2016年云南省高考数学一模试卷(理科)含答案解析

第 1 页（共 22 页） 2016 年云南省高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1已知 i 为虚数单位，复数 +i， i，则 =（ ） A B C i D i 2已知平面向量 ，如果 ，那么 =（ ） A B C 3 D 3函数 y=22最小值为（ ） A 4 B C D 2 4（ + ） 10 的展开式中 系数等于（ ） A 45 B 20 C 30 D 90 5若运行如图所示程序框图，则输出结果 S 的值为（ ） A 94 B 86 C 73 D 56 6如图是底面半径为 1，高为 2 的圆柱被削掉一部分后剩余的几何体的三视图（注：正视图也称主视图，侧视图也称左视图），则被削掉的那部分的体积为（ ） 第 2 页（共 22 页） A B C 2 D 2 7为得到 y=2x ）的图象，只需要将 y=图象（ ） A向右平移 个单位 B向右平移 个单位 C向左平移 个单位 D向左平移 个单位 8在数列 ， ， ， =1，则 ） A B C D 5 9 “a+b=2”是 “直线 x+y=0 与圆（ x a） 2+（ y b） 2=2 相切 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 10已知变量 x、 y 满足条件 ，则 z=2x+y 的最小值为（ ） A 2 B 3 C 7 D 12 11在长为 3m 的线段 任取一点 P，则点 P 与线段两端点 A、 B 的距离都大于 1m 的概率是（ ） A B C D 12已知双曲线 M 的焦点 x 轴上，直线 是双曲线 M 的一条渐近线，点 P 在双曲线 M 上，且 ，如果抛物线 6x 的 准线经过双曲线 M 的一个焦点，那么 =（ ） A 21 B 14 C 7 D 0 第 3 页（共 22 页） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13已知函数 f（ x）的定义域为实数集 R， x R， f（ x 90） = 则 f（ 10） f（ 100）的值为 14已知三棱锥 P 顶点 P、 A、 B、 C 在球 O 的表面上， 边长为 的等边三 角形，如果球 O 的表面积为 36，那么 P 到平面 离的最大值为 15 ，内角 A、 B、 C 对的边分别为 a、 b、 c，如果 面积等于 8， a=5， ，那么 = 16已知实数 a、 b 常数，若函数 y= + 的图象在切点（ 0， ）处的切线方程为 3x+4y 2=0， y= +1 与 y=k（ x 1） 3 的图象有三个公共点，则实数 k 的取值范围是 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17设数列 前 n 项和为 任意正整数 n， 32 （ I）求数列 通项公式； （ ）求证： 18某市教育与环保部门联合组织该市中学参加市中学生环保知 识团体竞赛，根据比赛规则，某中学选拔出 8 名同学组成参赛队，其中初中学部选出的 3 名同学有 2 名女生；高中学部选出的 5 名同学有 3 名女生，竞赛组委会将从这 8 名同学中随机选出 4 人参加比赛 （ ）设 “选出的 4 人中恰有 2 名女生，而且这 2 名女生来自同一个学部 ”为事件 A，求事件A 的概率 P（ A）； （ ）设 X 为选出的 4 人中女生的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望 19如图，在三棱锥 A ， D， E 为 中点 （ I）求证： （ ）设平面 平面 D=2， ， 求二面角 B D 的正弦值 20已知焦点在 y 轴上的椭圆 E 的中心是原点 O，离心率等于 ，以椭圆 E 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为 4 ，直线 l： y=kx+m 与 y 轴交于点 P，与椭圆 E 交于 A、 = 第 4 页（共 22 页） （ I）求椭圆 E 的 方程； （ ）是否存在 m，使 + =4 ？若存在，求 m 的取值范围；若不存在，请说明理由 21已知 f（ x） =2x+3 （ I）求证：当 x=0 时， f（ x）取得极小值； （ ）是否存在满足 n m 0 的实数 m， n，当 x m， n时， f（ x）的值域为 m， n？若存在，求 m， n 的值；若不存在， 请说明理由 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 .选修 4何证明选讲 22如图， O 的直径， O 相切于 C， O 的弦， D 是 的中点， E 交于 E （ ）求证： D=E； （ ）若 ，求 选修 4标系与参数方程 23在直角坐标 系 ，直线 l 的参数方程为 （ t 为参数）在以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 = （ I）直接写出直线 l、曲线 C 的直角坐标方程； （ 曲线 C 上的点到直线 l 的距离为 d，求 d 的取值范围 选修 4等式选讲 24已知 f（ x） =|x 2|+|x+1|+2|x+2| （ ）求证： f（ x） 5； （ ）若对任意实数 都成立，求实数 a 的取值范围 第 5 页（共 22 页） 2016 年云南省高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1已知 i 为虚数单位，复数 +i， i，则 =（ ） A B C i D i 【考点】 复数 代数形式的乘除运算 【分析】 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】 解：由 +i， i， 得 = ， 故选： D 2已知平面向量 ，如果 ，那么 =（ ） A B C 3 D 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据平行向量的坐标关系便可求出 x= ，从而得出 ，这便可得出 的值 【解答】 解： ； 3（ 1） 6x=0； ； ； 故选 B 3函数 y=22最小值为（ ） A 4 B C D 2 【考点】 三角函数的最值 【分析】 利用倍角 公式降幂，然后利用辅助角公式化积，则答案可求 【解答】 解： y=22 1 =1 第 6 页（共 22 页） = = ， 函数 y=22最小值为 故选： C 4（ + ） 10 的展开式中 系数等于（ ） A 45 B 20 C 30 D 90 【考点】 二项式定理的应用 【分析】 在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 2，求出 r 的值，即可求得展开式中 系数 【解答】 解：（ + ） 10 的展开式的通项公式为 = （ 1） 10 r ， 令 =2，求得 r=2，可得展开式中 系数为 =45， 故选： A 5若运行如图所示程序框图，则输出结果 S 的值为（ ） A 94 B 86 C 73 D 56 【考点】 程序框图 【分析】 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算 S 值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案 【解答】 解：模拟执行程序，可得 i=1， S=1 i=2， S=4 不满足条件 i 5， i=3， S=10， 不满足条件 i 5， i=4， S=22， 不满足条件 i 5， i=5， S=46， 不满足条件 i 5， i=6， S=94， 满足条件 i 5，退出循环，输出 S 的值为 94 第 7 页（共 22 页） 故选： A 6如图是底面半径为 1，高为 2 的圆柱被削掉一部分后剩余的几何体的三视图（注：正视图也称主视图，侧视图也称左视图），则被削掉的那部分的体积为（ ） A B C 2 D 2 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 根据几何体的三视图，得出该几何体是半圆锥体与直三棱锥的组合体，求出该几何体的体积，再求出圆柱的体积，即可求出被削掉的那部分体积 【解答】 解：根据几何体的三视图，得； 该几何体是底面半径为 1，高为 2 的半圆锥体， 与底面为等腰三角形高为 2 的三棱 锥的组合体， 其体积为 12 2+ 2 1 2= ； 又圆柱的体积为 12 2=2， 所以被削掉的那部分的体积为 2 = 故选： B 7为得到 y=2x ）的图象，只需要将 y=图象（ ） A向右平移 个单位 B向右平移 个单位 C向左平移 个单位 D向左平移 个单位 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 由条件利用诱导公式，函数 y=x+）的图象变换规律，得出结论 【解答】 解： y=2x ） =2x + ） =2x+ ） =x+ ）， 第 8 页（共 22 页） 将 y=图象向左平移 个单位，可得 y=2x ）的图象， 故选： D 8在数列 ， ， ， =1，则 ） A B C D 5 【考点】 数列递推式 【分析】 ， ， =1，可得： 3= ， 1=2， 2= ， 即可得出 【解答】 解： ， ， =1， ， ， ，可得： 3= ， 1=2 同理可得： 2= ， + = 故选： C 9 “a+b=2”是 “直线 x+y=0 与圆（ x a） 2+（ y b） 2=2 相切 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 根据直线与圆相切的充要条件，可得 “直线 x+y=0 与圆（ x a） 2+（ y b） 2=2 相切 ”的等价命题 “a+b= 2”，进而根据充要条件的定义，可得答案 【解答】 解：若直线 x+y=0 与圆 （ x a） 2+（ y b） 2=2 相切 则圆心（ a， b）到直线 x+y=0 的距离等于半径 即 = ，即 |a+b|=2 即 a+b= 2 故 “a+b=2”是 “直线 x+y=0 与圆（ x a） 2+（ y b） 2=2 相切 ”的充分不必要条件 故选 A 10已知变量 x、 y 满足条件 ，则 z=2x+y 的最小值为（ ） A 2 B 3 C 7 D 12 【考点】 简单线性规划 【分析】 先由约束条件画出可行域，再求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函数，验证即得答案 第 9 页（共 22 页） 【解答】 解：如图即为满足不等式组 的可行域， 将交点分别求得为（ 1， 1），（ 5， 2），（ 1， ） 当 x=1， y=1 时， 2x+y=3 当 x=1， y= 时， 2x+y= 当 x=5， y=2 时， 2x+y=12 当 x=1， y=1 时， 2x+y 有最小值 3 故选： B 11在长为 3m 的线段 任取一点 P，则点 P 与线段两端点 A、 B 的距离都大于 1m 的概率是（ ） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 由题意可得，属于与区间长度有关的几何概率模型，试验的全部区域长度为 3，基本事件的区域长度为 1，代入几何概率公式可求 【解答】 解：设 “长为 3m 的线段 应区间 0， 3 “与线段两端点 A、 B 的距离都大于 1m”为事件 A，则满足 A 的区间为 1， 2 根据几何概率的计算公式可得， 故选： B 12已知双曲线 M 的焦点 x 轴上，直线 是双曲线 M 的一条渐近线，点 P 在双曲线 M 上，且 ，如果抛物线 6x 的准线经过双曲线 M 的一个焦点，那么 =（ ） 第 10 页（共 22 页） A 21 B 14 C 7 D 0 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求得抛物线的焦点，可得 c=4，即 a2+6，由渐近线方程可得 = ，解得 a，b，运用双曲线的定义和直角三角形的 勾股定理，化简整理，即可得到所求值 【解答】 解：抛物线 6x 的准线为 x= 4， 由题意可得双曲线 M 的一个焦点为（ 4， 0）， 设双曲线的方程为 =1（ a， b 0）， 可得 c=4，即 a2+6， 直线 是双曲线 M 的一条渐近线， 可得 = ， 解得 a=3， b= ， 可设 P 为右支上一点，由双曲线的定义可得 | |2a=6， 由勾股定理可得， |+|=|=44， 2，可得 |14 故选： B 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13已知函数 f（ x）的定义域为实数集 R， x R， f（ x 90） = 则 f（ 10） f（ 100）的值为 8 【考点】 函数的值 【分析】 根据所给解析式凑数计算 f（ 10）和 f（ 100） 【解答】 解： f（ 10） =f=， f（ 100） =f（ 10 90） =（ 10） =10 f（ 10） f（ 100） =2 10= 8 故答案为： 8 14已知三棱锥 P 顶点 P、 A、 B、 C 在球 O 的表面上， 边长为 的等边三角形，如果球 O 的表面积为 36，那么 P 到平面 离的最大值为 【考点】 点、线、面间的距离计算 【分析】 求出球心 O 到平面 距离，即可求出 P 到平面 离的最大值 【解答】 解： 边长为 的等边三角形，外接圆的半径为 1， 球 O 的表面积为 36，球的半径为 3， 球心 O 到平面 距离为 =2 ， P 到平面 离的最大值为 故答案为： 第 11 页（共 22 页） 15 ，内角 A、 B、 C 对的边分别为 a、 b、 c，如果 面积等于 8， a=5， ，那么 = 【考点】 正弦定理 【分析】 求出 用三角形的面积公式求出 c 的长度，进一步利用余弦定理求出 b 的长度，在应用正弦定理和等比性质求出结果 【解答】 解： ， ， ， 又 S= =2c=8， c=4， b= = = = 故答案为： 16已知实数 a、 b 常数，若函数 y= + 的图象在切点（ 0， ）处的切线方程为 3x+4y 2=0， y= +1 与 y=k（ x 1） 3 的图象有三个公共点，则实数 k 的取值范围是 （ ， ） （ 0， +） 【考点】 函数与方程的综合运用；根的存在性及根的个数判断 【分析】 求函数的导数，利用导数的几何意义求出 a， b 的值，利用数形结合判断两个函数的交点个数进行求解即可 【解答】 解：当 x 1 时，函数 y= += +， 则函数的导数 f（ x） = +2， 若函数 y=y= + 的图象在切点（ 0， ）处的切线方程为 3x+4y 2=0， f（ 0） = ，且 f（ 0） = ， 即 a+， a+2 ，得 a=1， b=0， 即 y= += ， 由 =k（ x 1） 3 得当 x=1 时，方程成立， 当 x 1 时，若 x 1 得 =k（ x 1） 3 得 =k（ x 1） 2， 第 12 页（共 22 页） 若 x 1 得 =k（ x 1） 3 得 =k（ x 1） 2， 若 k=0，则两个方程无解， 若 k 0 时，作出对应函数的图象如右图： 此时满足当 x 1 时，有一个交点， 当 x 1 时，有一个交点， 此时满足两个函数共有 3 个交点 若 k 0 时，作出对应 函数的图象如图： 此时满足当 x 1 时，没有交点， 当 x 1 时，则需要有 2 个交点， 由 =k（ x 1） 2， 得 k（ x+2）（ x 1） 2+1=0， x 1， 设 g（ x） =k（ x+2）（ x 1） 2+1， 则 g（ x） =3k（ x 1）（ x+1）， x 1， k 0， 由 g（ x） =0， x= 1， 当 x 1 时， g（ x） 0， 当 1 x 1 时， g（ x） 0， 即当 x= 1 函数取得极小值 g（ 1） =4k+1， 要使当 x 1 时，则 g（ x）要有 2 个交点， 则极小值 g（ 1） =4k+1 0，得 k ， 此时满足两个函数共有 3 个交点 综上 k 的取值范围是 k 0 或 k 0， 故答案为：（ ， ） （ 0， +） 第 13 页（共 22 页） 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17设数列 前 n 项和为 任意正整数 n， 32 （ I）求数列 通项公式； （ ）求证： 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ I）对任意正整数 n， 32，可得 32，解得 n 2 时， 31 21=2，可得 1，利用等比数列的通项公式即可得出（ 2）证明：由（ I）可得：n 1作差代入 0，即可证明 【解答】 （ I）解： 对任意正整数 n， 32， 32，解得 当 n 2 时， 31 21=2，可得 331 2，化为 1， 数列 等比数列，公比为 3，首项为 2 3n 1 （ 2）证明：由（ I）可得： =3n 1 =（ 3n+2 1）（ 3n 1）（ 3n+1 1） 2= 4 3n 0， 18某市教育与环保部门联合组织该市中学参加市中学生环保知识团体竞赛，根据比赛规则，某中学选拔出 8 名同学组成参赛队，其中初中学部选出的 3 名同学有 2 名女生；高中学部选出的 5 名同学有 3 名女生，竞赛组委会将从这 8 名同学中随机选出 4 人参加比赛 第 14 页（共 22 页） （ ）设 “选出的 4 人中恰有 2 名女生，而且这 2 名女生来自同一个学部 ”为事件 A，求事件A 的概率 P（ A）； （ ）设 X 为选出的 4 人中女生的人数，求随机变量 X 的分布列 和数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ ）利用互斥事件概率加法公式能求出事件 A 的概率 （ ）随机变量 X 的所有可能取值为 1， 2， 3， 4分别求出相应的概率，由此能求出随机变量 X 的分布列和随机变量 X 的数学期望 【解答】 解：（ ） 中学选拔出 8 名同学组成参赛队，其中初中学部选出的 3 名同学有 2名女生； 高中学部选出的 5 名同学有 3 名女生，竞赛组委会将从这 8 名同学中随机选出 4 人参加比赛， 设 “选出的 4 人中恰有 2 名女生，而且这 2 名女生来自同一个学部 ”为事件 A， 由已知 ，得 ， 所以事件 A 的概率为 （ ）随机变量 X 的所有可能取值为 1， 2， 3， 4 由已知得 P（ X=1） = = ， P（ X=2） = = ， P（ X=3） = = ， P（ X=4） = = ， 所以随机变量 X 的分布列为： X 1 2 3 4 P 随机变量 X 的数学期望 19如图，在三棱锥 A ， D， E 为 中点 （ I）求证： （ ）设平面 平面 D=2， ，求二面角 B D 的正弦值 第 15 页（共 22 页） 【考点】 二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系 【分析】 （ 1）根据线面垂直的性质定理进行证明即可 （ 2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用向量法进行求解 【解答】 证明：（ I） D， E 为 中点， 取 中点 0， 连接 则 中位线， A=O， （ ）设平面 平面 面 建立以 O 为坐标原点， 别为 x， y， z 轴的空间直角坐标系如图： D=2， ， B=， ， 则 B（ 0， ， 0）， D（ 0， ， 0）， E（ 1， 0， 0）， A（ 0， 0， ）， C（ 2， ， 0）， 则 =（ 0， ， ）， =（ 2， ， ）， =（ 2， 0， 0）， 设平面 一个法向量为 =（ x， y， z）， 则 ， 令 y=1，则 z= 1， x= ，即 =（ ， 1， 1）， 设平面 一个法向量为 =（ x， y， z）， 则 ， 令 y=1，则 z=1， x=0，则 =（ 0， 1， 1）， ， = =0， 即 ， =90 则二面角 B D 的正弦值 1 第 16 页（共 22 页） 20已知焦点在 y 轴上的椭圆 E 的中心是原点 O，离心率等于 ，以椭圆 E 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为 4 ，直线 l： y=kx+m 与 y 轴交于点 P，与椭圆 E 交于 A、 = （ I）求椭圆 E 的方程； （ ）是否存在 m，使 + =4 ？若存在，求 m 的取值范围；若不存在，请说明理由 【考点】 椭 圆的简单性质 【分析】 （ I）设椭圆的方程为 + =1（ a b 0），运用离心率公式和 a， b， c 的关系，解方程可得 a， b，进而得到椭圆方程； （ ）运用向量的加减运算，可得 =3，由题意可得 P（ 0， m），且 2 m 2，设 A（ x1， B（ 运用向量共线的坐标表示和直线方程代入椭圆方程，运用韦达定理，可得 =1+ ，再由不等式的性质，可得所求范围 【解答】 解：（ I）设椭圆的方程为 + =1（ a b 0）， 由题意可得 e= = ， 4 =4 ， b2= 解得 a=2， b=1， c= ， 即有椭圆的方程为 +； （ ） = ，可得 =（ ）， + =（ 1+） ， 由 + =4 ，可得 =3， 由题意可得 P（ 0， m），且 2 m 2， 设 A（ B（ 由 =3 ，可得 第 17 页（共 22 页） 由直线 y=kx+m 代入椭圆方程 ， 可得（ 4+4=0， 即有 x1+ ， ， 由 可得 =1+ ， 由 1+1，可得 0 3， 即有 1 4，由于 m （ 2， 2）， 当 m=0 时， O， P 重合， =1 显然成立 可得 m 的取值范围是（ 2， 1） （ 1， 2） 0 21已知 f（ x） =2x+3 （ I）求证：当 x=0 时， f（ x）取得极小值； （ ）是否存在满足 n m 0 的实数 m， n，当 x m， n时， f（ x）的值域为 m， n？若存在，求 m， n 的值；若不存在，请说明理由 【考点】 利用导数研究函数的极值 【分析】 （ I）求函数的导数，利用函数极值和导数的关系即可证明当 x=0 时， f（ x）取得极小值； （ ）判断函数的单调性，根据函数的单调性和值域之间的关系转化为 f（ x） =x 有两个不同的解，构造函数，利用数形结合进行判断即可 【解答】 解：（ I）由 2x+1 0 得 x ， 函数的导数 f（ x） =2 =2= = ， 设 g（ x） =8x+22x+1）， 则 g（ x） =16x+8+ =8（ 2x+1） + ， 2x+1 0， g（ x） 0， 即 g（ x）在 x 上为增函数， g（ 0） =0， 当 x 0 时， g（ x） g（ 0） =0，此时 f（ x） 0， 函数 f（ x）递增， 第 18 页（共 22 页） 当 x 0 时， g（ x） g（ 0） =0，此时 f（ x） 0，函数 f（ x）递减， 故当 x=0 时， f（ x）取得极小值； （ ）由（ ）知当 x 0 时，函数 f（ x）递增， 若存在满足 n m 0 的实数 m， n，当 x m， n时， f（ x）的值域为 m， n， 则满足 ，即 m， n 是方程 f（ x） =x 的两个不同的根， 即 2x+3 =x， 则 x+3= 即（ x+3）（ 2x+1） =2x+1）， 设 y=（ x+3）（ 2x+1）， y=2x+1）， 作出两个函数的图象， 由图象知当 x 时，两个函数没有交点， 即方程 f（ x） =x 不存在两个不同的根， 即不存在满足 n m 0 的实数 m， n，当 x m， n时， f（ x）的值域为 m， n 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 .选修 4何证明选 讲 22如图， O 的直径， O 相切于 C， O 的弦， D 是 的中点， E 交于 E （ ）求证： D=E； （ ）若 ，求 第 19 页（共 22 页） 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 （