陕西省2016年中考《圆》专题复习训练有答案

复 习 说明 ： 圆 这 部 分 内容 在 陕西 省 中 考 试卷 中 是必考 内容之一。每年中考试题圆的考点为填空题 3 分，解 答题 8 分，共 11 分。 2016 年考试说明中三套样题中 选择题部分增加了对圆知识的 3 分考查，但是填空题 均未出现与圆有关的题型，而是改为以四边形为背景 来进行考查，第 23 题解答题 8 分依然存在。在这部 分的复习中，应重视学生逻辑思维能力的培养和书写 的规范性。与圆有关的解答题多是以证明、解答题出 现，学 生 在 这 部分 最 容易 逻 辑 混 乱，次 序 颠 倒 ， 甚至 书写随意。在复习中要注意随时纠正。 圆专题复习 一 1 (2015湖南株洲 ,第 6 题 3 分 )如图，圆 O 是 外接圆， A 68，则 大 小是 ( ) A 22 B 26 C 32 D 68 【试题分析】 本 题 考点为 ： 通 过 圆心角 2 A 136， 再 利 用等腰 三 角形 出 度 数 答案为： A 2、（ 2015湖南 省 常德市 ， 第 6 题 3 分 ） 如 图 ， 四边形 O 的内 接 四边形 ， 已 知 100，则 度数为： A、 50 B、 80 C、 100 D、 130 【解答与分析】圆周角与圆心角的关系，及圆内接四边形的对角互补 ：答案为 D 3, （ 2015四川南充 ,第 8 题 3 分）如图， O 的切线，点 A 和 B 是切点， O 的直径，已知 P 40，则 大小是（ ） （ A） 60 （ B） 65 （ C） 70 （ D） 75 【答案】 C 考点：切线的性质、三角形外角的性质、圆的基本性质 . 4、 （ 2015四 川 自贡 ,第 9 题 4 分 ） 如图， O 的 直 径，弦 E 30 o， 2 3 ,则 阴影部分的面积为 （ ） A. 2 B. C. D. 23 3 考点：圆的基本性质、垂径定理，勾股定理、扇形的面积公式、轴对称的性质等 . 分析：本题抓住圆的相关性质切入把阴影部分的面积转化到一个扇形中来求 称 图 形和垂 径 定理 ， 利 用 题中条 件 可知 E 是弦 中 点 , B 是弧 中 点 ； 此 时 解法有三： 解法一，在弓形 ，被 开的上面空白部分和下面的阴影部分的面积是相 等的， 所以 阴影部分 的 面积之和 转 化到扇形 求 ； 解法 二 ， 连接 证 所以 阴影部分 的 面积之和 转 化到扇形 求 ； 解法 三 ， 阴影 部 分的面 积 之和是扇形 面积的一半 . 略解： O 的直径， E 是弦 中点 , B 是弧 中点（垂径定理） 在弓形 ，被 开的上下两部分的面积是相等的 (轴对称的性质 ) 阴影部分的面积之和等于扇形 面积 . E 是弦 中点， 2 3 1 1 2 3 3 2 2 90o 5. （ 2015浙江滨州 ,第 11 题 3 分） 若等腰直角三角形的外接圆半径的长为 2，则其内切圆 半径的长为 ( ) A. B. C. D. 1 【答案】 B 【解析】 试题 分 析 ： 如图 ， 等腰 直 角三角形 ， D 为外 接 圆 ， 可知 D 为 中 点 ， 因此 ， ， 根 据 勾股定 理 可求得 ， 根 据 内切圆 可 知四边形 正 方形 ， D, 因此 C= 2. 故选 B 考点：三角形的外接圆与内切圆 6、（ 2015 湖南 邵 阳第 7 题 3 分 ） 如图 ， 四边形 接 于 O， 已知 40， 则 大小是（ ） A 80 B 100 C 60 D 40 考点：圆内接四边形的性质；圆周角定理 . 分 析 ：根 据 圆内接 四 边形的 性 质求得 0， 利 用 圆周角 定 理 ， 得 B=80 解答：解：四边形 O 的内接四边形， 80， 80 140=40 0 故选 B 点评：此题主要考查了圆周角定理以及圆内接四边形的性质，得出 B 的度数是解题关 键 7 , （ 2015 上海 ,第 6 题 4 分）如图，已知在 O 中， 弦，半径 足为点 D， 要使四边形 菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（ ） A、 B、 C、 D、 【答案】 B 【解析】因 垂径定理，知 对角线互相垂直且平分， 所以， 菱形。 8 .（ 2015 湖北荆州第 5 题 3 分 ）如图， A， B， C 是 O 上三点， 5，则 度数是（ ） A 55 B 60 C 65 D 70 考点： 圆周角定理 分析： 连接 求 度数，只要在等腰三角形 求得一个角的度数即可 得到 答 案 ， 利用 同 弧所对 的 圆周角是 圆 心角的 一 半可得 0， 然后 根 据等腰 三 角形两 底角相等和三角形内角和定理即可求得 解答： 解：连接 5， 25=50， 由 B， （ 180 50） =65 故选 C 点评： 本题考查了圆周角定理；作出辅助线，构建等腰三角形是正确解答本题的关键 9 . （ 2015浙江杭州 ,第 5 题 3 分）圆内接四边形 ，已知 A=70，则 C=( ) A. 20 B. 30 C. 70 D. 110 【答案】 D 【考点】圆内接四边形的性质 . 【分析】圆内接四边形 ，已知 A=70， 根据圆内接四边形互补的性质，得 C=110. 故选 D 10. （ 2015浙江湖州，第 8 题 3 分）如图，以点 O 为圆心的两个圆中，大圆的弦 小圆 于点 C， 小圆于点 D，若 ， ，则 长是 ( ) A. 4 B. 2 C. 8 D. 4 【答案】 C. 考点：切线的性质定理；锐角三角函数；垂径定理 . 11. （ 2015浙江宁波，第 8 题 4 分）如图， O 为 外接圆， A=72，则 度数为【 】 A. 15 B. 18 C. 20 D. 28 【答案】 B. 【考点】圆周角定理；等腰三角形的性质；三角形内角和定理 . 【分析】如答图，连接 A 和 同 圆中同弧 BC 所 对 的圆周 角 和圆心 角 ， 2A . A=72， 44. C， 18014418. 2 故选 B. 12 . （ 2015山东威海 ， 第 9 题 3 分 ） 如图 ， 已知 C= 4， 则 度数为（ ） A 68 B 88 C 90 D 112 考点： 圆周角定理 . 分析： 如图，作辅助圆；首先运用圆周角定理证明 合已知条件 到 可解决问题 解答： 解：如图， C= 点 B、 C、 D 在以点 A 为圆心， 以 长为半径的圆上； 4， 8， 故选 B 点 评 ： 该 题 主要考 查 了圆周 角 定理及 其 推论等 几 何知识 点 及其应 用 问题 ； 解 题 的方法 是 作 辅 助 圆 ， 将 分 散的条 件 集中 ； 解 题 的关键 是 灵活运 用 圆周角 定 理及其 推 论等几 何 知识点 来 分 析、判断、推理或解答 13 （ 2015甘肃 兰 州 ,第 9 题 ， 4 分 ） 如 图， 经过 原 点 O 的 P 与 x 、 y 轴分 别 交于 A、 B 两 点，点 C 是劣弧 上一点，则 A. 80 B. 90 C. 100 D. 无法确定 【 答 案 】 B 【考点解剖】本题考查了圆周角的相关知识点以及平面直角坐标系的概念 【知识准备】在同一个圆（或等圆）中，同弧（或等弧）所对的圆周角相等；直径所对的圆 周角是直角；当圆周角为直角时，其所对的弦是直径。 【解答过程】 是 P 中同一条弧所对的圆周角，所以它们相等 【归纳拓展】在其它类似题目中，我们有可能需要区分优弧和劣弧的不同；再换一种场合， 如果连结 有可能需要说明 直径，或者点 P 在 。 【题目星级】 14（. 2015山东 临 沂 ,第 8 题 3 分 ） 如图 A， B， C 是 上的 三 个点 ， 若 ， 则 等于（ ） (A) 50. (B) 80. (C) 100. (D) 130. 【答案】 D 【解析】 试题分析：根据圆周的度数为 360，可知优弧 度数为 360 100=260，然后根据同 弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求得 B=130. 故选 D 考点：圆周 角定理 15 (2015深圳，第 9 题 分 )如图， O 直径，已知为 0o,则 （ ） A、 50o B、 20o C、 60o D、 70o 【答案】 D 【解析】 O 直径 ， 所以 ， 0o， 70o 16 (2015南宁 ， 第 11 题 3 分 )如图 6， O 的直径 ， ， 点 M 在 O 上 ， 0,N 是弧 中点 ,P 是直径 的一动点，若 ，则 长的 最小值为（ ） . （ A） 4 （ B） 5 （ C） 6 （ D） 7 图 6 考点：轴对称最短路线问题；圆周角定理 . 分析：作 N 关于 对称点 N，连接 两点之间线段最短可知 与 交 点 P 即 为 长 的 最 小 时 的 点 ， 根 据 N 是 弧 中 点 可 知 A= 0，故可得出 60，故 等边三角形，由此可得出结 论 解答：解：作 N 关于 对称点 N，连接 N 关于 对称点 N， 交点 P即为 长的最小时的点， N 是弧 中点， A= 0， 60， 等边三角形， ， 长的最小值为 4+1=5 故选 B 点 评 ： 本题 考 查的是 轴 对称 最 短路径 问 题 ， 凡是 涉 及最短 距 离的问 题 ， 一般 要 考虑线 段 的 性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点 17. （ 2015四川凉山州 ,第 10 题 4 分）如图， 接于 O， 0，则 A 的度 数为（ ） A 80 B 100 C 110 D 130 【答案】 D 考点：圆周角定理 18、 （ 2015四川 泸 州 ,第 8 题 3 分 ） 如图 ， 别 与 O 相切于 A、 B 两 点 ， 若 C=65， 则 P 的度数为 A. 65 B. 130 C. 50 D. 100 考点：切线的性质 . 分析：由 为圆 O 的切线，利用切线的性质得到 直于 直于 可得 出 两个角 为 直角 ， 再由 同 弧所对 的 圆心角 等 于所对 圆 周角的 2 倍 ， 由已 知 C 的度 数 求 出 度数，在四边形 ，根据四边形的内角和定理即可求出 P 的度数 解答：解： O 的切线， 0， 又 C=130， 则 P=360（ 90+90+130） =50 故选 C 点评：本题主要考查了切线的性质，四边形的内角与外角，以及圆周角定理，熟练运用性质 及定理是解本题的关键 19. （ 2015四川眉山，第 11 题 3 分）如图， O 是 外接圆， 5，则 B 的度数为（ ） A 30 B 35 C 40 D 45 考点： 圆周角定理 . 分析： 先根据 C， 5可得出 5，故可得出 度数，再由圆 周角定理即可得出结论 解答： 解： C， 5， 5， 80 45 45=90， B= 5 故选 D 点评： 本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等， 都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键 20 （ 2015甘肃 武 威 ,第 8 题 3 分 ） O 的内 接 三角形 ， 若 60，则 度数是（ ） A 80 B 160 C 100 D 80或 100 考点： 圆周角定理 分析： 首先根据题意画出图形，由圆周角定理即可求得答案 度数，又由 圆的内接四边形的性质 ，即可求得 度数 解答： 解：如图， 60， 160=80， =180， =180 80 80=100 度数是： 80或 100 故选 D 点评： 此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质此题难度不大，注意数 形结合思想与分类讨论思想的应用，注意别漏解 二 1.（ 2015福建泉州第 17 题 4 分）在以 O 为圆心 3半径的圆周上，依 次有 A、 B、 C 三 个点，若四边形 菱形，则该菱形的边长等于 3 对的弧长等于 2 或 4 解：连接 于点 D， 四边形 菱形， B=C， O 半径为 3 C=3 B， 等边三角形， 0， 20， = =2， 优弧 = =4， 故答案为 3， 2或 4 2.（ 2015 湖北鄂州第 15 题 3 分） 已知点 P 是半 径 为 1 的 O 外一点 ， O 于点 A， 且 ， O 的弦 ， 连接 【答案】 1 或 . 考点： 3, （ 2015 上海 ,第 17 题 4 分）在矩形 ， 5， 12，点 A 在 B 上如果 D 与 B 相交，且点 B 在 D 内，那么 D 的半径长可以等于 (只需写出一个符 合要求的数 ) 【答案】 15 【解析】 4 (2015江苏南 昌 , 第 10 题 3 分 )如图， 点 A, B, C 在 O 上， 延长 线交 点 D, A=50, B=30则 度数为 . 答 案 ： 解 析 ： A=50, 00, 0, B 0 80=110 5 (2015江苏南京 ,第 15 题 3 分 )如图，在 O 的内接五边形 ， 5，则 B+ E= 【答案 】 215 考点：圆内接四边形的性质 6、 （ 2015四 川 自 贡 ,第 13 题 4 分 ） 已知 ， O 的 一 条直 径 ， 延 长 C 点 ， 使 3 O 相切于 D 点，若 3 ,则劣弧 长为 . 考点：圆的基本性质、切线的性质、直角三角形的性质、勾股 定理、弧长公式等 . 分析：本题劣弧 长关键是求出圆的半径和劣弧 对的 圆心角的度数 ，根据切线的性质易知 90o ,圆的半径和圆心角 的度数 o o 以 通过 得 解决 . 略解：连接半径 O 相切于 D 点 90o 3B 2 1 又 1 在 1 60o 120o 在 据 勾股定 理 可知 ： 3 3 2 22 解得 ： 1 则劣弧 长为 120 120 1 2. 故应填 2180 3 3 7. （ 2015四川省宜宾市，第 14 题， 3 分）如图， O 的直径，延长 点 D，使 B， O 于点 C，点 B 是 的中点，弦 点 F 若 O 的半径 为 2，则 . 8.（ 2015江苏泰州 ,第 12 题 3 分）如图， O 的内接四边形 ， A=115，则 于 . 【答案】 150. 考点： 9.（ 2015江苏徐州 ,第 15 题 3 分）如图， O 的直径，弦 足为 E，连接 O 的半径为 4 考点： 垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理 . 专题： 计算题 分析： 连接 图所示，由直径 直于 用垂径定理得到 E 为 中点， 即 E，由 C，利用等边对等角得到一对角相等，确定出三角形 等腰直角 三角形，求出 长，即为圆的半径 解答： 解：连接 图所示： O 的直径，弦 E= C， A= 外角 ， 5， 等腰直角三角形 ， 故答案为： 4 点 评 ： 此 题 考查了 垂 径定理 ， 等 腰 直角三 角 形的性 质 ， 以 及 圆周角 定 理 ， 熟 练 掌握垂 径 定 理是解本题的关键 10 （ 2015四川 甘 孜 、 阿坝 ， 第 23 题 4 分 ） 如图 ， O 的直径 ， 弦 直 平 分半径 大小为 30 度 考点： 垂径定理；含 30 度角的直角三角形；圆周角定理 . 分析： 根据线段的特殊关系求角的大小，再运用圆周角定理求解 解答： 解：连接 弦 直平分半径 0， 0， 0 故答案为： 30 点 评 ： 本 题 主要是 利 用直角 三 角形中 特 殊角的 三 角函数 先 求出 0， 0 然 后再圆周角定理，从而求出 0 11 （ 2015四川 广 安 ， 第 12 题 3 分 ） 如图 ， A、 B、 C 三点在 O 上 ， 且 0， 则 C= 35 度 考点： 圆周角定理 . 分析： 由 A， B， C 三点在 O 上，且 0，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所 对的圆周角相等，都 等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得答案 解答： 解： 0， C= 5 故答案为： 35 点 评 ： 此 题 考查了 圆 周角定 理 此 题 比较简 单 ， 注 意 掌握数 形 结合思 想 的应用 ， 解 题 的关 键 是 ： 熟 记 在同圆 或 等圆 中 ， 同 弧 或等弧 所 对的圆 周 角相 等 ， 都 等 于这条 弧 所对的 圆 心角的 一半 12 （ 2015甘肃 兰 州 ,第 20 题， 4 分） 已 知 边 O 是其 外 接圆， 且 半径 也为 4 A 的度数是 【 答 案 】 30 【考点解剖】本题考查同（等）弧所对圆周角和 圆心角的关系，正三角形的性质 【知识准备】在同圆或等圆中，圆周角等于同弧（等弧）所对圆心角的 一半， 在同一个三角形中相等的边所对的角也相等。 【思路点拔】 径，那么 对应的两条半径所构成的三角形就 是等边三角形，这样，自然就将构造出的圆心角与目标中的圆周角建立 起了联系。 【解答过程】分别连结 为 B=以 O=60， 1 则在 O 中， A= 2 【题目星级】 三 B=30. 1.（ 2015山东威海，第 22 题 9 分）如图，在 ， C，以 直径的 O 交 点 D，交 点 E （ 1）求证： E； （ 2）若 ， ，求 长 考点： 相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；圆周角定理 . 专题： 证明题 分析： （ 1）连结 图，根据圆周角定理，由 O 的直径得到 0，然 后利用等腰三角形的性质即可得到 E； （ 2）连结 图，证明 后利用相似比可计算出 长， 从而得到 长 解答： （ 1）证明：连结 图， O 的直径， 0， 而 C， E； （ 2）连结 图， E=3， ， 而 = ，即 = ， ， A=9 点 评 ： 本 题 考查了 相 似三角 形 的判定 与 性质 ： 在 判 定两个 三 角形相 似 时 ， 应 注 意利用 图 形 中 已 有的公 共 角 、 公 共 边等隐 含 条件 ， 以 充 分发挥 基 本图形 的 作用 ， 寻 找 相似三 角 形 的一般 方法是通过作平行线构造相似三角形也考查了角平分线的性质和圆周角定理 2 （ 2015四川 资 阳 ,第 22 题 9 分 ） 如图 11， 在 ， 以 直 径 的 O 的切 线 ， 且 O 与 交于点 D， E 为 中点，连接 （ 1）求证： O 的切线； （ 2）连接 C=45，求 值 . 考点： 切线的判定；勾股定理；解直角三角形 . 分 析 ： （ 1） 连接 由圆周 角 定理就可以 得 出 0， 可以得出 0， 根 据 E 为 中点可 以 得出 E， 就 有 B 可以得 出 由的等式的性质就可以得出 0就可以得出结论 （ 2）作 F，设 EF=x，由 C=45，得出 是等腰直角三角形， 根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得 E= 就可求得 值 x， C=2 x， x， 进而 解 答 ：解 ： （ 1） 连 接 B 直径， 0， 0 E 为 中点， E， 即 以 直径的 O 的切线， 0， 0， O 的切线； （ 2）作 F，设 EF=x C=45， 是等腰直角三角形， F=x， E= x， C=2 x， 在 中， = x， = 点 评 ： 本题 考 查了圆 周 角定理 的 运用 ， 直角 三 角形的 性 质的运 用 ， 等腰 三 角形的 性 质的运用， 切线的判定定理的运用，勾股定理的运用，解答时正确添加辅助线是关键 3, （ 2015浙江滨州 ,第 21 题 9 分） 如图 , O 的直径 长为 10，弦 长为 5， 平分线交 O 于点 D. （ 1）求弧 长； （ 2）求弦 长 . 【 答 案 】 （ 1） （ 2） （ 2）连接 分 D， 5 在 ， . 考点 :圆周角定理，解直角三角形，弧长公式 4. （ 2015浙江杭州 ,第 19 题 8 分） 如图 1， O 的半径为 r(r0)，若点 P在射线 ，满足 OP=称点 P是点 P 关 于 O 的 “反演 点 ”， 如图 2， O 的半径为 4， 点 B 在 O 上 ， 0， ， 若点 A、 B分别是点 A， B 关于 O 的反演点，求 AB的长 . 【答案】解： O 的半径为 4，点 A、 B分别是点 A， B 关于 O 的反演点，点 B 在 O 上， ， 42 , 42 ，即 8 42 , 4 42 . 2, 4 .点 B 的反演点 B与点 B 重合 . 如答图，设 O 于点 M，连接 BM， B， 0， 是 等 边三角形 . AM 2 ， BM 在 B M 中，由勾股定理得 AB 42 22 2 3 . 【考点】新定义；等边三角形的判定和性质；勾股定理 . 【分析】先根据定义求出 2, 4 ， 再作 辅 助线 ： 连接点 B与 O 的交点 M， 由 已知 0判定 是等边三角形，从而在 B M 中，由勾股定理求得 AB 的长 . 5 （ 2015广东省 ,第 24 题 ， 9 分） O 是 外接圆， 直径，过 BC 的中点 P 作 O 的直径 弦 点 D，连接 （ 1）如题图 1；若 D 是线段 中点，求 度数； （ 2）如题图 2，在 取一点 k，使 P，连接 证：四边形 平行四 边形； （ 3） 如 题 图 3， 取 中 点 E， 连接 延 长 点 H， 连接 求 证 ： 【 答 案】解 ： （ 1） O 直 径 ，点 P 是 BC 的 中 点， 0. D 为 中点， 1 1 2 2 1 . 0. O 直径， 0. 0. （ 2）证明：由（ 1）知， D， P， . P， P. K. B， 又 G= 四边形 平行四边形 . （ 3）证明： E， D， G= G， G. H. 又 P， . 0. 【考点】圆的综合题；圆周角定理；垂径定理；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值； 平行的判定和性质；全等三角形的判定和性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定 . 【分 析 】 （ 1） 一方面 ， 由锐 角 三角函 数 定义和特 殊 角的三 角 函数值求出 0； 另一方 面 ， 由 证 明 0 得 到 根 据 平 行 线 的 同 位 角 相 等 的 性 质 得 到 0. （ 2） 一方 面 ， 证明 通 过证明 全 等并等腰 三 角形的 性 质得到 K； 另一 方 面 ， 证明 从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定而得证 . （ 3）通过应用 明 得到 0，即 6. （ 2015绵阳第 22 题， 11 分）如图， O 是 内心， 延长线和 外接 圆相交于点 D，连接 边形 平行四边形 （ 1）求证： （ 2）若 ，求阴 影部分的面积 考点： 三角形的内切圆与内心；全等三角形的判定与性质；扇形面积的计算 . 专题： 计算题 分析： （ 1）由于 O 是 内心，也是 外心，则可判断 等边三角 形 ， 所 以 20 ， C ， 再 根 据 平 行 四 边 形 的 性 质 得 20， C， A=根据 “明 （ 2） 作 H， 如 图 ， 根 据 等腰三 角 形的性 质 和三角 形 内角和 定 理得到 0， 根据垂径定理得到 H= ，再利用含 30 度的直角三角形三边的关系得到 H= ， ， ，然后根据三角形面积公式和扇形面积 公式，利用 S 阴影部分 =S 扇形 S 行计算即可 解答： （ 1）证明： O 是 内心，也是 外心， 等边三角形， 20， C， 四边形 平行四边形， 20， C， A， B， 在 ， （ 2）作 H，如图， 20， B， （ 180 120） =30， H= ， ， ， S 阴影部分 =S 扇形 S 2 = 点评： 本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆， 三 角 形的内 切 圆的 圆 心 叫做三 角 形的内 心 ， 这 个 三角形 叫 做圆的 外 切三角形 三 角 形的内心 就是三角形三个内角角平分线的交点也考查了等边三角形的判定与性质和扇形面积的计 算 7. （ 2015四川省内江市，第 27 题， 12 分）如图，在 ， E， 0， O 经过点 C，且圆的直径 线段 （ 1）试说明 O 的切线； （ 2）若 上的高为 h，试用含 h 的代数式表示 O 的直径 （ 3）设点 D 是线段 任 意 一点（不 含 端点 ） ，连 接 D 的最 小 值为 6 时 ， 求 O 的直径 长 考 点 ： 圆 的 综合题 ； 线 段 的性质 ： 两 点 之间线 段 最短 ； 等 腰 三角形 的 性质 ； 等 边 三角形的 判定与性质；菱形的判定与性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值 . 专题： 综合题 分析： （ 1）连接 图 1，要证 O 的切线，只需证到 0即可； （ 2）过点 C 作 H，连接 图 2，在 运用三角函数即可解决问 题； （ 3）作 分 O 于 F，连接 图 3，易证四边形 菱形，根据对称性可得 O过点 D 作 H，易得 而有 D=D根据两点之间线段最短可得：当 F、 D、 H 三点共线时， D（即 D）最小，然后在 运用三角函数即可解决问题 解 答 ： 解 ： （ 1） 连 接 如 图 1， E， 0， E= 0， A=60， 0， O 的切线 ； （ 2）过点 C 作 H，连接 图 2， 由题可得 CH=h 在 ， C h=OC = h， h； （ 3）作 分 O 于 F，连接 图 3， 则 （ 180 60） =60 F= 等边三角形， O=C， 四边形 菱形， 根据对称性可得 O 过点 D 作 H， C， 0， CC D=D 根据两点之间线段最短可得： 当 F、 D、 H 三点共线时， D（即 D）最小， 此时 F， 则 ， 当 D 的最小值为 6 时， O 的直径 长为 8 点评： 本题主要考查了 圆周角定理、切线的判定、等腰三角形的性质、三角函数的定义、 特 殊 角的三 角 函数值 、 等 边 三角形 的 判定与 性 质 、 菱 形 的判定 与 性质 、 两 点 之间线 段 最短等 知识，把 D 转化为 D 是解决第（ 3）小题的关键 8. （ 2015浙江 省 台州 市 ， 第 22 题 ） 如 图 ， 四边形 接于 O， 点 E 在对 角 线 ， C= 1）若 9，求 度数 （ 2）求证： 1= 2 . （ 2015 呼和浩特， 24， 9 分） (9 分 )如图， O 是 外接圆， P 是 O 外的一点， O 的 直 径， 1) 求证： O 的切线； (2) 连接 于点 D，与 O 交于点 E， F 为 的一点，若 M 为 的中点，且 P，求证： D = D = . 点分析：圆 垂径定理、相切 相似三角形 逻辑推理 逆推 解析： 什么是逆推？就是在做几何证明题时，从要证的结论出发进行推导，即假 定结论成立，将该结论作为已知条件进行推理 ，同时从题目中的已知条件 出发推理，向中间过程中的某关键步骤靠拢。 说过，在圆里证明直角有三种方法。方法一，假设该直角成立，且该直角 由两个锐角组成，那么就去分别找与这两个角相等或互余的角，看看他们 的关系；方法二，与一个直角是同位角或内错角的关系；方法三，用勾股逆定理算出来。 第一问 ， 首 先 你要在 草 稿纸上 精 确地把 图 画一 遍 ， 否 则 卷面的 图 一会就 被 你的尝 试 标花 了。做圆的题目，有相切或证相切，马上先将切点或要证的切点连接到圆心；做圆的题目， 有过 直 径的弦 ， 马上 把 直角三 角 形画出 来 ， 连接了 这 两 步 在证相 切 时经常 用 到， 因为 前 者需要 一个包括 两 个锐角 的 直角 ， 而后 者 能提供 两 个互余 关 系的锐 角