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常微分方程期中测试试卷(11) 班级_姓名_学号_得分_1 微分方程的阶数是_2 若和在矩形区域内是的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则方程有只与有关的积分因子的充要条件是 _3 _ 称为齐次方程.4 如果 _ ,则存在唯一的解,定义于区间 上,连续且满足初始条件 ,其中 _ .5 对于任意的 , (为某一矩形区域),若存在常数使 _ ,则称在上关于满足利普希兹条件.6 方程定义在矩形区域:上 ,则经过点 的解的存在区间是 _ 7 若是齐次线性方程的个解,为其伏朗斯基行列式,则满足一阶线性方程 _8 若为齐次线性方程的一个基本解组,为非齐次线性方程的一个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为 _9 若为毕卡逼近序列的极限，则有_10 _称为黎卡提方程，若它有一个特解，则经过变换_，可化为伯努利方程二求下列方程的解求方程经过的第三次近似解讨论方程，的解的存在区间4 求方程的奇解5 6 7 三 证明题1 试证:若已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等积分法求它的通解2 试用一阶微分方程解的存在唯一性定理证明:一阶线性方程 , 当 , 在上连续时,其解存在唯一参考答案一 填空题1 12 3 形如的方程4 在上连续且关于满足利普希兹条件 5 6 7 8 9 10 形如的方程 二 求下列方程的解1 解：，则所以另外也是方程的解2 解：3 解：两边积分所以方程的通解为故过的解为通过点的解向左可以延拓到，但向右只能延拓到，所以解的存在区间为4 解: 利用判别曲线得 消去得 即 所以方程的通解为 , 所以 是方程的奇解5 解: =, = , = , 所以方程是恰当方程. 得 所以故原方程的解为 6 解: 故方程为黎卡提方程.它的一个特解为 ,令 , 则方程可化为 , 即 , 故 7 解: 两边同除以得所以 , 另外 也是方程的解三 证明题1 证明: 设黎卡提方程的一个特解为 令 , 又 由假设 得 此方程是一个的伯努利方程,可用初等积分法求解2 证明: 令 : , , 在上连续, 则 显然在上连续 ,因为 为上的连续函数 ,故在上也连续
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