 q= 2 则 = = =5， 故选： C 【点评】 本题考查了等比数列的通项公式及其前 n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 4已知等差数列 前 n 项的和为 a5+0，则 ） A 40 B 45 C 50 D 55 【分析】 a5+0，可得 a1+0再利用等差数列的前 n 项和公式即可得出 【解答】 解： a5+0， a1+0 则 = =50 故选： C 【点评】 本题考查了等差数列的通项公式及其前 n 项和公式性质，考查了推理能力与计算能力，属于 中档题 5在 ， a、 b、 c 分别为角 A、 B、 C 所对的边，若 B=60， b2= 形状是（ ） A直角三角形 B钝角三角形 C等腰非等边三角形 D等边三角形 【分析】 由余弦定理可得 a=c，即可判断出结论 【解答】 解：由余弦定理可得： b2=a2+2 a=c， 形状是等边三角形 故选： D 【点评】 本题考查了余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 6若 x、 y 满足不等式 ，则 z=3x+y 的最大值为（ ） A 11 B 11 C 13 D 13 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，根据 z 的几何意义，利 用数形结合即可得到最大值 【解答】 解：不等式组对应的平面区域如图： 由 z=3x+y 得 y= 3x+z， 平移直线 y= 3x+z，则由图象可知当直线 y= 3x+z 经过点 y= 3x+z 的截距最大， 此时 z 最大， 此时 M=z=3 +5 =17，由 ， 解得 ，即 A（ 4， 1）， 此时 z=34 1=11， 故选： A 【点评】 本题主要考查线性规划的应用，根据 z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键 7已知 p： 2x 3 0， q： x+20，则 p 是 q 的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】 根据充分条件和必要条件的定义结合不等式之间的关系进行判断即可 【解答】 解：由 2x 3 0，得 1 x 3， 由 x+20 得 x 2， 则 p 是 q 的充分不必要条件， 故选： A 【点评】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式之间的关系是解决本题的关键比较基础 8双曲线 5x2+ 的一个焦点是（ 2， 0），则其渐近线方 程为（ ） A B C D 【分析】 根据双曲线方程，得 ， ，结合题意得 a， b， c 关系，解出 k，从而得到双曲线方程，由此不难得出该双曲线的渐近线方程 【解答】 解：双曲线 5x2+ 化成标准方程得 =1， 得 ， ， c= = ， 双曲线 的一个焦点是（ 2， 0）， =2，解之得 k= ，双曲线方程为 =1， 该双曲线的渐近线方程为 y= x， 故选： D 【点评】 本题给出含有参数的双曲线方程，在已知其一个焦点的情况下求双曲线的渐近线方程，着重 考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题 9已知函数 f（ x） =x（ x c） 2 在 x=2 处有极小值，则实数 c 的值为（ ） A 2 B 2 或 6 C 6 D 4 或 6 【分析】 根据函数在 x=2 处有极小值，得到 f（ 2） =0，解出关于 c 的方程，再验证是否为极小值即可 【解答】 解： 函数 f（ x） =x（ x c） 2， f（ x） =34cx+ 又 f（ x） =x（ x c） 2 在 x=2 处有极值， f（ 2） =12 8c+， 解得 c=2 或 6， 又由函数在 x=2 处有极小值，故 c=2， c=6 时，函数 f（ x） =x（ x c） 2在 x=2 处有极大值， 故选： A 【点评】 本题考查函数在某一点取得极值的条件，是中档题，本题解题的关键是函数在这一点取得极值，则函数在这一点点导函数等于 0，注意这个条件的应用 10已知 =2（ a 0， b 0），则 最小值是（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 【分析】 利用基本不等式的性质即可得出 【解答】 解： =2（ a 0， b 0）， 2 ，化为 ，当且仅当 a=3， b=2 时取等号 最小值是 6 故选： C 【点评】 本题考查了基本不等式 的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 11已知椭圆 E 的中心为坐标原点，长轴的长为 8， E 的右焦点与抛物线 C： x 的焦点重合，抛物线 C 的准线与椭圆 E 交于 A， |（ ） A 3 B 6 C 9 D 12 【分析】 由题意知， 2a=8，抛物线 C： x 的焦点为（ 2， 0），准线为 x= 2，从而写出椭圆的标准方程为 + =1，从而联立方程解出 A， 而解得 【解答】 解：由题意知， 2a=8， 故 a=4， 抛物线 C： x 的焦点为（ 2， 0），准线为 x= 2， 故 c=2， 故椭圆的方程为 + =1， 故联立方程得， ， 解得， x= 2， y=3， 故 A（ 2， 3）， B（ 2， 3）， 故 |6， 故选： B 【点评】 本题考查了抛物线与椭圆的基本性质的应用，同时考查了学生的化简运算能力 12已知函数 f（ x） = 9x+8，则过点（ 0， 0）可以作几条直线与函数 y=f（ x）图象相切（ ） A 3 B 1 C 0 D 2 【分析】 设出切点，求出切点处的导数，写出切线方程把 解方程即可判断切点横坐标的个数，从而 答案可求 【解答】 解：设切点为 P（ 9）， f（ x） = 9x+8 的导数为 f（ x） = 32x 9， 则 f（ = 32 9， 则切线方程 y+68=（ 329）（ x 代入 O（ 0， 0）得， 3=0， 即有（ ） 3（ 1） =0， 即有（ ）（ 2） 2=0，解得 1 或 2， 则切线有两条 故选 D 【点评】 本题考查了利用导数研究曲线上点的切线问题，考查了利用切线方程，解方程的运算能力，是中档题 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20分 ） 13若关于 x 的不等式 4 0 的解集为（ 4， 1），则 m 的值为 1 【分析】 由已知得 4 和 1 是方程 4=0 的两个根，由此能求出 m 【解答】 解： 关于 x 的不等式 4 0 的解集为（ 4， 1）， 4 和 1 是方程 4=0 的两个根， 4+1= 3m， 解得 m=1 故答案为： 1 【点 评】 本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意一元二次不等式的性质的合理运用 14已知数列 足 =（ nN*），且 ，则 = 【分析】 利 用裂项消项法，求解数列的和即可 【解答】 解：数列 足 =（ nN*），且 ，数列是等差数列， an=n 则 = =1 = 故答案为： 【点评】 本题考查等差数列的应用，数列求和，考查计算能力 15已知抛物线 x 的焦点为 F， O 为坐标原点， M 为抛物线上一点且 |3，则 面积为 【分析】 利用抛物线的定义，可得 M 的坐标，即可求得 面积 【解答】 解：抛物线方程为 x 的准线方程为 x= 1， |3， ， 2 ， 面积为 = ， 故答案为： 【点评】 本题考查抛物线的定义，考查三角形面积的计算，确定 M 的坐标是关键 16如图，测量河对岸的塔高 与塔底 与 D，在 D 点测得塔在北偏东 30方向，然后向正西方向前进 10 米到达 C，测得此时塔在北偏东 60方向并在点 的仰角为 60，则塔高 30 米 【分析】 在 ，由正弦定理，求得 ，求 【解答】 解：由题意， 0， 20， 0m， 在 ，由正弦定理得 10=10 m 在 ， 30m 故答案为： 30 【点评】 本题考查正弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17在锐角 ， a、 b、 c 分别为角 A、 B、 C 所对的边，且 （ 1）求角 C 的大 小； （ 2）若 ，且 周长为 ，求 面积 【分析】 （ 1）利用正弦定理可得 可得出； （ 2）利用余弦定理、三角形周长、三角形面积计算公式即可得出 【解答】 解：（ 1）因为 ，所以 ， 由正弦定理 ， ， 又因为 锐角三角形，所以 （ 2）由余弦定理 c2=a2+27=a2+ a+b） 2 3 周长 ， c= 所以 a+b=5， ， 面积 S= 【点评】 本题考查了正弦 定理余弦定理、三角函数周长、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 18已知数列 前 n 项和 ，等比数列 b1= （ 1）求数列 通项公式； （ 2）记 cn=an数列 前 n 项和 【分析】 （ 1）求出数列 首项 用 n2， ，求出通项公式，然后求解 （ 2）化简 cn=an用错位相减法求解数列的 前 n 项和 【解答】 解：（ 1）数列 前 n 项和 ，所以 1=1（ 1 分） n2， （ 2 分） 当 n=1，也满足 n 1（ 3 分） 所以 （ 4 分） b1=， 2b4=a4+9，所以 ， （ 6 分） ，所以 q=2，所以 （ 7 分） （ 2） ， （ 8 分） （ 9 分） 式减去 式得： （ 10 分） = 3（ 2n 3） 2n（ 11 分） （ 12 分） 【点评】 本题考查数列通项公式，以及数列求和的基本方法，考查计算能力 19命题 p： xR， x2+0；命题 q：方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆若 “p 且 q”是假命 题， “p 或 q”是真命题，求实数 m 的取值范围 【分析】 命题 p 为真，求出 2m2，命题 q 为真，求出 0 m 2，利用 “p 且 q”是假命题， “p 或 q”是真命题， 推出 p 是真命题且 q 是假命题，或 p 是假命题且 q 是真命题，求解即可 【解答】 解：命题 p： xR， x2+0 为真， =40 2m2（ 3 分） 命题 q 为真，即方程 是焦点在 y 轴上的椭圆， 0 m 2（ 6 分） 又 “p 且 q”是假命题， “p 或 q”是真命题， p 是真命题且 q 是假命题，或 p 是假命题且 q 是真命题， （ 7 分）， 或 （ 11 分） m 的取值范围是 2， 0 2（ 12 分） 【点评】 本题考查命题的真假的判断与应用，考查计算能力 20已知某种商品每日的销售量 y（单位：吨）与销售价格 x（单位：万元 /吨， 1 x5）满足：当 1 x3 时， y=a（ x 4） 2+ （ a 为常数）；当 3 x5 时， y=，已知当销售价格为 3 万元 /吨时，每日可售出商品该 4 吨，当销售价格为 5 万元 /吨时，每日可售出商品该 2 吨 （ 1）求 a， k 的值，并确定 y 关于 x 的函数解析式； （ 2）若该商品的销售成本为 1 万元 /吨，试确定销售价格 x 的值，使得每日 销售该商品所获利润最大 【分析】 （ 1）通过 x=3 时， y=4；求出 a， x=5 时， y=5；求出 k，得到函数的解析式 （ 2）当 1 x3 时，求出每日销售利润的表达式，通过函数的导数判断函数的单调性，求出最大值当3 x5 时，求出每日销售利润的表达式，利用二次函数的最值求解最大值，推出结果 【解答】 解：（ 1）因为 x=3 时， y=4；所以 a+3=4，得 a=1（ 2 分） 因为 x=5 时， y=5；所以 5k+7=2，得 k= 1（ 4 分） 故 （ 5 分） （ 2）由（ 1）知，当 1 x3 时， 每日销售利润 =94x 10（ 1 x3） （ 6 分） f（ x） =318x+24 （ 7 分） 令 f（ x） =318x+24 0，解得 x 4 或 x 2 所以 f（ x）在 1， 2单调递增，在 2， 3单调递减 （ 8 分） 所以当 x=2， f（ x） f（ 2） =10， （ 9 分） 当 3 x5 时，每日销售利润 f（ x） =（ x+7）（ x 1） = x 7=（ x 4） 2+9（ 10 分） f（ x）在 x=4 时有最大值，且 f（ x） f（ 4） =9 f（ 2） （ 11 分） 综上，销售价格 x=2 万元 /吨时，每日销售该商品所获利润最大 （ 12 分） 【 点评】 本题考查函数的解析式的求法，函数的导数的应用，考查分析问题解决问题的能力，分类讨论思想以及转化思想的应用 21如图，椭圆 C： =1（ a b 0）的右焦点为 F，右顶点、上顶点分别为点 A、 B，已知椭圆 C 的焦距为 2，且 | | （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）若过点 P（ 0， 2）的直线 l 交椭圆 C 于 M， N 两点，当 积取得最大时，求直 线 【分析】 （ 1）由题意可得 c=1，再由两点的距离公式，结合 a， b， c 的关系，解得 a， b，进而得到椭圆方程； （ 2）方法一、设直线 l 的方程为 y=2， M（ N（ 代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于 0，以及弦长公式，点到直线的距离公式和三角形的面积公式，结合基本不等式即可得到直线方程； 方法二、设出直线的方程，求得交点 D，运用三角形的面积公式可得 S |由直线方程和韦达定理，代入整理，再由解不等式可得最大值及对应的斜率， 即可得到 所求直线的方程 【解答】 解：（ 1）椭圆 C 的焦距为 2，所以 2c=2， c=1， 由已知 ，即 ， 2b2=b2+ 所以 ， 可得椭圆方程为 ； （ 2）解法一：由题意知直线 l 的斜率存在， 设直线 l 的方程为 y=2， M（ N（ 由 ，消去 y 得关于 x 的方程：（ 1+28=0， 由直线 l 与椭圆相交于 M、 N 两点， 06424（ 1+2 0， 解得 ， 又由韦达定理得 ， = ， 原点 O 到直线 l 的距离 ， 解 法 1：令 ， 则 2k2= ， 当且仅当 即 m=2 时， 此时 所以，所求直线方程为 解法 2：对 两边平方整理得： 4（ 4） 2+24=0（ *） S0， ，整理得： ， 又 S 0， ， 从而 S 最大值为 ， 此时代入方程（ *）得 4289=0 ， 所以，所求直线方程为： 解法二：由题意知直线 l 的斜率存在且不为零 设直线 l 的方程为 y=2， M（ N（ 则直线 l 与 x 轴的交点 ， 由解法一知 且 ， =| = = 下同